等边三角形(30度直角三角形)
等边三角形及含30°角直角三角形的性质
等边三角形及含30°角直角三角形的性质嘿，同学们！今天咱们来聊聊有趣的数学知识——等边三角形及含30°角直角三角形的性质。
先来说说等边三角形吧。
不知道你们有没有观察过公园里的花架，有一次我在公园散步，就看到一个花架，它的形状就是等边三角形。
那三根支架长度一模一样，稳稳地支撑着上面的花盆，看起来特别整齐美观。
这其实就体现了等边三角形的特点——三条边长度相等。
等边三角形可不仅仅是三条边一样长这么简单哦。
它的三个内角也相等，都是 60°。
想象一下，如果把一个等边三角形的三个角剪下来，拼在一起，就能拼成一个平角，正好是 180°，而且每个角都是 60°，是不是很神奇？再来讲讲含30°角的直角三角形。
记得有一次我在家修理一个桌子，桌子腿有点松动了，我低头一看，那支撑桌子腿的结构就像是一个含30°角的直角三角形。
含 30°角的直角三角形有个特别重要的性质，就是斜边是 30°角所对直角边的两倍。
比如说，如果 30°角所对的直角边是 5 厘米，那么斜边就是 10 厘米。
这个性质在解决很多数学问题的时候特别有用。
咱们来做道题感受一下。
假设一个含 30°角的直角三角形，斜边是12 厘米，那 30°角所对的直角边是多少呢？很简单，根据咱们刚说的性质，斜边是 30°角所对直角边的两倍，所以 30°角所对的直角边就是6 厘米啦。
在实际生活中，这种性质也经常能用到呢。
比如盖房子的时候，工人师傅要搭建一些支架，如果知道角度和边长的关系，就能保证支架牢固又稳定。
等边三角形和含 30°角的直角三角形的性质，就像是数学世界里的小秘密，掌握了它们，我们就能解决好多难题，也能发现更多生活中的数学之美。
所以呀，同学们，别觉得数学枯燥无聊，只要咱们多观察、多思考，就能发现数学其实就在我们身边，有趣得很呢！。
新人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形含有30度角的直角三角形优质教案
求证：BC= AB
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.
在△ABC与△ADC中
BC＝DC
∠ACB=∠ACD
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴AB=AD
∴△ABD是等边三角形
∴BC＝DC＝ BD= AB
含30°直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
含有30度角的直角三角形
项目
设计内容
备注
课时
第1课时
课型
新课
教具
三角板、刻度尺、圆规
教学目标
知识与能力
掌握含30度角的直角三角形的性质与应用
过程与方法
通过探究含30度角的直角三角形的性质，增强学生对特殊直角三角形的认识
态度与情感
培养学生用发展变化的思想看问题的价值观
重点
含30度的直角三角形的性质
难点
从实验到证明，从理论上肯定正确性
让学生通过多种方法得到斜边与短直角边的关系，加深印象
课
堂
练
习
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直 角边的2倍．
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2∠A，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
∴BC= AB
学生探究另一种证法
在BA上截取BE=BC，连接EC
∵∠B= 60°
BE=BC
等边三角形(2)含有30度角的直角三角形的性质
A
60°
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。 1 求证：BC= AB。 2
在△ABC与△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
证明： ∵△ABC为等边三角形 ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60° 在△ADC和△BEA中 AC=BA B ∠C=∠BAE DC=EA ∴△ADC≌△BEA ∴∠CAD=∠ABE,∠ BAF+∠CAD=60° ∴∠ABE+∠BAF=60° ∴∠BFQ=60° 又∵ BQ⊥AD ∴∠BQF=90° ∴∠FBQ=30°∴BF=2PQ
1 ∴ BC AB 2
C
证明方法：截半法
归纳新知
含30 °角的直角三角形性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
30°
1 ∴ BC= AB 2
B
C
判 断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
操
• 探究1
作
探
究
用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短 直角边(即300 角所对的直角边)与斜边，记录 下数据，你有什么发现？
人教版数学八年级上册13.等边三角形(30度角直角三角形的性质)课件
了解等边三角形与30°角互相转化的
事实，培养我们用发展变化的思想看
Ш
问题的价值观。
学习重难点：含30°角的直角三角形的性 质定理的发现与证明．
自 学指 导
阅读课本80-81页，思考下列问题：
A.直角三角形的角之间都有什么数量关系？ B.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角
问题E： 得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系， 说明理由.
