电容器 电场能量
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•在电路中：通交流、隔直流； •与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等； •储存电能的元件； •真空器件中建立各种电场； •各种电子仪器。
5、电容器电容的计算
计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
q
R2
E dl
ln R2 R1
R1
平板电容器
2 o l 圆柱形电容器的电容
C q U 12 2 o l
•圆柱越长，电容越大；两圆柱 之间的间隙越小，电容越大。
ln( R2 R1 )
例1 ：平行板电容器两极板面积为S ，极板间有两层电
介质, 介电常数分别为1 ，2 ，厚为d1 , d2 。电容器极
有电介质时的高斯定理
S
D dS
Q0
( S内 ）
电位移矢量和电场强度的关系
P 0 E
r 1
D ＝ 0 r E E
D＝ 0E＋ P
大学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理学电子教案
电容
7－4 7－5 电容 电容器 静电场的能量
电容器
7－4 电容 电容器
Ed
2
1 2
SE d
2
电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关，E和 D是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电 场存在的空间有关，电场携带了能量。
2、电场的能量密度
定义：单位体积内的能量
e
1 2
E
2
对于任意电场，本结论都是成立的。
例1：球形电容器当电量为Q时所储存的能量。 解：由Gauss定理知球形电容器内的场强为E 取图示同心薄球壳为体积元：
R1
电容
C 4
o
R1 R 2
C 4 o R
2
d oS d
R 2 R1
平行板电容器电容。
圆柱形电容器
解：设两极板带电 q 板间电场 q E r 2 o rl ( l >> R2 – R1 )
( R1 r R2 )
R2
R1 l
板间电势差 U 12
解：在上极板取dx 窄条，电容为：
dC
a
0adx
d x
C
d x
0
0adx
0a
ln
d a d
作业 习题册:44-55
例1、球形电容器的内、外半径分别为 R1和R2，所带的电量为±Q。若在两 球之间充满电容率为ε的电介质，问此 电容器电场的能量为多少。
R1
2C
+Q0
εr
−Q0
例2 、半径为R的均匀带电球体，电量为q，相对
介电常数为 r
2 ，放在真空中，求电场能。
解：由有介质时的高斯定理可以求出均匀带电 球体的场强分布为：
E内 E外 qr 4 0 r R q 4 0 r
2 3
(r R ) (r R )
电场能为：
C2
U
等效
等效电容：
C＝
Q U
C1 C2
C
结论： •当几个电容器并联时，其等效电容等于几个电容器电容之和； •各个电容器的电压相等； •并联使总电容增大。
2、电容器的串联
特点 每个电容器极板所带的电量相等 总电压
U U1 U2 1 1 ＋ ＝ C ＋ C Q C1 C2 1 2 Q Q
板上自由电荷面密度 0 。 求： ① 各介质内的 ② 电容器的电容 。 解： ① 由高斯定理
D，E；
+0
+ + + + + +
1
D1
D1
S
2 –0
S
– – – – – –
D2
S
S
S
S
D dS D1S D2 S 0 D dS D1S ' 0 S D
孤立导体的电容与导体的 形状有关，与其带电量和 电位无关。
二、电容器 1、电容器的定义
用空腔B 将非孤立导体 A 屏蔽, 消 除其他导体及带电体 ( C、D ) 对A 的影响。
+ + - + A qA + B + + + -qA
-
C
D
两个带有等值而异号电荷的导体所组 成的系统，叫做电容器。
电容器两个极板所带的电量为+Q、 2、电容器的电容 -Q，它们的电势分别为UA、UB， A 带电 qA , B 内表面带电 -qA , 定义电容器的电容为： 腔内场强E , A B间电势差 Q Q UAB = UA – UB C
i
并联电容器的电容等于 各个电容器电容的和。
串联电容器总电容的倒数 等于各串联电容倒数之和。
i
1 Ci
当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联使用来 改善： 串联：使用可提高耐压能力； 并联：使用可以提高容量。 电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。 所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿 场强或介电强度。
1 2
C1
拉大距离的过程中q 不变，
