有限域介绍

交换群
如果一个群(S, +)符合交换律，即对于集合中任意元素 a 和 b，满足：
a+b=b+aa+b=b+a 那么这个群被称为交换群，又叫阿贝尔群。
例子：两个实数相加谁先谁后对结果没影响，满足交换律，所以(R, +)是一个交 换群。
环
在一个交换群(S, +)上， 再定义另外一种运算（记作乘法“⋅”，同样地这个 乘法也不是指日常使用的乘法），得到(S, +, ⋅)。如果(S, +, ⋅)满足以下性质：
例子：(R, ⋅)中，除了实数 0（(R, +)的单位元）以外所有数都有倒数，一个数和 他的倒数之积为 1（单位元），也就是一个实数的倒数就是它的乘法逆元。所以 (R, +, ⋅)是一个除环。但是如果把其中的实数集改为整数集，就不满足这个性质 了，因为大于 1 的整数倒数不在整数集中，因此没有乘法逆元。
加法和乘法
模加法模乘法和普通的整数加法乘法类似，唯一不同的是，当运算的结果超 出范围时，要将运算结果对素数 p 取模。比如 GF(7)定义在{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 上，它的加法和乘法是这样的：
1+2=3mod75+6=11mod71∗2=2mod74∗5=20mod7=3=4=2=61+2=3mod7=35+6=11
乘法
乘法其实就是移位加上异或。乘法单位元是 1。 举个栗子，111 乘以 101，基于乘法分配律，可以得到：
111∗101=111∗100+111∗00+111∗1=11100+0000+111=11100⊕ 111=11011111∗101=111∗100+111∗00+111∗1=11100+0000+111=11100⊕111=11011
除了 GF(p)外，常见的有限域还有 GF(2^m)。它在里德-所罗门编码（二维码使用的编码） 以及椭圆曲线加密中都有使用。
GF(2^m)正如他的名称，包含 2^m 个元素。为什么是 2 的 m 次方而不是 3 的 m 次方或 者 5 的 m 次方呢？
因为计算机是二进制的，2^m 个元素恰好跟长度为 m 的二进制数（0∼2m−10∼2m−1） 一一对应。比如 GF(2^8)，刚好跟计算机中 8 个二进制位，也就是一个字节（0~255）对应。 所以它在计算机或者专用硬件上可以有很高的运算效率。
1. (S, ⋅)是一个幺半群。 2. 两种运算满足分配律，即 a(b + c) = ab + ac
那么(S, +, ⋅)形成一个环。此时群(S, +)的单位元被称为环(S, +, ⋅)的零元。 例子：实数集 R 和实数乘法形成一个幺半群(R, ⋅)，单位元是实数 1，而且和实 数加法满足分配律，所以(R, +, ⋅)是一个环。
如果直接相乘得到的结果长度不大于 m，这就是最终结果。但是这里得到的结果是 11011，长度超过了 3，那么就要想办法对它进行处理。怎么处理呢？还是对一个“素数”取
模。 需要注意，这里的“素数”并不是普通的素数，而是基于上述乘法，无法由两个数相乘得
到的数。这Hale Waihona Puke Baidu的“素数”可能有多个，不同的选择会有不同的结果。
抽象代数基础
抽象代数，其实就是对我们日常使用的代数运算进行了抽象，将其泛化到更一般 的领域。我们学习加法和乘法，里面有说它们满足结合律、交换律、分配律。这 么多年我们一直把这些性质当成自然而然的东西，但是在抽象代数中，定义某些 运算时，他们未必就像在普通加法乘法里那么显然。
集合
这是高中数学就有的内容。集合具有三个性质：
实数有无限多个，所以实数域是一个无限域。而如果一个域的元素是有限的， 那么他就是一个有限域，又叫伽（ga1）罗瓦域。 有限域中元素的个数被称为有限域的阶(order)。有限域的阶一定是某个素数 p 的 k 次幂（k 是正整数）。
模 p 有限域 GF(p)
最常见的有限域莫过于模素数 p 有限域 GF(p)。 GF(p)是定义在整数集合{0, 1, … , p-1}上的域。GF(p)上的加法和乘法分 别是模加法和模乘法。
为了方便，我们把 GF(2^m)中的元素表示成长度为 m 的二进制形式。下面以 m=3 为例
加法和减法
GF(2^m)上的加法和减法都是异或运算。加法单位元是 0。 010 和 110 都是 GF(2^3)的元素。那么 010+110=010 ⊕ 110010−110=010 ⊕ 110=100=100010+110=010 ⊕ 110=100010−110=010 ⊕ 110=100 因为长度为 m 的二进制数异或结果还是长度为 m 的二进制数，所以不需要考虑结果超出范 围的情况。