合 作探 究
我们可以用两个同样大小的三角尺（含30 °和60 °的角）拼接 起来验证
A
B
C
D
合 作探 究
A
A
30°
数学化
B
C
D
B
C
D
合 作探 究
可得：
A
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=
1 2
BD
∵ BD=AB
我们每个人都有一双隐形的翅膀， 只要你愿意， 只要肯努力， 只要不放弃， 你一定能张开翅膀在知识的天空 中自由翱翔！
构建快乐课堂 塑造美丽
目标解读
学习环节
快乐晋级
知 识回 顾
1、等边三角形的性质 2、等边三角形的判定
回 顾反 馈
1、等边三角形三边 相___等___ ,三个角都等于 6_0__°__.
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
快 乐晋 级
深思熟虑，我来我行！ 3、在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，B
AB=4，则BC=___2___；
C
A
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900,
CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm,
《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案
1.1 等腰三角形《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案学习目标：1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。
2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。
学习过程：一、前置准备：1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。
2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。
二、自主学习：1、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论。
得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形。
三、合作交流；做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。
得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。
四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、例题解析：等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高。
六、当堂训练：1、判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。
（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。
（）2、证明三个角都相等的三角形是等边三角形。
学习笔记：课下训练：1、等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是。
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠A =300,CD⊥AB,BD=1,则AB= 。
3、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= 。
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C 恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5、在Rt△ABC中，∠C=300,AD⊥BC,你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长。
等边三角形(课件)-八年级数学上册(人教版)
证明：在△ABC 中，∵ ∠C =90°，
A
∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴BC = 1 AB．
2
B
C
证明方法： 倍长法
D
证法2
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
三个角都相等的三角 形是等边三角形
有一角是60°的等腰 三角形是等边三角形
例2 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
A
求证：AB=AC=BC.
证明： ∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C,
Bபைடு நூலகம்
C
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知： 若AB=AC ,∠A= 60°.
A
求证： AB=AC=BC.
从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD=你 法还 证12 能 明AB用吗. 其？他方 性质：
B
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半.
证法1
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
等边三角形(含30°直角三角形)
《等边三角形》 （2） 1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为 30°的性质． 2、有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单应用． 3、体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
学习目标
学习重点 学习难点 环节
探索一个锐角为 30°角的直角三角形的边之间的关系； 一个锐角为 30°角的直角三角形的边之间的关系的应用； 教师活动 学生活动 设计意图
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
1 ∴BC= 2 AB
即 AB=2BC
如图 14—6，△ABC 中，BA＝BC，∠B＝120°，AB 的垂直平分
1 线交 AC 于 D，求证：AD= 2 DC．
连结 BD，如图 14—6 所示。 课 堂 因为 BA=BC，∠ABC=120°，所以∠A=∠C=30°。 限时完成、 检 测 本 节 课 知 识的掌握情况；
预学 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，•那么它所 交流 对的直角边等于斜边的一半．
小组交流、 培 养 学 生 的 合 互相纠错、 作 能 力 和 语 言 评价 表达能力；
如图是屋架设计图的一部分， 点 D 是斜梁 AB 的中点， 立柱 BC、 DE 垂直于横梁 AC， AB=7.4m， ∠A=30°， 立柱 BD、 DE 要多长？ 分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠ A=30°，所以 DE 中点，所以 DE
所以 BD= 又 AD
外角的应用，通 考完成、 （2） 过 2 培养学生思 小组合作交 维的活跃性，以 流 不变应万变；
所以 DE
1 1 AD = 3.7 =1.85（m） ． 2 2
答：立柱 BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85m． 已知如图所示, 在△ABC 中, 于 B, ∠ABC=120°, 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30°, 如能构造有一个锐角是 BD 是 AC 边上的中线, DB⊥BC
30度直角三角形课件
4
在Rt△BCD中, ∠B=600,
1 ∴ BC AB 2
B
┏ D
∴ ∠BCD=300,
A
1 ∴ BD BC 2
1 ∴ BD AB 4
7.如图：已知 在△ABC 中，∠A=300，C=900， BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. A
分析：利用三角形的一个外 C 角等于与它不相邻的两个内 角的和．可得出∠C=42°，
从而得出ＡＢ＝ＢＣ，再由ＡＢ ＝１５×２＝３０（海里），得 到ＢＣ＝３０ （海里）
N北
４２° ８４°
B
A
４２°
5、议一议、写一写：
（1） 已知P是OM上一点,过点P画ON的平行线，与∠MON的平分线 相交于点Q，它们围成的△POQ是等腰三角形吗？为什么？
3、△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=___
4、下列四个说法中，不正确的有（ ） *三个角都相等的三角形是等边三角形。 *有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 *有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 *有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 5、 等边三角形的对称轴有（ ）条 （A）1条（B）2条（C）3条（D）4
已知: Rt△ABC中∠C=900. ∠A=300
求证：
,2
证明： CD=AD ∠ACD=∠A=300 ∴△ADC是等腰三角形， ∠CDB=∠B=600 △BCD是等边三角形 ∴CD=BD=BC=AD
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。
等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。
二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。
b. 三内角相等，即每个角均为60度。
c. 高等于一边长的一半。
三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。
2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。
b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。