W e2 q
2
E不变，充电后电容器中电场能量为：
q
2
2C 2
C1
We We We
2 1
q
2
q
2
q
2
q d 2 0 S
2
C1
2C1
2C1
即为拉力做功。
55. 边长为a的两块正方形导体板平行放置，板间距为d。 若两板不严格平行，两板间夹角θ很小，两板间为 真空，求其电容的近似值。
dW
RB
2 0 r
Q 2 0lr
RA
1 2
0 E dV
2
1 2
0
Q
2
2 2 2
4 0 r l
2
2 rldr
-Q +Q r
RB
dr
Q
2
dr
4 πε0 l r
Q
2
l
W
RA
4
Q
dr l r
Q
2
0
4 0l
ln
RB RA
B
2 πε0 l ln RB RA
1 2
CU
2
2C
电容器所储存的静电能
W e＝ Q
2
1 2
CU
2
外力克服静电场力作功， 把非静电能转换为带电 体系的静电能
2C
二、静电场的能量 能量密度
1、静电场的能量
对于极板面积为S、极板间距为d平板电容器， 电场所占的体积为Sd，电容器储存的静电能 为
We 1 2 CU ＝
2
1 S 2 d
球形电容器
解：两极板间电场 q E r ( R1 r R2 ) 2 4 o r 板间电势差
U 12 q 1 1 ( ) E dl 4 o R1 R2
+q R1 o R2
-q 讨论：①当R2 → 时，
R2
C 4 o R1 ,
孤立导体球电容。 ②R2 –R1= d , R2 ≈R1 = R
平行板电容器
解：① 设电容器两极板
+q
S + + E + + + d
A
带电± q ；
② 板间电场：
–q
–
–
–
–
–
B
d 很小, S 很大 ,
E
④ 电容：
C U q
AB
o
q
oS
qd
oS
d
③ 板间电势差：
U AB E d
oS
平板电容器的电容与极板 的面积成正比，与极板之 间的距离成反比，还与电 介质的性质有关。
7－5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能
设在某时刻两极板之间的电势差为U，此 时若把+dq电荷从带负电的负极板搬运到 带正电的正极板，外力所作的功为
dW Udq q C dq
+
+dq
_
E
若使电容器的两极板分别带有±Q的电荷，则外力所作的功为
Q
W
C
0
q
dq ＝
Q
2
1 2
QU
dW 1 2
W
2 2 2 2
Q 4 πε0 ε r r
2
ε0 εr E dV
2
1 2
ε0 ε r
Q
2
Q
( 4 πε0 εr r )
( 1 R1 1 R2
4 πr dr
2
Q
dr
2
8 πε0 εr r
Q
2
R2
8 πε0 ε r
Q
2
R1
r
dr
2
8 πε0 ε r
)
与W
比较得：
C 4 πε0 εr R1 R2 R2 R1
C Q U
3、电容的单位
法拉(F) 1F=1C.V-1 微法 1μF=10-6F 皮法 1pF=10-12F
关于电容的说明：
•是导体的一种性质，与导体是 否带电无关； •是反映导体储存电荷或电能的 能力的物理量； •只与导体本身的性质和尺寸有 关。
孤立球形导体的电容为
C＝ Q U 4 0 R
R2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均 匀的，则球壳间的电场是对称的。由高 斯定理可求得球壳间的电场强度的大小 为 Q
E＝
电场的能量密度为
we 1 2
4 r
2
E ＝
2
Q
2
2 4
3 2 r
取半径为r、厚为dr的球壳， 其体积为dV=4πr2dr。所以此 体积元内的电场的能量为
dW e we dV Q
A
2
与W
比较得：
C
2C
53．一平行板电容器极板面积为S，两板间距为d，充电 后，极板上的电量为+q和 -q，断开电源，再将极板间距 拉大为原来的2倍。求拉力作的功。
解：原电容器电容为：
C1
0S
d
充电后电容器中电场能量为： 拉大距离后电容器电容为：
C2
W e1
q
2
2C 1
0S
2d
U
AB
U
A
UB
电容器的分类
按可调分类：可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器 按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器 按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器 按形状分类：平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器
球形
R1 R2
柱形
R1
R2
平行板
d
4、电容器的作用
d1 d2 0 2 1
D2
S
S
S
电容器的电容
C
q U
0 S
U
S
d1
d2
d1 1 d 2 2
三、电容器的并联和串联
C1
1、电容器的并联
