八年级因式分解专题(内部资料)
(完整word版)初二数学因式分解精选100题
提高讲堂托辅中心初二数学因式分解优选100 题2013年 1月 25日一、选择题1.以下各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A ( a+3)( a- 3)=a2- 9B x2+x- 5=( x- 2)(x+3)+1C a2b+ab2=ab(a+b)1 (D) x2+1= x(x+)x2.以下各式的因式分解中正确的选项是（）A - a2+ab- ac= - a(a+b- c)B 9 xyz- 6x2y2=3xyz(3- 2xy)C 3a2x- 6bx+3x=3 x(a2- 2b) D1xy2+1x2y=1xy(x+y)2223.把多项式 m2(a- 2)+m(2- a)分解因式等于（）(A)( a- 2)(m2+m)(B)( a- 2)(m2- m)(C) m(a- 2)(m- 1)(D) m(a- 2)(m+1)4.以下多项式能分解因式的是（）(A) x2- y(B)x2+1(C) x2+y+y2(D) x2 - 4x+45.以下多项式中，不可以用完整平方公式分解因式的是（）(A) m1m 2(B)x 22xy y 2(C) a214ab49b 2(D)n22n 14936.多项式4x2+1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完整平方，则加上的单项式不可以够是（）(A)4 x(B) - 4x(C)4x4(D) - 4x47.以下分解因式错误的选项是（）(A)15 a2+5a=5a(3a+1) (B) - x2- y2= - (x2- y2)= - (x+y)(x- y)(C) k(x+y)+x+y=( k+1)( x+y )(D) a3- 2a2+a=a(a- 1)28.以下多项式中不可以用平方差公式分解的是（）(A) - a2+b2(B) - x2- y2(C)49 x2y2- z2(D)16 m4 - 25n2p29.以下多项式：①16x5- x；② (x- 1)2- 4(x- 1)+4 ；③ (x+1)4- 4x(x+1)+4 x2；④ - 4x2- 1+4x，分解因式后，结果含有同样因式的是（） (A) ①②(B) ②④(C) ③④(D)②③10.两个连续的奇数的平方差总能够被k 整除，则 k 等于（）(A)4(B)8(C)4 或- 4(D)8 的倍数11 以下各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A a(a＋b－ 1)=a2＋ ab－ aB a2–a－ 2=a(a－ 1) －2C－4 a2＋ 9b2=(－ 2a＋ 3b)(2a＋ 3b) D ．2x＋ 1=x(2 ＋ 1/x)12 以下各式分解因是正确的选项是（）A ．x2y＋ 7xy＋ y=y(x 2＋ 7x)B ． 3 a2b＋ 3ab＋ 6b=3b(a2＋a＋ 2)C． 6xyz －8xy 2=2xyz(3 － 4y) D ．－ 4x＋ 2y－ 6z=2(2x ＋y－ 3z)13 以下多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A ． x2－ yB ． x2＋ 2x C． x2＋ y2D． x2－ xy ＋ y214 2(a－ b)3－ (b－ a)2分解因式的正确结果是（）A ． (a－ b)2(2a－ 2b＋ 1)B． 2(a－ b)(a－ b－1)C． (b－ a)2(2a－ 2b－ 1)D． (a－ b)2(2a－ b－ 1)15 以下多项式分解因式正确的选项是（）A ． 1＋ 4a－4a2=(1 － 2a)2B．4－ 4a＋ a2=(a－ 2)2C． 1＋ 4x2=(1＋ 2x)2D． x2＋ xy＋ y2=(x ＋ y)216 运用公式法计算 992，应当是（）1Ａ．①和②Ｂ．③和④ Ｃ．①和④Ｄ．②和③18 不论 x 、 y 取何值， x 2＋y 2－ 2x ＋ 12y ＋ 40 的值都是（ ）Ａ．正数 Ｂ．负数 Ｃ．零Ｄ．非负数19 以下正确的选项是（）Ａ． x 2＋ y 2=(x ＋y)(x － y)Ｂ． x 2－ y 2 =(x ＋ y)(x － y)Ｃ．－ x 2＋ y 2=( － x ＋ y)( － x － y)Ｄ．－ x 2 －y 2=－ (x ＋y)(x － y)二、填空题20. 分解因式： m 3- 4m=.21. 已知 x+y=6， xy=4，则 x 2y+xy 2的值为.22. 将 x n - y n 分解因式的结果为 (x 2+y 2)(x+y)(x- y)，则 n 的值为.23. 若 ax 2+24x+b=(mx- 3) 2，则 a= ， b= ， m= .24. 依据图形面积关系，不连其余线，便能够获得一个分解因式的公式是.25 多项式－ 9x 2 y ＋36xy 2－ 3xy 提公因式后的另一个因式是___________；26 把多项式－ x 4＋16 分解因式的结果是 _____________；27 已知 xy=5,a －b=3,a ＋b=4, 则 xya 2－ yxb 2 的值为 _______________ ；28 若 x 2＋ 2mx ＋ 16是完整平方式，则 m=______;(第24题图)29２＋4x － 4=;分解因式：－ x30＋ 3mn ＋ 9n 2=(＋3n)2；31 若 x ＋ y=1 则 1/2x 2＋ xy ＋ 1/2y 2=;三、因式分解32.－24x 3－ 12x 2＋ 28x33.6(m － n)3－ 12(n － m)234.3(a － b)2＋ 6(b － a)35. 18(a ＋ b)3－ 12b(b － a)236. (2a ＋ b)(2a － 3b)－ 3a(2a ＋b)37.(x 2＋ 6x)2－ (2x － 4)238. 9(m ＋ n)2－ (m － n)239. (2x ＋ 3y)2－ 140. 9(a － b)2－ 16(a ＋b) 241. (x ＋ y)2－16(x － y)242.－16x 4＋ 81y 4 43. 3ax 2－ 3ay 244.2x 3－ 8x45. 7x 2－ 6346. (a 2＋b 2)2－ 4a 2b 247.(m＋ n)2－ 6(m＋ n)＋ 9 50.－ x2－ 4y2＋ 4xy53. (a2＋ 4)2－ 16a257.56x3yz+14x 2y2z－ 21xy 2z2 60.4xy– ( x2- 4y2)63.5( x y)310( y x) 248. (3)(a－ b)2－ 2(a－ b)＋ 1;49. 4xy 2－ 4x2y－ y351.(x y) 210( x y) 25 ；52.16a 472 a2 b281b4；54. - 4x3+16x2 - 26x56.1a2(x- 2a)2-1a(2a- x)32458. mn(m － n)－ m(n－ m)1159. -(2a- b)2+4( a - b)24261. - 3ma3+6ma2- 12ma62.a2(x- y)+ b2(y- x)64.18b(a b) 212(a b)365.–2x2n-4x n66. 2a( x a) 4b(a x) 6c( x a) 67.m 416n 468.9(m n) 216(m n) 2；169.ax2y2+2axy+2a70.(x2- 6x)2+18(x2 - 6x)+8171. ( x1)( x 2)( x 3)( x 4) 24272．9x 2 －y 2－4y － 473.x 24xy 1 4 y 2 74.x 4 18x 2 8175. ax 2 bx 2 bx ax b a 76. x 5 x 3 x 2 177.(m n) 3 (m n)2 (n m)78. (a 2 2a)22(a 2 2a) 3 79.(c 2 a 2 b 2 )2 4a 2b 2四．特别的因式分解 80. 1a3m n1a m nb 2n ( m n,且均为自然数 )27 381. x 3n 1 y n 1 2x 2 n 1 y 2n 1 x n 1 y 3n 1五 .用简易方法计算：82. 57.6× 1.6+28.8× 36.8- 14.4× 8083. 13.71719.8 172.5173131 3184. 39× 37- 13× 3485 (112 )(113 )(112 )(112 )2 39 10六 .解答题86 若x m n22)( x24)，求，的值y= (x y)( x y y m n87 已知1x x2x2004x 20050, 求 x2006的值88 若x y 4, x2y 2 6 求xy的值89 已知2 x y 1， xy 2 ，求 2 x4 y3x3 y 4的值。
八年级数学因式分解专题
八年级数学因式分解专题一、提公因式法1. 分解因式：6x^2 3x解析：公因式为3x，原式= 3x(2x 1)2. 分解因式：8a^3b^2 + 12ab^3c解析：公因式为4ab^2，原式= 4ab^2(2a^2 + 3bc)3. 分解因式：3(x y)^2 6(y x)解析：将(y x)变形为-(x y)，公因式为3(x y)，原式= 3(x y)(x y + 2)二、公式法4. 分解因式：x^2 4解析：使用平方差公式 a² b² = (a + b)(a b)，原式=(x + 2)(x 2) 5. 分解因式：9 y^2解析：原式=(3 + y)(3 y)6. 分解因式：4x^2 12x + 9解析：使用完全平方公式 (a b)² = a² 2ab + b²，原式=(2x 3)^2 三、分组分解法解析：原式=(am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) 8. 分解因式：x^2 y^2 + ax + ay解析：原式=(x + y)(x y) + a(x + y) = (x + y)(x y + a)9. 分解因式：2ax 10ay + 5by bx解析：原式=(2ax bx) + (-10ay + 5by) = x(2a b) 5y(2a b) = (2a b)(x 5y)四、十字相乘法10. 分解因式：x^2 + 3x + 2解析：1×2 = 2，1 + 2 = 3，原式=(x + 1)(x + 2)11. 分解因式：x^2 5x + 6解析：(-2)×(-3) = 6，-2 + (-3) = -5，原式=(x 2)(x 3)12. 分解因式：2x^2 5x 3解析：2×(-1) = -2，2×3 = 6，6 + (-1) = 5，原式=(2x + 1)(x 3)五、综合运用13. 分解因式：3x^3 12x^2 + 12x解析：公因式为3x，原式= 3x(x^2 4x + 4) = 3x(x 2)^2解析：将4(x + y 1)变形为4[(x + y) 1]，原式=(x + y)^2 4(x + y) + 4 = (x + y 2)^215. 分解因式：(a^2 + 1)^2 4a^2解析：使用平方差公式，原式=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 2a) = (a + 1)^2(a 1)^216. 分解因式：x^4 18x^2 + 81解析：原式=(x^2 9)^2 = [(x + 3)(x 3)]^2 = (x + 3)^2(x 3)^217. 分解因式：a^4 2a^2b^2 + b^4解析：原式=(a^2 b^2)^2 = [(a + b)(a b)]^2 = (a + b)^2(a b)^218. 分解因式：(x^2 + 4)^2 16x^2解析：使用平方差公式，原式=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 4x) = (x + 2)^2(x 2)^219. 分解因式：x^2 4xy + 4y^2 9解析：前三项使用完全平方公式，原式=(x 2y)^2 9 = (x 2y + 3)(x 2y 3)20. 分解因式：4x^2 4xy + y^2 z^2解析：前三项使用完全平方公式，原式=(2x y)^2 z^2 = (2x y + z)(2x y z)。
八年级上册因式分解100题及答案
八年级上册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)(21)(43)(21)(61)(21)(73)+-+++-++--m n m n m n(2)23323+-686x y x z x y(3)(51)(41)(52)(51)+-++-+x x x x(4)24+b abc217(5)(65)(83)(65)(42)+-++-a b a b(6)(75)(34)(63)(75)+-+++m n n m(7)32-a x ax y2515(8)(94)(21)(94)(33)+--+++x x x x(9)(2)(94)(2)(93)x y x y ++++-(10)34233151525xy x z xy z --(11)323342184527x y z x y z x yz --(12)(43)(43)(43)(74)m x m x +--++(13)(81)(92)(81)(81)x y x y +-++++(14)221220xy x +(15)(31)(3)(54)(31)a b b a ------(16)(34)(65)(34)(75)m x m x --++-+(17)423721a x ax y-(18)42+xy z4518(19)(21)(1)(94)(21)+-+-++m n n m (20)342224+-x y x y z xy404016二、公式法(21)2x-2564(22)22-m n784784(23)2-+x x7291512784(24)22++m mn n121286169(25)2x-6254(26)216920864x x ++(27)2576841x -(28)2278428025x xy y ++(29)224841188729a ab b ++(30)264144x -三、分组分解法(31)22277330x z xy yz zx+-+-(32)72649080ax ay bx by+++(33)221220810a c ab bc ca-++-(34)22x z xy yz zx-+++48316610 (35)56483530-+-+xy x y(36)20100420xy x y--++(37)410820+++ab a b(38)22-+--x y xy yz zx92744 (39)22--+-4542193630a b ab bc ca(40)2149614--+xy x y(41)73146-+-ab a b(42)22++++54491054236a b ab bc ca(43)222141926a b ab bc ca++++(44)224533576a c ab bc ca----(45)22375510a c ab bc ca+--+(46)525840ax ay bx by--+(47)227522028x y xy yz zx--++(48)2292744a b ab bc ca-+--(49)224510431527x y xy yz zx+--+(50)261442ax ay bx by--+四、拆添项(51)4224496281a a b b ++(52)22364960569a b a b --++(53)42243614849m m n n -+(54)42246414425x x y y -+(55)422442149x x y y -+(56)22362243m n m n -+--(57)224925615a b a b ----(58)2281491621480m n m n --++(59)224916565633a b a b -++-(60)4224x x y y++9525五、十字相乘法(61)22-++-x xy y x y4073303542 (62)222++-+-x y z xy yz xz40208572636 (63)22m mn n m n++++-14311526174 (64)222++-+-a b c ab bc ac30282591516 (65)222x y z xy yz xz+-+++42124461317 (66)22m mn n m n+++--145728251525 (67)22++++182931421x xy y x y(68)222x y z xy yz xz--+++821624522 (69)22--++251015159m mn n m n (70)228213836+-+-x xy x y(71)22+---+151********x xy y x y (72)222+-+++21128331022a b c ab bc ac(73)222--++-x y z xy yz xz46652023(74)222a b c ab bc ac+--++46225112 (75)222x y z xy yz xz--+-+ 211224364410 (76)222+++++20725334045x y z xy yz xz(77)23442-+--x xy x y(78)2++++a ab a b56782530 (79)22-+-++m mn n m n5127364836 (80)22---++x xy y x y43925六、双十字相乘法(81)2-++-a ab a b2432212 (82)22m mn n m n+--+-35271855130 (83)22x xy y x y-++-+ 12144402525 (84)22-----72525225024x xy y x y(85)2229712622533x y z xy yz xz-----(86)218366547x xy x y ++++(87)22248152544x y z xy yz xz+--+-(88)222124152163x y z xy yz xz---+-(89)22224430351433x y z xy yz xz+----(90)2220114462024m mn n m n +---+七、因式定理(91)32694x x x +--(92)32314163x x x +++(93)325243112x x x -+-(94)322361x x x +-+(95)3223318x x x ---(96)32635489x x x -++(97)323768x x x -+-(98)3210176x x x +-+(99)32322x x x --+(100)324151415x x x -+-八年级上册因式分解100题答案一、提取公因式(1)(21)(51)m n +--(2)2332(343)x y xz y +-(3)(51)(1)x x +-(4)47(3)b b ac +(5)(65)(125)a b +-(6)(75)(91)m n +-(7)25(53)ax a xy -(8)(94)(2)x x ++(9)(2)(181)x y ++(10)332335(335)x y x z y z --(11)329(253)x yz y y xz --(12)(43)(37)m x -++(13)(81)(3)x y -+-(14)24(35)x y x +(15)(31)(61)a b ---(16)(34)(10)m x -+(17)237(3)ax a xy -(18)429(52)xy z +(19)(21)(103)m n -++(20)222228(552)xy x y xz y +-二、公式法(21)(58)(58)x x +-(22)(2828)(2828)m n m n +-(23)2(2728)x -(24)2(1113)m n +(25)(252)(252)x x +-(26)2(138)x +(27)(2429)(2429)x x +-(28)2(285)x y +(29)2(2227)a b +(30)(812)(812)x x +-三、分组分解法(31)(97)(3)x y z x z ---(32)2(45)(98)a b x y ++(33)(45)(324)a c a b c ++-(34)(62)(83)x y z x z +-+(35)(85)(76)x y -+-(36)4(51)(5)x y --+(37)2(2)(25)a b ++(38)(924)()x y z x y --+(39)(976)(56)a b c a b+--(40)(72)(37)x y--(41)(2)(73)a b+-(42)(67)(976)a b a b c+++(43)(3)(742)a b a b c+++(44)(5)(973)a c ab c+--(45)()(357)a c ab c+-+(46)(58)(5)a b x y--(47)(4)(75)x y z x y-++(48)(924)()a b c a b--+(49)(523)(95)x y z x y-+-(50)2(7)(3)a b x y--四、拆添项(51)2222(789)(789)a ab b a ab b++-+(52)(679)(671)a b a b+---(53)2222(687)(687)m mn n m mn n+---(54)2222(885)(885)x xy y x xy y+---(55)2222(277)(277)x xy y x xy y++-+ (56)(63)(61)m n m n++--(57)(73)(75)a b a b++--(58)(9710)(978)m n m n+---(59)(743)(7411)a b a b+--+(60)2222(355)(355)x xy y x xy y++-+五、十字相乘法(61)(56)(857)x y x y--+(62)(542)(854)x y z x y z----(63)(234)(751)m n m n+++-(64)(672)(54)a b c a b c----(65)(64)(734)x y z x y z+-++ (66)(745)(275)m n m n+-++ (67)(97)(23)x y x y+++(68)(236)(47)x y z x y z-++-(69)(553)(53)m n m n-++(70)(436)(71)x y x+-+(71)(525)(342)x y x y--+-(72)(334)(742)a b c a b c+++-(73)(26)(43)x y z x y z+--+(74)(42)(6)a b c a b c---+(75)(726)(364)x y z x y z--++ (76)(575)(45)x y z x y z++++ (77)(342)(1)x y x--+(78)(86)(75)a b a+++(79)(6)(576)m n m n----(80)(1)(435)x y x y--+-六、双十字相乘法(81)(32)(86)a a b--+ (82)(565)(736)m n m n+--+ (83)(645)(25)x y x y-+-+ (84)(954)(856)x y x y++--(85)(93)(74)x y z x y z++--(86)(247)(91)x y x+++ (87)(63)(852)x y z x y z-+--(88)(425)(323)x y z x y z+--+ (89)(85)(346)x y z x y z-+--(90)(544)(46)m n m n+---七、因式定理(91)(1)(34)(21)x x x+-+ (92)2(3)(351)x x x+++ (93)(1)(54)(3)x x x---(94)2(1)(251)x x x-+-(95)2(3)(236)x x x-++ (96)2(3)(61)x x-+(97)2(2)(34)x x x--+ (98)(1)(52)(23)x x x--+ (99)2(1)(42)x x x+-+ (100)2(3)(435)x x x--+。
