复变函数映射 PPT
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复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
第一章第二节复变函数
b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
《复变函数与积分变换》§6.2 分式线性映射
§6.2 分式线性映射
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
例 映射w i 把区域：Re( z) 0,0 Im( z) 1映射成什么？
z
解 设z x iy, w u iv
由w
u iv
i z
iz zz
i( x iy) 得 x2 y2
u
x2
y
y2
,v
x2
x
y2
,故
y
u2
u v2
,x
u2
v v2
Re(z) 0,0 Im(z) 1
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
故又称w az b 为双线性映射. cz d ~~~~~~~~~~
分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：
(i) w z b (ii) w az(a 0) (iii)w 1 z
称为： 平移
整线性
反演
事实上，
( A, B复 常 数)
当c 0时，w az b w a z b Az B
(z 0)
适当规定处夹角的定义后,映射w 1
z
在扩充复平面上处处共形的,即为一共形映射.
~~~~~~~~~
（详见P195）
对(i), (ii)的复合映射w az b(a 0)
w' (az b)' a 0 是共形映射.
由于分式线性映射是由三种特殊映射复合
复变函数的映射
C2
则有 arg w 2 ( t 0 ) arg w1 ( t 0 ) arg z2 ( t 0 ) arg z1 ( t 0 )
1 与 2 在 w0 的夹角
C1 与 C2 在 z0 的夹角
结论: 相交于点 z0 的任意两条曲线C1与 C2之间
的夹角 在其大小和方向上都等同于经过 w f ( z )
—符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个 充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w e z 在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 w f ( z ) 于区域 D 内解析 , z0 D , 在点 z0 有 在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量 相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何 导数 f ( z0 ) 0 . 过 z0 任意引一条有向光滑曲 线 意义. 那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的 关系呢？又有什么样的几何意义呢？ C : z z ( t ) ( t0 t t1 )
点 w0 重合 ， x 轴与 u 轴平行 , 则 C 在点 z0 的切线与
在点 w0 的切线所夹的角就是arg f ( z0 ) . 因此可
以认为曲线 C 在 z0 的切线通过变换以后绕 着点 z0转
动了一个角度arg f ( z0 ) ， 它称为变换 w f ( z ) 在 z0
意义 . 点的旋转角 . 这就是导数辐角的几何
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知， 在 C 的内部
复变函数ppt教学2-2解析函数和调和函数的关系
( 0, 0 )
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
《复变函数映射》课件
光学
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复变函数相关ppt3
总结判断函数解析性的方法： 多项式函数在复平面内处处解析； 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的奇点， 其余点处都解析； 对于初等函数（见后面介绍）； 对于其余函数可用导数定义，或今天所讲定理。
二、定理的应用 2、由函数解析性来确定某些参数
例2.2：设f(z)=x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ). 求a, b, c, d 使得f(z)在复平面内处处解析。
在复变函数中，处处连续但又处处不可导的函数很多。
下面举例说明：怎样用定义求导； 处处连续但又处处不可导的例子。
1 例：求 f ( z ) = ,(z ≠ 0)的导数。 z 常用的求导公式与法则（ p15）。
例：处处连续但又处处不可导的例子。
f ( z ) = x + 2yi
二、解析函数的概念
如 果 f ( z ) 在 z 0 及 z 0的 邻 域 内 处 处 可 导 ， 则 称 f ( z )在 z 0处 解 析 ； 如 果 f ( z ) 在 区 域 D内 每 一 点 解 析 ， 则 称 f ( z )
一、判断函数解析性的相关定理
定理 2.1 设 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y )在 点 z = x + iy 处可 导 的充 要 条件 是
1、实部u ( x, y )和虚部 v ( x, y )在点( x, y )处可微； 2、u( x, y)和v( x, y)满足柯西-黎曼方程（简称C − R方程）：
在 D内 解 析 ， 或 说 f ( z )是 D内 解 析 函 数 ；
奇点：如果f ( z )在z0不解析，则称z0为f ( z )的奇点。
复变函数-共性映射PPT共81页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank youFra bibliotek复变函数-共性映射
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank youFra bibliotek复变函数-共性映射
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
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例2 求 f(z)zzzz在 z0时的.极限 f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3 证明 f(z)Rezz在z0时的极限不 . 存
3.函数的连续性
定义
若limf zz0
(z)
f
(z0)，
则f称 (z)在z0处
连;续
则lz z i0fm (z) A u 0 i0 v ( (x x ,,y y ) l) l ( (ix ix 0 0 ,,y y m m 0 0 ) )u v ( (x x ,,y y ) ) v u 0 0
定理2
若lim f (z) A limg(z) B,则
zz0
zz0
lim f (z) g(z) lim f (z) limg(z) A B
复变函数映射
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或 w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
例2 若已 f(z)x 知 1 x 2 1y2 i y 1 x 2 1y2 将f(z)表示z成 的函. 数
设 zx i,y 则 x1(z z)y ,1(z z)
2
2 i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
zG(z平)面 w f (z)wG *(w 平面） (变 的 )换 .
