结构力学第11章 影响线
结构力学分章节练习题------第四-十一章
第四章一、选择题1、如图所示刚架，给出四个不同形状的弯矩图，其中形状正确的是（）题图2、如图所示正方形封闭荷载及框架，四个角上的弯矩相等且均为外侧受拉，其值等于 ( )PlA、8PlB、12PlC、16PlD、243、图为AB杆段的弯矩图，则杆上作用的外力P的大小应为（）A、8KNB、10 KNC、12 KND、15 KN选择题3 填空题1二、填空题1、图所示所示刚架，截面D的弯矩值等于，侧受拉。
2、图示刚架，其中CD 杆D 截面的弯矩为 kn m,CD 杆的轴力为 kn （设弯矩以内侧受拉为正，轴力以拉力为正）。
3、如图所示刚架中的弯矩=DC M ,轴力=ED N ，支座A 的竖向反力=A V 。
三、计算题1、如图所示刚架的M 图，试做Q 图与N 图2、试作出图如图所示刚架的M 、Q 图。
3、作图刚架的 M 、Q 图。
6Kn第五章一、选择题：1、如图所示三铰拱，已知其水平推力H=23P ，该拱的失跨比lf 等于 （ ）A 、81B 、61C 、41 D 、312、如图所示对称三铰拱，设拱轴线为抛物线。
铰C 右侧截面C '的轴力（受压为正）为（ ）。
3、经判断，如图所示结构的水平反力为 ( )A 、2,2P H P H B A -==B 、0,==B A H p HC 、P H H B A -==,0D 、2,2P H P H B A =-=二、填空题 ：1、当拱的轴线与压力线完全重合时，各截面 和 都为零，而只有 。
这样的拱轴线称为 。
第六章一、选择题1、所示组合结构，其中二力杆AB 的轴力为 （ ）A 、-P 2 B 、0C 、P 2D 、P 222、如图所示静定刚架及荷载，截面B 的弯矩B M 等于 （ ）A 、Pa （外侧受拉）B 、2Pa （内侧受拉）C 、2Pa （外侧受拉）D 、3Pa （内侧受拉）二、填空题1、如图所示桁架1、2杆的内力分别为1N = ，2N = 。
三、计算题1、试计算图所示桁架杆件1、2的内力。
结构力学影响线
Z
0
+-+
极大值点
0 -
x
Z - +- 0
极小值点
0+ x
若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值， 则：
当Δx>0，即荷载稍向右移，
FR。itgi 0
当Δx<0，即荷载稍向左移，
FR。itgi 0
29
若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：
当Δx>0，即荷载稍向右移， 当Δx<0，即荷载稍向左移，
Z
5 4
Z
B
Z FRB
2. 令该机构产生刚体位移，使 与Z方向一Z致，则虚功方程为：
Z Z FP（ P x） 0
上式中，Z
恒为正；
Z
（ 与P Fx） P同向为正，反向为负。乘积
FP的（P正x负）号由
的正负（P号x调）整。
15
3. 由上式可得:
Z P (x) Z
令
Z 1
得到
Z P (x)
3
现讨论图a)所示简支梁，当单个荷载FP=1在梁上移动时， 支座A的反力FRA的变化规律。
x
FP=1
a)
A
B
FRA y
b)
1
l y y1
y2
FRA影响线
x
MB 0
FRA
l
l
x
FP
(0 x l)
4
由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数
l x称为FRA的影响系数，用 l
表示，F即RA：
FRA
因为 是yix的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右
移动Δx，则竖标 的增量为：
yi
yi xtgi
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11章 影响线及其应用【圣才出品】
第11章 影响线及其应用
11.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表11-1-1） ★★★
表11-1-1
影响线的相关概述
二、用静力法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-2） ★★★★
表11-1-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
三、间接荷载作用下的影响线（见表11-1-3） ★★★
表11-1-3
间接荷载作用下的影响线
图11-1-1
四、用机动法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-4） ★★★★
表11-1-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
五、多跨静定梁的影响线（见表11-1-5） ★★★★
表11-1-5 多跨静定梁的影响线
六、桁架的影响线 ★★★
本节主要针对单跨静定梁式桁架，具体内容见表11-1-6。
表11-1-6 桁架的影响线
七、利用影响线求量值 ★★★★
绘制影响线的目的为利用影响线来确定实际移动荷载对于某一量值S的最不利位置，
以便求出该量值S的最大值。
利用影响线求量值的相关内容见表11-1-7。
表11-1-7 利用影响线求量值
八、最不利荷载位置（见表11-1-8） ★★★★
表11-1-8 最不利荷载位置