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
八年级因式分解的知识点
八年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个重要的知识点，不仅在初中阶段就开始学习，还贯穿了高中乃至大学的数学学习。
因此，掌握好八年级的因式分解知识点，对于后续数学学习的顺利进行具有重要的作用。
本文将就八年级因式分解的知识点进行总结，希望对于大家的学习有所帮助。
一、公因数与最大公因数公因数是指同时能够整除两个或多个数的因数，在因式分解中有着重要的作用。
求两个或多个数的最大公因数的方法，可以通过列举其公因数，然后筛选出最大的一个。
例如，求两个数72和96 的最大公因数。
首先列出它们的公因数，有1、2、3、4、6、8、12、24 八个数，在这个基础上，筛选能够整除72 和96 的最大整数，即24，因此，72 和96 的最大公因数为24。
二、公式在因式分解中，常用到一些公式，例如差平方公式、和平方公式等。
这些公式的掌握对于因式分解的顺利进行具有非常重要的作用。
1. 差平方公式$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$2. 和平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$三、因式分解在因式分解中，一个重要的概念是质因数分解。
质因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数的积的形式。
例如，24=2×2×2×3，即24的质因数分解为$2^3\cdot3$。
在因式分解中，常用到一些方法，例如提公因式、分组、取因式等。
这些方法的运用可以简化计算过程，提高计算效率。
四、例题下面列举两个例题，帮助大家更好地理解因式分解的知识点。
1. $6x^2+5x-6$的因式分解式是解：先求出这个多项式的根，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=1$。
因此，将原式分解成$(2x+3)(3x-2)$。
部编数学八年级上册专题09因式分解之八大题型(解析版)含答案
专题09因式分解之八大题型判断是否是因式分解【变式训练】1．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）已知因式分解的结果求参数【变式训练】已知二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，求另一个因式以及k 的值．【答案】8x +，48k =【分析】设另一根因式为x n +，可得()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，再建立方程组626n n k-=ìí-=-î，再解方程组即可得到答案．【详解】解：∵二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，∴设另一根因式为x n +，∴()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，∴626n n k -=ìí-=-î，解得：848n k =ìí=î，∴另一根因式为：8x +．【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．公因式例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式33a b 与239a b 的公因式是（ ）A ．23a bB ．333a bC ．abD ．339a b 【答案】A【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【详解】解：单项式33a b 与单项式239a b 的公因式是23a b ．故选：A ．【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键．【变式训练】【变式训练】综合提公因式法和公式法分解因式（2）()()22a x y b y x -+-()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．【变式训练】1．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：(1)228m -；(2)()()244x y x y +-++．【答案】(1)()()222m m +-(2)()22x y +-【分析】（1）先提取公因式2，再用平方差公式进行因式分解即可；（2）将x y +看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()()()224222m m m =-=+-；（2）解：原式()()22222x y x y =+-´++()22x y =+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()222a b a ab b ±=±+．2．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）分解因式：(1)2273x -+；(2)22344xy x y y --；(3)()()2221619y y ---+.【答案】(1)()()333x x +-(2)()22y x y --(3)()()2222+-y y【分析】（1）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式；（2）利用提公因式法及完全平方公式，即可分解因式；（3）利用完全平方公式及平方差公式，即可分解因式．【详解】（1）解：2273x -+2327x =-()239x =-()()333x x =+-（2）解：22344xy x y y --()2244y x xy y =--+()22y x y =--（3）解：()()2221619y y ---+()()2221619y y =---+()2213y éù=--ëû()224y =-()()222y y =+-éùëû()()2222y y =+-【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．十字相乘法分解因式例题：（2023下·四川达州·八年级校考期末）将多项式234--x x 分解因式后正确的是（ ）A ．()()223x x x+--B ．()34x x --C ．()()14x x -+D ．()()14x x +-【答案】D【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：()()23414.x x x x --=+-故选：D ．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【变式训练】【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．分组分解法分解因式例题：（2023下·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）23355x xy x y +-- （2）2244a b a b-+-【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）23355x xy x y+--分析：甲发现该多项式前两项有公因式3x ，后两项有公因式5-，分别把它们提出来，剩下的是相同因式()x y +，可以继续用提公因式法分解．解：()22335533(55)3()5()()(35)x xy x y x xy x y x x y x y x y x +--=+-+=+-+=+-另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y ，第一项和第三项含有公因式x ，把y ，x 提出来，剩下的是相同因式(35)x -，可以继续用提公因式法分解．解：()22335535(35)(35)(35)(35)()x xy x y x x xy y x x y x x x y +--=-+-=-+-=-+探究2：分解因式：（2）2266a b a b-+-分析：甲发现先将22a b -看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：()222266(66)()()6()()(6)a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+-=-+-=+-+-=-++【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：3244x x x +--；（2）分解因式：22229y yz z x ++-；【拓展提升】：（3）分解因式：2815m m -+．【答案】（1）()()()122x x x ++-；（2）()()33y z x y z x +++-；（3）()()53m m --．【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式()1x +后再利用平方差公式继续分解；（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；（3）把15分解成161-，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．【详解】解：（1）3244x x x +--()()3241x x x =+-+()()2141x x x =+-+()()214x x =+-()()()122x x x =++-；（2）22229y yz z x ++-()22229y yz z x =++-()()223y z x =+-()()33y z x y z x =+++-；（3）2815m m -+()28161m m =-+-()241m =--()()4141m m =-+--()()53m m =--．【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．【变式训练】1．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式22424x y x y -++．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：22424x y x y-++()()22424x y x y =--- 分成两组()()()2222x y x y x y =+--- 分别分解()()222x y x y =-+- 提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？①22x y x y -++=______．②22222a a b ab b +--+=______．(3)利用分组分解法进行因式分解：22441x x y +-+．【答案】(1)①②③(2)①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；(3)()()2121x y x y ++-+【分析】(1)根据阅读材料解答即可；(2)运用分组分解法直接作答即可；(3)运用分组分解法直接作答即可．【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解；故正确的序号是①②③，故答案为：①②③；（2）解：①()()2222x y x y x y x y -++=-++，②()()2222222222a a b ab b a b a ab b +--+=-+-+，故答案为：①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；（3）解：22441x x y +-+()22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =++-+【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．因式分解的应用例题：（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a ，b ，c 是三角形的三边，且满足()2222333a b c a b c ++=++则ABC V 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】将()2222333a b c a b c ++=++进行变形得2222222220a b c ab ac bc ++---=，根据完全平方公式得222()()()0a b b c a c -+-+-=，即可得a b c ==，即可得．【详解】解：()2222333a b c a b c ++=++，222222222333a b c ab ac bc a b c +++++=++，2222222220a b c ab ac bc ++---=，222()()()0a b b c a c -+-+-=，0a b -=，0b c -=，0a c -=，a b =，b c =，a c =，∴a b c ==，∴三角形ABC 为等边三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是掌握因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定．【变式训练】(2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +-+=++-=+-=+++-；②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+--=--（2）a ，b ，c 为ABC V 的三条边，22254610340a b c ab b c --++-=+，∴2222446910250a b ab b b c c +-+-++-+=，∴()()()2222350a b b c -++-=-，∴20a b -=，30b -=，50c -=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC V 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）在多项式323124a b a bc -中，各项的公因式是（ ）A ．34a bcB ．34a bC ．24abD ．224a b 【答案】B【分析】根据多项式的公因式来进行求解即可．【详解】解： ()323312443a b a bc a b b c =--Q ，34a b \是多项式323124a b a bc -中各项的公因式．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式的公因式，理解多项式的公因式是解答关键．2．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()ma mb m a b -=-C ．()22444x x x ++=+D ．()2211x x -=-【答案】B【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．【详解】A 、()ax ay a x y +=+，因式分解错误，该选项不符合题意；B 、因式分解正确，该选项符合题意；C 、()22442x x x ++=+，因式分解错误，该选项不符合题意；D 、()()2111x x x -=-+，因式分解错误，该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查因式分解，牢记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解）和方法（提公因式法和公式法）是解题的关键．3．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如果()()21052x kx x x ++=--，则k 应为（ ）A ．3-B ．3C ．7D ．7-【答案】D 【分析】先利用整式乘法化简等式的左边代数式，再根据对应系数相等求解k 值即可．【详解】解：∵()()22525210710x x x x x x x --=--+=-+，∴2210710x kx x x ++=-+，∴7k =-，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解和整式乘法是互为逆运算是解答的关键．4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1-C ．24x -+D ．24x --【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A .()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B .221x x +-不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C .222424x x x x x -++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D . ()()22242422x x x x x x --+=-=+-，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足22a ac b bc -=-，则ABC V 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】D 【分析】依据题意，由22a ac b bc -=-得220a b ac bc --+=，从而()()0a b a b c -+-=，由两边之和大于第三边可得a b c +>，即0a b c +->，进而0a b -=，故可得解．【详解】解：由题意，∵22a ac b bc -=-，∴220a b ac bc --+=．∴()()0a b a b c -+-=．又∵a b c +>，即0a b c +->，∴0a b -=，即a b =．∴ABC V 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能理解．二、填空题【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．三、解答题11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分解因式：(1)32231212a a b ab -+-；(2)229()()m n m n +--．【答案】(1)23(2)a a b --(2)()()422m n m n ++【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）原式()22344a a ab b =--+23(2)a a b =--；（2）()2原式()()()()33m n m n m n m n =++-+--éùéùëûëû()()422m n m n =++．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2023下·四川达州·八年级校考期末）因式分解：(1)()()42a x y b y x ---；(2)22168x xy y -+；【答案】(1)()()22x y a b -+(2)2(4)x y -【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答．【详解】（1）解：()()42a x y b y x ---【答案】(1)(3)(3)+++-a b a b (2)ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）运用完全平方公式分解222a ab b ++，再运用平方差公式进行分解即可；（2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可．【详解】（1）解：2229a ab b ++-2()9a b =+-(3)(3)a b a b =+++-．（2）解：20a ab ac bc -+-=，因式分解为：()2()0a ab ac bc -+-=，()()0a a b c a b -+-=，()()0a b a c -+=，0a b \-=，即a b =，∴ABC V 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查因式分解的知识，掌握乘法公式的运用，因式分解的方法是解题的关键．