小升初奥数总复习-小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
小升初数论高频考点汇总与方法总结(一)
大海传功
整 除 问 题
•
数论知识脉络：
整
除
问
题
整
整
除 除
特 技
征 巧
因 数 三 定 律
数
论
因
倍
质பைடு நூலகம்
合
完
全
平
方
数
短 除 模 型
质 数
合数
质 数 明 星
分
解
质
因
数
带 余 除 法
余
数
问
题
同
余
问
题
剩
余
问
题
第一单元:因倍质合 【例1】(★★)
4个质数的乘积等于它们的和的11倍，求这4个质数。
【例2】（★★★） 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3， 5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位 数为____。
【例3】(★★★) 若两个自然数的平方和是637，最大公因数与最小公倍数的 和为49，则这两个数是多少？
【例4】 (★★★)
已知两个正整数的差是21，它们最大公因数与最小公倍数的 和为287，则这两个数的和是多少？
1
第二单元：因数应用
【例5】（★★★） a，b均为质数且不相等，若A=a3b2，则A有多少个因数？若 B=9A，则B有多少个因数？若C有6个因数，则C2有多少个因数？
【例6】 （★★★）
已知偶数A不是4的倍数，它的因数个数为12，求 4A的因数个数。
小升初计数高频考点汇总与方法总结
【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完， 共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要 求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前 面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其 中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方 形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？
【本讲总结】
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
【例1】（★★） 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都 可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为 第1次传球，经过4次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传 球过程共有多少种不同的可能?
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
【例5】（★★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
2
小升初计数高频考点汇总与方法总结
【本讲总结】
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
2
【例6】（★★★）
小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互 换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是 自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概 率是多少？
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
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【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完， 共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要 求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前 面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其 中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方 形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？
小升初计数高频考点汇总与方法总结
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一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加法原理
小升初奥数知识点奥数必考30个知识点大全
小升初奥数知识点—奥数必考30个知识点大全1.和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和-差)÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数②(和+差)÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数和-小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数+差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2.年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的;3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;4.植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1棵距×段数=总长棵数=段数-1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)关键问题：找出总量的差与单位量的差。
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一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加法原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
【本讲总结】
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
【例1】（★★） 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都 可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为 第1次传球，经过4次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传 球过程共有多少种不同的可能?
【例5】（★★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
2
【例6】（★★★）
小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互 换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是 自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概 率是多少？
小升初计数高频考点汇总与方法总结