c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。
四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。
2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。
此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。
五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。
可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。
2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。
应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。
3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。
《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习课时教案
《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习课时教案【课题】《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习【课型】复习【教学目标】知识：1、复习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．3、反证法复习能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明。
情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。
【教学重难点】重点：复习并掌握等边三角形的判定方法，掌握含30°角直角三角形的性质。
难点：够运用等边三角形的性质和判定解决问题，能灵活运用含30°角直角三角形的性质解决有关问题【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）知识回顾（1分钟）1、等边三角形的性质和判定2、含30°角直角三角形的性质3.反证法（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习探究一：探究点一：等边三角形的判定（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC 是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．【类型二】三个角都是60°的三角形是等边三角形如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．【类型三】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．探究二：含30°角的直角三角形的性质（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线有关的综合运用如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3 B．2C．1.5 D．1方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．（二）分组研讨，组内合作设计意图（让学生学会梳理知识，善于找出疑问，以便进一步提高，同时培养学生的语言表达能力。
北师大版数学八年级下册1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》(第4课时)说课稿
北师大版数学八年级下册 1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》（第4课时）说课稿一. 教材分析《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》是人教版初中数学八年级下册的教学内容，属于几何部分。
本节课主要介绍了等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
通过本节课的学习，学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析在八年级下学期，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，对于等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质，提高学生的几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力，提高学生的问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的判定方法，含30°角的直角三角形的性质。
2.教学难点：等边三角形的判定方法的灵活运用，含30°角的直角三角形的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境创设：通过生活实例引入等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
13.3.2等边三角形含有30度直角三角形的性质教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《13.3.2等边三角形含有30度直角三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过等边三角形或直角三角形的情况？”（如风筝、三角形警告标志等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等边三角形及含有30度直角三角形的性质。
3.培养学生的数学建模素养，使学生能够将所学知识应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决问题的能力；
4.培养学生的数学运算素养，通过计算等边三角形及含有30度直角三角形的相关数值，增强学生对数学运算的熟练度和准确性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）等边三角形的判定与性质：掌握等边三角形的定义，能够判断一个三角形是否为等边三角形；理解等边三角形的性质，如三线合一、内角均为60度、对边相等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等边三角形和含有30度直角三பைடு நூலகம்形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形和含有30度直角三角形的基本概念。等边三角形是三边相等的三角形，具有独特的性质；含有30度直角三角形的直角边比例和角度关系在几何中有着重要应用。
1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；(重点、难点)2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点)一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的判定【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴a＝b＝c.故△ABC是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．【类型二】三个角都是60°的三角形是等边三角形如图，在等边△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．解：△ODE是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.∴△ODE是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．【类型三】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE 延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE ＝12∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．解：△ABC是等边三角形．理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝12∠ECB.∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋12∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．探究点二：含30°角的直角三角形的性质【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线有关的综合运用如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3 B．2C．1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝12PC＝12×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝12AB＝20m，∴S△ABC＝12×50×20＝500(m2)．∵这种草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．三、板书设计1．等边三角形的判定三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的提高．不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进一步的训练得以提高.。
含有30°角的直角三角形的性质
∴ CD=AD=BD 1 AB
2
∴ BC 1 AB
2
∴ CD=AD
归纳
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边 的一半）
几何符号语言：∵ ∠C=90°，∠A=30°
∴ BC 1 AB
30°
2
或 ∵AC⊥BC，∠A=30°
∴ BC 1 AB
2
注意：1.含30°角的直角三角形的性质实际上是由等边三角形的 轴对称性质得出的，是由特殊角在直角三角形中得出边和边的 倍数关系，主要用于计算和证明线段的倍数关系.