15．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：3222x x x +--可以因式分解为()()()112x x x -++，当29x =时，128x -=，130x +=，231x +=，此时可以得到数字密码283031．任务：(1)根据上述方法，当15x =，5y =时，对于多项式32x xy -分解因式后可以形成哪些数字密码？(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x ，y ，求出一个由多项式33x y xy +分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015(2)24121（或12124）【分析】（1）先将32x xy -进行因式分解，再根据题意代入15x =，5y =计算，即可求解；（2）根据勾股定理和三角形周长公式得2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，再将多项式33x y xy +分解因式后，代入24xy =，22121x y +=进行计算即可求解．【详解】（1）解：()()32x xy x x y x y -=-+，当15x =，5y =时，10x y -=，20x y +=，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．（2）由题意得：2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，而()3322x y xy xy x y +=+，所以可得数字密码为24121（或12124）．【点睛】本题考查因式分解和因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法以及题目中数字密码的计算方法．16．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A ，B ，C 三种纸片：A 种是边长为m 的正方形，B 种是边长为n 的正方形，C 种是宽为m ，长为n 的长方形．用A 种纸片1张，B 种纸片1张，C 种纸片2张可以拼出（不重不漏）如图2所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法()()222m n m n m mn n ++=++，反过来也可以解释多项式222m mn n ++，因式分解的结果为2222()m mn n m n ++=+，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：(1)若多项式2223m n mn ++表示分别由1，2，3张A ，B ，C 三种纸片拼出如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式2232m mn n ++进行因式分解；(2)我们可以借助图3再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．【答案】(1)长是2m n +，宽是m n +，因式分解结果是()()2m n m n ++(2)22372m mn n ++，()()23m n m n ++【分析】（1）根据A ，B ，C 三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；（2）根据长方形由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是2m n +，宽是m n +，2232(2)()m mn n m n m n \++=++；（2）根据长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，则这个长方形的面积可以表示为多项式22372m mn n ++，22372(2)(3)m mn n m n m n \++=++，故答案为：22372m mn n ++，(2)(3)m n m n ++．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．。
初二数学因式分解知识点经典总结
整式乘除与因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
初二因式分解经典题35题
初二因式分解经典题35题一、提取公因式法相关（10题）1. 分解因式：6ab + 3ac- 你看这里面每一项都有个3a呢。
就像大家都有个共同的小秘密一样。
那我们就把3a提出来呀，提出来之后就变成3a(2b + c)啦。
2. 分解因式：15x^2y−5xy^2- 哟，这里面5xy是公共的部分哦。
把5xy提出来，就剩下5xy(3x - y)啦，是不是很简单呢？3. 分解因式：4m^3n - 16m^2n^2+8mn^3- 仔细瞧瞧，8mn是都能提出来的。
提出来后就变成8mn(m^2 - 2mn + n^2)啦。
4. 分解因式：−3x^2y+6xy^2−9xy- 这里面−3xy是公因式哦。
把它提出来，就得到−3xy(x - 2y+3)啦。
5. 分解因式：2a(x - y)-3b(x - y)- 看呀，(x - y)是公共的部分呢。
提出来就变成(x - y)(2a - 3b)啦。
6. 分解因式：a(x - y)^2 - b(y - x)^2- 注意哦，(y - x)^2=(x - y)^2。
那这里面(x - y)^2是公因式，提出来就得到(x - y)^2(a - b)啦。
7. 分解因式：x(x - y)+y(y - x)- 先把y(y - x)变成-y(x - y)，这样公因式就是(x - y)啦，提出来就是(x - y)(x - y)=(x - y)^2。
8. 分解因式：3a(a - b)+b(b - a)- 把b(b - a)变成-b(a - b)，公因式(a - b)提出来，就得到(a - b)(3a - b)啦。
9. 分解因式：2x(x + y)-3(x + y)^2- 公因式是(x + y)，提出来就变成(x + y)[2x-3(x + y)]=(x + y)(2x - 3x - 3y)=(x + y)(-x - 3y)=-(x + y)(x + 3y)。
10. 分解因式：5(x - y)^3+10(y - x)^2- 把(y - x)^2变成(x - y)^2，公因式5(x - y)^2提出来，得到5(x - y)^2[(x -y)+2]=5(x - y)^2(x - y + 2)。
八年级上册数学因式分解专题训练(附答案)
14.3 因式分解专题训练（附答案）1．因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．2．因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．3．分解因式：（1）mn﹣2n；（2）4x2﹣36；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2．4．分解因式：（1）8m2n+2mn；（2）2a2﹣4a+2；（3）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；（4）x4﹣2x2+1．5．因式分解：（1）9x2﹣81．（2）m3﹣8m2+16m．6．分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．7．计算与因式分解：（1）a3﹣4a2+4a；（2）x4﹣16．8．把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．（1）2m2﹣2n2；（2）a3b﹣4a2b+4ab．10．分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．11．分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．12．在实数范围内因式分解：（1）4y2+4y﹣2；（2）3x2﹣5xy﹣y2．13．分解因式：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．14．因式分解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2．（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）．15．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．16．分解因式：（1）（x+3）2﹣25；（2）﹣x3y+6x2y﹣9xy．17．分解因式：（1）8a﹣2a3；（2）（x2+1）2﹣4x2．（1）（x﹣y）m﹣（y﹣x）．（2）2x3y﹣4x2y2+2xy3．19．分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．20．把下面各式分解因式（1）x2﹣4xy+4y2；（2）4x2（x﹣y）+（y﹣x）．21．因式分解：（1）x3y﹣2x2y2+xy3；（2）2a3﹣18a．22．因式分解：（1）x2﹣4；（2）6ab2﹣9a2b﹣b3．23．因式分解：（1）12m3n﹣3mn；（2）（x+y）2﹣2（x+y）+1．24．把下列各式分解因式：（1）a2b﹣4ab+4b；（2）x4﹣8x2y2+16y4．25．把下列多项式因式分解．（1）m（m﹣2）﹣3（2﹣m）；（2）n4﹣2n2+1．26．分解因式：（1）m3（x﹣2）+m（2﹣x）；（2）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）．27．因式分解：（1）2（x+2）2+8（x+2）+8；（2）﹣2m4+32m²．28．因式分解：（1）﹣a2+2a3﹣a4；（2）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16．29．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．30．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x²+y2）2﹣4x2y2．参考答案1．解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．2．解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．3．解：（1）mn﹣2n＝n（m﹣2）；（2）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2．4．解：①原式＝2mn（4m+1）；②原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2；③原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；④原式＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．5．解：（1）9x2﹣81＝9（x2﹣9）＝9（x+3）（x﹣3）；（2）m3﹣8m2+16m＝m（m2﹣8m+16）＝m（m﹣4）2．6．解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．7．解：（1）原式＝（x+y）2﹣12＝x2+2xy+y2﹣1；（2）原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；（3）原式＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．8．解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．9．解：（1）2m2﹣2n2＝2（m2﹣n2）＝2（m+n）（m﹣n）；（2）a3b﹣4a2b+4ab＝ab（a2﹣4a+4）＝ab（a﹣2）2．10．解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．11．解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．12．解：（1）原式＝（2y）2+2•2y•1+12﹣3＝（2y+1）2﹣（）2＝（2y+1+）（2y+1﹣）；（2）＝3（x﹣y）（x﹣y）．13．解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b＝3ab（b2﹣10ab+25a2）＝3ab（b﹣5a）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣16）＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．14．解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2＝3ab（3c﹣2ab+4c2）；（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y）＝3x（x﹣y）（x﹣2）．15．解：（1）原式＝（4x﹣y）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）．16．解：（1）原式＝（x+3﹣5）（x+3+5）＝（x+8）（x﹣2）；（2）原式＝﹣xy（x2﹣6x+9）＝﹣xy（x﹣3）2．17．解：（1）原式＝2a（4﹣a2）＝2a（2+a）（2﹣a）；（2）原式＝（x2+1﹣2x）（x2+1+2x）＝（x﹣1）2（x+1）2．18．解：（1）原式＝（x﹣y）m+（x﹣y）＝（x﹣y）（m+1）；（2）原式＝2xy（x2﹣2xy+y2）＝2xy（x﹣y）2．19．解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．20．解：（1）原式＝x2﹣2×x×2y+（2y）2＝（x﹣2y）2；（2）原式＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）．21．解：（1）原式＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2；（2）原式＝2a（a2﹣9）＝2a（a+3）（a﹣3）．22．解：（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；（2）6ab2﹣9a2b﹣b3＝﹣b（9a2﹣6ab+b2）＝﹣b（3a﹣b）2．23．解：（1）12m3n﹣3mn＝3mn（4m2﹣1）＝3mn（2m﹣1）（2m+1）；（2）（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．24．解：（1）原式＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2；（2）原式＝（x2﹣4y2）2＝[（x+2y）（x﹣2y）]2＝（x+2y）2（x﹣2y）2．25．解：（1）原式＝m（m﹣2）+3（m﹣2）＝（m﹣2）（m+3）；（2）原式＝（n2﹣1）2＝（n+1）2（n﹣1）2．26．解：（1）m3（x﹣2）+m（2﹣x）＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝m（x﹣2）（m2﹣1）＝m（m+1）（m﹣1）（x﹣2）；（2）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）＝[2（a﹣b）+1]2＝（2a﹣2b+1）2．27．解：（1）2（x+2）2+8（x+2）+8＝2[（x+2）2+4（x+2）+4]＝2（x+2+2）2＝2（x+4）2；（2）﹣2m4+32m2＝﹣2m2（m2﹣16）＝﹣2m2（m+4）（m﹣4）．28．解：（1）原式＝﹣a2（1﹣2a+a2）＝﹣a2（1﹣a）2；（2）原式＝[（m2﹣5）+4]2＝（m2﹣1）2＝（m+1）2（m﹣1）2．29．（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝（3x+3y）（x﹣y）＝3（x+y）（x﹣y）．30．解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2．。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解
专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
人教版八年级数学上册因式分解(含知识点)
因式分解 同步练习一、选择题：1．若(2x)n −81 = (4x 2+9)(2x+3)(2x −3)，那么n 的值是（ ）A ．2B ． 4C ．6D ．82．若9x 2−12xy+m 是两数和的平方式，那么m 的值是（ ）A ．2y 2B ．4y 2C ．±4y 2D ．±16y 23．把多项式a 4− 2a 2b 2+b 4因式分解的结果为（ ）A ．a 2(a 2−2b 2)+b 4B ．(a 2−b 2)2C ．(a −b)4D ．(a+b)2(a −b)24．把(a+b)2−4(a 2−b 2)+4(a −b)2分解因式为（ ）A ．( 3a −b)2B ．(3b+a)2C ．(3b −a)2D ．( 3a+b)25．计算：(−21)2001+(−21)2000的结果为（ ） A ．(−21)2003 B ．−(−21)2001 C ．21 D ．−21 6．已知x ，y 为任意有理数，记M = x 2+y 2，N = 2xy ，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M>N B ．M≥N C ．M≤N D ．不能确定7．对于任何整数m ，多项式( 4m+5)2−9都能（ ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m −1)整除D ．被(2n −1)整除8．将−3x 2n −6x n 分解因式，结果是（ ）A ．−3x n (x n +2)B ．−3(x 2n +2x n )C ．−3x n (x 2+2)D ．3(−x 2n −2x n )9．下列变形中，是正确的因式分解的是（ ）A ． 0.09m 2− 4916n 2 = ( 0.03m+ 74)( 0.03m −74) B ．x 2−10 = x 2−9−1 = (x+3)(x −3)−1C ．x 4−x 2 = (x 2+x)(x 2−x)D ．(x+a)2−(x −a)2 = 4ax10．多项式(x+y −z)(x −y+z)−(y+z −x)(z −x −y)的公因式是（ ）A ．x+y −zB ．x −y+zC ．y+z −xD ．不存在11．已知x 为任意有理数，则多项式x −1−41x 2的值（ ） A ．一定为负数B ．不可能为正数C ．一定为正数D ．可能为正数或负数或零二、解答题：分解因式：(1)(ab+b)2−(a+b)2(2)(a 2−x 2)2−4ax(x −a)2(3)7x n+1−14x n +7x n −1(n 为不小于1的整数)参考答案：一、选择题：1．B 说明：右边进行整式乘法后得16x 4−81 = (2x)4−81，所以n 应为4，答案为B ．2．B 说明：因为9x 2−12xy+m 是两数和的平方式，所以可设9x 2−12xy+m = (ax+by)2，则有9x 2−12xy+m = a 2x 2+2abxy+b 2y 2，即a 2 = 9，2ab = −12，b 2y 2 = m ；得到a = 3，b = −2；或a = −3，b = 2；此时b 2 = 4，因此，m = b 2y 2 = 4y 2，答案为B ．3．D 说明：先运用完全平方公式，a 4− 2a 2b 2+b 4 = (a 2−b 2)2，再运用两数和的平方公式，两数分别是a 2、−b 2，则有(a 2−b 2)2 = (a+b)2(a −b)2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D ．4．C 说明：(a+b)2−4(a 2−b 2)+4(a −b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a −b)]+[2(a −b)]2 =[a+b −2(a −b)]2 = (3b −a)2；所以答案为C ．5．B 说明：(−21)2001+(−21)2000 = (−21)2000[(−21)+1] = (21)2000 •21= (21)2001 = −(−21)2001，所以答案为B ． 6．B 说明：因为M −N = x 2+y 2−2xy = (x −y)2≥0，所以M≥N ．7．A 说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．8．A9．D 说明：选项A ，0.09 = 0.32，则 0.09m 2−4916n 2 = ( 0.3m+74n)( 0.3m −74n)，所以A 错；选项B 的右边不是乘积的形式；选项C 右边(x 2+x)(x 2−x)可继续分解为x 2(x+1)(x −1)；所以答案为D ．10．A 说明：本题的关键是符号的变化：z −x −y = −(x+y −z)，而x −y+z≠y+z−x ，同时x −y+z≠−(y+z −x)，所以公因式为x+y −z ．11．B 说明：x −1−41x 2 = −(1−x+41x 2) = −(1−21x)2≤0，即多项式x −1−41x 2的值为非正数，正确答案应该是B ．二、解答题：(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) =a(b−1)(ab+2b+a)．(2) 答案：(x−a)4说明：(a2−x2)2−4ax(x−a)2= [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2= (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2= (x−a)2[(a+x)2−4ax]= (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax)= (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．(3) 答案：7x n−1(x−1)2说明：原式= 7x n−1•x2−7x n−1•2x+7x n−1 = 7x n−1(x2−2x+1) = 7x n−1(x−1)2．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).2021-2022学年度秋季八年级上学期人教版数学。
