二元一次不等式(组)与平面区域-课件ppt

∴AC＝ 22＋42＝2 5，
而点 B 到直线 2x＋y－5＝0 的距离为
d＝|－2＋51－5|＝
6， 5
∴S△ABC＝12AC·d＝12×2 5× 65＝6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
x≥0， ①yy≥ ≤xx， ＋1，
y≤2，
x≤0， 或②yy≤≥－－xx＋，1，
y≤2.
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示， 所围成的面积 S＝12×4×2－12×2×1＝3.
的平面区域为△ABC 边界及其内部的
部分．由xx＝－1y＋4＝0 可得 A(1，5)，
同理可得 B(－2,2)，C(1，－1)，故 AC ＝6，△ABC 中 AC 边上的高 h＝3，
所以 S△ABC＝12·AC·h＝9.
画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)xx－ ＋yy＋ ≥50≥ ，0， x≤3.
2．画平面区域的步骤 (1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如
果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚 线)； (2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入 不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不 等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的， 则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区 域的公共部分，这个公共部分就是不等式表示的平面 区域．
2.(1)画出不等式组x2＋x＋2yy－ －15≥ ≤00 y≤x＋2
所表示的平面区域，
并求其面积．
(2)求不等式组y|x≤|≤2y≤|x|＋1 所表示的平面区域的面积 大小．
解析：(1)如图所示，其中的阴影部分 便是欲表示的平面区域．
由x2－x＋y＋y－2＝5＝0，0， 得 A(1,3)．
同理得 B(－1,1)，C(3，－1)．
3.多与后面知识结合，以选择题、填空题形式考查.
1．直线方程的一般形式为 Ax＋By＋C＝0 .
2．坐标平面上位于第一象限的所有点构成的 集合为{(x，y)|x>0，y>0}．
3．点A(1,1)，B(2,1)，C(－1,0)与直线x－y＝0 位置关系是什么？A在直线 上 ，B在直线 右下方 ，C在直线 左上方 ．
故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－ 6>0，
因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边 界)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，
如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5>0，
∴原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－ y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点 的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0 上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3 上及其左方的点的集合．
解析： 将题目中条件整理下表
产品 甲产 乙产
消耗量 品 品
资源
/t /t
A种矿石/t 10 4
B种矿石/t 5 4
煤/t
49
资源 限 额/t
300 200 360
设生产甲、乙两种产品分别为 x t，y t.
10x＋4y≤300， 5x＋4y≤200， 则由题意得4x＋9y≤360， x≥0， y≥0.
[题后感悟] (1)在画二元一次不等式组表示的 平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域， 再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线； ②定侧；③求“交”；④表示．
(2)作图时，每条直线要画准确，尤其要交代 清楚两条直线的相对位置关系，如在坐标轴上 的点、倾斜角的大小等．
x<3， 1.画出不等式组23yx≥ ＋x2，y≥6，
对于(1)先画出边界，再利用原点定域；对 于(2)，先分别画出三个不等式表示的平面 区域，再找它们的公共部分．
[解题过程] (1)如右图所示，先画出直线 2x－y－6＝0， 取原点O(0,0)代入2x－y－6中， ∵2×0－1×0－6＝－6<0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x， y)都满足2x－y－6<0，
4．我们知道x＋y－1＝0表示直线，而x2＋(y－ 1)2＝3表示圆，试考虑一下，x＋y－1＞0表示 何种图形？
1．二元一次不等式的概念 含有两个未知数，并且未知数的次数是一次 的不等式叫
做二元一次不等式．
2．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0
3.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种 产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t； 生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t， 煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消 耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t， 煤不超过360 t，那么甲、乙两种产品的生产数 量应满足什么条件？用平面区域表示出来．
4．如图所示的平面区域满足条件为 ________．
解析： 因为原点满足x＋y－1＜0，所以区域 内的点均满足x＋y－1≤0，又显然x≥0，y≥0.
答案： xy≥ ≥00 x＋y－1≤0
x＋y≥0 5．在平面直角坐标系中，求不等式组x－y＋4≥0 表
x≤1
示的平面区域面积． 解析： 如图所示，不等式组表示
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点
(Axx0＋，By0y)＋，由C＞
Ax0＋By0＋C
的符号可以判定
0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪
பைடு நூலகம்
一侧的平面区域．
4．二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组 成 的 不 等 式 组 称 为
二元一次不等式组．
5．二元一次不等式组表示平面区域
在点 B(1,0)上方，
x＋y－1≥0 所以不等式组x－1≤0
ax－y＋1≥0
所表示的平面区域为△
ABC. 由ax－x－1y＝＋01＝0 ，得 C(1，a＋1)，又点 C 在点 B 上方， 所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1， ∴S＝12×|BC|×1＝a＋2 1＝2，解得 a＝3.
