2020年浙江嘉兴平湖市高三下学期高考模拟数学试卷

（ 为虚数单位），则复数 的共轭复数是
．
12. 若偶函数
，则
， 的最大值为
．
13. 在二项式
的展开式中，有理项共有
项，项的系数最小的项为
．
14. 已知圆 交于 ， 两点，则弦 ．
，若直线
长的最小值为
，若圆心 到直线 的距离
，则实数
与圆
15.
3
设，
，若
，则 的最小值为
，
的最小值为
．
16. 已知椭圆
的左右焦点分别为 ， ， ， 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线
正视图
侧视图
俯视图
A.
B.
C.
D.
4. 已知双曲线
， 是左焦点， ， 是右支上两个动点，则
的
最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
1
5. 如果对于任意实数 ，
表百度文库不小于 的最小整数，例如
，
”是“
”的（ ）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 若函数 的图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）．
， ，
∴
，
∴
设 与平面
∵
∴
， 所成的角为 ，
，
， ．
20.（ 1 ）证明见解析，
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
所以数列
是以 为首项 为公差的等差数列，
即
化简得
．
15
（ 2 ）因为
， 所以
．
21.（ 1 ）
．
（ 2 ）存在定点
，使得直线 ， 的斜率之和恒为定值 ．
解析:
（ 1 ）由题意得
22. 已知函数
（其中 为自然对数的底数）．
（ 1 ） 证明：当
时，
．
（2） 当
时，
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】 1. D
解析: ∵集合
∴ 故 正确．
2. B 解析:
， ， ，
5
可行域如图所示，
可化为
，
故
的纵截距最大，即
，
． 故选 ．
此时在 处取得：
3. A 解析: 由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
，准线方程：
，
所以
，所以
．
（ 2 ）假设存在定点 满足题意，设
，
，
，
联立方程
，消去 得
，
由韦达定理得
，
又直线 ， 的斜率为
，
，
所以
．
要使
为与 无关的常数，只能
，
解得
，
此时
， 为常数，
16
综上所述存在定点
，使得直线 ， 的斜率之和恒为定值 ．
22.（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
解析:
（ 1 ）令
，
∴
∴
，
∴ 所以 ∴
， ，
，
∴
．
方法二：
设
，
，
所以
，
则由题意知
，
记矩形
，则由
，
令
，
， ，
，得，
所以
，
所以
，
又
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
．
13
18.（ 1 ） ．
（2） ．
解析:
（ 1 ）在
中，由余弦定理得
①
在
中，由余弦定理得
②
因为角 和角 互补，
即
，
所以由①②解得
．
（ 2 ）因为角 和角 互补，
所以
，
由（ ）得
2020年浙江嘉兴平湖市高三下学期高考模拟数学试 卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合 A.
， B.
，则 C.
（ ）． D.
2. 若 ， 满足约束条件
A.
B.
，则
的最大值是（ ）．
C.
D.
3. 某几何体的三视图如图所示(单位： )，其中正视图是等边三角形，则该几何体的体积(单位： ) 是（ ）．
C. 若 ，则
D. 若 ，则
，则（ ）．
10. 如图，在等腰直角三角形 中，
，点 为 的中点，现将
沿 折起至
，使
为钝角三角形，设直线 与平面
所成的角为 ，直线 与面
所成
的角为 ，直线 与面
所成的角为 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共36分）
11. 复数
， ，
， ．
11
15.
;
解析:
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
则
，即 的最小值为
；
中，令
，则
，
则
，其中
，
当
时，
取得最小值 ．
16.
解析:
由题意可得：
设直线 ，
，
（
，
，
，
，
方程分别为
，
，
，
），
联立
解得：
∴
同理可得
∴
解得
，
化为 ，
，
， ， ， ，
12
∴
．
故答案为： ．
17.