八年级因式分解专题(内部资料)
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例1：分解因式：（1） 【答案】解：（1）
（2） （2）
例2：分解因式： x2 x2 8 x2 x 12
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
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例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
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知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
人教版八年级数学上因式分解专题
8.4 因式分解1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力． 2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解． 3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．1．因式分解(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解的注意事项①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2bc 分解成5a ·abc 就不是分解因式，因为5a 2bc 不是多项式；再如把1x2－1分解为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1也不是分解因式，因为1x2－1不是整式．③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式．④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 就不是分解因式，因为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 不是整式的乘积形式．⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1.如4x 2－6x ＝x (4x －6)．结果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2－6x ＝2x (2x －3)．【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )．A ．x 2y ＋x ＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1xB ．x 2－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3xC ．ab 2－2ab ＝ab (b －2)D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2－9分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：n (a ＋b ＋c )na ＋nb ＋nc ，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？(1)12a 2b ＝3a ·4ab ；(2)(x ＋3)(x －3)＝x 2－9；(3)4x 2－8x －1＝4x (x －2)－1； (4)2ax －2ay ＝2a (x －y )；(5)a 2－4ab ＋b 2＝(a －2b )2.判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式． 2．因式分解的基本方法——提公因式法 (1)公因式的意义多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab ＋ac ＋ad 中，各项都含有因式a ，故a 是这个多项式的公因式．(2)公因式的确定 准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x 4＋6x 2＋12x 3y 中，系数的最大公约数是2，相同字母为x ，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x 2.③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：(b ＋a )n ＝(a ＋b )n(n 为正整数)，(b －a )n ＝(a －b )n(n 为偶数)，(b －a )n ＝－(a －b )n(n 为奇数)．【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：(1)4x 2y 3z ＋12x 3y 4； (2)47(x ＋1)2y 3－12(x ＋1)3y 4； (3)12x n y 2n ＋16x n －1y n ＋1(n 为大于1的整数)．(3)提公因式法①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．我们在学习乘法分配律时知道，m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，现在把它反过来就有ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．②提公因式法的步骤运用提公因式法分解因式一般分为三步： 第一步，确定公因式；第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式； 第三步，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内．(1)若首项系数为负数时，一般先要提出“－”，但要注意，此时多项式的各项都要变号，如－x2－2x＝－x(x＋2)；(2)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能含有公因式；(3)提出公因式后，另一个因式必须化简整理，不能带有中括号，如2x(y－z)2－4y(y －z)3＝2(y－z)2[x－2y(y－z)]＝2(y－z)2(x－2y2＋2yz)；(4)多项式中各项的公因式要一次提尽；(5)公因式提取后，要用整式乘法来检验是否正确．【例2－2】把下列各式分解因式：(1)2(m－n)2－m(n－m)；(2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3.3．因式分解的基本方法——公式法(1)公式法的意义：利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法．(2)公式的结构特征运用公式法的关键是熟悉公式的结构特征．①平方差公式的特征：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，右边分解的结果是两个整式的和与两个整式的差的乘积．凡符合平方差公式特点的二项式，都可运用平方差公式分解因式．分解时，先写成平方差的形式，确定公式中的a和b，再运用平方差公式分解因式．注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－(x＋y)2＝[(x－y)＋(x＋y)][(x－y)－(x＋y)]＝2x(－2y)＝－4xy(其中x－y相当于公式中的a，x＋y相当于公式中的b)．【例3－1】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.②完全平方公式的特征：左边是三项式，其中首末两项是两个数(或式子)的平方，且符号相同，中间的一项是首末两个数(或式子)的积的2(或－2)倍，右边的结果是两个数(或式子)的和(或差)的平方．运用完全平方公式分解因式，一定要检验中间的一项是否是首末两项乘积的2(或－2)倍．凡是满足完全平方公式的多项式都可以直接用完全平方公式因式分解．注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－4(x－y)＋4＝[(x－y)－2]2＝(x－y－2)2(其中x－y相当于公式中的a,2相当于公式中的b)．【例3－2】把下列各式分解因式：(1)－x2－2xy－y2；(2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y)；(3)(a＋b)2－4(a＋b－1)．4．因式分解的步骤(1)分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解，这种分解因式的方法叫分组分解法．(2)因式分解的一般步骤是：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检查”．“一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式；“二套”是看能否运用公式法因式分解，若两项看是否符合平方差公式，若三项看是否符合完全平方公式；“三分组”是指如果要分解的多项式多于三项时，要考虑分组，分组的原则是：分组后能提公因式或者运用公式法；“四检查”是检查因式分解是不是彻底，要分解到每一个因式不能再分解为止．一般地，把一个多项式因式分解都是在有理数范围内进行的，要求因式中的每个系数(包括常数)都是有理数，且最后的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止，相同的因式应该写成幂的形式．【例4－1】分解因式：(1)3a2－6a＋3；(2)3x n＋3－27x n＋1.分析：(1)多项式中都含有公因式3，提取公因式后变为3(a2－2a＋1)，再仔细观察发现括号中的三项式符合完全平方公式，因此继续分解为3(a－1)2；(2)多项式中各项系数的最大公约数是3，都含有字母x，x的最低次幂是x n＋1，所以公因式是3x n＋1，提取公因式后括号内的多项式为(x2－9)，能利用平方差公式分解因式．解：对于多项式的分解因式，应优先考虑提公因式，如果首项为负，可提取－1，然后对公因式已提取的或无公因式的三项式进行如下考虑：(1)按某一字母降幂排列，(2)对于二次三项式可考虑完全平方公式，(3)对于二项式可考虑平方差公式．【例4－2】把下列多项式因式分解：(1)(x2＋y2)2－4x2y2；(2)1－a2＋2ab－b2.5．利用因式分解计算、求值、证明因式分解在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、证明中起着重要作用．(1)对于一些复杂的计算题，直接计算比较麻烦，学习了因式分解后，可以灵活运用因式分解，使问题的求解难度降到最低限度．(2)在求某些代数式的值时，比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解，使之出现条件中的式子，再整体代入求值．(3)因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的重要手段，在解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面也起着重要作用．解答此类题常用的方法是通过对条件中的式子因式分解，使之含有所要求的因式即可．【例5－1】计算2022－22.【例5－2】(1)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值；(2)已知2x－3＝0，求x(x2－x)＋x2(5－x)－9的值．6．因式分解的实际应用因式分解是一种重要的式子变形，灵活应用的话可以解决许多问题，有关因式分解的实际应用主要是根据题意列出式子，解答时利用因式分解的方法，将列出的代数式按照因式分解的步骤进行分解，若所得的代数式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，再进行分解，从而使问题得到快速解答．【例6】如图，在半径为R的圆形钢板上，除去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时剩余部分的面积．(π取3.14，结果精确到整数)7．运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养创新能力和实践能力．这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．【例7】某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图①所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2＋4ab＋3b2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．解：因为拼成一个面积等于a2＋4ab＋3b2的大长方形，就要用一个边长为a的正方形、3个边长为b的正方形和4个边长分别为a，b的长方形，可以拼成如图②所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a＋b)和(a＋3b)．由面积可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．。
八年级数学因式分解专题复习
八年级数学因式分解专题复习因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a²-b²，a²-b²=(a+b)(a-b)2) a²±2ab+b² = (a±b)²，a±2ab+b=(a±b)3) (a+b)(a-ab+b) =a²+b²，a+b=(a+b)(a-ab+b)4) (a-b)(a+ab+b) = a²-b²，a-b=(a-b)(a+ab+b)以下是两个常用的公式：5) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²6) a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)例如：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A。
直角三角形 B。
等腰三角形 C。
等边三角形 D。
等腰直角三角形解：a²+b²+c²=ab+bc+ca → 2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2caa-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 → a=b=c因此，三角形ABC是等边三角形。
部编数学八年级上册专题14因式分解(解析版)(重点突围)含答案
专题14 因式分解考点一 判断是否是因式分解考点二 公因式及提提公因式分解因式考点三 已知因式分解的结果求参数考点四 运用公式法分解因式考点五 十字相乘法分解因式考点六 分组分解法分解因式考点七 因式分解的应用考点一 判断是否是因式分解例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(1)1x x x x -+=-+C ．229(9)(9)x y x y x y -=+-D ．2412(6)(2)--=-+x x x x 【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解即可．【详解】解：A 、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；B 、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；C 、()()22933x y x y x y -=+-，故本项错误，不符合题意；D 、是因式分解，故本选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【变式训练】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．【详解】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()ax ay a x y -=-B ．()()2224x x x +-=-C ．()2243223x x x x +-=+-D ．32632a b a ab=×【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解： A ．是因式分解，运用了提公因式法，符合题意；B ．是整式的乘法运算，不符合题意；C ．不是因式分解，右边不是乘积的形式，不符合题意，D ．左边是单项式，不是因式分解，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．掌握因式分解的定义是解题的关键．考点二 公因式及提提公因式分解因式例题：（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）多项式322363x y x y -的公因式是______．【答案】223x y 【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x 与y ,x 的最低指数是2，y 的最低指数是2，∴该多项式的公因式为：223x y ．故答案为：223x y ．【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）分解因式233x x -=_______【答案】3x （x -1）【分析】原式提取公因式即可得到结果．【详解】解：233x x -=3x （x -1）；故答案为：3x （x -1）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）多项式2x 2－12xy 2+8xy 3的公因式是_____________．【答案】2x【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可．【详解】解：2232128x xy xy -+232(64)x x y y =-+多项式的公因式为2x ．故答案为：2x ．【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．考点三 已知因式分解的结果求参数例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式26x mx ++因式分解得(x +3)(x +2)，则m ＝_____．【答案】5【分析】把（x +3）（x +2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m 的值．【详解】解：∵26x mx ++＝（x +3）（x +2）＝256x x ++，∴m ＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式228x ax +-因式分解为(4)(7)x x -+，则=a ________．【答案】3【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a 即可．【详解】解：()()22477428328x x x x x x x -+=+--=+-,∵多项式228x ax +-因式分解为(4)(7)x x -+，∴a ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式25x x m -+分解后有一个因式为()2x -，则m =______．【答案】6【分析】设另一个因式为（x +n ），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设另一个因式为（x +n ），得x 2-5x +m =（x -2）（x +n ），则x 2-5x +m =x 2+（n -2）x -2n ．∴252n n m -=-ìí-=î，解得36n m =-ìí=î．∴m 的值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m 、n 的方程组是解此题的关键．考点四 运用公式法分解因式例题：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：(1)321025m n m n mn -+； (2)()()2224649p p -+-+【答案】(1)2(5)mn m -(2)22()1)(1p p +-【分析】（1）先提公因式mn ，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解即可．（1）解：321025m n m n mn-+2(1025)mn m m =-+2(5)mn m =-；（2）解：()()2224649p p -+-+()2243p éù=-+ëû()221p =-()()211p p éù=+-ëû()()2211p p =+-．