以下不再区分函数与映射（变换）。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
例3 研究wz所构成的映 . 射
解 设 zr(co issin )rie
zr e i —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究weiz (实常数）所构成的. 映射
解 设 z ri e w e i z e i ri e ri( e )
zz0
zz0
zz0
lim f (z)g(z) lim f (z) limg(z) AB
zz0
zz0
zz0
lim
f (z)
lim f (z)
zz0
(limg(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1 证明 wx2 yi(xy2)在平面上处处. x2y,xy2在 平 面 上 处 处 有
是 一 一 的 。 也 G与 称集 集G合 合 是 一 一 对 应 的
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。 3
例 已知w 映 1射 ,判:断 z平面 上x的 2y曲 21被 线 z
映 射w平 成面 上 怎?样 的 曲 线
§4 3.函数的连续性
zG w f (z) wG*
一(或 个几 )z G 个 z (w ) wG*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
显然w 有 f[(w)] wG*
当反函数 z单 [f(值 z)] 时 zG(一z般 [f(z)])
当函(映 数射 )w f(z)和其反(函 逆数 映)射
z(w)都是单值的，(则 映称 射 )w函 f(数 z)
定义域
函数值集合
称 w为 z的象 (映点 )， 象z而 称w 为 的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
1. 函数的极限
定义 设wf(z),zU(z0,),若 存 在 A， 数 0,
（ 0（ ） ) ,当0zz0 时,有f(z)A,
则
称 A为f(z)当zz0时
的
极
限
， lim记 f(z)作 A
zz0
或 当 zz0时 ， f(z)A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f(z)
w uiv (co issin )x (i)y (xco sysin )i(xsin ysin ) 即，
uxcosysin vxsinysin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映. 射
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
例1 wz2 令 zxiywuiv 则 w(uiv )(xiy )2x2y22xyi
w z2 u x 2 y 2 v 2 xy
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z 0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1 设 f ( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y )z x iz y 0 x 0 i0 y
若z一 个 w值 ，f称 (z)是 单 值 函 数 ; z多 个 w值 ，f称 (z)是 多 值 函 数 .
今后无特别声明， 论所 的讨 函数均为单值 。函
G—f(z)的定义集合，常 面常 区是 域平 （定义
G*{wwf(z),zG}— 函数值集合
zxiy (x,y);wuiv (u,v) wf(z)f(xiy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
例3 证明 f(z)Rezz在z0时的极限不 . 存
3.函数的连续性
定义
若limf zz0
(z)
f
(z0)，
则f称 (z)在z0处
连;续
则lz z i0fm (z) A u 0 i0 v ( (x x ,,y y ) l) l ( (ix ix 0 0 ,,y y m m 0 0 ) )u v ( (x x ,,y y ) ) v u 0 0
定理2
若lim f (z) A limg(z) B,则
zz0
zz0
lim f (z) g(z) lim f (z) limg(z) A B
复变函数映射
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或 w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
例2 若已 f(z)x 知 1 x 2 1y2 i y 1 x 2 1y2 将f(z)表示z成 的函. 数
设 zx i,y 则 x1(z z)y ,1(z z)
2
2 i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
zG(z平)面 w f (z)wG *(w 平面） (变 的 )换 .
以下不再区分函数与映射（变换）。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
例3 研究wz所构成的映 . 射
解 设 zr(co issin )rie
zr e i —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究weiz (实常数）所构成的. 映射
解 设 z ri e w e i z e i ri e ri( e )
zz0
zz0
zz0
lim f (z)g(z) lim f (z) limg(z) AB
zz0
zz0
zz0
lim
f (z)
lim f (z)
zz0
(limg(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1 证明 wx2 yi(xy2)在平面上处处. x2y,xy2在 平 面 上 处 处 有
是 一 一 的 。 也 G与 称集 集G合 合 是 一 一 对 应 的
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。 3
例 已知w 映 1射 ,判:断 z平面 上x的 2y曲 21被 线 z
映 射w平 成面 上 怎?样 的 曲 线
§4 3.函数的连续性
zG w f (z) wG*
一(或 个几 )z G 个 z (w ) wG*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
显然w 有 f[(w)] wG*
当反函数 z单 [f(值 z)] 时 zG(一z般 [f(z)])
当函(映 数射 )w f(z)和其反(函 逆数 映)射
z(w)都是单值的，(则 映称 射 )w函 f(数 z)
定义域
函数值集合
称 w为 z的象 (映点 )， 象z而 称w 为 的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
1. 函数的极限
定义 设wf(z),zU(z0,),若 存 在 A， 数 0,
（ 0（ ） ) ,当0zz0 时,有f(z)A,
则
称 A为f(z)当zz0时
的
极
限
， lim记 f(z)作 A
zz0
或 当 zz0时 ， f(z)A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f(z)
w uiv (co issin )x (i)y (xco sysin )i(xsin ysin ) 即，
uxcosysin vxsinysin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映. 射
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
例1 wz2 令 zxiywuiv 则 w(uiv )(xiy )2x2y22xyi
w z2 u x 2 y 2 v 2 xy
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z 0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1 设 f ( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y )z x iz y 0 x 0 i0 y
若z一 个 w值 ，f称 (z)是 单 值 函 数 ; z多 个 w值 ，f称 (z)是 多 值 函 数 .
今后无特别声明， 论所 的讨 函数均为单值 。函
G—f(z)的定义集合，常 面常 区是 域平 （定义
G*{wwf(z),zG}— 函数值集合
zxiy (x,y);wuiv (u,v) wf(z)f(xiy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*