图11-1-2九、临界位置（见表11-1-9） ★★★。
《结构力学二》平时作业-2020年华南理工大学网络教育
3、图示抛物线三铰拱的轴线方程为 ，试求截面K的内力。（第4章静定拱）
4、试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。（第5章静定平面桁架）
5、作图示结构的M图，并求链杆的轴力。（第5章静定平面桁架）
6、图示简支刚架支座B下沉b，试求C点水平位移。（第6章结构位移计算）
7、图示结构的支座B发生了水平位移 （向右）， （向下）， 。已知各杆的 ， 。试：（a）作M图；（b）求D点竖向位移及F点水平位移。（第7章力法）
《结构力学二》平时作业
2020年华南理工大学网络教育
1、试对图示平面体系进行机动分析。（第2章平面体系的机动分析）
刚片1与刚片2通过不共线三个铰相连，故为无多余约束的几何不变体系
1、试不计算反力而绘出梁的弯矩图。（第3章静定梁与静定刚架）
2、作图示结构的 图,并求a杆的轴力。q=20kN/m。（第3章静定梁与静定刚架）
8、用力法计算，并绘图示结构的M图。EI=常数。（第7章力法）
9、用力法计算图示结构，作其M图。EI=常数。（第7章力法）
10、用位移法计算图示结构，并作M图。EI=常数。（第8章位移法）
11、已知图示结构B点的转角 ，各杆EI=常数,作M图。P=8kN,q=12kN/m。（第8章位移法）
12、试用位移法计算刚架，绘制弯矩图。E=常数。（第8章位移法）
13、试用力矩分配法计算图示刚架，并绘制M图。E=常数。（第9章渐近法）
14、用力矩分配法计算并Байду номын сангаас图示结构M图。EI=常数。（第9章渐近法）
15、试作图示伸臂梁 影响线。（第11章影响线及其应用）
结构力学 第十一章 作业参考答案(BY TANG Gui-he)
华南农业大学 水利与土木工程学院（College of water conservancy and Civil Engineering, SCAU）
11－9
试作主梁
FB
、
M
D
、
FSD
、
FL SC
、
FR SC
的影响线。
解：作出影响线如下:
F=1
A
CD
B
6*2m=12m
1
15/8m
F影响线 B
1/4
1/2 1/2
结构力学 第十一章 习题 参考答案
结构力学 第十一章习题 参考答案
TANG Gui-he
10－4 作图示结构中下列量值影响线： FNBC 、 M D 、 FSD 、 FND 。 F = 1在 AE 部分上移
动。
解：（1） FNBC 影响线
∑MA =0
FNBC
g
3 5
g4
+
1g
x
=
0
⇒
FNBC
=
−5 12
=
−
FNBC
g
3 5
⇒
FSD
=
−
1 4
x
(0 ≤ x ≤ 2)
当 F = 1作用在 D截面右边时
FSD
=
−
FNBC
g
3 5
+1
⇒
MD
=1−
x 4
(2 ≤ x ≤ 6)
（） FND 影响线
FND
+
FNBC
4 g 5=0⇒Fra bibliotekFSD=
1 3
x
(0 ≤ x ≤ 6)
x F=1
结构力学 绘制影响线
通过分析可知，当单位移动荷载 P =1在 AC 范围内移动时（b ≤ x ≤ l），取 CB 段为隔离体（图 4–12b），计算得MC = 0 ，QC = 0 (b ≤ x ≤ l) 当单位移动荷载 P =1在 CB 范围内移动时 ( 0≤ x≤ b )，取 CB 段为隔离体（图 4–12c），
QK = 1 MK= - X （0≤x≤d ') 当 P=1 在 K' 截面以左移动时，仍取 K 截面以左部分为隔离体，得
QK = 0 Mk=0
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
3．悬臂梁影响线的绘制 （1）支座反力影响线 绘制悬臂梁支座反力 VA 和 MA 的影响线时，建立如图 4 – 11a 所示坐 标系，以 B 点为坐标原点，并规定 x 以右为正。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 知识链接
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接
（2）移动的均布荷载 指作用位置可以变动或断续分布的均布荷载，如图 4 – 3 所示。如履带式起重 机、拖拉机，材料的任意堆放，人群的任意走动。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接 2．影响线的概念
对于支座处截面的弯矩影响线，截面 A 可视为外伸部分上的截面，此 时d=l1 。所以绘制MA 的影响线时，在 MK 的影响线方程中令x=l1 即可。绘 制的 MA 影响线如图 4 – 13d 所示。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 能力拓展
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
结构力学影响线的特点
结构力学影响线的特点
1. 发散性：影响线由一个集中载荷点或集中力引起，从载荷点或力的作用点向外发散，呈放射状分布。
2. 方向性：影响线与结构的载荷点或作用力的方向相一致，可以沿载荷点或作用力的方向延伸，反映了载荷或力对结构产生影响的方向。
