二元一次不等式(组)与平面区域-课件ppt
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课程资料:二元一次不等式(组)表示的平面区域

图)分别为65xx++32yy≥≥4300,, x,y∈N.
3.点 P(1,-1)在直线y=ax+b的上方,则a,b满足的 关系式:( B ) A. a+b>-1 B. a+b<-1 C. a+b>1 D. a-b<-1
7.确定m的范围,使点(1,2)和点(1,1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a,
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形,则 a 的取值范围是( C )
A. a 5
B. a≥7
C. 5≤a 7
D. a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)>0表示 的区域.
[解] 原不等式等价于
①xx-+y2+y+4>1>0.0, 或
• §3.3.1二元一次不等式(组) 表示的平面区域
那么:x – y < 6或x – y形?
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分,这与 x y ()6
有什么关联呢?
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x-y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种 方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表:
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油,试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系.
解:设需要 x 艘轮船,y 架飞机,代数关系式和几何描述(如
(3)
3.点 P(1,-1)在直线y=ax+b的上方,则a,b满足的 关系式:( B ) A. a+b>-1 B. a+b<-1 C. a+b>1 D. a-b<-1
7.确定m的范围,使点(1,2)和点(1,1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a,
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形,则 a 的取值范围是( C )
A. a 5
B. a≥7
C. 5≤a 7
D. a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)>0表示 的区域.
[解] 原不等式等价于
①xx-+y2+y+4>1>0.0, 或
• §3.3.1二元一次不等式(组) 表示的平面区域
那么:x – y < 6或x – y形?
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分,这与 x y ()6
有什么关联呢?
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x-y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种 方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表:
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油,试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系.
解:设需要 x 艘轮船,y 架飞机,代数关系式和几何描述(如
(3)
【数学课件】二元一次不等式

若C≠0,则直线定界,原点定域
特殊点(0,0)
画出下列不等式表示的平面区 域:
(1) x-y+1<0 ;
(2) x+ y>0;
(3) 2x+5y-10≥0 ;
(1)x-y+1<0
y x-y+1=0
1
-1
o
取(0,0) 0-0+1>0
x
(2)x+ y>0
y
1
o
直线过(0,0)
取(0,1)
0+1>0
Y
x+y-1>0
x+y-1<10XO Nhomakorabea1
l
点集{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y-1=0右上方平面区域 点集{(x,y)|x+y-1<0}表示直线x+y-1=0左下方平面区域
(1)Ax+By+C>0在平面直角坐标系中 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
(2)在确定区域时,在直线的某一侧取一个特殊点
-1 D
l 右上方的点(x,y), x+y-1>0成立
l 左下方的点(x,y), x+y-1<成立
证明:如图,设M(x,y)为 l
右上方区域内任一点
P YM
过M作MP平行于x轴交 l
于点P (x0 , y0 )
则 x x0 , y y0
x y x0 y0
1
X
O1
l
x+y-1=0
问3 在平面直角坐标系下作出A(1,1),B(1,2),
特殊点(0,0)
画出下列不等式表示的平面区 域:
(1) x-y+1<0 ;
(2) x+ y>0;
(3) 2x+5y-10≥0 ;
(1)x-y+1<0
y x-y+1=0
1
-1
o
取(0,0) 0-0+1>0
x
(2)x+ y>0
y
1
o
直线过(0,0)
取(0,1)
0+1>0
Y
x+y-1>0
x+y-1<10XO Nhomakorabea1
l
点集{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y-1=0右上方平面区域 点集{(x,y)|x+y-1<0}表示直线x+y-1=0左下方平面区域
(1)Ax+By+C>0在平面直角坐标系中 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
(2)在确定区域时,在直线的某一侧取一个特殊点
-1 D
l 右上方的点(x,y), x+y-1>0成立
l 左下方的点(x,y), x+y-1<成立
证明:如图,设M(x,y)为 l
右上方区域内任一点
P YM
过M作MP平行于x轴交 l
于点P (x0 , y0 )
则 x x0 , y y0
x y x0 y0
1
X
O1
l
x+y-1=0
问3 在平面直角坐标系下作出A(1,1),B(1,2),
二元一次不等式(组)与平面区域 课件

|AB|=|3×1+-32×-1+6|= 122.
