金融经济学导论作业1_答案

∼ ������������ + 1 − ������ ������
其中，由独立性公理可知 1 − ������ ������������ + 1 − ������ ������ ∼ 1 − ������ ������
������
������
3. 理解冯纽曼—摩根斯坦效用函数存在性的证明，并独立设计某个实验或者某 个实例来反驳期望效用函数的存在性。 (1) 期望效用函数存在需满足的条件有： a. 偏好关系满足自反性、传递性和完全性 b. 偏好关系具有独立性 c. 满足阿基米德公理
下，你分别愿意为参加这一赌博支付多少费用？其中的某个效用函数是否符
合你对该赌博的主观感受？
当效用函数为������ ������ = ������������������时，人们愿意支付������1，则
∞
∞
������������������1 = ������ ������ = 2������ ������ 2������ =
1 2
������
������������
2������
������ =1
������ =1
= 2������������2
则有������1 = 4
1
当效用函数为������ ������ = ������3时，人们愿意支付������2，则
∞
∞
1
������23 = ������ ������ = 2������ ������ 2������ =
������
=
1
������ − 1
+
1
+
1 ∆������
������
<
1
即1���+���−∆���11��� ������ < 0，从而可以得到������ < 1。
同理，对于常相对风险回避系数有，������ = 1；对于递减的相对风险回避系数有������ > 1。
������′ ������′
① 无穷大的不可行：赌博机制设计不合理，既不可能在现实中真的掷 无穷次等待正面出现，也不可能有博彩公司能拿出无穷大的财富来 支付。
② 使用了最大期望收益准则：忽视了人们对财富边际效用递减的规律。 B．解决办法：使用最大期望效用准则，以不同形式效用函数来表示对于风 险的不同偏好程度。
2. 证明保序性定理 保序性定理为：
(4) 某甲最多愿意支付多少保费来购买保额为 1000 元的支票遗失保险？请计 算并作图表示。 令某甲愿意支付的保费为 x，则有������������ 10000 − ������ ≥ 9.184 解得，������ ≤ 259.96 所以有，某甲至多愿意支付的保费为 259.96 元。
上图红色箭头所指的部分即为某甲愿意支付保费的最大数额。
有很多同学误把 CD 段标注为愿意支付最大保费数。CD 段是风险 溢价，注意区分这两个概念。
(5) 假设某甲购买保险后反而更加不注意管理钱财，故而其遗失 1000 元的概率 提高到 30%，那么此时保险公司的附加保费率最高可以定多少？ 当遗失 1000 元的概率为 30%时， 某甲的期望效用为 ������ ������ = 0.3 × ������������ 10000 − 1000 + 0.7 × ������������10000 = 9.179 令某甲愿意支付的保费为������′ ，则有 ������������ 10000 − ������′ = 9.179 解得，������′ = 311.14 元。
By 刘菲
金融经济学导论第一次作业参考答案
1.考虑彼得堡悖论中的赌博，并完成以下问题：
(1) 用 x 表示你愿意为参加赌博支付的费用，对下面的 x，计算你获得利润
的概率：
假设在一次赌博获得的收益为 X，则
则有，������ ������ > 2������
������ ������ = 2������
∀������, ������ ∈ ������, ������ ≻ ������, 0 ≤ ������ < ������ ≤ 1, ������������ + 1 − ������ ������ ≻ ������������ + 1 − ������ ������
根据独立性公理，������������ + 1 − ������ ������ ≻ ������������ + 1 − ������ ������，即������������ + 1 − ������ ������ ≻ ������
= −������������������������
相对风险回避系数为−
������′′ ������ ������ ′
=
ห้องสมุดไป่ตู้
−������������������������������
b. 对������ ������ = 1 − ������ ������1−������ , ������ ∈ ℝ, ������ ≠ 1有，
(2) 根据效用函数判断某甲的风险偏好
对������ ������ = ������������������，
绝对风险回避系数为−
������ ′′ ������ ′
=
−
−1 1
������ 2 ������
= 1，为递减的绝对风险回避系数。
������
相对风险回避系数为−
������′′ ������ ������ ′
0 ≤ ������ < 1
b
������
������
������������ + 1 − ������ ������ ∼ ������ ������������ + 1 − ������ ������ + ������ − ������ ������������ + ������ − ������ ������
1 2
������
1
(2������ )3
= 1.702
������=1
������=1
则有������2 = 4.93
两个函数都满足效用函数一般特征（一阶导数大于 0，二阶导数小于 0）。（主
By 刘菲
观感受可以因人而异。）受人的主观判断影响，因人而异。但由于对������ ������ = ������������������ 有，当 0<x<1 时，������ ������ < 0，与人们的实际感受不相符。 (3) 简单说明彼得堡悖论产生的原因和解决办法。 A. 产生原因：
= 1；
8
支付 50 元获得利润的概率为：������2 ������ > 50
= ������2 ������ > 25
= 1；
32
支付 100 元获得利润的概率为：������3 ������ > 100
= ������3 ������ > 26
= 1.
64
此问有些同学在计算概率和的时候会少计算临界点处的概率，
说明相对风险回避系数是考虑了财富量水平的风险厌恶程度的衡量。
(3) 简要说明相对风险回避系数和风险资产的财富需求弹性的关系
令风险资产的财富需求弹性为������
=
∆������ ∆������
������ ������
对于递增的相对风险回避系数，财富增加时，投资者的财富中用于风险资产
投资的比例变小，可以表示为
By 刘菲
(2) 求绝对风险回避系数和相对风险回避系数，并说明二者之间的关系
a. 对������ ������ = ������������������ 有，不妨假设 A>0，则
绝对风险回避系数为−
������ ′′ ������ ′
=
−
������ 2 ������������������ 2������������������ ������������������������ ������������������
By 刘菲
������′ ������
������′ ������
=
������ + ∆������ ������ + Δ������
������ ������
=
1 + ∆������ 1 + ∆������
������ ������
=
1 ∆������
������
+
������
1
+
1 ∆������
这道题错的同学比较多，注意该函数的底数为������������，而不是 A， 所以应该以������������为分类讨论的对象。A<0 的时候，若 b 是偶数，则 ������������ > ������，所以仍是普通的指数函数。去年的参考答案在此处有误， 同学们不要被误导。
对于函数������ ������ = 1 − ������ ������1−������ , ������ ∈ ℝ, ������ ≠ 1，：函数的大致图像为：
������
������
������
������
≻ ������ ������������ + 1 − ������ ������ + ������ − ������ ������ ∼ ������������ + ������ 1 − ������ ������ + 1 − ������ ������
注意 ������ ������ 并不是相对风险回避系数，而且递增的相对风险回避
系数对应������ < ������，而能确定相对风险回避系数是大于0或者大于1.