九年级上册数学 圆 几何综合易错题(Word版 含答案)

九年级上册数学圆几何综合易错题（Word版含答案）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（?4，0）处．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）

1

3

2

y x

=-+（2）d=5t （3）故当 t=

8

5

，或8

15

，时，QR=EF，N（-

6，6）或（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-

a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；

（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;

试题解析：

（1）∵C（0，8），D（-4，0），

∴OC=8，OD=4，

设OB=a，则BC=8-a，

由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

则（8-a）2=a2+42，

解得：a=3，

则

B （0，3）， tan ∠ODB=

3

4

OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=3

4

OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），

设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，

则60{3

k b b +== ，解得：1

{23

k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-1

2

x +3； （2）如图所示：

在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则2

2

135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠=

= ，255OA

cos BAO AB

∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=?=，

则AQ=

10cos AP

t BAO =∠ ,

∵PR ∥AC ，

∴∠APR=∠CAB ，

由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ， ∴QR=

1

2

AQ=5t,

（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，

∴四边形NTOS 是正方形，

则TQ=TR=

1522QR t = ， ∴111515

1022224

NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）

（） ， 分两种情况，

若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），

点N 在直线1

32

y x =-+ 上， 则1

32

n n -=-

+ ， 解得：n=-6，

故N （-6，6），NT=6，

即

15

64

t = ， 解得：8

5

t = ;

若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：1

32

n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，

即15

24

t =, 解得：t=8

15

∴当 t =

85，或8

15

，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。 点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、

等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

2．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形．

（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）513

π- 【解析】

试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；

（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案. 试题解析：（1）

AE =EC ，BE =ED

∴ABCD 四边形为平行四边形 ∵90AB AEB ∠∴=?是直径 ∴ABCD 平行四边形是菱形

（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q

CF 切O 于点F

∴90OFC ∠=? ∵ABCD 四边形是菱形，

∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===? ∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形

ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=

∵11

,3022

OF AB DP AD DAB ∠=

∴=∴=?

∴ABCD 四边形是菱形

∴1

152

CAB DAB ∠=∠=? ∴180215150AOE ∠=?-??=? ∴3090EOB EQO ∠∠=?=?

∴1

12

EQ OE =

= 21502360

S 阴影

π?∴=

-1

521123π??=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

3．如图，点A 在直线l 上，点Q 沿着直线l 以3厘米/秒的速度由点A 向右运动，以AQ 为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=

3

4

，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=

1

3

CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．

（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；

（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为3

5

或3． 【解析】

试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2

DF=

t 3

； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2

2211

·t 13326

S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=

12

时，矩形DEGF 的最大面积为

16

； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=

-=或,解得3

35

t t ==或.

4．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，则△ABC 和△ABD 是“同族三角形”．

（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同族三角形；

（2）如图3，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同族三角形，AD ＞CD ，求

AD

CD

的值． 【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）AD CD 62

+62

【解析】 【分析】

(1）由点C 是弧BD 的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD ，∠BAC=∠DAC ，又由公共边AC ，可证得：△ABC 和△ACD 是同族三角形；

(2）首先连接0A ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，易得△AOB 是等腰直角三角形，继而求得答案；

(3)分别从当CD=CB 时与当CD=AB 时进行分析求解即可求得答案． 【详解】

（1）证明：∵点C 是弧BD 的中点，即BC CD =， ∴BC=CD ，∠BAC=∠DAC ， ∵AC=AC ，

∴△ABC 和△ACD 是同族三角形.

（2）解：如图1，连接OA ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，

∵OA=OB=32，AB=6， ∴OA 2+OB 2=AB 2，

∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB=90°， ∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°， ∴BE=AB=3， ∴AE=

22AB BE -=33，

∵CE=BE=3， ∴AC=AE+CE=33+3.

（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，

如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=75°，

∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴

AD 333CD 32

+=

=62

2+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，

则∠DAC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°， ∴DF=CD?sin60°=6×

3

2

3

∴AD=2DF=36， ∴

AD 36CD =

=6． 综上所述：AD CD =62+或6

. 【点睛】

本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.

5．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

【答案】（1）见解析；（2）3233

22

32【解析】 【分析】

（1）由DF=2OD ，得到OF=3OD=3OC ，求得

1

3

OE OC OC OF ==，推出△COE ∽△FOE ，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线；

（2）利用三角函数值，设OE=x ，OC=3x ，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案； （3）连接BD ，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF ∽△BDM ，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积. 【详解】

解：（1） ∵DF ＝2OD ， ∴OF ＝3OD ＝3OC ，

∴

1

3OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ， ∴△COE ∽△FOE ，

∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°， ∴CF 是⊙O 的切线； （2）∵∠COD ＝∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝1

3

OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ， ∵BC ＝8， ∴CE ＝4， ∵CE ⊥AD ， ∴OE 2+CE 2＝OC 2， ∴x 2+42＝9x 2，

∴x ＝2（负值已舍去）， ∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32； （3）如图，连结BD ，

由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，

∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点， ∴AO ：OF=BD ：DM=2， 又∵BD=DC ， ∴DM=CM ， ∴FM 为中位线，

∴FM=

3

22

， ∴S △AOF : S △BDM =(32:26)2 34

=； ∵11111

8(322)4222222BDM BCD S S BC DE ??=

=??=???-=； ∴S △AOF =3

424

?=32； 【点睛】

本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.