3. 大小代表影响强度：影响线的长度和宽度可以表示载荷或作用力对结构的影响强度，即长度和宽度越大，代表影响强度越大。
4. 等效原理：线性结构可以用等效载荷或等效力来简化计算，等效载荷或力的作用点处于影响线上，从而能够代表整个载荷或力的影响。
5. 联结点：影响线之间的交点称为联结点，联结点的位置和数量取决于结构的几何形状和载荷或力的作用方式，与结构的强度和刚度有关。
总之，影响线是结构力学中一种用来分析和计算结构受力的有效工具，通过影响线的特点可以确定载荷或力对结构的影响方向、大小和作用点。
结构力学—影响线
0.75 1.0
P1
P2
RB P1 y1 P2 y2
l
RB
定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指
定2截021/面6/24中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线6 。
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律或最不利荷载 位置，内力影响线都是最基本的工具。
影响线有两种画法；静力法和机动法。
B
dx
b
l
a
y
l
QC P1 y1 P2 y2 P3 y3
I.L QC
B
QC
q dx y
A
B
qA ydx
I.L QC
q AB
AB－影响线面积代数和
24
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。
c
5.6m
3m
6m
3m
14m
1.8m
3.36m
d
4m
8m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于截面C处由判别式有：
x
0,
Ri
tgi
10
15
3.36 5.6
5
20
3.36 8.4
5
0
x
0,
Ri
tg i
10
3.36 5.6
15
5
20
3.36 8.4
10
0
Mmax 83kN m
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置——最不利荷载位置。 方法：在各种荷载中抽象出单位荷载（P =1）。
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x
P=1 1/2
x＋ d
－
3d 4
1/4
D
QCE. I.L
M C .I .L
11-4 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 ＝ 0
虚功方程
二、机动法绘制简支梁影响线 （1）反力影响线
A
x
P=1 B l d 1 B RB
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
1、静力法
作图a所示多跨静 定梁MK的影响线，图 b为其层叠图。
F=1在AC段移 动时，MK=0，只考 虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移 动时的计算如图c。 荷载在CE段移动 时的计算同伸臂梁。
MK的影响线如图d。
多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法
（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。
MD=0 当P=1位于D截面左侧时，
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
M D d l x P l x d x l d MD 0 xl
l d x l
M D d
d
三、悬臂梁梁的影响线
四、影响线与内力图的比较
影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定 截面处的某一量值的变化情形； 内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结 构所有截面上的分布情形。
x
D
a
P=1
C
D
b a
l
P=1kN C
b
l ab/l
yD
＋
MC.I.L
yD ab/l M图
(kN.m) (m) 弯矩影响线与弯矩图的比较
荷载位置 截面位置
横坐标
单位移动 荷载位置
竖坐标yD
单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩 C点的固定荷载作用下, 产生的D截面的弯矩
影响线
变
不变
弯矩图
不变
RA 1
＋
l
Pl x l x RA l l
RA影响线
绘制简支梁支座反力影响线规律： 简支梁某支座反力影响线为一段直线； 画哪个支座的就在该支座处向上取纵标 1，在另一支座处取零。
（2）弯矩影响线
x
A
P=1
C
RA
l x
l
RB
x l
aRAlb来自B当P=1在C左移动时，
3）当P=1在被截的节间DE内移动时， 3d/h 3d/h Nde影响线在此段应为一直线。 3d/(2h)
Nde影响线
－
h
（2）下弦杆轴力NDE的影响线
a c d
I
e
f
g
b
1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
Md 0 RB 4d N CD h 0 N CD
x E A RA l1
1
P=1 C a l b B RB