【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完， 共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要 求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前 面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其 中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方 形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多—有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
【例5】（★★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
2
【例6】（★★★）
小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互 换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是 自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概 率是多少？
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
【例1】（★★） 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都 可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为 第1次传球，经过4次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传 球过程共有多少种不同的可能?
小升初数学知识点及奥数知识点汇总
小升初数学知识点及奥数知识点汇总一、数的分类1. 自然数：1, 2, 3, 4, ...2. 整数：..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...3. 有理数：整数和分数的集合，例如：1/2, -4/3, 0.7, ...4. 无理数：不能表示为两个整数的比值的数，如根号2、圆周率π等。
5. 实数：有理数和无理数的集合。
二、数的运算1. 加法运算：a + b = c，满足交换律、结合律和加法逆元。
2. 减法运算：a - b = c，可以看作是加法的逆运算。
3. 乘法运算：a × b = c，满足交换律、结合律和乘法逆元。
4. 除法运算：a ÷ b = c，可以看作是乘法的逆运算。
5. 指数运算：a^n = b（n为整数），表示a连乘n次等于b。
6. 开方运算：√a = b，表示b的平方等于a。
三、几何图形1. 点：没有大小和形状，用大写字母表示，如A、B、C。
2. 线段：由两个点A、B确定，常用AB表示。
3. 直线：由无限多个点连成的轨迹，可以用一对平行线符号表示，如AB。
4. 射线：由一个起点A和通过该点的无穷多点连成的轨迹，用一对平行线符号表示，如→AB。
5. 角：由两条射线共享一个起点而形成的区域，通常用大写字母表示顶点，形如∠ABC。
6. 三角形：由三条线段围成的图形，按边长分类有等边三角形、等腰三角形、普通三角形等。
7. 四边形：由四条线段围成的图形，按属性分类有矩形、正方形、长方形、菱形等。
8. 圆：由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形，可以用大写字母O表示。
四、奥数知识点1. 排列组合：指定条件下，从若干元素中选出若干元素按照一定顺序排列的方式。
2. 因数分解：将一个整数写成几个因数的乘积的形式。
3. 最大公约数和最小公倍数：两个或多个整数共有的约数称为其公约数，其中最大的公约数称为最大公约数；两个或多个整数共有的倍数称为其公倍数，其中最小的公倍数称为最小公倍数。
(完整版)小升初奥数知识点总结
精心整理
小学奥数都有哪些知识点和重点？看看下面的大汇总，学习数学总归用得到哦!还包括小升初中常考的题目类型等。
有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。
精心整理
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。
精心整理。
小升初数论知识点汇总总结
小升初数论知识点汇总总结数论是数学的一个分支，研究整数的性质和关系。
在小学升初中阶段，数论是数学教学中的一个重要知识点，同时也是很多数学竞赛和考试中的重点内容之一。
因此，了解数论的基本知识，对学生提高数学水平是非常有帮助的。
本文将对小升初数论知识点进行汇总总结，希望能够帮助学生更好地掌握数论知识。
一、整数的性质1. 整数的分类：整数可分为正整数、负整数和零三种类型。
2. 整数的大小比较：在同一类型的整数中，绝对值越大的整数，它的值越大。
3. 整数的运算性质：整数的四则运算规则与正整数类似，要注意加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律。
4. 整数的倍数与约数：若一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的倍数；而可以整除的整数就是这个整数的约数。
一个数的约数是所有可以整除这个数的整数。
5. 整数的质数与合数：整数中除了1和本身外，没有其他正约数的整数称为质数，否则为合数。
例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。
6. 整数的互质与最大公约数：两个整数如果最大公约数为1，则这两个整数互质。
最大公约数是两个或多个整数共有约数中最大的一个，通常记为gcd(a, b)。
二、质数与素数1. 质数的性质：除了1和本身外，没有其他正约数的自然数即为质数。
2. 素数的判定：判断一个数是不是素数，可以使用试除法或者埃氏筛法，试除法即从2到这个数的平方根之间的所有整数去除这个数，如果都不能整除，那么这个数就是素数。
3. 质因数分解：一个合数可以分解为若干个质数的乘积，这种分解式称为质因数分解。
4. 最小公倍数和最大公约数：两个或多个整数公有的倍数中最小的一个数称为这几个数的最小公倍数，两个或多个整数公有的约数中最大的一个数称为这几个数的最大公约数。
5. 素数的应用：素数在密码学、密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用，如RSA加密算法就是基于素数特性实现安全的加密通信。
三、常见定理与公式1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
小升初数论高频考点汇总与方法总结(一)
【例2】(★★★) 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数 分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍 为质数。满足条件的两位数为____。
知识点讲解 最大公因数和最小公倍数
(★ ) 【例3】 已知两个数的最大公因数与最小公倍数的和是33， 求所有满足条件的两个数。
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【拓展】 用1到6这6个数码可以组成720个没有重复数字的 六位数，求这些数的最大公因数。
知识点讲解 关于短除模型，
短除模型 【例4】(★★★) 若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小 公倍数的和为49，则这两个数是多少？
知识点讲解 求约数个数 ⑴ 分解质因数到质数形式 ⑵ 约个＝指数＋1连乘.
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因数个数 【例5】(★★★) a，b均为质数且不相等，若A=a3b2，则a有多少个 因数？若B=9A，则B有多少个因数？若C有6个因 数，则C2有多少个因数？
1、质、合、因、倍 ⑴ 质数，特殊2、5，奇偶性，常见质数。 ⑵ 因数分拆，可能性问题。 ⑶ 最大公因数：辗转相除法 2、短除模型 ⑴ a、b互质. ⑵ A＝ax，B＝bx. 3、因数个数. ⑴ 分解质因数到指数形式；⑵ 因个＝指数＋1连乘.
