数值数据的表示方法

2.1 数值数据的表示方法

2.1.1 数据格式

计算机中数据的小数点并不是用某个二进制数字来表示的，而是用隐含的小数点的位置来表示。根据小数点的位置是否固定，将计算机中的数据表示格式分为两种，即定点格式和浮点格式。一般来说，定点格式所表示的数的范围有限，但运算复杂度和相应的处理硬件都比较简单，而浮点格式所表示的数的范围很大，但运算复杂度和相应的处理硬件都比较复杂。

1. 定点数的表示方法

定点格式----是指在数据表示时，约定机器中所有数据的小数点的位置是固定不变的。

我们把用定点格式表示的数称为定点数。在计算机中，通常将定点数表示成纯小数或纯整数。

对于任意一个n+1位的定点数x，在定点机中可表示成如下格式：

如果数x表示的是纯小数，那么小数点在x0和x1之间，即数符和尾数之间。如果数x表示的是纯整数，那么小数点在x n后面，即数据的最后。定点纯小数和定点纯整数的表示范围与数的机器码表示有关，在后面介绍各种数的机器码表示时，再详细讨论。

2. 浮点数的表示方法

浮点格式----是指在数据表示时，将浮点数的范围和精度分别表示，相当于小数点的位置随比例因子的不同而在一定的范围内可自由浮动。我们把用浮点格式表示的数称为浮点数。

对于一个任意进制数N，均可表示成N=M×R E。

（1）浮点数的表示格式

在早期的计算机中，一个浮点数在机器中的表示格式，通常由阶码和尾数两部分组成。其中阶码又包括阶符和阶码值两部分，尾数又包括数符和尾数值两部分，如下图所示：

后来为便于软件移植，IEEE754规定了浮点数表示标准，这包括定义了单精度（32位）和双精度（64位）两种常规格式，以及两种扩展格式。32位和64位浮点数标准格式为：

（2）浮点数的规格化

规格化浮点数定义如下：

若尾数用双符号位原码表示时，则规格化正数的尾数形式为00.1××…××，规格化负数的尾数形式为11.1××…××；

若尾数用双符号位补码表示时，则规格化正数的尾数形式为00.1××…××，规格化负数的尾数形式为11.0××…××。

对于非规格化的浮点数，要进行尾数的规格化处理，尾数每向左移动1位，阶码减1；当尾数溢出时，要进行尾数右移的规格化处理，尾数向右移动1位，阶码加1。

在IEEE754标准中，尾数用原码表示，尾数的符号即浮点数的符号，由S来表示。因为规格化浮点数尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。

在IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为：

E

S2

127

⨯

⨯

-

=

x-

1)

(1.M)

(

指数e=E-127或E=e+127

在IEEE754标准中，一个规格化的64位浮点数x的真值可表示为：S2

1023

E

⨯

⨯

-

=

(

(1.M)

1)

x-

指数e=E-1023或E=e+1023

[例2.1] 若浮点数x的IEEE754标准的32位存储格式为(C2540000)16，求其浮点数的十进制数值。

解：首先将十六进制数转换成二进制数，然后根据IEEE754标准中32位浮点数的表示格式，将二进制数分成S、E和M三部分。

即S=1，E=10000100=(132)10，M=10101000000000000000000

包括隐藏位的尾数1.M=1.10101000000000000000000=1.10101

根据IEEE754标准中的32位浮点数真值与存储格式之间的转换公式 127

E S 2(1.M)1)(x -⨯⨯-=

有： 127

13212(1.10101)1)(x -⨯⨯-=

5

2(1.10101)⨯-= 110101-=

10

53)(-=

[例2.2] 将数(35.875)10转换成IEEE754标准的32位浮点数的二进制存储格式。

解：首先将十进制数35.875转换成二进制数：

(35.875)10=(100011.111)2

然后将二进制数表示成浮点数形式，并使其尾数为1.M 的形式。 521.00011111100011.111⨯=

根据IEEE754标准中的32位浮点数真值与存储格式之间的转换公式 127

E S 2(1.M)1)(x -⨯⨯-= 有：

S=0，E=(5)10+(127)10=(132)10=(10000100)2，M=00011111000000000000000

最后得到该32位浮点数的二进制存储格式为：

0100 0010 0000 1111 1000 0000 0000 0000=(420F8000)16

3. 十进制数串的表示方法

大多数通用性较强的计算机都能直接处理十进制形式表示的数据。十进制数串在计算机内主要有两种表示形式：

（1）字符串形式

在字符串表示形式中，一个字节存放一个十进制的数位或符号。

（2）压缩的十进制数串形式

在压缩的十进制数串表示形式中，一个字节存放两个十进制的数位。