16六年级奥数专题十六：找规律

六年级奥数专题十六：找规律
关键词：四边三角五边形内角规律六边形四边形奥数三角形等于
同学们从三年级开始，就陆续接触过许多找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。

这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。

例1求99边形的内角和。

分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形..................... 的内角和，找一找其中的规律。

如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180。

,所以四边形的内角和等于180° >2= 360 ° ;同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°X3= 540°;将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°X4 = 720°。

通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。

由此得到
多边形的内角和公式：
n边形的内角和=180°>(n-2 )(n》3)。

有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。

99 边形的内角和=180°X （99-2 ）= 17460°。

例2四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？
分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。

再在剩下的9个点中任取一点B。

如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。

如果B在某两个三角形的公共边上，
那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。

类似地，每增加一个点增加2个三角形。

所以，共可剪出三角形4 + 2X9= 22 （个）。

如果将例2的“1个点'改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能
剪出三角形
4 + 2X （n-1 ）=2n + 2=2X （n + 1）（个）。

同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；
同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。

如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、
正五棱柱……
例3 n棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么n棱柱共有多少对不相
交的棱？
分析与解：n棱柱的底面和顶面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以n棱柱共有
2n个顶点。

观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，
而每条棱连接2个顶点，所以n棱柱共有棱2n X3+2=3n (条)。

进一步观察可以发现，n棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的3n —4-1 = (3n —5) 条棱不相交。

共有3n条棱，所以不相交的棱有3n x ( 3n- 5 )(条)，因为不相交的棱是
成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有
3n x (3n-5 )吃(对)。

例4用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
分析与解：4条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找
到规律。

如下图所示，一个圆是1块；1条直线将圆分为2块，即增加了1块；2条直线时，当2条直线不相交时，增加了1块，当2条直线相交时，增加了2块。

由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。

再画第3条直线时，应当与前面2条直线都相交，这样又增加了3块（见左下图）；画第4条直线时，应当与前面3条直线都相交，这样又增加了4块（见右下图）。

所以4条直线最多将一个圆分成 1 + 1 + 2 + 3+ 4=11 （块）。

由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1 ）条直线都相交，
此时将增加n块。

因为一开始的圆算1块，所以n条直线最多将圆分成
1 +（1 +
2 +
3 +•••+ n）
=1 + n （n+1 ）吃（块）。

当n=100时，可分成
1 + 100X （100 + 1 ）吃=5051 （块）。

例5用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？
分析与解：平面本身是1部分。

一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分。

两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见
2个交点3个交点4个交点■交点百亍交点
増仙E部分増初d韶分增加4制分瞎加5部分増加&部分
由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。

所以，再画第3个三角形时，应使每
条边的交点尽量多。

对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3X (2X2) = 12 (个) 交点，即增加12部分。

因此，3个三角形最多可以把平面分成
1 + 1 + 6 + 12= 20 (部分)。

由上面的分析，当画第n (n》2)个三角形时，每条边最多与前面已画的( n —1)个三角形的各两条边相交，共可产生交点
3X [( n —I) X2: =6 (n —1)(个)，能新增加6 (n —1)部分。

因为1个三角形时
有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是
2 + 6X : 1 + 2 + …+( n —1)]
=2 + 6 X 丛：= 2 4- ?n (n -1) °
当n=10 时，可分成2 + 3X10X (10 —1) =272 (部分)。

练习16
1•求12边形的内角和。

2•五边形内有8个点。

以五边形的5个顶点和这8个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？
3•已知n棱柱有14个顶点，那么，它有多少条棱?
4.n条直线最多有多少个交点？
5.6条直线与2个圆最多形成多少个交点？
6•两个四边形最多把平面分成几部分？。