交换环
如果环(S, +, ⋅)中，(S, ⋅)满足交换律，那么(S, +, ⋅)被称为交换环。
例子：实数乘法满足交换律，所以(R, +, ⋅)是一个交换环。
域
如果一个环(S, +, ⋅)，既是除环又是交换环，那么它是一个域。
例子：(R, +, ⋅)既是除环又是交换环，所以它是一个域，称为实数域。
有限域
也就是解下面的方程：
bx=1mod7bx=1mod7
bx=1+7k,其中 k∈Z+bx=1+7k,其中 k∈Z+
这个方程的求解需要用到扩展欧几里得算法，这里不再赘述。下面直接给出结果：
3÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=63÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=6
有限域 GF(2^m)
1. 无序性。集合中的元素是无序的。 2. 唯一性。集合中每个元素都是唯一、不重复的。 3. 确定性。给定一个元素和一个集合，这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集
合，不存在其它情况。
比较常见的集合有：整数集（ZZ）、有理数集（QQ）、实数集（RR）等。
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
1. 封闭性。也就是运算的结果始终在集合 S 内 2. 结合律。也就是满足：(a + b) + c= a + (b + c)
例子：如果集合 S 是全体实数（记作“R”），而运算是实数加法，那么它们共同 形成了一个半群，记作(R, +)
幺半群
如果一个半群(S, +)中存在一个元素 e，使得 S 中所有的元素 a 都满足：
对于 GF(2^3)，1011 就是其中一个“素数”。11011 对 1011 取模，过程如下： 11011mod1011=11011−1011∗10mod1011=11011⊕
10110mod1011=1101mod1011=1101−1011∗1=1101⊕ 1011=11011011mod1011=11011−1011∗10mod1011=11011⊕
那么这个幺半群就是一个群。群中元素 a 和元素 b 互为逆元，记作 a = -b 或者 b = -a。逆元存在，也就定义了群上的减法。a 减去 b，其实就是 a 加上 b 的逆元。也就是：a−b=a+(−b)a−b=a+(−b) 例子：(R, +)中，每一个正数都和一个负数一一对应，他们的和为 0。0 取负是 它自身。所以(R, +)是一个群。
10110mod1011=1101mod1011=1101−1011∗1=1101⊕1011=110
实际上这个计算过程类似于除法的竖式运算。
除法
除法依然是乘以一个倒数，使用的方法同 GF(p)一样是扩展欧几里得算法，这里 不作介绍。
mod7=41∗2=2mod7=24∗5=20mod7=6
减法
a 减去 b，其实就是 a 加上 b 的加法逆元，关键是找到 b 的加法逆元。
1−2=1+(−2)=1+5=6mod71−2=−1mod7=6 又或者=61−2=1+(−2)=1+5=6mod7=6 又或
除法
者 1−2=−1mod7=6
a 除以 b，需要找到 b 的乘法逆元（在这里又被称为数论倒数）。即满足以 下式子的整数 x：
除环
如果幺半群(S, ⋅)里除了零元以外的所有元素都有逆元，那么(S, +, ⋅)被称为除环。
为了避免和(S, +)里的逆元混淆，(S, +)里的逆元称为加法逆元，(S, ⋅)里的则是 乘法逆元。 (S, +, ⋅)中乘法逆元存在，也就定义了除法，元素 a 除以元素 b 实际上就是 a 乘 以 b 的乘法逆元。也就是：a÷b=ab−1a÷b=ab−1
a+e=e+a=aa+e=e+a=a 那么这个半群被称为幺半群，元素 e 被称为单位元或者幺元。
例子：(R, +)中，实数 0 符合这一要求，所以(R, +)是幺半群，0 是它的单位元。
群
如果一个幺半群(S, +)中的每一个元素 a 都有唯一一个元素 b 与之对应且满 足以下性质：
a+b=b+a=e，其中 e 是单位元 a+b=b+a=e，其中 e 是单位元