线性代数(A卷考题及答案)
线性代数试题A及答案
线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
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上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆 （D ）矩阵E A +一定可逆 二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分） 解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合 解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1． 向量组的秩为3 (2)2． 向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案
3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij ， 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；
线性代数考题及标准答案A
线性代数考题及标准答案A————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2005级线性代数考试试题院系_____________________；学号__________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】A. A=A -1B.A=-EC. A=ED.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件是【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a aC. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a n ΛB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a Λ C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n ΛΛ=∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a Λ14. F 3的两个子空间V 1={(x 1,x 2,x 3)|2x 1-x 2+x 3=0}, V 2={(x 1,x 2,x 3)|x 1+x 3=0}, 则子空间V 1I V 2的维数为【 】A. 二维B. 一维C. 三维D. 零维15. 设M n (R)是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义)(,det )(R M A A A n ∈=σ，则σ是M n (R)到R 的 【 】A. 一一映射B. 满射C. 一一对应D. 既不是满射又不是一一对应15. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则下列映射中是R 3的线性变换的是 【 】A.0,)(≠+=ααξξσ B. )0,,2()(32321x x x x x +++=ξτC. ),,()(32221x x x p =ξ D. )0,cos ,(cos )(21x x w =ξ 17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 23118.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1- C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-19.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【 】A ．0 B.1 C.2 D.320.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
线性代数试题A答案[大全5篇]
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线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
线代A期末考试题及答案
线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。
7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列式 ，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。
s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。
A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题 号一二三总 分总分人复分人得 分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。
111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
线性代数A及答案
2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷 ）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。
每小题3分。
）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（ ）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。
2022年线性代数试卷试卷及答案AB卷
线 性 代 数 试 卷(A)一、选择题（每题3分，共15分）1._____________,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11-(D)1-(C)1-0(B)0(A)或者或2._____________,1||*=-=A A A 则，且为正交矩阵设3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的 n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1 (C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既为设B r A r n B A =B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－5._____________,)(b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵 )(A 一定无解 )(B 可能有解)(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则|2|*A =_____________2. D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j jA=__________ ,其中D =1111111*********---3. 已知实二次型321123122132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数a 的取值范围为________________A- D ） •A(C) A -A (A) T T (B)4. 2n 阶行列式 ________________=A B BA ,其中n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000 b b b B5. 设A=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n A A 三、计算题(每题9分,共54分) 1. 计算n 阶行列式•m x x x x x x m x x x x x m x •D n nnn ---=3213213212. 求矩阵X 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-+--120210006,100010002,011B A BX A BA AX ，其中3. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++-=+++3432211244332114433213222dx x x c x c d x b x b x x d x a x a x x 有三个解向量 1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2423求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中tk j i d c b a ,,,为已知常数)4. 已知实二次型 ),,(321x x x f =)0(233232232221>+++λλx x x x x 经过正交变换QY X =,化为标准形23222152y y y ++,求实参数λ及正交矩阵Q5. 设线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++b x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203，问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间4R 中,求a 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β四、证明题(每题8分,共16分)1. 设 321,,ααα 是欧氏空间V 的标准正交基,证明:112321233123111(22)(22)(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的标准正交基2. 设=f AX X T是n 元实二次型,有n 维实列向量21,X X ,使11AX X T0>，22AX X T0<, 证明:存在n 维列实向量00≠X ,使00AX X T=0线性代数考试A 参考答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B) 二、填空题1. 