【今日讲题】 例4，例5 【讲题心得】 _______________________________________________ ____________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
小升初奥数知识知识点总结课件.doc
小升初奥数知识点总结计算四则混合运算繁分数运算顺序分数、小数混合运算技巧一般而言：加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序运算定律的综合运用连减的性质连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数形如： 1 2 ...... ( 1 2 ...... )a b a b a b a a a bn n估算求某式的整数部分：扩缩法比较大小通分通分母通分子跟“中介”比利用倒数性质1 1 1 m m1 2 m 3n n1 2n3若a b c ，则c>b>a. 。
形如：n n n1 2 3 ，则m m m1 2 3。
定义新运算特殊数列求和运用相关公式：n n1 2 3 n① 212 n n 1 2n222n n 1 2n 1 2n② 61③ 2a n n 1 nnn23nn 3 321 2 n12n④ 41 2⑤ abcabcabc 1001 abc 7 11 1322⑥ a b a b a b2⑦1+2+3+4, （ n-1 ）+n+（n-1 ）+, 4+3+2+1=n数论奇偶性问题 奇 奇=偶 奇× 奇 =奇 奇 偶=奇 奇× 偶 =偶 偶 偶=偶 偶× 偶 =偶位值原则形如： abc =100a+10b+c 数的整除特征： 整除数 特征2 末尾是 0、2、4、6、83 各数位上数字的和是 3 的倍数 5 末尾是 0 或 59 各数位上数字的和是 9 的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是 11 的倍数4 和 25 末两位数是 4（或 25）的倍数 8 和 125 末三位数是 8（或 125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或 11 或 13）的倍数整除性质如果 c|a 、c|b ，那么 c|(ab) 。
关于小升初奥数数论综合常考内容讲义
关于小升初奥数数论综合常考内容讲义第1篇：关于小升初奥数数论综合常考内容讲义【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.1.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5.第一种情况:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为o或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0;如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它们的积的个位数字都是4;所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.第二种情况：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足.第三种情况：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足.至于n取1显然不满足了.所以满足条件的n是4.2.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，未完，继续阅读 >第2篇：关于六年级奥数数论综合讲座【分析与解】555555=5×111×1001数论综合进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本*质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论*题．典型问题【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．4．将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的*．【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?6．*、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数n，然后由*开始，轮流把未完，继续阅读 >第3篇：关于小升初1—6年级奥数天天练的内容长沙奥数天天练每日1-6年级各精选一道题，每天坚持做天天练，轻松应对长沙。
小升初计数高频考点汇总与方法总结
【本讲总结】
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
【例1】（★★） 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都 可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为 第1次传球，经过4次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传 球过程共有多少种不同的可能?
小升初计数高频考点汇总与方法总结
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一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加法原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
【例5】（★★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
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【例6】（★★★）
[第61讲]小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
![[第61讲]小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)](https://img.taocdn.com/s3/m/c4a2748fd15abe23482f4d7c.png)
【本讲重点】1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理2．数论专题综合性题目选讲模块一：数论专题系统梳理一、整除性质①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。
(k为正整数)②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征1．末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2．数段和系列3、9各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法)33，99两位截断法——偶数位任意分段原则3．数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）则 三、整除技巧：1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)2．除数合并：(结合试除，或有特征)3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数＋1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)五、完全平方数①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1 ②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性六、短除模型七、质数明星：2⇔奇偶性5⇔个位八、分解质因数1．质数：快速判断2．唯一分解定律3．见积就拆——大质因子分析九、余数定律1．利用整除性质求余数2．利用余数性质求余数3．利用除数分拆求余数十、带余除式代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约十一、同余问题1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。
