2008年重庆中考数学试题

C
B
O A 重庆市2008年初中毕业生学业暨高中招生考试
数 学 试 卷
（本卷共四个大题 满分150分 考试时间120分钟）
参考公式：抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2
a
b a
c a b --，对称轴公式为a
b
x 2-=
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中.
1、2的倒数是（ ）
A 、
21 B 、21- C 、21
± D 、2 2、计算2
3x x ⋅的结果是（ ）
A 、6x
B 、5x
C 、2
x D 、x
3、不等式042≥-x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B C
D
4、数据2，1，0，3，4的平均数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
6、如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
7、计算28-的结果是（）
A 、6
B 、6
C 、2
D 、2
8、若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（）
A 、2∶3
B 、4∶9
C 、2∶3
D 、3∶2
2
-220正面
6题图
5题图
l
2
l 1l 3
2
1A
D
B
C
9、今年5月12日，四川汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救灾.某医院要从包括张医生在内的4名外科骨干医生中，随机地抽调2名医生参加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生的概率是（ ）
A 、
21 B 、31 C 、41 D 、6
1
10、如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A=90°，
AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点M 从点D
出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也
随之停止运动.则四边形AMND 的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数图象大致是（ ）
二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.
11、方程062=-x 的解为 . 12、分解因式：=-ay ax .
13、截止2008年5月28日12时，全国共接受国内外社会各界为地震灾区人民捐赠款物约为3480000万元.那么3480000万元用科学记数法表示为 万元. 14、在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .
15、如图，直线21l l 、被直线3l 所截，且1l ∥2l ，若∠1=60°，则∠2
的度数为 . 16、如图，在□ABCD 中，AB=5cm ，BC=4cm ，则□ABCD 的周长为 cm.
17、分式方程
1
21+=x x 的解为 . 18、光明中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名，某次数学考试的成绩统计如下：（每组分数喊最小值，不含最大值）
B C
M N
A D 10题图 14
28
56
y
O
t
28
56
y
O
t
28
56
y O
t 14
28
56
y O
t
A B C D 15题图
16题图
l
A
B C
D
O G
F
B
D
A
C
E
丙班数学成绩频数统计表
分数 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 人数
1
4
15
11
9
根据以上图、表提供的信息，则80～90分这一组人数最多的班是 . 19、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个.
20、如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，
折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.
下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG .其中正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 21、（每小题5分，共10分） （1）计算：)1()32(3)2
1(01
-+-+-+-
（2）解方程：0132
=++x x
22、（10分）作图题：（不要求写作法） 如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上） （1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形A 1B 1C 1D 1；
（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2.
19题图
20题图
23、（10分）先化简，再求值：324
44
)1225(
222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中
24、（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A 、
B ，点A 的坐标为（1，3），点B 的纵坐标为1，点
C 的坐标为（2，0）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC 的解析式.
25、将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、
4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差.
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢.你认为该游戏公平吗？请说明理由.如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平. 26、（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
26题图
四、解答题（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。

27（10分）
为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。

根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。

其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。

则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
28、（10分）已知：如图，抛物线)0(22
≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。

