复变函数与实变函数微积分理论的比较与应用

复变函数与实变函数微积分理论的比较与

应用

众所周知复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，本学期我们数学专业的学生开始学习这门课程。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。

这里先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

下面我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。

⒈复变函数的微积分理论

㈠复变函数的微分性质

我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。

①复变函数极限的概念：

函数ω=f(z)定义在z0的去心邻域0＜│z-z0│＜ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)使得当0＜│z-z0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z) -A│＜ε。即称z→z0是的极限，记为另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的，此处不细表在实变函数时另有说明。②复变函数导数的概念：设函数ω= f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。该极限成为f(z)在z0的导数，记做f’(z0)=│z=z。 =

③复变函数的求导法则

1，（C）’=0,C为复常数

2，（Z n）’=nZ n-1,n为正整数

3，[f(z)g(z)]’=

4,[f(z)g(z)]’=g(z)+f(z) 5,= 6,{ f[g(z)]}‘=,其中ω=

g(z) 7= ，其中=f(z)与z=()是两个互为反函数的单值函数，且≠0 由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的。在之后的实变函数与复变函数的微积分比较中还会进一步阐明。

④复变函数可微的必要、充分、充要条件：

⒈必要条件，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，则必有

Ⅰ偏导数u x、u y、v x、v y在点(x,y)存在；

Ⅱ u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y），满足C.-R方程

⒉充分条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充分条件是

Ⅰu x、u y、v x、v y在点（x,y）处连续；

Ⅱu(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足C.-R方程

⒊充要条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充要条件是

Ⅰ二元函数u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处可微Ⅱu(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足C.-R方程

此处引入解析函数的概念，方便后边讨论复变函数的积分。

⑤解析函数的相关理论

定义：函数ω=f(z)在区域D内可微，则称f(z)为区域D 内的解析函数。

——解析函数的四个等价定理如下：

⑴ u(x,y) 、v(x,y)在D内可微；满足C.-R方程

⑵u x、u y、v x、v y在点D内连续；满足C.-R方程

⑶f(z)在D内连续；D内任意周线C，使得=0

⑷v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数；满足C.-R方程⑥解析函数的n阶可导性

区域D的边界是周线C（或者复周线）,函数f(z)在D内解析，在=C+D上连续，则f(z)在区域D内具有各阶导数，并且有 (z) n=1,2…

㈡复变函数的积分性质

这一部分我将分为四个部分来阐明，分别为不定积分、定积分、柯西定理、积分的计算。

①复变函数的不定积分

区域D内f(z)的带有任意常数的原函数F（z）+C成为

f(z)在D内的不定积分，记为,F（z）+C 这里f(z)为被积函数，z为积分变量。——不定积分的性质： = =K ②复变函数的定积分

复变函数的定积分依然是以黎曼和的形式定义的。

函数ω=f(z)定义在区域D内，C为区域D内的起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点位A=z0,z1,…z k-1,z k…z n=B,每个弧段(k=1、2…n)上任取一点ζk作和式S n=·(z k-z k-1)=·Δz k记δ=max{Δs k},(Δs k为)，当n无限增加，且δ→0时，如果不论C的分法及的取法，S n有唯一极限，那么称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记为= ——复变函数定积分的性质：⒈=- ；

⒉=K（K为常数）

⒊= ; ⒋设曲线C的长度为L，函数f(z)在C上满足│f(z)│≤M,那么≤≤M L ⒌=+,其中L由L1和L2组成。③复变函数的柯西定理（柯西积分定理）定义：f(z)在Z 平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条周线，则=0

另外由柯西定理可知如果函数f(z)是单连通区域上的解析函数，则有以下性质：

⒈若C是D内连接两点z0及z的一条简单曲线，那么沿曲线C的积分的值不依赖于曲线C，而只由z0及z决定。

⒉固定z0,而z在D内任意取值，上述积分所确定的函数

F（z）=在D被解析，且(z)=f(z) ⒊若Φ（z）为f(z)在区域D内的原函数，那么Φ（z）-Φ（z0）这里