2．①−−−−→余数性质不同余同余②去余化乘，找倍试约。
小升初计数高频考点汇总与方法总结
【例5】（★★★★）
5人被分到4个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 求甲乙两人不在同一个岗位服务的安排数。
2
【例6】（★★★）
小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互 换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是 自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概 率是多少？
小举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加法原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
1
【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完， 共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要 求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前 面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其 中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方 形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
小升初奥数知识点汇总
小升初数学（奥数）知识点汇总一、质数、倍数、倍数、约数、整除问题1、质数（素数）①只有1和它本身两个约数的整数称为质数；② 100以内质数共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；③最小的偶合数是4，最小的奇合数是9；④ 0、1既不是质数也不是合数。
⑤每一个合数分解质因数形式是唯一的。
⑥公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
2、倍数、约数性质①一个数最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数；② “0”没有约数和倍数，一般认为“1”只有约数“1”；③假如几个数都是某一个数的倍数，那么这几个数的组合也是某个数的倍数。
例如：26、39是13的倍数，则2639也是13的倍数。
④一般的数字的约数的个数都是偶数个，但是平方数的约数个数是奇数个。
例如：“9”有3个约数（1、3、9），“16”有5个约数（1、二、4、8、16）。
⑤约数和倍数必须强调出是哪个数字的约数和倍数。
⑥一个数既是它本身的倍数又是它本身的约数。
⑦一个数如果有偶约数，则这个数必为偶数。
3、整除性质①能被“2”整除的数的特点：末尾数字是“0、2、4、6、8”；②能被“3（9）”整除的数的特点：各位上数字和能被“3（9）”整除；③能被“4（25）”整除的数的特点：末尾两位能被“4（25）”整除；④能被“5”整除的数的特点：末尾数字是“0或5”；⑤能被“8（125）”整除的数的特点：这个数末三位能被“8（125）”整除；⑥能被“7、11、13”整除的数的特点：这个数从右向左每三位分成一节，用奇数节的和减去偶数节的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。
如果求余数时，则奇数节和小于偶数节和时，需要将奇数节和加上若干个“7、11、13”，再相减。
⑦能被“11”整除的数的另一个特点：这个数奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。
例如：“122518”分析：奇数位数字和1+2+1=4，偶数位数字和2+5+8=15，差为11，说明这个数可以被11整除。
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【本讲重点 】
1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理
2．数论专题综合性题目选讲
模块一：
数论专题系统梳理
一、整除性质
①如果自然数a 为M 的倍数，则ka 为M 的倍数。
(k 为正整数)
②如果自然数a 、b 均为M 的倍数，则a ＋b ，a －b 均为M 的倍数。
③如果a 为M 的倍数，p 为M 的约数，则a 为p 的倍数。
④如果a 为M 的倍数，且a 为N 的倍数，则a 为[M ，N ]的倍数。
二、整除特征
1．末位系列
(2，5)末位
(4，25)末两位
(8，125)末三位
2．数段和系列
3、9各位数字之和
——任意分段原则(无敌乱切法)
33，99两位截断法
——偶数位任意分段原则
3．数段差系列
11整除判断：奇和与偶和之差
余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)
7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
()⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差
余数判断：奇段和-偶段和不够减补，直到够减则
三、整除技巧：
1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)
2．除数合并：(结合试除，或有特征)
3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)
4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)
5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘
约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)
五、完全平方数
①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9
÷3余0或1余数：
÷4余0或1
②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性
六、短除模型
七、质数明星：
2⇔奇偶性
5⇔个位
八、分解质因数
1．质数：快速判断
2．唯一分解定律
3．见积就拆——大质因子分析
九、余数定律
1．利用整除性质求余数
2．利用余数性质求余数
3．利用除数分拆求余数
十、带余除式
代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约
十一、同余问题
1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。
2．①−−−−→余数性质不同余同余
②去余化乘，找倍试约。
十二、剩余问题
三种解法⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
去同余数，添同补和谐法
逐级满足法
模块二：
数论专题综合性题目选讲
(2010年西城实验小升初试题)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。
这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。
(2010年西城实验小升初试题)
两个自然数的和是40，它们的最大公约数和最小公倍数的和也是40，这样的自然数共有___组。
一个两位数，数字和是质数。
而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。
满足条件的两位数为_____。
一个大于0的自然数的每个数字不是7就是9，但不全是7也不全是9，并且它是7和9的公倍数。
满足上述条件大于0的最小整数是多少？
把自然数从1开始作连乘积，即问：当乘到多少时，乘积的最末10位数字第一次全为0？
数论专题考点分析与技巧总结
谷老师感悟
1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。
2．2011年小升初数论考查三重点：
约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。
3．“代数思想+枚举验证”数论杀伤力最强的武器。