解析: 方法一：
∵ ∴
， ， ，
故 正确．
8. C
解析:
∵
，
∴ 不是
的零点，
∴
时，
等价于
，
令
，
∴在
单调递增且
时，
，
恒成立，
则
，
∵ 上有
，
∴ 单调递减，
上，有
，
∴ 单调递增，
∴
，
∴
时，
，
综上所述， 与
有三个交点，则
．
故选 ．
9. A
8
解析:
由题可知
，
即
，
若
，则
，
令
，
则
，
解得
，
易知 在
上单调递增，在
所以
，即
故
，
所以
，
故数列 是一个递增数列，
，故 在
上单调递增，且
．
所以与图象不符，故错误．
选项：
，则
，
当
时，
，故 在
上单调递增，且
．
所以与图象不符，故错误．
选项：
，由图象可知函数为奇函数，
而
，即 为偶函数，
故与图象不符，错误．
所以由排除法可知答案选 ．
7. D 解析:
7
∵
，
∴
，
，
令
，
，
时，
，∴ 在
上单调递增，
所以当 在
内增大时， 增大， 增大．
其俯面面积为
高为
，
所以体积为
故选 ．
， ．
4. C
解析:
设双曲线的右焦点为 ，
∵
，
，
则
．
6
故选： ．
5. B
解析:
若
，取
，
，
则
，
，
此时
，
∴”
”成立推不出”
”，
若
，
∵
表示不小于 的最小整数，
∴
，
不妨设
，
，，
，
∵
，得
，
∴”
””
”，
∴”
”是”
”的必要不充分条件．
故 正确．
6. B
解析:
选项：
，则
，
当
时，
，
所以
，
所以
．
19.（ 1 ）证明见解析．
（2） ．
解析:
（ 1 ）∵
平面
，
平面
，
∴
，
又∵
是菱形，
∴
，
，
14
∴ ∵ ∴ （2）
平面
，
平面
，
．
分别以 ， ， 方向为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
，
，
，
由 知：平面
的法向量为
，
令平面 的法向量为
，
则根据
，得
，
∴ 因为二面角 则
， 的余弦值为 ，即
与直线 平行，若
，则
的面积为
．
17. 已知平面向量 ， ， ，满足
，
，
，
，则
的取值范围是
．
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18. 已知四边形
中，角 和角 互补，且
，
，
，
．
（1） 求 （2） 求
的值． 的值．
19. 回答下列各题．
（ 1 ） 如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是菱形，
， 是 上任意一点．求证：
，那么“
A. B. C. D.
7. 已知
，随机变量 的分布如下：
当在
内增大时，（ ）．
A.
减小， 减小
B.
减小， 增大
C.
增大， 减小
D.
增大， 增大
8. 已知函数 则（ ）． A. B. C.
（其中 为自然对数的底数），若函数
2
恰有三个零点，
D.
9. 设 ， ，数列 满足
，
A. 若
，则
B. 若
，则
故
．
故选 ．
上单调递减，
10. B
解析:
∵
，
为钝角三角形，
∴
为钝角，
∴
为钝角，
又
，
∴ 到平面
的距离等于 到平面
则
，
，
∴
，
∴
．
所以答案 ．
的距离，记为 ， ，
11. 解析: ∵复数
9
，
∴
，
∴复数 的共轭复数为
．
故答案为：
．
12. ;
解析:
∵ 是偶函数，
∴
，
即
即
则
或
即
（舍去）或
∵
，
∴
，
∴
∴
，当
故答案为： ； ．
．
（ 2 ） 已知二面角
的余弦值为 ，若 为 的中点，求 与平面
弦值．
， 所成角的正
20. 已知数列 满足
，
．
（ 1 ） 求证：数列
为等差数列，并求 ．
4
（2） 设
，数列 的前 项和为 ，求证：
21. 已知抛物线 于不同的两点 ， ．
的焦点 到准线 的距离为 ，直线
． 与抛物线交
（ 1 ） 求抛物线的方程． （ 2 ） 是否存在与 的取值无关的定点 ，使得直线 ， 的斜率之和恒为定值？若存在，求出所 有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
，令
，
∴
，
∴
成立， 在
单调递增，
，即
成立，
∴在
单调递增，得
，
即当
时，
，得证．
（ 2 ）∵当
时，
恒成立，令
得
，
∴
，
下证当
时原不等式成立，
由 知当
时，
只需证明
，
∵当
时，
，故只需证明
，
令
，
∴
，
①当
时，
成立， 在
单调递增，
成立；
②当
时，由不等式
知
，
∴
成立，
综上原不等式得证．
17
， ，
，
，
，
，
，
，
时成立．
13. ; 解析: 二项式
的展开式通项为：
，
则
，
，
，
，
，
10
∴有理项共有 项， 项的系数最小的项为
14.
;
解析:
， ． ．
， ，
则直线
恒过定点
，
设圆心
到直线 的距离为 ，
，（ 为圆 的半径为定值），
要使 最小，则需 最大，
当 最大时，此时，
，
，
∴
，
圆心 到直线
的距离为
， 即