【点睛】此题考查因式分解．熟练掌握因式分解的步骤和方法是关键．注意因式分解一定要分解到每一个因式不能再分解为止．【变式训练】1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解(1)2218m -；(2)()222224a b a b +-．【答案】(1)2(3)(3)m m +-(2)()()22a b a b +-【分析】（1）提取公因数后利用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式，再结合完全平方公式分解因式；（1）解：原式=2222(9)2(3)2(3)(3)m m m m -=-=+-（2）原式=()()()()()()2222222222222a b a b a b ab ab b b ab a a +-+-+=+-=+【点睛】本题主要考查平方差公式()()22a b a b a b -=+-和完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±的灵活运用，熟记公式是解题关键．2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：(1)416a - (2)2229x xy y -+- (3)5322472m m m---【答案】(1)()()()2422a a a ++-(2)()()33x y x y -+--(3)()2226m m -+【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：416a -()()2244a a =+-()()()2422a a a =++-．（2）解：2229x xy y -+-()29x y =--()()33x y x y =-+--．（3）解：5322472m m m---()4221236m m m =-++()2226m m =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．考点五 十字相乘法分解因式例题：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：21124x y xy y-+【答案】()()38y x x --【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：21124x y xy y-+()21124y x x =-+()()38y x x =--．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：()()2223242410x x x x ----【答案】(3)(8)(4)(6)x x x x +--+【分析】先把式子化成()()22222432410x x x x ----，再运用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式=()()22222432410x x x x ----=22(245)(242)x x x x ---+=22(524)(224)x x x x --+-=(3)(8)(4)(6)x x x x +--+【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．2．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．()2x p q x pq ++型式子的因式分解()2x p q x pq++2x px qx pq=+++()()2x px qx pq =+++()()x x p q x p =+++()()x p x q =++．这样，我们得到()()()2x p q x pq x p x q +++=++．利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．例把232x x ++分解因式分析：232x x ++中的二次项系数为1，常数项212=´，一次项系数312=+，这是一个()2x p q x pq +++型式子．解：()()()223212212x x x x x x ++=+++=++请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．(1)21024x x ++(2)223336a ab b --【答案】(1)()()46x x ++(2)()()343a b a b -+【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；（2）仿照题意进行分解因式即可．（1）解：21024x x ++()26424x x =+++()()46x x =++；（2）解：223336a ab b --()22312a ab b =--()2233412a ab b éù=+--ëû()()343a b a b =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．考点六 分组分解法分解因式例题：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：()()()()()224242222222x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-．这种分解因式的方法叫分组分解法．请利用这种方法分解因式22216x xy y -+-．【答案】()()44x y x y -+--【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后利用平方差公式进行分解即可解答．【详解】解：22216x xy y -+-2()16x y =--()()44x y x y =-+--．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解法，公因式，因式分解-运用公式法，合理进行分组是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny+++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny+++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；(2)()()22x y x y -++、()()22222a b a ab b -+-+(3)()()22x y x y -+--【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；（3）根据分组分解法因式分解即可求解．（1）分组后能出现公因式，分组后能应用公式（2）22x y x y -++=()()22x y x y -++，22222a a b ab b +--+=()()22222a b a ab b -+-+，故答案为：()()22x y x y -++，()()22222a b a ab b -+-+．（3）2224x xy y -+-()()()2422x y x y x y =--=-+--．【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．考点七 因式分解的应用(2)16(3)9【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得()()22310a b ++-=，然后由非负数性质求得结果；（2）由22228160x y xy y +-++=得()()2240x y y -++=，然后由非负数性质求得结果；（3）把方程通过变式得()()222140a b -+-=，然后由非负数性质求得a 、b ，根据三角形三边关系进而得c ，便可求得三角形的周长．（1）解：由2262100a b a b ++-+=得，()()22310a b ++-=，∵()23a -≥0，()210b -³，∴a -3=0，b -1=0，∴a =3，b =1．故答案为：3；1；（2）由22228160x y xy y +-++=，得，()()2240x y y -++=，,4x y y \==-，∴4,4x y =-=-，∴16xy =；（3）由22248180a b a b +--+=得()()222140a b -+-=，∴1,4a b ==，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴4141c -<<+，∴35c <<，∴4c =，∴△ABC 的周长为1449++=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．【变式训练】()()2240x y y -++=∴x -y =0，y -4=0，∴x =y =4，∴x y ×=16；（3）∵a +b =8，∴b =8-a ，∵21041ab c c -+=，∴2281610250a a c c -++-+=，∴()()22450a c -+-=，∴a -4=0，c -5=0，∴a =4，c =5，∴b =4，∴△ABC 的周长为a +b +c =4+4+5=13．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++-+=，∴2222690m mn n n n +++-+=，∴()()2230m n n ++-=，∴m +n ＝0，n ﹣3＝0∴m ＝﹣3，n ＝3问题：(1)不论x ，y 为何有理数，2210845x y x y +-++的值均为( )A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数(2)若2222440x y xy y +-++=，求y x 的值．(3)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足2210841a b a b +=+-，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范∴()()22450a b -+=-，∴a －5＝0，b －4＝0，∴a ＝5，b ＝4，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且c 是△ABC 中最长的边，∴554c £<+，即5≤c ＜9，即c 的取值范围是5≤c ＜9．【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．一、选择题1．（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）多项式4ab 2+16a 2b 2﹣12a 3b 2c 的公因式是（ ）A ．4ab 2cB ．ab 2C ．4ab 2D ．4a 3b 2c【答案】C【分析】根据确定多项式各项公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数②定字母，即确定各项相同字母因式（或相同多项式因式）③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数最低次幂，确定公因式即可【详解】原式224(143)ab a a c =+-∴公因式为4ab 2故选：C【点睛】本题考查了确定公因式的方法，关键是掌握确定公因式的方法．2．（2022·山东·济南市济阳区创新中学八年级期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()()2111x x x +-=-B ．()()22x y x y x y -=+-C ．()22121x x x x -+=-+D ．2322842x y x y y =×【答案】B【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式转化成几个整式积的形式，依次进行分析判断可得答案．【详解】解：A ． ()()2111x x x +-=-，是整式的乘法，不是因式分解，故A 错误；B ． ()()22x y x y x y -=+-，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 正确；C ． ()22121x x x x -+=-+，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 错误；D ． 2322842x y x y y =×，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的意义，注意掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．3．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）对任意自然数n ，代数式()()2275n n +--的值一定能被（ ）整除．A ．6B ．24C ．4D ．8【答案】B【分析】先将题目中的代数式化简，即可得到题目中的代数式一定可以被哪个数整除，本题得以解决．【详解】解：∵()()2275n n +--=[（n +7）+（n －5）][（n +7）－（n －5）]=（n +7+n －5）（n +7－n +5）=（2n +2）×12=24（n +1），∴代数式()()2275n n +--的值一定能被24整除，故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．4．（2021·江苏无锡·九年级期中）已知a ，b 是一个等腰三角形的两边长，且满足2268250a b a b ＋－－＋＝，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．12【答案】C【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a ，b 的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵2268250a b a b +--+=，∴2269816))0((a a b b +++=﹣﹣，∴22()(340)ab +=﹣﹣，∴a =3，b =4.分两种情况讨论：①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10，②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11．综上所述：该等腰三角形的周长为10或11．故选C ．【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：21,31,1x a b x a x --++，，，分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将 223(1)3(1)a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱学B ．爱马中C ．我爱马中D ．马中数学【答案】C【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．【详解】解：()()223131a x b x --- ()()231x a b =--=()()()311x x a b +--，∵21,31,1x a b x a x --++，，，分别对应下列六个字：中， 爱， 我， 数， 学，马，∴结果呈现的密码信息可能是：我爱马中，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的综合应用，正确将所给的式子进行因式分解是解决本题的关键．二、填空题6．（2022·广东汕头·八年级期末）因式分解：2m 3﹣2m ＝______________.【答案】2(1)(1)m m m +-【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．9．（2022·河南平顶山·八年级期末）若三角形ABC 的三边长a ，b ，c 满足22a ab c bc +=+，则三角形ABC 的形状是_______．【答案】等腰三角形【分析】通过对a +2ab =c +2bc 的变形得到（2b +1）（a －c ）=0，由此得到a =c ，易判断三角形ABC 的形状．【详解】解：∵a +2ab =c +2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc =0，即（2b +1）（a －c ）=0，∵a ，b ，c 是△ABC 的边长，∴b ＞0，∴2b +1≠0，∴a －c =0，∴a =c ，即三角形ABC 的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点睛】该题主要考查了因式分解及其应用问题，等腰三角形的判定，解题的关键是牢固掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．10．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a 的正方形，两块是边长为b 的正方形，三块是长为a ，宽为b 的矩形（a b >）．观察图形，发现多项式2232a ab b ++可因式分解为____________．【答案】()(2)a b a b ++【分析】图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长(2)a b +与宽()a b +的乘积计算，两者相等即可确定多项式2232a ab b ++因式分解的结果．【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为2222232S a ab ab ab b b a ab b =+++++=++，长方形的面积也可以为()(2)S a b a b =++，∴2232a ab b ++=()(2)a b a b ++．故答案为：()(2)a b a b ++．【点睛】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键．三、解答题11．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）分解因式：(1)221218x x -+；(2)224()9()a x y b y x -+-；【答案】(1)()223x -(2)()()()2323x y a b a b -+-【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．（1）解：221218x x -+＝()2269x x =-+()223x =-；（2）224()9()a x yb y x -+-()()2249a x y b x y =---()()2249x y a b =--()()()2323x y a b a b =-+-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解(1)3221624x x x -+-(2)222222a b x y ay bx--+-+【答案】(1)()()226x x x ---(2)()()a yb x a y b x -+---+【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---（2）解：222222a b x y ay bx--+-+()()222222a ay y b bx x =-+--+()()22a y b x =---()()a yb x a y b x =-+---+【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．13．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216a x y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．【答案】(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216a x y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+ ．【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底.14．（2021·山西临汾·八年级期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式()()2242464a a a a -+-++进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．解：令24a a t -=，则原式222(2)(6)48124816(4)t t t t t t t =+++=+++=++=+．∵24t a a =-，∴原式()2244a a =-+．老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．(2)请模仿以上方法对多项式()()222221b b b b --++进行因式分解．【答案】(1)否；()42a -(2)()41b -【分析】（1）检查解答结果继续应用完全平方公式进行分解即可；（2）利用题目提供的信息进行分解因式即可．（1）解：∵()()()222424422a a a a éù-+=-=-ëû，∴上述解答的结果没有分解到最后．故答案为：否；()42a -．（2）解：令22b b t -=，则()()222221b b b b --++()21t t =++221t t =++()21t =+∵22b b t -=，∴原式()2221b t =-+()221b éù=-ëû()41b =-【点睛】本题主要考查了因式分解，读懂题意，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．15．