∴S△ABC=12×
12 × 2
122=36.
(2)画出2x-3<y≤3表示的区域,并求所有的正整数解.
【思路分析】
原不等式等价于
y>2x-3 y≤3.
而求正整数解,则意味着x,y还有限制条件,即求:
xy> >00 y>2x-3,
y≤3
的整数解.
例3 画出不等式组2x+x+2yy--51≤>00 ,所表示的平面区域. y<x+2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线,再根据不等号的方向,确定所表示的平面区域.
【解析】 先画直线x+2y-1=0,由于是大于号,从而将 直线画成虚线,∵0+0-1<0,∴原点在它的相反区域内.
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点.
探究5 充分利用已知条件,找出不等关系,画出适合条件 的平面区域,然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标.实际问题要注意实际意义对变量的限制.必要时可用表格 的形式列出限制条件.
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资
源需求如下表:
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax+By+C=0(A>0),则 ①Ax+By+C>0表示l右侧平面区域. ②Ax+By+C<0表示l左侧平面区域.
思考题1 (1)不等式x-2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x-2y=0的斜率为
1 2
,排除C、D.又大于0表示直
线右侧,选B.
【答案】 B
(2)不等式x+3y-6<0表示的平面区域在直线x+3y-6=0的
【解析】 如图,在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3),共五组.
二元一次不等式组与平面区域课件42张

二元一次不等式组与平面区域 课件42张
4 简单线性规划
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1.一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成 了三个部分:
(1)直线l上的点(x,y)的坐标满足____________; (2)直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by +c>0; (3)直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ________________.
x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直线x+y-3=0上及左下 方区域;
x≥0表示y轴及其右方区域; y≥0表示x轴及其上方区域.
综上知,不等式组(1)表示的区域如图①所示的阴影部 分.
①
②
(2)x-y≤2,即 x-y-2≤0,表示直线 x-y-2=0 上及 左上方区域;
2x+y≥1,即 2x+y-1≥0,表示直线 2x+y-1=0 右上 方区域;
解:设调配 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,由题意可知 x,y 应满足以下关系:
24x+30y≥180, 0≤x≤8, 0≤y≤4, 0<x+y≤10, x∈N,y∈N.
[易错警示] 虚实不分而致误 [典例] 画出不等式(x-y)(x+2y-2)>0所表示的平面区 域. [错解] 错解一:
只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点 (x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的 平面区域.
2.二元一次不等式表示的平面区域 (1)设直线l为Ax+By+C=0,那么Ax+By+C>0表示直 线l某一侧的平面的区域,Ax+By+C≥0表示包括 __________的区域. (2)假设点P(x0,y0)与点P1(x1,y1)在l:Ax+By+C=0 的同侧,那么Ax0+By0+C与Ax1+By1+C__________.
4 简单线性规划
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1.一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成 了三个部分:
(1)直线l上的点(x,y)的坐标满足____________; (2)直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by +c>0; (3)直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ________________.
x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直线x+y-3=0上及左下 方区域;
x≥0表示y轴及其右方区域; y≥0表示x轴及其上方区域.
综上知,不等式组(1)表示的区域如图①所示的阴影部 分.
①
②
(2)x-y≤2,即 x-y-2≤0,表示直线 x-y-2=0 上及 左上方区域;
2x+y≥1,即 2x+y-1≥0,表示直线 2x+y-1=0 右上 方区域;
解:设调配 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,由题意可知 x,y 应满足以下关系:
24x+30y≥180, 0≤x≤8, 0≤y≤4, 0<x+y≤10, x∈N,y∈N.
[易错警示] 虚实不分而致误 [典例] 画出不等式(x-y)(x+2y-2)>0所表示的平面区 域. [错解] 错解一:
只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点 (x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的 平面区域.
2.二元一次不等式表示的平面区域 (1)设直线l为Ax+By+C=0,那么Ax+By+C>0表示直 线l某一侧的平面的区域,Ax+By+C≥0表示包括 __________的区域. (2)假设点P(x0,y0)与点P1(x1,y1)在l:Ax+By+C=0 的同侧,那么Ax0+By0+C与Ax1+By1+C__________.