12*2|2|-=n A ；2. 0；3.27||<a ； 4.nb a )(22-； 5.0A 2A 1n n =--三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式•mx x x m x x x •m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)( =•m m x x •m x n ni i ---∑=001)(218分=)()1(111m x mni i n n --∑=-- 9分2. 11)(--=-BA X A B A 3分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120210003020200001X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12/102/110003X 9分3. 由题设条件知1η,2η,3η是b AX =的三个解，因此3η－1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1612， 3η－2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1331 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A 的秩)(A r ≤2 又A 中有二阶子式052112≠-=-，)(A r ≥2，因此)(A r ＝23分因此3η－1η，3η－2η为其导出组的基础解系。
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（ 2008 至 2009 学年 第一学期 ）课程名称： 线性代数 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许1、 设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（ ）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 3．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =. 四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A -- 五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y 六、（10分）。
给定齐次线性方程组1234123412340,0,0.x x x x x x x x x x x x λλ+++=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？（2）当=1λ时，求方程组的通解；并给出方程组所有解所组成的解空间的维数. 七、（8分）判定二次型()2221231231213,,26422f x x x x x x x x x x =---++的正定性.八、（12分）求一个正交变换py x =使二次型()22212312312,,3324f x x x x x x x x =+++化为标准型. 九、（8分）求向量组()1=1131Tα，，，,()2=1113Tα-，，-，,()5289Tα3=,-,,-,()41317Tα=-,,,的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.十、（6分）设矩阵232a b A b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭有特征值1，相应的特征向量为11⎛⎫ ⎪-⎝⎭,求,.a b课程名称： 线性代数 考试时间：110分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分一、填空题参考答案及参考评分标准：参考评分标准：填写正确得3分，不填或填错得0分（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）参考答案：1、82、100012-12001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3、相等4、22131213232+26x x x x x x x x -+++ 5、3/5二、选择题参考答案及参考评分标准：参考评分标准：填写正确得3分，不填或填错得0分（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）参考答案： 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 三、参考答题要点及参考评分标准（8分）：(1) 2121002100121003210120121012100120012D r r =- 32432100210003210321023340043100431001200054r r r r --………………………3分=5………………………4分(2) ()()11411200012000122001120201101221120001012D ++=⨯-+⨯-按照第一列展开………2分 ()=1+2815-⨯=-=1-2*8=-15…………………4分*注：其它解法给分参照执行。
四、参考答题要点及参考评分标准（6分）：01200326E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………2分()01100001100200010100012032600132600110001201000120326001026032100110000110010001201000120020632101033412001100001100E A E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎭……………5分 所以10120()=33412100E A --⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭……………6分*注：其它解法给分参照执行。
五、参考答题要点及参考评分标准：（12分）(1)121121121231007122071224107340012a a a A aa ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭…4分 所以1,2a b =-=时秩为2 ………………………………………………6分 (2) 由特征值的性质得：20+2110(1)x y x y +=+-⇒-+=………………………………2分2(1)=2(2) y A ∙∙-=- …………………………………4分由(1)、(2)求得：0,1x y ==…………………………………………6分 *注：其它解法给分参照执行。
六、参考答题要点及参考评分标准：（10分）1111111111101021110012λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭………………………………2分 (1) 当1λ≠时方程组的基础解系中只含有一个解向量………………………………3分(2) 当=1λ时求解如下111111101111000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭12.ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==对应齐次方程组的基础解系为-1-110，0100 所以其通解为()112212.c c c c R ξξ+∈、………………………………8分 此解空间的维数为2. ………………………………10分*注：其它解法给分参照执行。
七、参考答题要点及参考评分标准：（8分）f 的矩阵为211160104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………1分 由于 1120a =-< …………………………………………………3分111221222111016a a a a -==>-…………………………………5分211160380104A -=-=-<- ……………………………7分 即奇数阶顺序主子式为负，偶数界顺序主子式为正，故二次型f 为负定………8分 *注：其它解法给分参照执行。
八、参考答题要点及参考评分标准：（12分） f 的矩阵为320230002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭………………………………1分 ()3202302(5)(1)002A E λλλλλλλ--=-=---=- 1232,1,5λλλ=== ……………………4分对于12λ= 对应的特征向量()0,0,1T，单位化()10,0,1Tp =为………6分 对于21λ= 对应的特征向量()1,1,0T -，单位化)21,1,0Tp =-为……………8分对于35λ= 对应的特征向量()1,1,0T，单位化)31,1,0,Tp =为………10分 故要求的正交变换为x py =，其中：()123,,p p p p =……………………11分标准型为 22212325f y y y =++………………12分 *注：其它解法给分参照执行。
九、参考答题要点及参考评分标准：（8分） 向量组对应的矩阵为1151115111511123027402743181027400001397041480003115110127701201222000000000000000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………2分其一个最大无关组为12,.αα…………………………………………4分31241237;222αααααα=-=+…………………………………………8分*注：其它解法给分参照执行。
十、参考答题要点及参考评分标准：（6分）因为()12103211a b A E X b a λ-⎛⎫⎛⎫-== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭……………………3分所以1201, 1.2310a b a b a b --=⎧⇒=-=-⎨-++=⎩……………………6分*注：其它解法给分参照执行。