特点： 每个电容器两端的电势差相等 总电量：
Q Q 1 Q 2 C 1U C 2 U C 1 C 2 U
We 1 2
E d V
2 V
1 2
0 r E 4 r d r
2 2 0
1 2
R
0 r (
0
qr 4 0 r R
R 6
) 4 r d r 3
2 2
1 2
0(
R
q 4 0 r
2
) 4 r d r
2 2
q
2
8 0 r R
r
0
4
dr
q
2
8 0
r
R
dr
2
q
2 6
8 0 r R q
2
1 5
r |0
5 R
q
2
8 0 r q
2
|R
8 0 2 R 1 1q
2
6
1 5
R
5
8 0 R
q
2
8 0 0 R
q
2
8 0 R
8 0 0 R
例3：用电场能量的方法求圆柱形电容器的电容。 解：圆柱形电容器内的场强为： E 取图示同轴薄圆柱壳为体积元：
一、孤立导体的电容
1、引入
•孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它 导体或带电体对它的影响可以忽略不计。 •真空中一个半径为R、带电量为Q 的孤立球形导体的电势为
U Q 4 0 R
电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关， 由此可以引入电容的概念。
2、电容的定义
孤立导体所带的电量与其 电势的比值叫做孤立导体 的电容
＝ 1 1 C1 ＋ 1 C2
C1
C2
等效
等效电容
C
Q U
1 C
＝
1 C1
＋
1 C2
C
结论： •当几个电容器串联时，其等效电容的倒数等于几个电 容器电容的倒数之和； •等效电容小于任何一个电容器的电容，但可以提高电 容的耐压能力； •每个串联电容的电势降与电容成反比。
讨论
C
1 C
C
i
E1 D1
电位移 场强
D1 D2
d1
d2
S
1
D2 0
1
0 1
E2
D2
0 2
2
解： ② 电容器的电容 。
两极板间的电势差
U E1 d 1 E 2 d 2
+0
+ + + + + +
1
D1
D1
S
2 –0
S
– – – – – –
2 2 4
R1
2 2
R2
3 2 r
4 r d r
2
Q
8 r
dr
电场总能量为
R2
We
R1
8
Q
2
Q
2 2
dr
r
1 1 R R 8 1 2
5、电容器电容的计算
计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
q
R2
E dl
ln R2 R1
R1
平板电容器
2 o l 圆柱形电容器的电容
C q U 12 2 o l
•圆柱越长，电容越大；两圆柱 之间的间隙越小，电容越大。
ln( R2 R1 )
例1 ：平行板电容器两极板面积为S ，极板间有两层电
介质, 介电常数分别为1 ，2 ，厚为d1 , d2 。电容器极
有电介质时的高斯定理
S
D dS
Q0
( S内 ）
电位移矢量和电场强度的关系
P 0 E
r 1
D ＝ 0 r E E
D＝ 0E＋ P
大学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理学电子教案
电容
7－4 7－5 电容 电容器 静电场的能量
电容器
7－4 电容 电容器
Ed
2
1 2
SE d
2
电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关，E和 D是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电 场存在的空间有关，电场携带了能量。
2、电场的能量密度
定义：单位体积内的能量
e
1 2
E
2
对于任意电场，本结论都是成立的。
例1：球形电容器当电量为Q时所储存的能量。 解：由Gauss定理知球形电容器内的场强为E 取图示同心薄球壳为体积元：
R1
电容
C 4
o
R1 R 2
C 4 o R
2
d oS d
R 2 R1
平行板电容器电容。
圆柱形电容器
解：设两极板带电 q 板间电场 q E r 2 o rl ( l >> R2 – R1 )
( R1 r R2 )
R2
R1 l
板间电势差 U 12
解：在上极板取dx 窄条，电容为：
dC
a
0adx
d x
C
d x
0
0adx
0a
ln
d a d
作业 习题册:44-55
例1、球形电容器的内、外半径分别为 R1和R2，所带的电量为±Q。若在两 球之间充满电容率为ε的电介质，问此 电容器电场的能量为多少。
R1
2C
+Q0
εr
−Q0
例2 、半径为R的均匀带电球体，电量为q，相对
介电常数为 r
2 ，放在真空中，求电场能。
解：由有介质时的高斯定理可以求出均匀带电 球体的场强分布为：
E内 E外 qr 4 0 r R q 4 0 r
2 3
(r R ) (r R )
电场能为：
C2
U
等效
等效电容：
C＝
Q U
