结构力学第11章 影响线

RA 1
＋
l
Pl x l x RA l l
RA影响线
绘制简支梁支座反力影响线规律： 简支梁某支座反力影响线为一段直线； 画哪个支座的就在该支座处向上取纵标 1，在另一支座处取零。
（2）弯矩影响线
x
A
P=1
C
RA
l x
l
RB
x l
a
RA
l
b
B
当P=1在C左移动时，
ME 0 RB 3d N de h 0
0 3d ME N de RB h h
P=1
C D
I
RA
l=6d
E
E
F
G
RB
A
C
D
P=1 F
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
ME 0 RA 3d N de h 0
0 3d ME N de RA h h
第十一章 影响线及其应用
§11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线
§11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线
§11-5 多跨静定梁的影响线
§11-6 桁架的影响线
§11-7 影响线的应用 §11-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
第十一章 影响线
11-1 概述 一、荷载的分类 按荷载的作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。 固定荷载：荷载的大小方向和作用位置不变的荷载。 移动荷载：荷载的大小方向不变，但作用位置可在结构上移动
x
D
a
P=1
C
D
b a
l
P=1kN C
b
l ab/l
yD
＋
MC.I.L
yD ab/l M图
(kN.m) (m) 弯矩影响线与弯矩图的比较
荷载位置 截面位置
横坐标
单位移动 荷载位置
竖坐标yD
单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩 C点的固定荷载作用下, 产生的D截面的弯矩
影响线
变
不变
弯矩图
不变
3）当P=1在被截的节间DE内移动时， 3d/h 3d/h Nde影响线在此段应为一直线。 3d/(2h)
Nde影响线
－
h
（2）下弦杆轴力NDE的影响线
a c d
I
e
f
g
b
1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
Md 0 RB 4d N CD h 0 N CD
P=1
A
P=1
l
D
B
R
B
y=RB
＋
1
yD
x
RB影响线
11-2 静力法绘制静定单跨梁的影响线
静力法：该法的原理是用建立平衡方程的方法求出某量值与 单位荷载移动位置的关系方程（影响线方程），再根据此方 程绘制出影响线的方法。
一、简支梁的影响线 （1）支座反力影响线
P=1
A
MB 0
B
x
RA l Pl x 0
MD=0 当P=1位于D截面左侧时，
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
M D d l x P l x d x l d MD 0 xl
l d x l
M D d
d
三、悬臂梁梁的影响线
四、影响线与内力图的比较
影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定 截面处的某一量值的变化情形； 内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结 构所有截面上的分布情形。
h
G
一、桁架的反力影响线
a c d e f g b
A
P=1 C D
l=6d
E
E
F P=1 F
G
B
A
C
D
G
B
x
RA RB
单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同， 故二者的支座反力影响线也完全一样。
二、桁架杆件内力影响线 （1）上弦杆轴力Nde的影响线
a c d
I
e
Nde
f
g
b
1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位置 时这种内力将如何分布。
由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的 任何位置时，该量值的变化规律，但其不能表示其 他截面处的同一量值的变化情形。
11-3 间接荷载作用下的影响线 一、结点荷载的概念
P=1 P=1P=1 横梁 P=1 纵梁 C D d/2 d/2 E F 主梁
M C RB b x b l
RB
0 x a
a
b
ab/l
＋
当P=1在C右移动时，
M C RAa (l x ) a l
a x l
MC影响线
绘制简支梁任意截面弯矩影响线规律：先在左支座A处取纵标 a与右支座零点用直线相连得右直线，然后在B支座处取纵标b 与左支座A 相连得左直线或从截面C引下竖线与右直线相交， 再与A点相连得左直线。
1
P=1 -x 二、伸出梁的影响线 E A （1）支座反力影响线 RA 当荷载P=1在跨内移动时， l1
x
P=1 C
x
P=1 F B RB
a
l
b
l2
反力RA、RB影响线与 l+l1/l 简支梁情况完全相同。 当P=1移至右伸臂时， lx M B 0 RA l
MA 0 x RB l
QC影响线
y1 y 2 y1 y 2 1 a b ab l a b y1 y2 l l
三、机动法绘制悬臂梁影响线
机动法作反力或内力影响线的步骤： 1）去掉与所求量值相应的约束，并代之约束力（设正 向）； 2）使机构沿约束力正向发生单位虚位移，得到荷载作
用点的竖向虚位移图，即所求影响线；
二、机动法绘制简支梁影响线 （1）反力影响线
A
x
P=1 B l d 1 B RB
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
dx d
x
P=1 1/2
x＋ d
－
3d 4
1/4
D
QCE. I.L
M C .I .L
11-4 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 ＝ 0
虚功方程
（2）F=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动
时，量值为0。 （3） F=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动
时，量值影响线为直线。
由此可作出 FF和 FSL 影响 B
线如图e、f。
2、机动法
MK 影响线
MC 影响线
