2018年大连市高三双基考试数学(理科)答案

2018年大连市高三双基考试 数学（理科）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.D

7.C

8.B

9.D 10.A 11.C 12.B 二．填空题

13.602 16.{1}- 三．解答题 17. 解：（Ⅰ）

在ABD ∆中，由正弦定理可得

sin sin AB BD

ADB BAD =

∠∠， 在ACD ∆中，由正弦定理可得sin sin AC DC

ADC CAD

=

∠∠， 因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠， 所以

1

2

AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分 （面积法、平面几何法酌情给分）

（Ⅱ）法一：因为

1

2

BD DC =， 所以1121()3333

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，┄┄┄┄┄┄8分

所以2221()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，即8448

++cos<,9999AB AC =>u u u r u u u r ，所以cos<,0AB AC >=u u u r u u u r ，

所以<,=2

AB AC π

>u u u r u u u r ，所以ABC ∆面积为112=12⨯⨯. ┄┄┄┄┄12分

法二：设BAD α∠=，则ABD ∆面积为11sin 23α⨯⨯，ACD ∆面积为12sin 2α⨯，ABC ∆面积为

1

12sin 22

α⨯⨯⨯，

所以

11sin 23α⨯⨯1+2sin 2α⨯112sin 22

α=⨯⨯⨯，┄┄┄┄┄┄8分

sin 22sin cos αααα==

，所以sin cos αα==， 所以ABC ∆面积为

1

12sin 2=12

α⨯⨯⨯.┄┄┄┄┄┄12分 法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别利用余弦定理，得到

：

2222

22

12233

t t +-+-=（）

，解得t =，┄┄┄┄┄┄8分

所以BC ==

ABC ∆为直角三角形，面积为1

12=12

⨯⨯.┄┄┄12分

法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，

22222

2

1(

2((2)t t +-+-=

，解得t =，┄┄┄┄┄┄8分

所以BC ==

ABC ∆为直角三角形，面积为1

12=12

⨯⨯.┄┄┄12分

18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X ，则4

~(10,)5

X B ， ┄┄┄┄┄┄2分

所以4418

108,105555

EX DX =⨯==⨯⨯=. ┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）因为22

2

()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200

n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=

≈<++++⨯⨯⨯（，┄┄┄┄┄9分 所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.

┄┄┄┄┄┄12分

19. （Ⅰ）

法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ， 所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分

因为AD ⊂平面ABD ，所以'C O ⊥AD ，

假设'90ADC ∠=o

，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C =I ，

'C O ⊂平面

'BC D ，'DC ⊂平面'BC D ，

所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，

与已知

90ADB ∠≠o 矛盾，所以假设不成立.

所以'90ADC ∠≠o

.┄┄┄┄┄┄4分

法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，

所以'C O ⊥平面ABD ，

,,'

OD OE OC 过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，

为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

所以13'(0,0,

(,0,0),(0,0),(1,2222

C B

D A -，，

所以，13(,'(,0,22AD C D ==u u u r u u u u r ，所以3'04

AD C D ⋅=≠u u u r u u u u r ， 所以'90ADC ∠≠o

.┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，

31''(,0,'(,0,22C A C D C B ===-u u u u r u u u u r u u u u r

设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =r ，所以有'0'0

m C A m C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r

r

，即111

110302x y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 不妨令11x =

，则113

z y =

=

，即(1,3m =r

，┄┄┄┄┄┄6分 设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z =r ，所以有'0'0

n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r

r

，即2222201-022

x y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 不妨令23x =

，则22z y ==-

(3,n =-r

，┄┄┄┄┄┄8分

所以3cos ,||||13m n m n m n ⋅<>==

=-r r

r r

r r .┄┄┄┄┄┄10分 由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为3

13

-

.┄┄┄┄┄┄12分 20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+，

当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -

取到最大值2a ┄┄┄┄┄┄2分

又12c a =

，化简22a a a ==，为长半轴长.┄┄┄4分 （Ⅱ）由

12

c a =

，可得b a =

222

343x y a +=，2AF

斜率为b a c =- 所以可以设直线l

方程为y m =+

，其与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且22180480

a m ∆=->┄┄┄┄┄┄5分