6．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延

长交

O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且

2180APB PEB ∠+∠=?．

（1）如图1，求证：//PF AD ；

（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，

4

sin 5

ABD ∠=

，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257

【解析】 【分析】

（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是

360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到

2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得

PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得

APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由

45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在

Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对

角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA =

=.延长EO

交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得

257

PH =

. 【详解】 （1）连接OA 、OB

∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=?，

∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?， ∵AB AB =， ∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=?， ∵2180P PEB ∠+∠=?， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K

∵90APB ∠=?，

∴21809090PEB ∠=?-?=?， ∴45PEB ∠=?，

∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，

∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?，

∴PE PK = ，

∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠， ∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ??≌， ∴45K AEP ∠=∠=?， ∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM

∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ??≌， ∴1

452

AEO OED AED ∠=∠=∠=?， ∴90OEP ∠=?， ∵AM 为圆O 的直径， ∴90ADM ∠=?， ∵弧AD =弧AD ， ∴ABD AMD ∠=∠，

在Rt ADM ?中，8AD =，4

sin 5

AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，

由题易证四边形OAPB 为正方形， ∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =， ∵H 在AB 上， ∴OH PH =， 在Rt OAP ?中，252OP OA ==

延长EO 交AD 于K ，

∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠， ∴4DK KE ==，3OK =，1OE =

∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-= 在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+ ∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=- ∴()2

2217PH PH =+-

∴257

PH =

． 【点睛】

本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．

7．已知AB 是

O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且

CD CB =．

（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =； （2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；

（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ?是等腰三角形，且

O 的半径长等于

2，求弦BC 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）3

3

（351和22【解析】 【分析】

（1）由题意利用弦心距即可求证结果，

（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，

（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可． 【详解】

（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，

∴OP=OQ，

∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，

∴AB= BC；

（2）∵OA=OB，

∴∠A=∠OBD，

∵CD=CB，

∴∠CDB =∠CBD，

∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，

∴∠AOD =∠CBO，

∵OC=OB，

∴∠C =∠CBO，

∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，

∵AO⊥OB，

∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，

∴∠AOD=30°，

过点D作DH⊥AO，垂足为点H，

∴∠AHD=∠DHO=90°，

∴tan∠AOD =HD

OH

3

∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，

∴

D

A OB

H AH

O

=，

∵OA=OB，∴HD=AH，∵HD‖OB，

∴

3

AH HD

OH O

AH

DB H

===；

（3）∵∠C=∠CBO，

∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO，

∴OE≠OB；

若OB = EB =2时，

∵∠C=∠C，∠COE =∠AOD =∠CBO，∴△COE~△CBO，

∴CO CE BC CO

=，

∴

22

2

BC

BC

=

-

，

∴2

BC-2BC -4=0，

∴BC =5

- +1 (舍去)或BC =5+1，

∴BC =5+1；

若OE = EB时，

∵∠EOB =∠CBO，

∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，

∴∠OEB=90°，

∴cos∠CBO=

2 EB

OB

=，

∵OB=2，

∴EB =2，

∵OE过圆心，OE⊥BC，

∴BC =2EB =22．

【点睛】

此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；

（3）若tan∠P＝

5

12

，试求

AH

AG

的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

13

10 AH

AG

=．

【解析】

【分析】

（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则

∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；

（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；

（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝

5

12

OF

DF

=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得

出

2

3

AE

BE

=，证明△PEA∽△PBE，得出2

3

PA

PE

=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝

∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：如图1，连接OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠B＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠B+∠AEO＝90°，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEA+∠AEO＝90°，

∴∠PEO＝90°，

又∵OE为半径，

∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OD，

∵D为AC的中点，

∴OD⊥AC，设垂足为M，

∴∠AMO＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠AFD＝90°，

∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，

∵∠AEB＝∠EFB＝90°，

∴∠B＝∠AEF，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEF＝2∠B，

∵DE⊥AB，

∴AE AD

=，

∴∠AOD＝2∠B，

∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，

∴HE＝HG；

（3）解：如图3，

∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，

∴∠P＝∠ODF，

∴tan∠P＝tan∠ODF＝

5

12 OF

DF

=，

设OF＝5x，则DF＝12x，

∴OD22

OF DF

+13x，

∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，

∴EF＝DF＝12x，

∴AE＝22

AF EF

+＝413x，BE＝22

EF BF

+＝613x，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，

∴△PEA∽△PBE，

∴

4132

3

613

PA AE

PE BE

===，

∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，

∴∠P＝∠FAG，

又∵∠FAG＝∠PAH，

∴∠P＝∠PAH，

∴PH＝AH，

过点H作HK⊥PA于点K，

∴PK＝AK，

∴

1

3 PK

PE

=，

∵tan∠P＝

5 12

，

设HK＝5a，PK＝12a，

∴PH＝13a，

∴AH＝13a，PE＝36a，

∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，

∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，

∴

1313

1010 AH a

AG a

==．

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．

9．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=4

5

，点E是BC边上的动点，以C为

圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．

（1）求AC的长；

（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；

（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．

【答案】（1）AC=5；（2）

410

5

EF=；（3）03

CE

≤<或58

CE

<≤．

【解析】【分析】

（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos

4

5

B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出

AC的长度；

（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；

（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．

【详解】

解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：

在Rt△ABG中，AB=5，

4 cos

5

BG

B

AB

==，

∴BG=4，

∴AG=3，

∴844

CG=-=，

∴点G是BC的中点，

在Rt△ACG中，22

345

AC=+=；

（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：

∴CE=CF=4，

∵AB=AC=5，

∴∠B=∠ACB，

∴4

cos cos 5

CH B ACB CF =∠==， ∴CH=3.2，

在Rt △CFH 中，由勾股定理，得 FH=2.4， ∴EH=0.8，

在Rt △EFH 中，由勾股定理，得

22410

0.8 2.45

EF =+=

； （3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况： ①当圆C 与AD 相离时，则CE

∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<； ②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，

∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；

综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤． 【点睛】

本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．

10．在

O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD

（1）如图1，求证：CD AB ⊥;

（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;

（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点