FQC(左） 影响线
FQC(右） 影响线
例11.1 用机动法作图示多跨静定梁的影响线。 A F
K
1m
3m
1m 2m
2m
1m
1
H FSE的影响线 E C
F
1
D G
2
1
H F
1.5
F R D的影响线
D G
11-6 静力法作桁架的影响线
桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。 因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。
A
B
C
l=6d
D
E
F
任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 反力影响线与简支梁相同。
（3）剪力影响线
x
P=1 C l y2 B b
证明：根据W外=0
A a
QC y1 QC y2 1 d 0
d y左 y右 QC
当 y1 y2 ＝ 1时
QC y1 y2 1 d 0
QC A
d
1
＋ B
d QC
y1、y2的求法：
y1
QC
3）确定影响线各控制纵标值。基线以上部分为正号， 基线以下取负号。
11-5 多跨静定梁的影响线
多跨静定梁具有基本部分和附属部分 当基本部分受力时，附属部分不受力
当附属部分受力时，基本部分必受力
作影响线的步骤：
1）先作量值所在杆段影响线，它与相应单 跨静定梁影响线相同 2）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段， 竖标为0 3）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段， 其影响线为斜直线
变
截面位置
（3）剪力影响线
x
A
当P=1在C截面以左作用时，
B
P=1
C
QC RB
a
RA
l b/l
b
x (0 x a ) l
RB
当P=1在C截面以右移动时，
QC RA lx (a x l ) l
1
(1)
＋
a/l QC影响线
绘制简支梁任意截面剪力影响线 的规律： 先在支座A处取纵标1，以直线与 右支座B零点相连得右直线，再于 右支座B处，取纵标与左支座A零 点相连得左直线，然后由截面C引 下竖线与左、右直线相交。基线上 面纵标取正号，下面取负号。
证明：根据W外=0
A a
d a b M C
当a b 1时 d MC
M C a M C b 1 d 0
A a y MC
b
B
MC影响线
y 影响线顶点坐标y的求法： a a
y b 微小转角 b y y ab ab y 1 a b ab ab ab y ab l
F=
K
解 :(1) 撤 去 与 Z 相应的约束代以未知力 Z ，使体系沿 Z 的正方 向发生位移，由此可定 出Z 的影响线的轮廓。
H
E B C
F D
G
A
1m 3m
1m
3m
1m 2m
2m
1m
H H'
A
K' MK K
3 4
A
dZ B' dZ. B
F' E C E'
9 2
E C F D
G F D G'
G
(2) 令δ Z =1 ，可定出影响线各竖距 的数值。
H
1 4
K B
MK 的影响线
9 4
9 4
x
F=
H
E B C
F D
G
A
1m 3m
K
1m
3m
1m 2m
2m
1m
1 H' 4
H
A
1 K" 4
K K' 3 4
3 2
B E C E' 3 4 F
F' G D
1
G' 3 FSK 的影响线 4
C MC 的影响线
F D
1
G
2
x
F=
H
E B C
F D
G
A
1m 3m
通过纵梁或横梁 A 间接作用于主梁上的荷载 称为结点荷载。 RA
二、结点荷载作用下梁的影响线
B
RB
MD影响线
5 d 8
15 d 16
l=4d
3 d 4
＋
MD.I.L
5d d x 3d x MD 8 d 4 d
结点荷载下影响线作法： 结点荷载下影响线特点： 1）以虚线画出直接荷载作 1）在结点处，结点荷载与 用下有关量值的影响线。 直接荷载的影响线竖标相同. 2）以实线连接相邻结点处 2）相邻结点之间影响线为 的竖标，即得结点荷载作用 一直线。 下该量值的影响线。
P=1
B
C
G
D
E
3m
3m
B
2m
C
1
2m
2m
D
2m
1m
A
E MB影响线
MB
2m
QC 1/2
A
F
1/2 QC
B
C
1/3
D
1/6
E QF影响线
A
F
P=1
B
C
G
D
E
3m
3m
1 B
2m
4/3
2m
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2m
2m
A
D
RB QC 1
E RB影响线
2/3
A
B
C
QC
D
E
1/2
QC影响线
1m
A
B
C
G
MG
D
E
MG影响线
1m
例11.2 试用机动法作图示静定多跨梁的MK、FSK、MC、FSE和 FyD的影响线。 x
的荷载。
二、影响线的概念
P=1
A
研究B支座反力RB的变化规律
D B
x
mA 0
RB l Px 0 RB Px x l l
l
RB 1
y=RB
yD
＋
RB影响线
x
影响线：在单位移动荷载（P=1）作用下，某量值变化规律 的函数图象，称为该量值的影响线。Z＝Z（x） •在Z的影响线中，横标表示的是P=1的作用位置； • 竖标表示的是量值Z的值。
1、静力法
作图a所示多跨静 定梁MK的影响线，图 b为其层叠图。
F=1在AC段移 动时，MK=0，只考 虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移 动时的计算如图c。 荷载在CE段移动 时的计算同伸臂梁。
MK的影响线如图d。
多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法
（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。
1
RA影响线
l2/l
当P=1在左伸臂移动时， lx RA MB 0 R x l 0 Al 1 l x l x 0 M A 0 RBR l B1
（2）剪力影响线与弯矩影响线 截面在跨内，弯矩影 响线和剪力影响线同简 支梁，然后向两侧延长。
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
x E A RA l1
1
P=1 C a l b B RB
F
l2
l1/l
b/l
a/l
1 b
l2/l
a
QC影响线
ab/l
bl1/l
MC影响线
al2/l
（2）剪力影响线与弯矩影响线 截面在跨外：
E x A RA B RB l
1
P=1 D F d
QD=0 当P=1位于D截面左侧时， QD =1 当P=1位于D截面右侧时，