证明圆的切线经典例题 (1)

证明圆的切线方法及例题

证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.

求证：EF 与⊙O 相切.

证明：连结OE ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC.

又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.

∴BD=DE ，∠1=∠2.

又∵OB=OE ，OF=OF ，

∴△BOF ≌△EOF （SAS ）.∴∠OBF=∠OEF.

∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA 与⊙O 相切.

证明一：作直径AE ，连结EC.

∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB ，∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E ，∴∠1=∠E

∵AE 是⊙O 的直径，

∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切.

证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.

∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE ，

∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE ，∴∠E=∠1.

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M

求证：DM 与⊙O 相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC ， ∴∠B=∠C.

∵OB=OD ∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.∴OD ∥AC. ∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切

证明二：连结OD ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.

又∵AB=AC,∴∠1=∠2.

∵DM ⊥AC ，∴∠2+∠4=900

∵OA=OD ，∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900.即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例 4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是⊙O 的切线

证明：连结OC 、BC.

∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB ，

∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC. D C

D

∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.

求证：PC 是⊙O 的切线.

证明：连结OC

∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.

∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.

求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.

证明：取FG 中点O ，连结OC.

∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △

∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心.

∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.

∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE ⊥OC. ∴CE 与△CFG 的外接圆相切

二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.

求证：AC 与⊙D 相切.

证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.∵AB 是⊙D 的切线，∴DE ⊥AB.

∵DF ⊥AC ，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC ，∴∠B=∠C.又∵BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ） ∴DF=DE.∴F 在⊙D 上. ∴AC 是⊙D 的切线