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得()()()2.ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可如可把()2acx ad bc x bd +++中的x 着作是未知数．a 、b 、c 、d 在作常数的二次三项式：通过观察()()()2.acx ad bc x bd ax b cx d +++=++可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2273x x ++的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2，则()()2273321x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法因式分解：24913x x +-；(2)用十字相乘法因式分解：()2()1235x y x y +-++；(3)结合本题知识，因式分解：222887146x xy y x y ++--+．【答案】(1)()()4131x x +-(2)()()57x y x y +-+-(3)()()24322x y x y +-+-【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．（1）解：()()249134131x x x x +-=+-；（2）解：()()()2()123557x y x y x y x y +-++=+-+-；（3）解：222887146x xy y x y ++--+()222447146x xy y x y =++--+()22(2)726x y x y =+-++()()22322x y x y éù=+-+-ëû()()24322x y x y =+-+-．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．16．（2022·广东广州·八年级期末）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x 2＋2xy ＋y 2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x 2＋2xy ＋y 2﹣16＝（x ＋y ）2﹣42＝（x ＋y ＋4）（x ＋y ﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：(1)分解因式：2a 2﹣8a ＋8；(2)请尝试用上面的方法分解因式：x 2﹣y 2＋3x ﹣3y ；(3)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2﹣ab ﹣ac ＋bc ＝0，请判断△ABC 的形状并加以说明．【答案】(1)()222a -(2)()()3x y x y ++-(3)等腰三角形【分析】（1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解；（2）先分组，再利用分组分解法求解；（3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到()()0a c a b --=，利用三角形三边的关系得到a =c 或a =b ，从而可判断△ABC 的形状．(1)解：2288a a -+=()2244a a -+=()222a -；(2)2233x y x y--+=()()()3x y x y x y -++-=()()3x y x y ++-；(3)2a ab ac bc--+=2a ab bc ac--+=()()a abc b a -+-=()()a abc a b ---=()()a c ab --=0∴a =c 或a =b∴△ABC 为等腰三角形．【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．17．（2022·江西吉安·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：ax ay bx by+++解：原式()()ax ay bx by =+++()()a x yb x y =+++()()a b x y =++例2：“三一分组”：2221xy x y +-+解：原式2221x xy y =++-()21x y =+-()()11x y x y =+++-归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：（1）分解因式：①255x xy x y -+-；②2244m n m --+；（2）已知ABC V 的三边,,a b c 满足220a b ac bc --+=，试判断ABC V 的形状．【答案】（1）①(5)()x x y +-；②(2)(2)m n m n -+--；（2）ABC V 是等腰三角形．【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．【详解】解：（1）①255x xy x y-+-2()(55)x xy x y =-+-()5()x x y x y =-+-()(5)x y x =-+；②2244m n m --+22(44)m m n =-+-22(2)m n =--(2)(2)m n m n =-+--；（2）220a b ac bc --+=Q ，22()()0a b ac bc \---=，()()()0a b a b c a b \+---=，()()0a b a b c \-+-=，a Q ，b ，c 是ABC V 的三边，a b c \+>，0a b c \+->，0a b \-=，a b \=，即ABC V 是等腰三角形．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+，平方差公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．。
部编数学八年级上册专题07因式分解的六种方法大全(解析版)(人教版)含答案
专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（ ）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（ ）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
专题因式分解专题100题(巩固篇)(专项练习)八年级数学上册基础知识专项讲练含解析答案
专题 因式分解专题100题（巩固篇）（专项练习）1．分解因式： (1)328a a - (2)2()28x y xy -+2．因式分解： (1)22510x y xy - (2)229()4()a x y b y x -+-3．因式分解： (1)416m -； (2)32242x x x -+；(3)276xy xy x -+；(4)()22214a a +-．4．分解因式：(1)2(2)(3)(2)x y x y x y -+--(2)()222224x y x y +-5．因式分解 (1)22ma ma m ++(2)()222416x x +-6．因式分解： (1)323x y x -； (2)22(2)9a b b --．7．分解因式： (1)22484x xy y -+；(2)()()2221a a a +-+．8．因式分解 (1)3228x xy -(2)4322a a a -+9．分解因式 (1)29x y y - (2)322288x x y xy -+(3)()134x x x --+(4)()2221x y y --+．10．因式分解： (1)21222x x -+-；(2)()222936x x +-．(3)()()223223x y x y +-+；(4)()()2222a a b b b a ---．11．因式分解： (1)2214x xy y ++(2)()()()()2m n x y n m x y -+--+12．分解因式： (1)322363x x y xy -+．(2)221122x y -+．13．因式分解 (1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-14．因式分解： (1)﹣3a 2b +6ab ﹣3b ； (2)a 2﹣2ab +b 2﹣c 2．15．把下列多项式因式分解： (1)224a b - (2)21236m m -+16．因式分解： (1)22())(x a b y b a ---；(2)()222416a a +-．17．分解因式： (1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．18．因式分解： (1)22())(x a b y b a ---；(2)2231827x xy y -+．19．已知x ﹣y ＝1，xy ＝2，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．20．因式分解： (1)8﹣2x 2； (2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3．21．把下列各式分解因式： (1)2464x - (2)2225()9()a b a b +--22．因式分解： (1)a （a ﹣b ）﹣a +b ； (2)（x 2+y 2）2﹣（2xy ）2．23．分解因式： (1)328a a -； (2)241616a a -+24．分解因式： (1)328a a -； (2)241616a a -+25．将下列各式分解因式 (1)228a - (2)222(1)4x x +-26．把下列各式因式分解： (1)32242a a a -+；(2)()()2294a x y b y x -+-．27．分解因式： (1)216x -；(2)2288x y xy y -+．28．因式分解： (1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-29．因式分解： (1)228x -(2)3222x x y xy -+30．把下列各式分解因式： (1)29x -；(2)22288a ab b ++；(3)()()211m m m +-+；(4)()()221x x y +--．31．分解因式（其中（1）利用因式分解计算）： (1)23.4 1.320.6613.226.4⨯+⨯- (2)31m m x x ++-(3)2215y y --(4)（x ²＋4）²－16x 232．把下列各式因式分解： (1)264x xy -+；(2)231212a a ++；(3)()()222x a y a ---；(4)42416a a -．33．因式分解： (1)()24a b +- (2)22369ab a b b --34．分解因式： (1)241x -； (2)3244m m m -+．35．因式分解： (1)3269m n m n mn -+(2)()22214a a +-36．分解因式： (1)()134x x x --+ (2)3221218a a a -+-37．因式分解： (1)9x 2﹣81．(2)m 3﹣8m 2+16m ．38．把下列各式因式分解： (1)328x x -； (2)22344xy x y y --．39．分解因式： (1)()()a x y b y x -+-； (2)231212m n mn n -+；(3)()2(2)421x y x y +-+-；(4)222(9)36x x +-．40．在实数范围内分解因式：(1)am 2﹣6ma +9a ； (2)9a 4﹣4b 4．41．因式分解：(1)22242mx mxy my ++(2)()222416x x +-42．因式分解： (1)3x y 2﹣12x ；(2)x 2y ﹣2xy 2+y 3.43．因式分解： (1)241616a a -+ (2)229()4()a x y b y x -+-44．因式分解：(1)39x x - (2)3244x x x -+45．分解因式： (1)263x y y -(2)()()222n m m -+-46．分解因式： (1)3520x x -(2)2412()9()y x x y --+-47．因式分解 (1)2322a b a ab -- (2)229()()a b a b --+48．分解因式： (1)4m 3n ﹣mn 3(2)（x ﹣1）（x ﹣3）+1．49．分解因式：(1)a2b﹣2ab2+b3．(2)（x2+9）2﹣36x2．50．因式分解：(1)2x2﹣2(2)x3﹣4x2y+4xy2．51．因式分解(1)111363a a⎛⎫-+⎪⎝⎭(2)()()22169a x yb y x-+-52．分解因式：(1)x2﹣9；(2)2232ax axy ay++．53．分解因式： (1)24xy x -．(2)32296x xy x y +-．54．分解因式：(1)22(32)(27)x x --+ ；(2)222(2)6(2)9x x +-++．55．分解因式 (1)32327x x y -(2)3a 2x －6axy +3a 2y56．因式分解 (1)22ax ay -；(2)2242x x ++．57．因式分解： (1)222a -； (2)322x x x -+．58．将下列各式分解因式： (1)2215x x +-(2)()()22924x y x y +--59．已知：20222021,2021a b ab -=--=-．求222020a b ab -+的值．60．把下列各式因式分解： (1)9x 2-6x +1(2)3x （x -y ）-6y （x -y ）61．分解因式： (1)2129xyz x y -；(2)2464x -．62．分解因式： (1)249x -；(2)322242m m n mn ++．63．因式分解： (1)2464x -；(2)232a a a -+-．64．分解因式： (1)533416m n m n -(2)32221218x x y xy -+65．把下列各式因式分解： (1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．66．因式分解： (1)2296x xy y -+．(2)(1)(3)4x x +-+．67．分解因式 (1)33a b ab -(2)22363x xy y -+-68．因式分解： (1)x 3y ﹣xy 3；(2)（x ＋2）（x ＋4）＋x 2﹣469．把下列各式分解因式： (1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）270．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．71．因式分解： (1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++72．因式分解 (1)am an ap -+(2)214x -(3)21664x x -+ (4)22(32)(23)x m n y n m -+-73．因式分解． (1)()69m m ++； (2)222(1)4a a +-．74．因式分解： (1)235x y y - (2)()()x x y y y x -+-75．因式分解： (1)4x 2-8x +4； (2)(x +y )2-4y (x +y )76．分解因式： (1)2m mn m -+ (2)3212a a a --(3)()()22413x x +-- (4)421881y y -+77．因式分解： (1)﹣20a ﹣15ax ； (2)a 2（x ﹣y ）+36（y ﹣x ）；78．分解因式： (1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；(1)2363ab ab a -+ (2)22()8()a a b a b ---80．分解因式： (1)231212m n mn n -+； (2)22()()a a b b b a -+-81．把下列各式因式分解：(1)()()229a x y b y x -+-；(2)()222936a a +-82．分解因式： (1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．(1)3222a a b ab -+(2)()()224m n m n +--(3)2215x x -- (4)22144a b ab --+84．把下列各式因式分解： (1)228x -； (2)2(2)8(2)16a a +-++．85．计算：(1)2()()()x y x y x y +-+-；(2)(21)(21)x y x y -+++．86．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-87．因式分解 (1)2a 2b -8ab 2+8b 3(2)4a 2（m -n ）+9（n -m ）(3)81x 4-16(4)（m 2+5）2-12（m 2+5）+3688．因式分解： (1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +89．因式分解： (1)ap ﹣aq +am ； (2)4y 2﹣25；(3)m 3n ﹣6m 2n +9mn ； (4)（a 2+1）2 –4a 2．90．因式分解： (1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．91．分解因式： (1)223612x y xy xy -+-；(2)481m -．92．将下列各式因式分解 (1)39m n mn -(2)322344x y x y xy ++93．分解因式： (1)29x -(2)3218122a a a -+-94．分解因式： (1)a 3b ﹣2a 2b +ab ；(2)x 2﹣4xy +4y 2﹣1．95．分解因式： (1)3221218a a a -+-(2)2225()4()a x y b y x -+-96．分解因式： (1)2()3()x a b y b a -+-(2)244x y xy y -+97．因式分解： (1)3327x x -(2)244ab ab a -+98．分解因式： (1)()()x x y y y x -+-；(2)22352020a b ab b -+．99．分解因式 (1)2a 3﹣8a ；(2)（x ﹣y ）2+4xy ．100．因式分解： (1)4a 2-9；(2)16m 4-8m 2n 2＋n 4参考答案1．(1)()()222a a a +- (2)()22x y +【分析】（1）先提取公因式2a ，再利用平方差公式进行因式分解即可得；（2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减，然后利用完全平方公式进行因式分解即可得．（1）解：原式()224a a =-()()222a a a =+-．（2）解：原式22448x xy y xy =-++ 2244x xy y =++()22x y =+．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键． 2．(1)()xy x y 5-2(2)()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）利用提公因式法直接提出公因式5xy 即可求解；（2）先将y -x 转变为-（x -y ），再用提公因式法因式分解，最后用平方差公式因式分解即可得出答案．（1）解：()22=52105x xy y xy x y --；（2）解：()()()2222229()4()9()4()()94()3232a x y b y x a x y b x y x y a b x y a b a b -+-=---=--=-+-【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键．3．(1)()()()2422m m m ++-；(2)()221x x -； (3)()()61x y y --； (4)()()2211+-a a【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式2x ，再用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式x ，再用十字相乘法分解因式即可；（4）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：原式=()()2244m m +- =()()()2422m m m ++-；（2）解：原式=()2221x x x -+=()221x x -； （3）解：原式=()276x y y -+=()()61x y y --； （4）解：原式=()22214a a +-=()()22212a a +-=()()221212a a a a +++-=()()2211+-a a【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．(1)()52y x y - (2)()()22x y x y +-【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，即可解答． （1）解：原式()()()23252x y x y x y y x y =-+-+=-；（2）解：原式()()()()22222222x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；①公式法；①十字相乘法；①分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．5．(1)2(1)m a + (2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方式因式分解． （2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解． （1）22ma ma m ++ 2(21)m a a =++ 2(1)m a =+（2）()222416x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-【点拨】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉因式分解的基本步骤1．