高考数学专题08 三角形与平面向量结合问题(第一篇)(解析版)

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第一篇三角函数与解三角形

专题08 三角形与平面向量结合问题

【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2

cos cos cos sin sin A A C B B C +-=

（Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v

的值最小时，求ABC ∆的面积．

【思路引导】

（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1

cos 2

A =；结合()0,A π∈可求得结果；

（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，

AB AC ⋅u u u v u u u v

取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.

解：（Ⅰ）()()()2

cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q

()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++=

2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=

(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠，1

cos 2

A ∴=

，

()0,A π∈Q ，3

A π∴=

。 （Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+- 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1

如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点

可得：2AI =，AD AE ==b c a +-=

(2

22b c b c bc ∴+-=+-，

化简得()4b c =+≥b c =时取等号）

12bc ∴≥或43

bc ≤

又b c +>12bc ∴≥，即[)1

cos 6,2

AB AC bc A bc ⋅==∈+∞u u u v u u u v ，

当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v

的最小值为6

此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 223

bc S A π

=

=⨯⨯=【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】 已知在ABC V 中，1AB =，2AC =．

（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()

2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r

；

（2）若点E 为BC 的中点，求2211

AE BC

+u u u r u u u r 的最小值． 【思路引导】

（1）根据AD 是角平分线，从而得到

1

2BD AB CD AC ==，然后得到2133

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，代入到()

2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r

中，进行整理化简，得到答案；（2）根据E 为BC 的中点，在ABE ∆和ACE ∆中用余弦

定理，从而得到22

4AE BC +u u u r u u u r ()

22210AB AC =+=u u u r u u u r ，然后利用基本不等式，求出2211AE BC

+u u u r u u u r 的最小值，得到答案.

解：（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u r

u u u r u u u r 所以可得2133

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，

所以()

21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭

u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ()

20AB AC ⋅-=u u u r u u u r ；

（2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得

222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222

cos 2AE CE AC

AEC AE CE

+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

， 而BE CE =u u u r u u u r

，cos cos AEB AEC ∠=-∠，

所以得到22222222AE BE AB AE CE AC

AE BE AE CE

+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

整理得：22

4AE BC +u u u r u u u r ()

22210AB AC =+=u u u r u u u r

22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭

u u u r u u u r u u u r u u u r ()

224AE BC +u u u

r u u u r

2222414110BC AE

AE BC ⎡

⎤

⎢⎥

=+

++⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

u u u r u u u r u u u r u u u r

1951010⎛

+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r

时，等号成立.

【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=．