人教a版必修五课件:二元一次不等式(组)与平面区域(62页)

2.点(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的右上方,则一定 有Ax0+By0+C>0吗?
提示:不一定.与系数B的符号有关.
3.若A(x1,y1),B(x2,y2)两点在直线Ax+By+C=0的 同侧或两侧应满足什么条件?
提示:同侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0.异侧(Ax1+ By1+C)(Ax2+By2+C)<0.
新知初探
1.二元一次不等式及其解集的意义 (1)二元一次不等式 含有两 个未知数,并且含未知数的项的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式. 二元一次不等式的一般形式是Ax+By+C>0,Ax+By +C<0,Ax+By+C≥0,Ax+By+C≤0,其中A,B不同 时为零.
(2)二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x,y),所以这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一 次不等式(组)的解集.一个二元一次不等式,它的解是一些 数对(x,y),因此,它的解集不能用数轴上一个区间表示, 而应是平面上的一个区域.
By+C=0划分平面成两个半平面的区域,分别由不等式Ax +By+C>0与Ax+By+C<0决定.因此,如同前面所学平面 内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样,半平面 就是二元一次不等式的几何表示.
思考感悟
1.每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个 区域吗? 提示:不一定.当不等式组的解集为空集时,不等式 组不表示任何图形.
7 答案:4
类型三 [例3]
点与平面区域的关系 已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点中有
高考数学一轮复习课件:二元一次不等式(组)

由x2+ x+2yy- -24= =00, , 得A(2,0). 由42xx- +yy+ -14= =00,. 得点B(12,3), ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×12-3=-32. 故z的取值范围是[-32,6].
【答案】 [-32,6]
x≥0, 若不等式组 x+3y≥4, 所表示的平面区域被直线y 3x+y≤4
(1)求z=x-y的最小值和最大值;
(2)若z= x2+y2,求z的取值范围.
•【审题视点】 明确目标函数z的几何意义, 数形结合找最优解,代入求值.
x≥0, 【尝试解答】 作约束条件 x+2y≥3,
2x+y≤3. 域,如图所示为△ABC及其内部.
联立x2+x+2yy==33,. 得A(1,1).
当直线l:y=-m1 x+mz 在y轴 上的截距最大时,目标函数取最大值. 平移直线l,当l过点B时,z有最大值.
因此z=x+my的最大值zmax=12+m2 . 依题意,12+m2 <2(m>1),得1<m<3. 故实数m的取值范围是(1,3).
•【答案】 C
•错因分析:(1)忽视条件m>1,没能准确判 定直线l的斜率范围,导致错求最优解,从而 错得实数m的取值范围.
•【解析】 可行域如图 中阴影部分所示.先画出 直线l0:y=-3x,平移 直线l0,当直线过A点时z =3x+y的值最大,
由xy=-2y-,1=0,得xy==23., ∴A点坐标为(3,2).∴z最大=3×3+2=11.
•【答案】 B
x≥1, 3.在平面直角坐标系中,不等式组 x+y≤0, 表示
•2.解线性规划应用问题的一般步骤是:(1) 分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条 件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结 合求解;(4)作答.
【数学】3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》课件(新人教B版必修5)

否则应画成实线。
2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
x+y-1≥0 在平面直角坐标系中,若不等式组x-1≤0 ax-y+1≥0 常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,求 a 的值.
[解题过程] 如图可得阴影区域为不等式组
x+y-1≥0 x-1≤0
解:设开设初中班x个,高中班y个。因办学规模 以20~30个班为宜,所以, 20≤x+y≤30 而由于资金限制,26x+54y+2×2x+2×3y≤1200 另外,开设的班级不能为负,则x≥0,y≥0。
把上面四个不等式合在一起,得限制条件用数学关系式表示为
y
20 x+y 30 30 x+2y 40 20 x0 y 0
y
左上方 x-y+1<0
1
x-y+1=0
-1
o
x
(x。,y。) x0>x,y=y0 x0-y0+1> x-y+1
(x,y)
右下方 x-y+1>0
问题:一般地,如何画不等式 AX+BY+C>0表示的平面区域?
