菱形的性质及判定定理
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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1. 经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程，掌握菱形
的性质定理 “菱形的四条边都相等” ，“菱形的对角线互相垂 直, 并且每条对角线平分一组对角” ； 2. 掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，“对角 线互相垂直的平行四边形是菱形” ；
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
结束
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
P60 5、6、9、10
结束
高效上好每节课·快乐上好每天学
平行四边形
ຫໍສະໝຸດ Baidu
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
高效上好每节课·快乐上好每天学
(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
还有什么方法吗?
高效上好每节课·快乐上好每天学
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 证明：
∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 A
D
C
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
B
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形.
A
D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA B
A
D
C
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
数学语言
高效上好每节课·快乐上好每天学
探究
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉, 做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个 四边形. 转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
A
D
B
F E C
高效上好每节课·快乐上好每天学
2、已知：如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形, 其中 对角线BD长10cm. A 求: (1)对角线AC的长度 (2)菱形的面积 解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°,
B
E
D
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直 =
③ 有四条边相等的四边形是菱形 四条边相等 +
=
高效上好每节课·快乐上好每天学
下列三个图形都是菱形, 正确吗? 为什么？
5 3 4
3 3
┍
4
5
4
4
3
有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形
5 5
对角线互相垂直的平行四 边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形
B
E
D
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D AC⊥BD B C B 菱形ABCD C A D
□ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形常用的判定方法：
① 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+ 邻边相等 =
B C
D
(2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. 提示:从边、角、对角线等 方面来探讨
高效上好每节课·快乐上好每天学
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 菱形的性质： ∴AB=BC=CD=AD 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而菱形 的邻边相等，故：
A
高效上好每节课·快乐上好每天学
D
边
菱形的两组对边平行且相等 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等
A
B
O
C
数学语言
角
∵四边形ABCD是菱形
菱形的邻角互补
对角线
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥CD∠CDB AB ∠ADB= 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD
菱形的性质1： 菱形的四条边都相等.
B
C
D
又： 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
A
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
B C
D
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
高效上好每节课·快乐上好每天学
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
高效上好每节课·快乐上好每天学
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
AE AD 2 DE 2
2 2
13 5 12 cm .
C
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
高效上好每节课·快乐上好每天学
求: (2)菱形的面积 A 解：(2) 菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD
求证：平行四边形ABCD是菱形
A ∟ C O
证明：
B
D
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD; ∴BA=BC ∴ 平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
高效上好每节课·快乐上好每天学
C
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时， 我们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它 们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形.
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1. 经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程，掌握菱形
的性质定理 “菱形的四条边都相等” ，“菱形的对角线互相垂 直, 并且每条对角线平分一组对角” ； 2. 掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，“对角 线互相垂直的平行四边形是菱形” ；
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
结束
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课堂小结
P60 5、6、9、10
结束
高效上好每节课·快乐上好每天学
平行四边形
ຫໍສະໝຸດ Baidu
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
高效上好每节课·快乐上好每天学
(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
还有什么方法吗?
高效上好每节课·快乐上好每天学
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 证明：
∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 A
D
C
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
B
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形.
A
D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA B
A
D
C
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
数学语言
高效上好每节课·快乐上好每天学
探究
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉, 做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个 四边形. 转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
A
D
B
F E C
高效上好每节课·快乐上好每天学
2、已知：如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形, 其中 对角线BD长10cm. A 求: (1)对角线AC的长度 (2)菱形的面积 解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°,
B
E
D
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直 =
③ 有四条边相等的四边形是菱形 四条边相等 +
=
高效上好每节课·快乐上好每天学
下列三个图形都是菱形, 正确吗? 为什么？
5 3 4
3 3
┍
4
5
4
4
3
有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形
5 5
对角线互相垂直的平行四 边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形
B
E
D
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D AC⊥BD B C B 菱形ABCD C A D
□ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形常用的判定方法：
① 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+ 邻边相等 =
B C
D
(2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. 提示:从边、角、对角线等 方面来探讨
高效上好每节课·快乐上好每天学
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 菱形的性质： ∴AB=BC=CD=AD 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而菱形 的邻边相等，故：
A
高效上好每节课·快乐上好每天学
D
边
菱形的两组对边平行且相等 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等
A
B
O
C
数学语言
角
∵四边形ABCD是菱形
菱形的邻角互补
对角线
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥CD∠CDB AB ∠ADB= 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD
菱形的性质1： 菱形的四条边都相等.
B
C
D
又： 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
A
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
B C
D
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
高效上好每节课·快乐上好每天学
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
高效上好每节课·快乐上好每天学
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
AE AD 2 DE 2
2 2
13 5 12 cm .
C
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
高效上好每节课·快乐上好每天学
求: (2)菱形的面积 A 解：(2) 菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD
求证：平行四边形ABCD是菱形
A ∟ C O
证明：
B
D
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD; ∴BA=BC ∴ 平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
高效上好每节课·快乐上好每天学
C
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时， 我们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它 们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形.