提取公因式；2．套用公式．6．(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．7．(1)24()x y -(2)3(1)(1)a a +-【分析】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案．（1）解：22484x xy y -+()2242x xy y =-+()24x y =-； （2）解：()()2221a a a +-+ ()()()()2211a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++++-+⎣⎦⎣⎦()()22211a a a =++-()()()2111a a a =++-()()311a a =+-【点拨】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键．8．(1)2(2)(2)x x y x y +-(2)()221a a -【分析】（1）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可；（2）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式=()2224x x y - =()()222x x y x y +-；（2）解：原式=()2221a a a -+ =()221a a -.【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法．9．(1)(3)(3)y x x +-；(2)22(2)x x y -；(3)()22x -；(4)()()11x y x y +--+【分析】（1）先提取公因式y ，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式2x ，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）先进行展开，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；（4）先利用完全平方公式分解括号内的整式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．（1）解：原式=2(9)y x -=(3)(3)y x x +-（2）解：原式=322288x x y xy -+=222(44)x x xy y -+（3）解：原式=244x x -+=()22x -（4）解：原式=()221x y --=()()11x y x y ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦=()()11x y x y +--+【点拨】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键．10．(1)2122x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (2)22(3)(3)x x -+(3)5()()x y x y +-(4)()3()a b a b +-【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可；（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可；（3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可；（4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可．（1）21222x x -+- =212()4x x --+ =2122x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）()222936x x +-=()2229(6)x x +-=22(69)(69)x x x x -+++（3）()()223223x y x y +-+=()()32233223x y x y x y x y ++++--=(55)()x y x y +-=5()()x y x y +-（4）()()2222a a b b b a ---=()()2222a a b b a b ---=()222()a b a b --=()2()()a b a b a b -+-=()3()a b a b +-【点拨】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法．11．(1)212x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2)()()()1m n x y m n -+-+【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解，即可求解；（2）提取公因式()()m n x y -+，即可求解．（1）解：2214x xy y ++ =2211222x xy y ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭=212x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）解：()()()()2m n x y n m x y -+--+=()()()()2m n x y m n x y -+--+=()()()1m n x y m n -+--⎡⎤⎣⎦=()()()1m n x y m n -+-+.【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．12．(1)23()x x y -(2)1()()2y x y x -+ 【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．（1）322363x x y xy -+=3x （x 2-2xy +y 2）=3x （x -y ）2；（2）221122x y -+ 221()2x y =-- 1()()2x y x y =-+- 【点拨】本题考查因式分解，掌握完全平方公式（a +b ）2=a 2+2ab +b 2和平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2是解题关键．13．(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点拨】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．14．(1)()231b a --(2)()()a b c a b c -+--【分析】（1）先提公因式3b -，再利用完全平方公式即可进行因式分解；（2）将前3项为一组，第4项为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．（1）解：2363a b ab b -+-()2321b a a =--+()231b a =--；（2）解：-+-222a 2ab b c ()22a b c =-- ()()a b c a b c =-+--．【点拨】本题考查公式法，提公因式法进行因式分解，掌握平方差、完全平方公式的结构特征以及提公因式的原则是正确解答的关键．15．(1)()()22a b a b +-(2)()26m -【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）利用完全平方公式即可因式分解．（1）解：224a b -()()()22222a b a b a b =-=+- ；（2）解：21236m m -+()2222666m m m =-⋅⋅+=-．【点拨】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．16．(1)()()()a b x y x y -+-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式()a b -，然后根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()22a b x y -- ()()()a b x y x y =-+-；（2）解：原式＝()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()2222a a =+-．【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．17．(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．18．(1)()()()a b x y x y -+-(2)23(3)x y -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．（1）解：原式22()()a b x y =--()()()a b x y x y =-+- （2）解：原式223(69)x xy y =-+23(3)x y =-【点拨】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．19．2【分析】运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再进一步整体代入求解． 解：①x ﹣y ＝1，xy ＝2，①x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3＝xy （x 2﹣2xy +y 2）＝xy （x ﹣y ）2＝2×1＝2．【点拨】此题考查了因式分解在代数式求值中的应用，能够熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解，渗透整体代入的思想．20．(1)2(2﹣x )(2+x )(2)2xy (x +y )2【分析】(1)直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案；(2)直接提取公因式2xy ，再利用完全平方公式分解因式得出答案．（1）解：原式＝2(4﹣x 2)＝2(2﹣x )(2+x )；（2）解：原式＝2xy (x 2+2xy +y 2)＝2xy (x +y )2；【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．21．(1)4(4)(4)x x +-(2)()()444a b a b ++【分析】（1）先提取公因式4，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，然后提取公因式即可．（1）解：2464x -()2416x =-()()444x x =+-；（2）解：2225()9()a b a b +--()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533a b a b a b a b =++-+-+()()8228a b a b =++()()444a b a b =++．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．22．(1)（a ﹣b ）(a -1)(2)(x +y )2(x -y )2【分析】（1）提取公因式分解即可；（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式分解即可．（1）解：a （a ﹣b ）﹣a +b=a （a ﹣b ）﹣(a -b )=（a ﹣b ）(a -1)（2）（x 2+y 2）2﹣（2xy ）2=(x 2+y 2+2xy )(x 2+y 2﹣2xy )=(x +y )2(x -y )2．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法提公因式法和运用公式法．23．(1)()()222a a a +-(2)()242a -【分析】（1）先提取公因式2a ，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式4，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：328a a -=()224a a - =()()222a a a +-．（2）解：241616a a -+=()2444a a -+ =()242a -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．24．(1)()()222a a a +-(2)()242a -【分析】（1）先提取公因式2a ，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式4，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：328a a -=()224a a - =()()222a a a +-．（2）解：241616a a -+=()2444a a -+ =()242a -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．25．(1)()()222a a +-(2)()()2211x x +-【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解即可．（1）解：原式()()()224222a a a =-=+-； （2）解：原式()()()()2222121211x x x x x x =+++-=+-． 【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式是解题的关键．26．(1)()221a a -(2)()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）先提取公因式2a ，然后用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式x -y ，然后用平方差公式分解即可．（1）解：32242a a a -+ ()2221a a a =-+()221a a =-．（2）解：()()2294a x y b y x -+- ()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．27．(1)(4)(4)x x +-(2)22(2)y x -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（1）原式()()44x x =+-；（2）原式()()2224422y x x y x =-+=-； 【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，准确利用提取公因式法和公式法求解是解题的关键．28．(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．29．(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+ =()2x x y -．【点拨】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．30．(1)()()33x x +-(2)()222a b +(3)()()211m m +-(4)()()11x y x y +++-【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式2，然后利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式m +1，然后利用平方差公式分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：原式()()33x x =+-；（2）解：原式()2224a ab b =++ ()222a b =+； （3）解：原式()()211m m =+-()()()111m m m =++-（4）解：原式2221x x y =+-+()2221x x y =++-()221x y =+-()()11x y x y =+++-．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．31．(1)13.2(2)1(1)(1)m x x x ++-(3)(5)(3)y y -+(4)22(2)(2)x x +-【分析】（1）提取公因式13.2，即可快速求解；（2）提取1m x +，再利用平方差公式求解即可；（3）利用十字相乘法求解；（4）利用平方差公式进行因式分解．（1）解：23.4 1.320.6613.226.4⨯+⨯- 2.3413.20.6613.213.22=⨯+⨯-⨯13.2(2.340.662)=⨯+-．13.2=（2）解：31m m x x ++-()121m x x +=-1(1)(1)m x x x +=+-（3）解：2215(5)(3)y y y y --=-+（4）解：()222416x x +-()()224444x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握相应的方法：提取公因式法、利用平方差公式因式分解、利用完全平方公式因式分解．32．(1)()232x x y --（或者()223x y x -）(2)()232a +(3)()()22a x y -+(4)()()2422a a a +- 【分析】（1）先提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答；（3）先提公因式进行分解，即可解答；（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：-6x 2+4xy=-2x （3x -2y ）；（2）解：3a 2+12a +12=3（a 2+4a +4）=3（a +2）2；（3）解：2x （a -2）-y （2-a ）=2x （a -2）+y （a -2）=（a -2）（2x +y ）；（4）解：4a 4-16a 2=4a 2（a 2-4）=4a 2（a +2）（a -2）【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．33．(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点拨】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．34．(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．35．(1)2(3)mn m -(2)22(1)(1)a a +-【分析】（1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行解答即可；（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式进行解答即可．（1）解：原式()269mn m m =-+ 2(3)mn m =-（2）原式2221(2)a a()()221212a a a a =+++-22(1)(1)=+-a a ．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．36．(1)2(2)x -(2)22(3)a a --【分析】（1）原式去括号整理得244x x -+，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；（2）原式提取公因式2a -后，再根据完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：()134x x x --+＝234x x x --+＝244x x -+＝2(2)x -（2）3221218a a a -+-＝22(69)a a a --+＝22(3)a a --【点拨】本题考查完全平方公式、提公因式分解因式，掌握公式结构特征是正确应用的前提．37．(1)9（x +3）（x ﹣3）(2)m （m ﹣4）2【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解；（2）先提出公因式，再利用完全平方公式解得，即可求解．（1）解：9x 2﹣81＝9（x 2﹣9）＝9（x +3）（x ﹣3）（2）解：m 3﹣8m 2+16m ＝m （m 2﹣8m +16）＝m （m ﹣4）2【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法解答是解题的关键．38．(1)2(2)(2)x x x +-(2)2(2)y x y --【分析】（1）先提公因式再用平方差公式分解即可；（2）先提公因式再用完全平方公式分解即可．（1）32()()()2824222x x x x x x x -=-=+-（2）22322244(44(2)xy x y y y x xy y y x y --=--+=--【点拨】本题考查因式分解，先提公因式再用公式法进行因式分解是解题的关键．39．(1)()()x y a b --(2)23(2)n m -(3)2(22)x y +-(4)22(3)(3)x x +-【分析】()1将y x -变形为()x y --，提公因式即可；()2先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；()3把()2x y +看作整体，利用完全平方公式分解因式即可；()4先用平方差公式，再用完全平方公式即可．