(1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 所有点组成的平面区域。
(2)由于对直线同一侧的所有点(x,y),把 它代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 一般在C≠0时,取原点作为特殊点。
二元一次不等式(组)与平面区域

二元一次不等式( 二元一次不等式(组)与 平面区域
兖州六中 徐洪艳
一家银行的信贷部计划年初 引例 : 投入25 000 000元用于企业和个人贷 投入 元用于企业和个人贷 希望这笔资金至少可带来30 000元 款,希望这笔资金至少可带来 希望这笔资金至少可带来 元 的收益,其中从企业贷款中获益 其中从企业贷款中获益12% 的收益 其中从企业贷款中获益 %,从 个人贷款中获10% 那么 那么, 个人贷款中获 %.那么,信贷部应该如 何分配资金呢? 何分配资金呢? 设用于企业贷款的资金为x元 设用于企业贷款的资金为 元,用于个人 贷款的资金为y元 贷款的资金为 元。则分配资金应该满足 的条件为: 的条件为:
盐类
肥料
磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)
车皮数
甲种肥料 乙种肥料
4t 1t
18t 15t
x y
总吨数
4x+y 18x+15y
解:设x,y分别为计划生产甲乙两 设 分别为计划生产甲乙两 种肥料的车皮数,满足以下条件 满足以下条件: 种肥料的车皮数 满足以下条件
4 x + y ≤ 10 18 x + 15 y ≤ 66 x≥0 y≥0
x
2x+y=15
x+2y=18
例4.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 一个化肥厂生产甲乙两种混合化 生产1车皮甲种肥料的主要原料是 肥,生产 车皮甲种肥料的主要原料是 生产 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 车皮乙 生产1车皮乙 磷酸盐 、硝酸盐 生产 种肥料的主要原料是磷酸盐 磷酸盐1t、 种肥料的主要原料是磷酸盐 、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐 、硝酸盐 现库存磷酸盐 酸盐 现库存磷酸盐10t、 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式 并 列出满足生产条件的数学关系式,并 列出满足生产条件的数学关系式 画出相应的平面区域. 画出相应的平面区域
兖州六中 徐洪艳
一家银行的信贷部计划年初 引例 : 投入25 000 000元用于企业和个人贷 投入 元用于企业和个人贷 希望这笔资金至少可带来30 000元 款,希望这笔资金至少可带来 希望这笔资金至少可带来 元 的收益,其中从企业贷款中获益 其中从企业贷款中获益12% 的收益 其中从企业贷款中获益 %,从 个人贷款中获10% 那么 那么, 个人贷款中获 %.那么,信贷部应该如 何分配资金呢? 何分配资金呢? 设用于企业贷款的资金为x元 设用于企业贷款的资金为 元,用于个人 贷款的资金为y元 贷款的资金为 元。则分配资金应该满足 的条件为: 的条件为:
盐类
肥料
磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)
车皮数
甲种肥料 乙种肥料
4t 1t
18t 15t
x y
总吨数
4x+y 18x+15y
解:设x,y分别为计划生产甲乙两 设 分别为计划生产甲乙两 种肥料的车皮数,满足以下条件 满足以下条件: 种肥料的车皮数 满足以下条件
4 x + y ≤ 10 18 x + 15 y ≤ 66 x≥0 y≥0
x
2x+y=15
x+2y=18
例4.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 一个化肥厂生产甲乙两种混合化 生产1车皮甲种肥料的主要原料是 肥,生产 车皮甲种肥料的主要原料是 生产 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 车皮乙 生产1车皮乙 磷酸盐 、硝酸盐 生产 种肥料的主要原料是磷酸盐 磷酸盐1t、 种肥料的主要原料是磷酸盐 、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐 、硝酸盐 现库存磷酸盐 酸盐 现库存磷酸盐10t、 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式 并 列出满足生产条件的数学关系式,并 列出满足生产条件的数学关系式 画出相应的平面区域. 画出相应的平面区域
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2x+8y≤160,
3x+5y≤150,
综上所述,x、y 应满足以下不等式组5x+2y≤200,
x≥0,y≥0.
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表 示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边 界).