F
l2
l1/l
b/l
a/l
1 b
l2/l
a
QC影响线
ab/l
bl1/l
MC影响线
al2/l
（2）剪力影响线与弯矩影响线 截面在跨外：
E x A RA B RB l
1
P=1 D F d
QD=0 当P=1位于D截面左侧时， QD =1 当P=1位于D截面右侧时，
第十一章 影响线及其应用
§11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线
§11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线
§11-5 多跨静定梁的影响线
§11-6 桁架的影响线
§11-7 影响线的应用 §11-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
第十一章 影响线
11-1 概述 一、荷载的分类 按荷载的作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。 固定荷载：荷载的大小方向和作用位置不变的荷载。 移动荷载：荷载的大小方向不变，但作用位置可在结构上移动
1
P=1 -x 二、伸出梁的影响线 E A （1）支座反力影响线 RA 当荷载P=1在跨内移动时， l1
x
P=1 C
x
P=1 F B RB
a
l
b
l2
反力RA、RB影响线与 l+l1/l 简支梁情况完全相同。 当P=1移至右伸臂时， lx M B 0 RA l
MA 0 x RB l
QC影响线
y1 y 2 y1 y 2 1 a b ab l a b y1 y2 l l
三、机动法绘制悬臂梁影响线
机动法作反力或内力影响线的步骤： 1）去掉与所求量值相应的约束，并代之约束力（设正 向）； 2）使机构沿约束力正向发生单位虚位移，得到荷载作
用点的竖向虚位移图，即所求影响线；
（3）剪力影响线
x
P=1 C l y2 B b
证明：根据W外=0
A a
QC y1 QC y2 1 d 0
d y左 y右 QC
当 y1 y2 ＝ 1时
QC y1 y2 1 d 0
QC A
d
1
＋ B
d QC
y1、y2的求法：
y1
QC
3）确定影响线各控制纵标值。基线以上部分为正号， 基线以下取负号。
11-5 多跨静定梁的影响线
多跨静定梁具有基本部分和附属部分 当基本部分受力时，附属部分不受力
当附属部分受力时，基本部分必受力
作影响线的步骤：
1）先作量值所在杆段影响线，它与相应单 跨静定梁影响线相同 2）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段， 竖标为0 3）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段， 其影响线为斜直线
ME 0 RB 3d N de h 0
0 3d ME N de RB h h
P=1
C D
I
RA
l=6d
E
E
F
G
RB
A
C
D
P=1 F
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
ME 0 RA 3d N de h 0
0 3d ME N de RA h h
H
1 4
K B
MK 的影响线
9 4
9 4
x
F=
H
E B C
F D
G
A
1m 3m
K
1m
3m
1m 2m
2m
1m
1 H' 4
H
A
1 K" 4
K K' 3 4
3 2
B E C E' 3 4 F
F' G D
1
G' 3 FSK 的影响线 4
C MC 的影响线
F D
1
G
2
x
F=
H
E B C
F D
G
A
1m 3m
K
1m
3m
1m 2m
2m
1m
1
H FSE的影响线 E C
F
1
D G
2
1
H F
1.5
F R D的影响线
D G
11-6 静力法作桁架的影响线
桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。 因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。
A
B
C
l=6d
D
E
F
任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 反力影响线与简支梁相同。
变
截面位置
（3）剪力影响线
x
A
当P=1在C截面以左作用时，
B
P=1
C
QC RB
a
RA
l b/l
b
x (0 x a ) l
RB
当P=1在C截面以右移动时，
QC RA lx (a x l ) l
1
(1)
＋
a/l QC影响线
绘制简支梁任意截面剪力影响线 的规律： 先在支座A处取纵标1，以直线与 右支座B零点相连得右直线，再于 右支座B处，取纵标与左支座A零 点相连得左直线，然后由截面C引 下竖线与左、右直线相交。基线上 面纵标取正号，下面取负号。
的荷载。
二、影响线的概念
P=1
A
研究B支座反力RB的变化规律
D B
x
mA 0
RB l Px 0 RB Px x l l
l
RB 1
y=RB
yD
＋
RB影响线
x
影响线：在单位移动荷载（P=1）作用下，某量值变化规律 的函数图象，称为该量值的影响线。Z＝Z（x） •在Z的影响线中，横标表示的是P=1的作用位置； • 竖标表示的是量值Z的值。
h
G
一、桁架的反力影响线
a c d e f g b