（1）解：原式()()a x y b x y =--- ()()x y a b =--；（2）解：原式()2344n m m =-+ 23(2)n m =-； （3）解：原式()2(2)424x y x y =+-++ 2(22)x y =+-；（4）解：原式()()229696x x x x =+++- 22(3)(3)x x =+-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法，体现了整体思想，掌握()()22a b a b a b -=+-，222)2(a ab b a b ±+=±是解题的关键．40．(1)()23a m - (2)22(3232)(32)a b a b a b +【分析】（1）利用提取公因式后再用完全平方公式进行分解因式即可；（2）两次利用平方差公式法进行分解因式即可．（1）解：原式＝()()22693a m m a m -+=-； （2）原式2222(32)(32)a b a b =+-=2222]3(32)(2)a b a b +-=22(3232)(32)a b a b a b +．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；①公式法；①十字相乘法；①分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．41．(1)()22m x y +(2)()()2222x x -+【分析】（1）提取公因式2m ，再用完全平方公式因式分解．（2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解．（1）解：原式()()222222m x xy y m x y =++=+ （2）解：原式()()()()2222444422x x x x x x =+++-=-+ 【点拨】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是会用提取公因式法和公式法． 42．(1)3x （y +2）（y ﹣2）；(2)y （x ﹣y ）2【分析】（1）利用提取公因式、平方差公式，分解因式即可求解；（2）利用提取公因式、完全平方公式，分解因式即可求解．（1）原式=234x y -（） =322x y y +-（）（） （2）原式=222y x xy y -+（） =2y x y -（） 【点拨】本题考查因式分解知识，关键是要熟练运用提取公因式、平方差公式、完全平方公式等．43．(1)24(2)a -(2)(x -y )(3a +2b )(3a -2b )【分析】(1)先提公因式4，再用完全平方公式分解即可；(2)先变形为229()-4()a x y b x y --，再提公因式(x -y )，然后用平方差公式分解即可． （1）解：241616a a -+=4(a 2-4a +4)=4(a -2)2；（2）解：229()4()a x y b y x -+-=229()-4()a x yb x y --=(x -y )(9a 2-4b 2)=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )．【点拨】本题考查提公因式与公式法综合运用，熟练掌握提公因式与公式法分解因式的综合运用是解题的关键．44．(1)(3)(3)x x x +-(2)2(21)x x -【分析】（1）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式2(9)x x =-(3)(3)x x x =+-（2）解：原式()2441x x x =-+ ()221x x =- 【点拨】此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．45．(1)()2321y x -(2)()()()211m n n -+-【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可；（2）先将原式变形，然后再提取公因式，最后利用平方差公式进行分解即可．（1）解：263x y y -23(21)y x =-（2）解：2(2)(2)n m m -+- 2(2)(2)n m m =--- 2(2)(1)m n =--(2)(1)(1)m n n =-+-【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．46．(1)()()522x x x +-(2)()2332x y --【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解即可；（2）将3(x -y )当成整体直接运用完全平方公式分解即可．（1）解：原式2()5 4x x =-()()522x x x =+-．（2）原式()()24129x y x y =+-+-()223x y +-⎡⎤⎣⎦=()2332x y =--．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的两种方法提公因式法和运用公式法，公式法又分为平方差公式和完全平方公式，适当时可运用整体思想．47．(1)2()--a a b(2)()()422a b a b --【分析】（1）先提取公因式－a ，再利用完全平方公式继续分解；（2）先利用平方差公式进行分解，计算后再提取公因式即可．（1）解：2322a b a ab --()222a a ab b =--+2()a a b =--；（2）()()229a b a b --+()()223a b a b ⎡⎤⎦=-+⎣-()()()()33a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4224a b a b =--()()422a b a b =--．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．48．(1)mn （2m +n ）（2m ﹣n ）(2)（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式mn ，再利用平方差公式分解可得；（2）先化简原整式，再利用完全平方公式计算可得．（1）解：原式=mn （4m 2﹣n 2）=mn （2m +n ）（2m ﹣n ）；（2）解：原式=x 2﹣4x +3+1=x 2﹣4x +4=（x ﹣2）2．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．49．(1)b （a −b ）2(2)22(3)3x x +-（）【分析】（1）先提公因式b ，再利用完全平方公式解答；（2）由整体思想，先利用平方差公式，再运用完全平方公式解答．（1）解：a 2b ﹣2ab 2+b 3=b (a 2-2ab +b 2)= b (a -b )2（2）（x 2+9）2﹣36x 2=（x 2+9+6x ）（x 2+9-6x ）=22(3)3x x +-（）．【点拨】本题考查因式分解，涉及提公因式、平方差、完全平方公式、整体思想等知识，掌握相关知识是解题关键．50．(1)2（x +1）（x -1）(2)x （x -2y ）2【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；（2）直接提取公因式x ，再利用公式法分解因式即可．（1）2x 2﹣2=2（x 2-1）=2（x +1）（x -1）（2）x 3﹣4x 2y +4xy 2=x （x 2-4xy +4y 2）=x （x -2y ）2 【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．51．(1)()21366a -。
初二因式分解题20道
初二因式分解题20道一、提取公因式法1. 分解因式：3x + 6- 解析：先找出各项的公因式，在3x+6中，公因式为3。
所以3x + 6=3(x + 2)。
2. 分解因式：5x^2-10x- 解析：公因式为5x，则5x^2 - 10x = 5x(x - 2)。
3. 分解因式：8x^3y - 12x^2y^2- 解析：公因式为4x^2y，8x^3y-12x^2y^2 = 4x^2y(2x - 3y)。
二、公式法（平方差公式：a^2 - b^2=(a + b)(a - b)）4. 分解因式：x^2-9- 解析：x^2-9=x^2 - 3^2，根据平方差公式可得(x + 3)(x - 3)。
5. 分解因式：16y^2 - 25- 解析：16y^2-25=(4y)^2 - 5^2=(4y + 5)(4y - 5)。
6. 分解因式：49x^4 - 16y^4- 解析：49x^4-16y^4=(7x^2)^2-(4y^2)^2=(7x^2 + 4y^2)(7x^2-4y^2)，其中7x^2 - 4y^2还可以继续分解为(√(7)x+2y)(√(7)x - 2y)，所以49x^4 - 16y^4=(7x^2 +4y^2)(√(7)x + 2y)(√(7)x - 2y)。
三、公式法（完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2）7. 分解因式：x^2+6x + 9- 解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
8. 分解因式：4y^2-20y + 25- 解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y + 5^2=(2y - 5)^2。
9. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2- 解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用（先提公因式，再用公式法）10. 分解因式：2x^3 - 8x- 解析：先提公因式2x，得到2x(x^2 - 4)，然后x^2 - 4可以用平方差公式继续分解为(x + 2)(x - 2)，所以2x^3-8x = 2x(x + 2)(x - 2)。
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【例1总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公 因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反 数的因式可变形为公因式．
例6：小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、
我、宜、游C、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信
息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
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（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆. 整式乘法是一种积化和差的运算，因式分解是和差化积的形式
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例1：下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ C ）
A．6a2b2=3ab•2ab
B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）-1
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
例4：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
则△ABC的形状为( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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例5：已知|x－y＋2|＋ x + y- 2 ＝0，则x2－y2的值为___－__4___．
错解解析：错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间项的符号是负的情况，产
生漏解．（要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形）
正确解法：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或 m＝－1.
3
33
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知识点4：公式法分解因式
1、平方差公式法：
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
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例1：下列各式不能用平方差公式分解因式的是( C )
A．－x2＋y2
B．x2－(－y)2
.
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例4：分解因式： (1)a2－ab＋ac－bc； (2)x3＋6x2－x－6.
导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c， 各自提取公因式后均剩下(a－b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知， 第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；
(2)题先对所求式提取公因式，再运用整体思想；整体代入计算．
解：(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ 1 ，xy＝2时，原式＝23× 1 ＝ 8 .
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
【解析】
A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意； D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意． 故选：C．
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知识点2：提公因式
一、公因式的定义：一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这 个多项式各项的公因式
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
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例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
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例4：把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
例5：因式分解：－x2－4y2＋4xy.
解：－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2.
.
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要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类
四项
分组 分解 五项 法
六项
.
分组方法 二项、二项 三项、一项
特点 ①按字母分组②按系数分组③符合 公式的两项分组
先完全平方公式后平方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项二项、二 项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
例7：分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2 ＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式 导致出错
例8：分解因式： a4－1. 解：a4－1 ＝(a2＋1)(a2－1) ＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
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2.易错警示： （1）找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错； （2）提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项； （3）提取公因式后，多项式中各项还含有公因式。
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知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、
四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看
能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可
用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可
提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，
则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、
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例1：把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应
该是( B ) A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
例2：分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A )
例1：下式用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
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例2：因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
拆项(添项)等方法．
易错点：分解不彻底导致出错
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2、完全平方公式法：
a2 2abb2 ab 2 a2 2ab b2 ab 2
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因 式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
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例1：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值． 错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式，所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
.
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例3分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平 方式，再与“1”又组成平方差公式.
解：－x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
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例3：分解因式：（1） （3）
【答案】解：（1） （2 ) (3)
.
（2）
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知识点6：分组分解法分解因式
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公 式法和十字交叉法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法， 即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再 对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组， 然后再分解因式.
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“—”号，使括号内 第一项的系数成为正数.在提出 “—”号时，多项式的各项都要 变号.
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例3：利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8； (2)已知2x－y＝ 1 ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
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