2.在运用含30°角的直角三角形的性质时，注意条件必须要有 30°的角和在直角三角形中两个条件.
∵ DE⊥AC，∠A =30°
∴ DE 1 AD 1 3.7 1.85(cm)
2
2
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
经典例题
例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠A=30°. 求证：AB=4BD.
解：∵∠ACB=90°, ∠A=30°
1
∴ AB 2BC,∠B 600
1 2
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线， AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F,则DF的 长为_4_._5__
12
例题3：某市在旧城改造中，计划在市内一块如图的三角形空地 上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购 买这种草皮至少需要多少元？
D ∴ ∠BAD=30°+30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ AB=BD ∵ BC CD 1 BD ∴ BC 1 AB 2
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案一. 教材分析等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质是北师大版八年级下册数学第1.1节的内容。
这一节主要让学生了解等边三角形的判定方法，以及含30°角的直角三角形的性质。
在教材中，通过图片和实例引出等边三角形的判定方法，以及通过几何图形和推理介绍含30°角的直角三角形的性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了三角形的性质，角的度量等基础知识。
对于这部分内容，学生可能已经有一定的了解，但需要进一步引导他们通过几何图形和推理来深入理解等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
三. 教学目标1.了解等边三角形的判定方法，能够判断一个三角形是否为等边三角形。
2.掌握含30°角的直角三角形的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.等边三角形的判定方法。
2.含30°角的直角三角形的性质及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等。
通过引导学生观察实例，提出问题，引导学生通过几何图形和推理来解决问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.几何图形板七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些等边三角形的图片，引导学生观察等边三角形的特点，引发学生的兴趣。
同时，提出问题：“你们知道等边三角形的判定方法吗？”2.呈现（15分钟）利用PPT课件，展示等边三角形的判定方法。
通过几何图形和推理，引导学生理解等边三角形的判定方法。
同时，展示含30°角的直角三角形的性质，引导学生理解并能够运用这些性质。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用几何图形和直尺，尝试判断一些给定的三角形是否为等边三角形，并运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
等边直角三角形30度60度90度三边比例
等边直角三角形30度60度90度三边比例等边直角三角形是指一个角为90度，另外两个角为等角的三角形。
常见的等边直角三角形是30度-60度-90度三角形。
在这种三角形中，一个角为30度，另一个角为60度。
在这个三角形中，直角边与斜边的比例为1:2，直角边与无直角的两条边的比例为1:√3。
下面我们来详细解释一下为什么这个三角形的比例如此。
我们来证明一下三角形的两个角为30度和60度。
设等边直角三角形的斜边为c，直角边为a，无直角的两条边分别为b1和b2。
三角形的两个角为A（直角）, B（等角30度）和C（等角60度）。
我们可以通过等边三角形的性质知道，三角形的两个直角边相等，即b1=b2=a。
要证明B角为30度，我们可以画辅助线。
我们画一条高为h的垂直线，将三角形分成两个小三角形，记小三角形的底边分别为x和y，角度分别为α和β。
根据直角三角形的性质，我们可以得到以下方程：cos α = x / asin α = h / aco s β = y / asin β = h / c由于等边三角形的性质，我们可以得到以下等式：x + y + a = c （等腰三角形的性质）h^2 = a^2 - x^2 （根据勾股定理）h^2 = c^2 - y^2 （根据勾股定理）将上面的等式带入前面的四个三角方程中，我们可以得到以下的等式：cos α = x / a = (c-a) / asin α = h / a = √(c^2 - a^2) / acos β = y / a = (c-x-y) / asin β = h / c= √(c^2 - y^2) / c根据三角函数的基本性质，我们可以得到以下等式：cos α = (c-a) / a = cos 30°sin α = √(c^2 - a^2) / a = sin 30°cos β = (c-x-y) / a = cos 60°sin β = √(c^2 - y^2) / c = sin 60°化简上述等式，我们可以得到以下等式：c - a = a / 2 （根据cos 30°的值）c^2 - a^2 = 3 a^2 / 4 （根据sin 30°的值）c - x - y = a / 2 （根据cos 60°的值）c^2 - y^2 = 3 c^2 / 4 （根据sin 60°的值）化简上述等式，我们可以得到以下等式：2c - 2a = ac - a = a / 28c^2 - 8y^2 = 9c^23y^2 = c^2根据前面的等式c = x + y + a，我们可以得到以下等式：8(c-a)^2 = 9(c - a + 2a)^2化简上述等式，我们可以得到以下等式：8a^2 = 9(c + a)^2根据上述等式，我们可以得到以下等式：8 = 9(1 + a / c)^2再次化简上述等式，我们可以得到以下等式：8 / 9 = (1 + a / c)^2开方得到：√(8 / 9) = 1 + a / c化简上述等式，我们得到：√(8 / 9) - 1 = a / c继续化简，我们得到：(2√2 - 3) / 3 = a / c因此，直角边与斜边的比例为1:2。
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2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC， 且BD=16cm，则AD= 24cm .
大
胆
尝
试
例1.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
4
B D C
自学课本55页例5
A
拓
展
Hale Waihona Puke 提升D已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),
B
150
A
150
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
课堂检测
C
D
B
课堂检测
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A
A
C
D
B
5、如图△ABC是等边三角形， AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点， 2.5cm ， 则∠ADF =______, BD=______ 60° 1.25cm BE=_______.
则∠DCB=∠B=600 ∴△ADC是等腰三角形， △BCD是等边三角形
C
B
∴AD=CD=BD=BC 1 ∴ BC AB 2
归纳新知
含30 °直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
30°
1 ∴ BC= AB 2
B
C
判断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
√
试一试
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A， 3cm AB=6cm，则BC=________.
1.在△ABC中，∠C=900, ∠B=600,BC=7, 300 ,AB=---------14 则∠A = ---------2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3, 5 若AB=10,则BC=---------3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，若∠A=300，BD=1cm, 那么∠BCD=_____, BC=_____. 300 2cm A
• 2.用两个全等的含30°角的直角三角尺你能 拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． • 3. 在直角三角形中，30°角所对的直角边与 斜边有怎样的大小关系？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于300， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=30° 1 求证：BC= 2 AB
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD. 在△ABC与△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD 又∵ △ABC 是等边三角形
A
30°
B
C
D
1 1 ∴BC＝DC＝ BD= AB 2 2
证法二：
证明：在△ACB 内部作 ∠ACD=∠A=300,交 AB于D A D
颗
粒
归
仓
• 等边三角形的性质: 三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条对称轴. • 等边三角形的判定: 定义:有三边相等的三角形是等边三角形. 定理1:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理2:三个角都相等的三角形是等边三角形.
操作探 究
1.量一量含30°角的直角三角尺的最短直角边 与斜边你有什么发现？
E B D
F
C
知识反馈 布置作业
1、必做题：课本第56页练习题
2、 选做题：
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线 ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点 Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
C A E
F
B
温馨提示：作业整洁
字体工整 步骤完整