量子计算概述

二、 量子比特与量子比特门 对于经典的计算和信息论，比特（bit）是其基本概念。对于量子信息和量子计算的领
域，与比特相对应的概念是量子比特（qubit）。
1. 单量子比特
一个量子比特是两个态——我们可以表示为| 0 和|1 ——对应经典比特的 0、1—
—的线性叠加：
| | 0 |1
其中 α 和 β 是复数，满足归一化条件| |2 | |2 1。| 0 和|1 称为计算基态，是
其量子状态由 2n 个幅度来确定。
3. 单量子比特门 经典计算线路由连线和门组成，量子线路也不外如是。
单量子比特门是一个（二阶）酉矩阵U ，满足U †U I ，作用在量子比特
|
|0பைடு நூலகம்
|1
上，相当于将 |
（写成列向量形式）左乘上U
，变换
成
|
U
。
实际上，每一个酉矩阵U 都对应着一个有效的量子门，即对于量子门来说唯一的
0 i
i
0
，
Z
1
0
0 1 。
输入态| | 0 |1 ，其中幅度 α 和 β 未知。输入线路的状态是
0
00
1 2
0 00
11 1 00
11
其中前两个量子比特属于 Alice，第三个量子比特属于 Bob。Alice 的两个量子比特经过 一个受控非门得到
受控非门是这样一个门，如图二所示。
图二 受控非门 第一量子比特为控制量子比特，第二量子 比特为目标量子比特，⨁为模 2 加法。
受控非门的作用如下。输入两个量子比特，分别是控制量子比特和目标量子比特， 当控制量子比特置为 0 的时候，目标量子比特保持不变，而当控制量子比特置为 1 的时 候，目标量子比特翻转：
了U 变换；受控多量子比特门相当于在所有控制比特都为 1 的 情况下，对所有目标量子比特作U 变换；交换门可以交换两个
量子比特；测量运算即对量子比特作测量，投影到两个基上。
量子线路主要有以下几个部分组成：单量子比特运算、受控运算和测量。可以证明， 单量子比特门和受控非门是通用的，即单量子比特门核受控非门可以实现 n 量子比特上 的任意酉计算。但是一般需要指数级的门来产生 n 量子比特的运算，所以我们并不能有 效地（使用 n 的多项式数量个门）构造出任意的酉门。
活在一起并且产生过一个 EPR 对 00 。Alice 如何才能完成这项任务呢？
图五 量子隐形传态 上方两根线代表 Alice 的系统，下方的线 是 Bob 的系统。X 门和 Z 门（以及相应的，未出现的 Y 门），是
Pauli-X（Y、Z）门，对应三个 Pauli 矩阵： X
0 1
1
0
，
Y
量子计算概述
张棽 0519004 游建强 复旦大学物理学系 2008.1
一、 概述 量子计算与量子信息的研究对象是用量子力学系统能够完成的信息处理任务，主要
涉及到量子力学、计算机科学、信息论和密码术等一些不同的领域。本文仅对量子信息 方面的一些基本概念如量子线路的组成以及量子算法的基础等方面作一些粗浅的分析。
例子：EPR 态和量子隐形传态 EPR 态是这样几个双量子比特的总称
00 11
00
2
01 10
01
2
00 11
10
2
01 10
11
2
这些量子态是由四个基 00 、01 、10 、11 经过如下量子线路得来的。
图四 产生 EPR 对的线路 其中 H
1 1 2 1
1 1 ，称为
Hadamard 门。
限制就是酉性（unitary）。量子门的作用都是线性的。
4. 多量子比特门 在经典线路中，有五种重要的多比特门：与（AND）、或（OR）、异或（XOR）、与
非（NAND）和或非（NOR）门。在比特上的任意函数都可以用与非门的复合来计算， 所以与非门被称作一个通用门。与与非门在经典线路中的地位相似，受控非（CNOT） 门在量子线路中也有类似的结果，即任意的多量子比特门都可以由受控非门和单量子比 特门复合而成。
向量空间中的一组标准正交基。（在下文有可能出现的计算中， |
0
代表
1 0
，|
1
代表
0 1
。）更为直观的表示是在三维球面（称为
Bloch
球）上的地一个点对应一个量子比特，
做变换：
|
ei
cos
2
0
ei sin 2
1
其中 θ、φ 和 γ 都是实数。实际上 ei 不具有任何可观测的效应，所以有效的变换形式
00 00 ，01 01 ，10 11 ，11 10
亦即相当于经典异或门的推广，因为该门将 A, B A, A B 。
1 0 0 0
另一种表示方法为矩阵表示 UCN
0 0
1 0
0 0
0 ，各列分别代表对计算基态 1
0
0
1
0
00 、 01 、 10 和 11 的变换。容易验证，UC†NUCN I ，即UCN 为一酉矩阵（这
也是对所有量子比特门的要求）。
三、 量子线路和量子算法
在了解了量子比特的基本信息之后，我们转而对量子线路和量子算法进行一番探讨。
1. 量子线路 量子线路中的常用符号如下：
单量子比特门
受控多量子比特门
A
交换门
A B
量子比特
B
测量运算
A
经典比特
n 量子比特
图三 量子线路中的元件 单量子比特门相当于对量子比特作
应的两个量子比特——一个双量子比特——有四个基： 00 、 01 、 10 和 11 。于
是，一个双量子比特可以处于如下态：
归一化条件为
00 01 10 11
00
01
10
11
| x{0,1}2 x |2 1
对于更多的量子比特（n 量子比特），可以看出，其基态可以表示为 x1x2 xn ，
这一组神奇的量子态是由 Einstein、Podolsky 和 Rosen 提出的[3]，也称为 Bell 态。
Alice 需要将一个态 传送给 Bob，但是很不幸，Alice 并不知道 态的任何信息，
而且她只能给 Bob 传送经典信息（例如说寄信）。不幸中的万幸是，Alice 和 Bob 曾经生
为：
| cos 0 ei sin 1
2
2
由 θ 和 φ 定义了三维单位球面上的点，即对应| 态。
图一 量子比特的 Bloch 球面表示。
这种直观的表示对处理单量子比特门的作用时非常方便，但是对于多量子比特，还没 有一种简单的推广，所以 Bloch 球面的作用还是比较有限的。
2. 多量子比特 以两个量子比特为例，对比两个经典比特的四个可能的状态：00、01、10、11，相