C1 C2
C
结论： •当几个电容器并联时，其等效电容等于几个电容器电容之和； •各个电容器的电压相等； •并联使总电容增大。
2、电容器的串联
特点 每个电容器极板所带的电量相等 总电压
U U1 U2 1 1 ＋ ＝ C ＋ C Q C1 C2 1 2 Q Q
板上自由电荷面密度 0 。 求： ① 各介质内的 ② 电容器的电容 。 解： ① 由高斯定理
D，E；
+0
+ + + + + +
1
D1
D1
S
2 –0
S
– – – – – –
D2
S
S
S
S
D dS D1S D2 S 0 D dS D1S ' 0 S D
孤立导体的电容与导体的 形状有关，与其带电量和 电位无关。
二、电容器 1、电容器的定义
用空腔B 将非孤立导体 A 屏蔽, 消 除其他导体及带电体 ( C、D ) 对A 的影响。
+ + - + A qA + B + + + -qA
-
C
D
两个带有等值而异号电荷的导体所组 成的系统，叫做电容器。
电容器两个极板所带的电量为+Q、 2、电容器的电容 -Q，它们的电势分别为UA、UB， A 带电 qA , B 内表面带电 -qA , 定义电容器的电容为： 腔内场强E , A B间电势差 Q Q UAB = UA – UB C
i
并联电容器的电容等于 各个电容器电容的和。
串联电容器总电容的倒数 等于各串联电容倒数之和。
i
1 Ci
当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联使用来 改善： 串联：使用可提高耐压能力； 并联：使用可以提高容量。 电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。 所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿 场强或介电强度。
1 2
C1
拉大距离的过程中q 不变，
W e2 q
2
E不变，充电后电容器中电场能量为：
q
2
2C 2
C1
We We We
2 1
q
2
q
2
q
2
q d 2 0 S
2
C1
2C1
2C1
即为拉力做功。
55. 边长为a的两块正方形导体板平行放置，板间距为d。 若两板不严格平行，两板间夹角θ很小，两板间为 真空，求其电容的近似值。
dW
RB
2 0 r
Q 2 0lr
RA
1 2
0 E dV
2
1 2
0
Q
2
2 2 2
4 0 r l
2
2 rldr
-Q +Q r
RB
dr
Q
2
dr
4 πε0 l r
Q
2
l
W
RA
4
Q
dr l r
Q
2
0
4 0l
ln
RB RA
B
2 πε0 l ln RB RA
1 2
CU
2
2C
电容器所储存的静电能
W e＝ Q
2
1 2
CU
2
外力克服静电场力作功， 把非静电能转换为带电 体系的静电能
2C
二、静电场的能量 能量密度
1、静电场的能量
对于极板面积为S、极板间距为d平板电容器， 电场所占的体积为Sd，电容器储存的静电能 为
We 1 2 CU ＝
2
1 S 2 d
球形电容器
解：两极板间电场 q E r ( R1 r R2 ) 2 4 o r 板间电势差
U 12 q 1 1 ( ) E dl 4 o R1 R2
+q R1 o R2
-q 讨论：①当R2 → 时，
R2
C 4 o R1 ,
孤立导体球电容。 ②R2 –R1= d , R2 ≈R1 = R
平行板电容器
解：① 设电容器两极板
+q
S + + E + + + d
A
带电± q ；
② 板间电场：
–q
–
–
–
–
–
B
d 很小, S 很大 ,
E
④ 电容：
C U q
AB
o
q
oS
qd
oS
d
③ 板间电势差：
U AB E d
oS
平板电容器的电容与极板 的面积成正比，与极板之 间的距离成反比，还与电 介质的性质有关。
7－5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能
设在某时刻两极板之间的电势差为U，此 时若把+dq电荷从带负电的负极板搬运到 带正电的正极板，外力所作的功为
dW Udq q C dq
+
+dq
_
E
若使电容器的两极板分别带有±Q的电荷，则外力所作的功为
Q
W
C
0
q
dq ＝
Q
2
1 2
QU
dW 1 2
W
2 2 2 2
Q 4 πε0 ε r r
2
ε0 εr E dV
2
1 2
ε0 ε r
Q
2
Q
( 4 πε0 εr r )
( 1 R1 1 R2
4 πr dr
2
Q
dr
2
8 πε0 εr r
Q
2
R2
8 πε0 ε r
Q
2
R1
r
dr
2
8 πε0 ε r
)
与W
比较得：
C 4 πε0 εr R1 R2 R2 R1
C Q U
3、电容的单位
法拉(F) 1F=1C.V-1 微法 1μF=10-6F 皮法 1pF=10-12F
关于电容的说明：
