八年级因式分解专题(内部资料)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例7：分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2 ＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式 导致出错
例8：分解因式： a4－1. 解：a4－1 ＝(a2＋1)(a2－1) ＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
.
优学教育 YOUXUE
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类
四项
分组 分解 五项 法
六项
.
分组方法 二项、二项 三项、一项
特点 ①按字母分组②按系数分组③符合 公式的两项分组
先完全平方公式后平方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项二项、二 项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
优学教育 YOUXUE
第四章：因式分解
优学教育 YOUXUE
知识点1：因式分解的定义
定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式， 是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是 整式的积的形式.
优学教育 YOUXUE
例3：分解因式：（1） （3）
【答案】解：（1） （2 ) (3)
.
（2）
优学教育 YOUXUE
知识点6：分组分解法分解因式
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公 式法和十字交叉法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法， 即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再 对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组， 然后再分解因式.
怎样确定多项式各项的公因式？（三定） 定系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
优学教育 YOUXUE
【例1总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公 因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反 数的因式可变形为公因式．
＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
优学教育 YOUXUE
例4：把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
例5：因式分解：－x2－4y2＋4xy.
解：－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2.
易错点：分解不彻底导致出错
优学教育 YOUXUE
2、完全平方公式法：
a2 2abb2 ab 2 a2 2ab b2 ab 2
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因 式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
优学教育 YOUXUE
例1：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值． 错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式，所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
优学教育 YOUXUE
例1：把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应
该是( B ) A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
例2：分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A )
例6：小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、
我、宜、游C、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信
息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
优学教育 YOUXUE
拆项(添项)等方法．
优学教育 YOUXUE
知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、
四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看
能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可
用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可
提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，
则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、
错解解析：错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间项的符号是负的情况，产
生漏解．（要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形）
正确解法：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或 m＝－1.
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“—”号，使括号内 第一项的系数成为正数.在提出 “—”号时，多项式的各项都要 变号.
优学教育 YOUXUE
例3：利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8； (2)已知2x－y＝ 1 ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
【解析】
A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意； D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意． 故选：C．
优学教育 YOUXUE
知识点2：提公因式
一、公因式的定义：一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这 个多项式各项的公因式
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
ห้องสมุดไป่ตู้
优学教育 YOUXUE
知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
例1：下式用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
优学教育 YOUXUE
例2：因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
例4：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
则△ABC的形状为( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
优学教育 YOUXUE
例5：已知|x－y＋2|＋ x + y- 2 ＝0，则x2－y2的值为___－__4___．
3
33
优学教育 YOUXUE
知识点4：公式法分解因式
1、平方差公式法：
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
优学教育 YOUXUE
例1：下列各式不能用平方差公式分解因式的是( C )
A．－x2＋y2
B．x2－(－y)2
优学教育 YOUXUE
例2：已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
例3：计算或化简：(1)2022＋202×196＋982； (2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
解：(1)原式＝2022＋2×202×98＋982＝(202＋98)2＝3002＝90000. (2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
优学教育 YOUXUE
2.易错警示： （1）找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错； （2）提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项； （3）提取公因式后，多项式中各项还含有公因式。
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
.
优学教育 YOUXUE
例3分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平 方式，再与“1”又组成平方差公式.
解：－x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
优学教育 YOUXUE
例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
.
优学教育 YOUXUE
例4：分解因式： (1)a2－ab＋ac－bc； (2)x3＋6x2－x－6.
导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c， 各自提取公因式后均剩下(a－b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知， 第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；
(2)题先对所求式提取公因式，再运用整体思想；整体代入计算．
解：(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ 1 ，xy＝2时，原式＝23× 1 ＝ 8 .
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆. 整式乘法是一种积化和差的运算，因式分解是和差化积的形式
优学教育 YOUXUE
例1：下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ C ）
A．6a2b2=3ab•2ab
B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）-1
易错点：忽视系数变平方的形式 导致出错
例8：分解因式： a4－1. 解：a4－1 ＝(a2＋1)(a2－1) ＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
.
优学教育 YOUXUE
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类
四项
分组 分解 五项 法
六项
.
分组方法 二项、二项 三项、一项
特点 ①按字母分组②按系数分组③符合 公式的两项分组
先完全平方公式后平方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项二项、二 项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
优学教育 YOUXUE
第四章：因式分解
优学教育 YOUXUE
知识点1：因式分解的定义
定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式， 是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是 整式的积的形式.
优学教育 YOUXUE
例3：分解因式：（1） （3）
【答案】解：（1） （2 ) (3)
.
（2）
优学教育 YOUXUE
知识点6：分组分解法分解因式
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公 式法和十字交叉法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法， 即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再 对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组， 然后再分解因式.
怎样确定多项式各项的公因式？（三定） 定系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
优学教育 YOUXUE
【例1总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公 因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反 数的因式可变形为公因式．
＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
优学教育 YOUXUE
例4：把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
例5：因式分解：－x2－4y2＋4xy.
解：－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2.
易错点：分解不彻底导致出错
优学教育 YOUXUE
2、完全平方公式法：
a2 2abb2 ab 2 a2 2ab b2 ab 2
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因 式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
优学教育 YOUXUE
例1：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值． 错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式，所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
优学教育 YOUXUE
例1：把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应
该是( B ) A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
例2：分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A )
例6：小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、
我、宜、游C、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信
息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
优学教育 YOUXUE
拆项(添项)等方法．
优学教育 YOUXUE
知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、
四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看
能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可
用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可
提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，
则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、
错解解析：错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间项的符号是负的情况，产
生漏解．（要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形）
正确解法：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或 m＝－1.
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“—”号，使括号内 第一项的系数成为正数.在提出 “—”号时，多项式的各项都要 变号.
优学教育 YOUXUE
例3：利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8； (2)已知2x－y＝ 1 ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
【解析】
A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意； D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意． 故选：C．
优学教育 YOUXUE
知识点2：提公因式
一、公因式的定义：一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这 个多项式各项的公因式
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
ห้องสมุดไป่ตู้
优学教育 YOUXUE
知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
例1：下式用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
优学教育 YOUXUE
例2：因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
例4：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
则△ABC的形状为( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
优学教育 YOUXUE
例5：已知|x－y＋2|＋ x + y- 2 ＝0，则x2－y2的值为___－__4___．
3
33
优学教育 YOUXUE
知识点4：公式法分解因式
1、平方差公式法：
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
优学教育 YOUXUE
例1：下列各式不能用平方差公式分解因式的是( C )
A．－x2＋y2
B．x2－(－y)2
优学教育 YOUXUE
例2：已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
例3：计算或化简：(1)2022＋202×196＋982； (2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
解：(1)原式＝2022＋2×202×98＋982＝(202＋98)2＝3002＝90000. (2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
优学教育 YOUXUE
2.易错警示： （1）找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错； （2）提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项； （3）提取公因式后，多项式中各项还含有公因式。
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
.
优学教育 YOUXUE
例3分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平 方式，再与“1”又组成平方差公式.
解：－x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
优学教育 YOUXUE
例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
.
优学教育 YOUXUE
例4：分解因式： (1)a2－ab＋ac－bc； (2)x3＋6x2－x－6.
导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c， 各自提取公因式后均剩下(a－b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知， 第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；
(2)题先对所求式提取公因式，再运用整体思想；整体代入计算．
解：(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ 1 ，xy＝2时，原式＝23× 1 ＝ 8 .
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆. 整式乘法是一种积化和差的运算，因式分解是和差化积的形式
优学教育 YOUXUE
例1：下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ C ）
A．6a2b2=3ab•2ab
B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）-1