[题后感悟] 用平面区域来表示实际问题中相 关量的取值范围的基本方法是:先根据问题的 需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两 个量,用字母表示,进而把问题中所有的量都 用这两个字母表示出来,再由实际问题中的限 制条件以及问题中所有量均有实际意义的条件 写出所有的不等式,把由这些不等式组成的不 等式组用平面区域表示出来即可.注意在实际 问题中列出不等式组时,必须考虑到所有的限 制条件,不能遗漏任何一个.
域是如图所示阴影部分.
在平面直角坐标系中,若不等式组xx-+1y-≤10≥0 ax-y+1≥0
(a 为
常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,求 a 的值.
画出满足x+y-1≥0和 x-1≤0的平面区域
―→
分析直线 ax-y+1=0的特征
―→
画出不等式组
求出区域顶
表示出区
表示的平面区域 ―→ 点的坐标 ―→ 域面积 ―→
[题后感悟] (1)在画二元一次不等式组表示的 平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域, 再取它们的公共部分即可,其步骤为:①画线; ②定侧;③求“交”;④表示.
(2)作图时,每条直线要画准确,尤其要交代 清楚两条直线的相对位置关系,如在坐标轴上 的点、倾斜角的大小等.
x<3, 1.画出不等式组23yx≥ +x2,y≥6,
2.画平面区域的步骤 (1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如
果原不等式中带等号,则画成实线,否则,画成虚 线); (2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入 不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不 等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的, 则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区 域的公共部分,这个公共部分就是不等式表示的平面 区域.
3.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种 产品1 t需耗A种矿石10 t,B种矿石5 t,煤4 t; 生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t,B种矿石4 t, 煤9 t.工厂在生产这两种产品的计划中要求消 耗A种矿石不超过300 t,B种矿石不超过200 t, 煤不超过360 t,那么甲、乙两种产品的生产数 量应满足什么条件?用平面区域表示出来.
生产x吨甲产品和y吨乙产品的用电量是(2x+8y) 千瓦时,根据条件,有2x+8y≤160;
用 煤 量 为 (3x + 5y) 吨 , 根 据 条 件 , 有 3x + 5y≤150;
用 工 人 数 (5x + 2y) 人 , 根 据 条 件 , 有 5x +
2y≤200;
另外,还有x≥0,y≥0.
答案: A
2.已知点 P1(0,0),P2(1,1),P313,0,则在 3x+2y-1≥0 表示的平面区域内的点是( )
A.P1、P2 C.P2、P3
B.P1、P3 D.P2
解析: 分别将P1、P2、P3点坐标代入3x+2y -1,比较发现只有3×0+2×0-1=-1<0, 故P1点不在此平面区域内,P2、P3均在此平面 区域内.
简单线性规划
二元一次不等式(组)与平面区域
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组). 2.了解二元一次不等式的几何意义. 3.能用平面区域表示二元一次不等式(组).
1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域,并画 出平面区域是本课考查的热点.
2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点.
3.多与后面知识结合,以选择题、填空题形式考查.
1.直线方程的一般形式为 Ax+By+C=0 .
2.坐标平面上位于第一象限的所有点构成的 集合为{(x,y)|x>0,y>0}.
3.点A(1,1),B(2,1),C(-1,0)与直线x-y=0 位置关系是什么?A在直线 上 ,B在直线 右下方 ,C在直线 左上方 .
俗称“线定界,点定域”.
3.用平面区域来表示实际问题相关量的取值 范围的基本方法.
(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关 联较多的量,用字母表示.
(2)把问题中有关的量用这两个字母表示.
(3)由实际问题中有关的限制条件写出所有不 等式.
(4)由这些不等式所组成的不等式组用平面区 域表示出来.
4.我们知道x+y-1=0表示直线,而x2+(y- 1)2=3表示圆,试考虑一下,x+y-1>0表示 何种图形?
1.二元一次不等式的概念 含有两个未知数,并且未知数的次数是一次 的不等式叫
做二元一次不等式.
2.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0
对于(1)先画出边界,再利用原点定域;对 于(2),先分别画出三个不等式表示的平面 区域,再找它们的公共部分.
[解题过程] (1)如右图所示,先画出直线 2x-y-6=0, 取原点O(0,0)代入2x-y-6中, ∵2×0-1×0-6=-6<0,
∴与点O在直线2x-y-6=0同一侧的所有点(x, y)都满足2x-y-6<0,
故直线2x-y-6=0右下方的区域就是2x-y- 6>0,
因此2x-y-6≥0表示直线下方的区域(包含边 界).