[题后感悟] 求平面区域的面积，先画出不等 式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求 面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式 求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方 法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．
域是如图所示阴影部分．
在平面直角坐标系中，若不等式组xx－＋1y－≤10≥0 ax－y＋1≥0
(a 为
常数)所表示的平面区域内的面积等于 2，求 a 的值．
画出满足x＋y－1≥0和 x－1≤0的平面区域
―→
分析直线 ax－y＋1＝0的特征
―→
画出不等式组
求出区域顶
表示出区
表示的平面区域 ―→ 点的坐标 ―→ 域面积 ―→
一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的 资源需求如下表：
品种
电力/千瓦 时
煤/吨
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160千瓦时 的用电额度，每天用煤不得超过150吨，请在 直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许 的产量范围．
[策略点睛]
[规范作答] 设每天分别生产甲、乙两种产品x 吨和y吨．
生产x吨甲产品和y吨乙产品的用电量是(2x＋8y) 千瓦时，根据条件，有2x＋8y≤160；
用 煤 量 为 (3x ＋ 5y) 吨 ， 根 据 条 件 ， 有 3x ＋ 5y≤150；
用 工 人 数 (5x ＋ 2y) 人 ， 根 据 条 件 ， 有 5x ＋
2y≤200；
另外，还有x≥0，y≥0.
3y<x＋9.
表示的平面区域．
解析： 不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合． 不等式2y≥x，即x－2y≥0表示直线x－2y＝0上及左上
方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≤0表示直线3x＋2y－6 ＝0上及右上方点的集合．
不等式3y<x＋9，即x－3y＋9>0表示 直线x－3y＋9＝0右下方点的集合． 综上可得：不等式组表示的平面区
表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区 域，把直线画出 虚线 以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界 画成 实线 ．
3．二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点， 把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号 都 相同
2x＋8y≤160，
3x＋5y≤150，
综上所述，x、y 应满足以下不等式组5x＋2y≤200，
x≥0，y≥0.
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表 示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边 界)．
[题后感悟] 用平面区域来表示实际问题中相 关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的 需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两 个量，用字母表示，进而把问题中所有的量都 用这两个字母表示出来，再由实际问题中的限 制条件以及问题中所有量均有实际意义的条件 写出所有的不等式，把由这些不等式组成的不 等式组用平面区域表示出来即可．注意在实际 问题中列出不等式组时，必须考虑到所有的限 制条件，不能遗漏任何一个．
◎画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的 区域．
【错解】作出直线 2y－5x－10＝0，即 5x －2y＋10＝0.
答案： C
3．已知点(a,2a－1)，既在直线y＝3x－6的上 方，又在y轴的右侧，则a的取值范围为 ______________．
解析： ∵(a,2a－1)在y＝3x－6的上方， ∴3a－6－(2a－1)<0， 即a<5，又(a,2a－1)在y轴右侧， ∴a>0，故0<a<5. 答案： (0,5)
俗称“线定界，点定域”．
3．用平面区域来表示实际问题相关量的取值 范围的基本方法．
(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关 联较多的量，用字母表示．
(2)把问题中有关的量用这两个字母表示．
(3)由实际问题中有关的限制条件写出所有不 等式．
(4)由这些不等式所组成的不等式组用平面区 域表示出来．
简单线性规划
二元一次不等式(组)与平面区域
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)． 2.了解二元一次不等式的几何意义． 3.能用平面区域表示二元一次不等式(组).
1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域，并画 出平面区域是本课考查的热点．
2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点．
每一个二元一次不等式所表示的平面区域的 公共部分 ，就是不等式组所表示的区域．
1．不等式2x＋y－5＞0表示的平面区域在直线 2x＋y－5＝0的( )
A．右上方
B．右下方
C．左上方
D．左下方
解析：
先作出边界2x＋y－5＝0，因为这条直线上的 点都不满足2x＋y－5＞0，所以画成虚线．取 原点(0,0)，代入2x＋y－5.因为2×0＋0－5＝－ 5＜0，所以原点(0,0)不在2x＋y－5＞0表示的 平面区域内，不等式2x＋y－5＞0表示的区域 如右图所示(阴影部分)，即在直线2x＋y－5＝0 的右上方．故选A.
建立方程 求a的值
[解题过程] 如图可得阴影区域为不等式组
x＋y－1≥0 x－1≤0
表示的平面区域．
而直线 ax－y＋1＝0 恒过定点 A(0,1)，斜率为 a.
因为不等式组xx－＋1y－≤10≥0 ax－y＋1≥0
，所表示的平面区域的面
积等于 2，所以此平面区域为“封闭”图形， 所以可判断直线 ax－y＋1＝0 与直线 x－1＝0 的交点 C
作出上面不等式组表示的平面区域，如图所示．
1．判定二元一次不等式表示的平面区域
判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以 线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C>0为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0 表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧 的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确 定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点 等．
答案： A
2．已知点 P1(0,0)，P2(1,1)，P313，0，则在 3x＋2y－1≥0 表示的平面区域内的点是( )
A．P1、P2 C．P2、P3
B．P1、P3 D．P2
解析： 分别将P1、P2、P3点坐标代入3x＋2y －1，比较发现只有3×0＋2×0－1＝－1<0， 故P1点不在此平面区域内，P2、P3均在此平面 区域内．