当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案
一、填空题 1．3；1
2．(1)a a -
；412
a -
3．1k >；1；2x =
4．6π 5
．
二、单项选择题 6．C 7．A 8．B 9．C 三、多项选择题 10．BD 11．BCD 12．ABD 四、解答题 13．（本题满分6分） 解：由（1）得5x <． ·············································································· （2分） 由（2）得3x ≥． ··················································································· （4分） ∴不等式组的解集为：35x <≤．······························································ （6分） 14．（本题满分7分） 证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD =Q ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠=o
， ·· （2分） DF DE ⊥Q ，90EDF ∴∠=o ． ·
······························································· （3分） ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．
12∴∠=∠． ·
················································（5分） 在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
，，
ADE CDF ∴△≌△． ·
············································································· （6分） DE DF ∴=． ·
······················································································· （7分） 15．（本题满分7分） 解：（1）平均数为87.5． ··········································································· （2分） 众数为90． ····························································································· （3分） 中位数为90． ·························································································· （4分） （2）小颖获得由学校免费护送到武汉观看奥运圣火的概率是：
51
5010
=． ··········· （7分） 16．（本题满分8分）
证明：连结OD ，则OD OB =，1B ∴∠=∠． ·············································· （1分）
AB AC =Q ，B C ∴∠=∠． ·
···································································· （2分） 1C ∴∠=∠．·························································································· （3分） OD AC ∴∥． ·
······················································································· （4分） ODE DEC ∴∠=∠． ·
············································································· （5分） DE AC ⊥Q ，90DEC ∴∠=o
． ·
······················（6分） 90ODE ∴∠=o ，即DE OD ⊥． ·······················（7分）
A
E B
C
F D 1
2
3
C
DE ∴是O e 的切线． ·
·····································（8分） 17．（本题满分8分）
解：如图，连接AC ．作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ．由垂径定理可知：MN 为圆的直径，N 点即为圆弧形所在的圆与地面的切点． 取MN 的中点O ，则O 为圆心．
连接OA OC ，． ·
············································（3分） 又AB BD ⊥，CD BD ⊥．
AB CD ∴∥，又AB CD =Q ，
∴四边形ABDC 为矩形，
200cm AC BD ∴==，20cm GN AB CD ===．
1
100cm 2
AG GC AC ∴==
=．设O e 的半径为R ． 由勾股定理，得2
2
2
OA OG AG =+． ·························································· （5分） 即2
2
2
(20)100R R =-+． ········································································· （6分） 解得260cm R =．2520cm MN R ∴==． ··················································· （7分） 答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520cm ． ······································· （8分） 只要步骤合理，答案正确，可酌情给分． 18．（本题满分8分）
解：楼房全部售完总销售额为：
300080024226008001832100750163⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯． ·
······················· （2分） 成本总价为：
4800800242700800183600750163(801009900)10⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯ （4分）
总赢利=总销售额－成本总价 ······································································· （5分）
(300080024226008001832100750163)=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
4(800800242700800183600750163)(801009900)10-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯+⨯ 344810(1760919107515)1790010=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯
34481045951790010=⨯⨯-⨯ 4422056101790010=⨯-⨯
4156=（万元）
（或41560000元）． ···························································· （7分） 答：房地产开发商的赢利预计是4156万元． ·················································· （8分） 说明：列式正确的可给4分，计算正确的可给4分． 19．（本题满分8分） 解：（1）220(112)y x x =+≤≤． ···························································· （3分） （2）当15x ≤≤时，(1200800)(220)8008000W x x =-⨯+=+． ··············· （4分）
A C B
D
O G M
N
此时W 随x 的增大而增大，∴当5x =时，12000W =最大值． ··························· （5分） 当512x <≤时，[]120080020(22030)(220)W x x =--⨯+-⨯+
280(5150)x x =---
2
580125002x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭． ·
········································································ （6分） 此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W 随x 的增大而减小，
∴当6x =时，11520W =最大值． ································································ （7分）
1200011520>Q ，∴当5x =时，W 最大，且最大值12000=．
综上所述，2
8008000(15)58012500(512).
2x x W x x +⎧⎪=⎨⎛
⎫--+< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤≤，
≤ ∴该车间捐献给灾区12000元． ·································································· （8分）
20．（本题满分14分）
解：（1）设直线BC 的解析式为y kx b =+．依题意得：
40108.
k b k b =+⎧⎨
=+⎩g
， ··························································································· （2分） 解得344
k b ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为344y x =+． ·
······································· （4分） （2）如图，过点D 作DE OA ⊥于E ．则易知DE 为梯形OABC 的中位线．
4OC =Q ，10AB =，1
(104)72DE ∴=⨯+=．
又8OA =Q ，
1
(410)8562
OABC S ∴=⨯+⨯=梯形． ·
························· （6分）
如图，P 点在OA 上，且四边形OPDC 的面积为2
56167
⨯
=时， 11
44822
COD S CO OE ==⨯⨯=Q g △，1688PCD S ∴=-=△．
182OP DE ∴=g g ．即1
782t =g g ·
······························· （7分） 16
7
t ∴=． ··························································· （8分） （3）7
(08)(9)2442(818)(10)8184(1823).(11)
5
5t t S t t t t ⎧<<⎪⎪
=-<⎨⎪⎪-+<⎩分分分，
…………………………………≤，…………………………≤……………………
（4）在OA 上不能找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形．
理由如下： ···························································································· （12分）
如图，过C 作CM AB ⊥于M ，则易知8CM OA ==， 4AM OC ==．6BM ∴=．
在Rt BCM △
中，10BC ==．
1
52
CD BD BC ∴==
=． 假设四边形CQPD 为矩形，则5PQ CD ==，且PQ CD ∥．
1B ∴∠=∠．又90BDP PAQ ∠=∠=o Q ，
Rt Rt PAQ BDP ∴△∽△．
PB PQ
BD PA
∴
=
． ······················································································ （13分） 设BP x =，则10PA x =-．5510x x
∴=-，化简得2
10250x x -+=，
解得5x =．即5PB =．
PB BD ∴=．∴这与PBD △是直角三角形相矛盾，∴假设不成立．
∴在OA 上不存在点Q ，使四边形CQPD 为矩形． ······································· （14分）。