(2)先画出直线x-y+5=0(画成实线),
如图,取原点O(0,0)代入x-y+5,ห้องสมุดไป่ตู้
∵0-0+5=5>0,
∴原点在x-y+5>0表示的平面区域内,即x- y+5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下方的点 的集合,同理可得,x+y≥0表示直线x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3 上及其左方的点的集合.
解析: 将题目中条件整理下表
产品 甲产 乙产
消耗量 品 品
资源
/t /t
A种矿石/t 10 4
B种矿石/t 5 4
煤/t
49
资源 限 额/t
300 200 360
设生产甲、乙两种产品分别为 x t,y t.
10x+4y≤300, 5x+4y≤200, 则由题意得4x+9y≤360, x≥0, y≥0.
◎画出二元一次不等式2y-5x-10>0表示的 区域.
【错解】作出直线 2y-5x-10=0,即 5x -2y+10=0.
∴AC= 22+42=2 5,
而点 B 到直线 2x+y-5=0 的距离为
d=|-2+51-5|=
6, 5
∴S△ABC=12AC·d=12×2 5× 65=6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组:
x≥0, ①yy≥ ≤xx, +1,
y≤2,
x≤0, 或②yy≤≥--xx+,1,
y≤2.
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示, 所围成的面积 S=12×4×2-12×2×1=3.
每一个二元一次不等式所表示的平面区域的 公共部分 ,就是不等式组所表示的区域.
1.不等式2x+y-5>0表示的平面区域在直线 2x+y-5=0的( )
A.右上方
B.右下方
C.左上方
D.左下方
解析:
先作出边界2x+y-5=0,因为这条直线上的 点都不满足2x+y-5>0,所以画成虚线.取 原点(0,0),代入2x+y-5.因为2×0+0-5=- 5<0,所以原点(0,0)不在2x+y-5>0表示的 平面区域内,不等式2x+y-5>0表示的区域 如右图所示(阴影部分),即在直线2x+y-5=0 的右上方.故选A.
3y<x+9.
表示的平面区域.
解析: 不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合. 不等式2y≥x,即x-2y≥0表示直线x-2y=0上及左上
方点的集合.
不等式3x+2y≥6,即3x+2y-6≤0表示直线3x+2y-6 =0上及右上方点的集合.
不等式3y<x+9,即x-3y+9>0表示 直线x-3y+9=0右下方点的集合. 综上可得:不等式组表示的平面区
2.(1)画出不等式组x2+x+2yy- -15≥ ≤00 y≤x+2
所表示的平面区域,
并求其面积.
(2)求不等式组y|x≤|≤2y≤|x|+1 所表示的平面区域的面积 大小.
解析:(1)如图所示,其中的阴影部分 便是欲表示的平面区域.
由x2-x+y+y-2=5=0,0, 得 A(1,3).
同理得 B(-1,1),C(3,-1).
答案: C
3.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上 方,又在y轴的右侧,则a的取值范围为 ______________.
解析: ∵(a,2a-1)在y=3x-6的上方, ∴3a-6-(2a-1)<0, 即a<5,又(a,2a-1)在y轴右侧, ∴a>0,故0<a<5. 答案: (0,5)
的平面区域为△ABC 边界及其内部的
部分.由xx=-1y+4=0 可得 A(1,5),
同理可得 B(-2,2),C(1,-1),故 AC =6,△ABC 中 AC 边上的高 h=3,
所以 S△ABC=12·AC·h=9.
画出下列不等式(组)表示的平面区域.
(1)2x-y-6≥0;
(2)xx- +yy+ ≥50≥ ,0, x≤3.
建立方程 求a的值
[解题过程] 如图可得阴影区域为不等式组
x+y-1≥0 x-1≤0
表示的平面区域.
而直线 ax-y+1=0 恒过定点 A(0,1),斜率为 a.
因为不等式组xx-+1y-≤10≥0 ax-y+1≥0
,所表示的平面区域的面
积等于 2,所以此平面区域为“封闭”图形, 所以可判断直线 ax-y+1=0 与直线 x-1=0 的交点 C