•是导体的一种性质，与导体是 否带电无关； •是反映导体储存电荷或电能的 能力的物理量； •只与导体本身的性质和尺寸有 关。
孤立球形导体的电容为
C＝ Q U 4 0 R
R2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均 匀的，则球壳间的电场是对称的。由高 斯定理可求得球壳间的电场强度的大小 为 Q
E＝
电场的能量密度为
we 1 2
4 r
2
E ＝
2
Q
2
2 4
3 2 r
取半径为r、厚为dr的球壳， 其体积为dV=4πr2dr。所以此 体积元内的电场的能量为
dW e we dV Q
A
2
与W
比较得：
C
2C
53．一平行板电容器极板面积为S，两板间距为d，充电 后，极板上的电量为+q和 -q，断开电源，再将极板间距 拉大为原来的2倍。求拉力作的功。
解：原电容器电容为：
C1
0S
d
充电后电容器中电场能量为： 拉大距离后电容器电容为：
C2
W e1
q
2
2C 1
0S
2d
U
AB
U
A
UB
电容器的分类
按可调分类：可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器 按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器 按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器 按形状分类：平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器
球形
R1 R2
柱形
R1
R2
平行板
d
4、电容器的作用
d1 d2 0 2 1
D2
S
S
S
电容器的电容
C
q U
0 S
U
S
d1
d2
d1 1 d 2 2
三、电容器的并联和串联
C1
1、电容器的并联
特点： 每个电容器两端的电势差相等 总电量：
Q Q 1 Q 2 C 1U C 2 U C 1 C 2 U
We 1 2
E d V
2 V
1 2
0 r E 4 r d r
2 2 0
1 2
R
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0
qr 4 0 r R
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2 2
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2
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2
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r
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q
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8 0 r R q
2
1 5
r |0
5 R
q
2
8 0 r q
2
|R
8 0 2 R 1 1q
2
6
1 5
R
5
8 0 R
q
2
8 0 0 R
q
2
8 0 R
8 0 0 R
例3：用电场能量的方法求圆柱形电容器的电容。 解：圆柱形电容器内的场强为： E 取图示同轴薄圆柱壳为体积元：
一、孤立导体的电容
1、引入
•孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它 导体或带电体对它的影响可以忽略不计。 •真空中一个半径为R、带电量为Q 的孤立球形导体的电势为
U Q 4 0 R
电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关， 由此可以引入电容的概念。
2、电容的定义
孤立导体所带的电量与其 电势的比值叫做孤立导体 的电容
＝ 1 1 C1 ＋ 1 C2
C1
C2
等效
等效电容
C
Q U
1 C
＝
1 C1
＋
1 C2
C
结论： •当几个电容器串联时，其等效电容的倒数等于几个电 容器电容的倒数之和； •等效电容小于任何一个电容器的电容，但可以提高电 容的耐压能力； •每个串联电容的电势降与电容成反比。
讨论
C
1 C
C
i
E1 D1
电位移 场强
D1 D2
d1
d2
S
1
D2 0
1
0 1
E2
D2
0 2
2
解： ② 电容器的电容 。
两极板间的电势差
U E1 d 1 E 2 d 2
+0
+ + + + + +
1
D1
D1
S
2 –0
S
– – – – – –
2 2 4
R1
2 2
R2
3 2 r
4 r d r
2
Q
8 r
dr
电场总能量为
R2
We
R1
8
Q
2
Q
2 2
dr
r
1 1 R R 8 1 2