三角函数应用举例

sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
B
A
D
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到
达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解：如图，测量者可
A
B
以在河岸边选定两点
C、D，设CD=a，
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ， ∠ADB=δ
δ
α
γ
D
a
β C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ,
∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用 正弦定理得
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile) h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
1.2 应用举例（一）
慈利三中高一数学备课组
复习：解斜三角形公式、定理
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
视线
水平线
2.方向角、方位角。
（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于900的水平角叫方向角。
（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 300 北
点A在北偏东600，方位角600.
A
600
点B在北偏西300，方位角3300. 西
东
点C在南偏西450，方位角2250. C 点D在南偏东200，方位角1600.
AC
a sin( )
a sin( )
sin 180 ( ) sin( )
BC
a sin
a sin
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)
用余弦定理求第三边，再用余弦
余弦定理 定理求出一角，再由
A+B+C=180˚得出第三角。
余弦定理
用余弦定理求出两角，再由 A+B+C=180˚得出第三角。
两边和其中一 边的对角(SSA)
正弦定理
用正弦定理求出另一对角,再由 A+B+C=180˚，得出第三角,然 后用正弦定理求出第三边。
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
450 200 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
直
距
离
α
水平距离
坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离
坡角α: tanα=垂直距离/水平距离
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用:
(1)测量距离.
(2)测量高度.
(3)测量角度.
B
75o C 51o 55m A
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC

55sห้องสมุดไป่ตู้n 75
55sin 75 65.7(m)
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1、A B C 180
2、 大角对大边，小角对小边 。
2.余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
推论:
在ABC中，
若a2 b2 c2，则C为直角；
若a2 b2 c2，则C为锐角；
若a2 b2 c2，则C为钝角；
复习：斜三角形的解法
已知条件 定理选用
一般解法
一边和两角 (ASA或AAS)
正弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
最大角度
C
A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
解斜三角形理论 在实际问题中的应用
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角 叫仰角。
（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角 叫俯角。
（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一 般这两条视线过被观察物的两端点）
视线
仰角 俯角
答：此船可以继续沿正北方向航行
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？