二分归并排序的时间复杂度以及递推式
数据结构第六-九章自测题及解答
一、概念题（每空0.5分，共45分）1．对于集合这逻辑结构来说，其中的数据元素之间也可以有各种各样的非逻辑关系，但任何一对数据元素之间没有________关系，即没有________关系。
2．查找表按其所包括的运算的不同分为________查找表和________查找表。
3．查找表中主关键字指的是________，次关键字指的是________。
4．静态查找表包括________、________、________三种基本运算。
5．动态查找表包括________、________、________、________、________五种基本运算。
6．假定key为主关键字，若顺序表中第n个元素的键值为K，则顺序查找算法的查找长度为1；若第1个元素的键值为K，则查找长度为________；若表中无键值等于K的元素，则查找长度为________。
7．二分查找在查找成功时的查找长度不超过________，其平均查找长度为________，当n较大时约等于________。
8．静态查找表的三种不同实现各有优缺点。
其中，________查找效率最低但限制最少。
________查找效率最高但限制最强。
而________查找则介于上述二者之间。
9.二叉搜索树是一种特殊的、增加了限制条件的二叉树，其限制条件是任一结点的键值________于其左孩子（及其子孙）的键值且________于其右孩子（及其子孙）的键值。
10. 在表示一棵二叉搜索树的二叉链表上，要找键值比某结点X的键值________的结点，只需通过结点X的左指针到它的左子树中去找。
11.中序遍历一棵二叉搜索树所得的结点访问序列是键值的________序列。
12.二叉搜索树上的查找长度不仅与________有关，也与二叉搜索树的________有关。
13.在随机情况下，含有n个结点的二叉搜索树的平均查找长度为________，其时间效率很高。
14.折半查找的查找效率与树的形态有关。
排序—时间复杂度为O（nlogn）的两种排序算法
(一)施工控制结构计算的一般原则
➢ 预应力混凝土连续梁桥、连续刚构桥的施工控制计算除了 必须满足与实际施工相符合的基本要求外，还要考虑诸多 相关的其他因素。
➢ 立0号段底模时，同时安装支座及防倾覆锚固装置。如图512所示。
0号块 1 2
3
0号块
1 2 3 4
1.底模架 2.支架 3.墩身
1.底模架 3.节点板
2.三角撑架 4.墩身
图5-12 支架搭设方式图
墩梁临时锚固
0号块
1 2 3 4
0号块
1 2 3
1.临时支座 3.临时支撑
2.永久支座 4.预应力钢绞线
(三)预应力混凝土连续梁的合拢施
工要点
1. 掌握合拢期间的气温预报情况，测试分析气温变化规律， 以确定合拢时间并为选择合拢锁定方式提供依据。
2. 根据结构情况及梁温的可能变化情况，选定适宜的合拢 方式并作力学建算。
3. 选择日气温较低、温度变化幅度较小时锁定合拢口并灌 注合拢段混凝土。
4. 合拢口的锁定，应迅速、对称地进行，先将外刚性支撑 一段与梁端预埋件焊接（或栓接），而后迅速将外刚性 支撑另一端与梁连接，临时预应力束也应随之快速张拉。 在合拢口锁定后，立即释放一侧的固结约束，使梁一端 在合拢口锁定的连接下能沿支座左右伸缩。
目的：桥梁施工控制的目的就是确保施工过程中结构
的可靠度和安全性，保证桥梁成桥桥面线 形及受力状态符合设计要求。
(二) 施工控制的内容
数据结构试卷带答案
数据结构试卷带答案问题说明部分题目或答案有问题，现将已经发现的公布如下，同学在作这些模拟题的时候应着重做题方法的理解，遇到问题以教材或课件为准，不确定的地方可找同学商量或问我（1）试卷1第一套填空题第1题，试卷1第2套选择题第3题关于循环队列队头指针和队尾指针的约定与教材不一致，以教材或课件为准，实际上front指向的是队头元素，rear指向当前尚未被占用的第一个队列空间，队慢或队空的判定条件及入队/出队等操作具体可参考课件或教材（2）试卷1第一套应用题第5题，不声明邻接点顺序时默认编号最小的邻接点为第一邻接点，该图的深度优先遍历序列为123465,答案错。
此外，当给定邻接表时则邻接点顺序按照邻接表中的前后顺序确定，如试卷1第二套填空题第8题（3）试卷1第五套应用题第4题，两种方法处理冲突的方法下所求ASL值相等都为7/6（4）试卷1第五套填空题第8题答案给出的是小顶堆需满足的条件，大顶堆满足ki>=k2i p->rlink->llink=p->llink;此外，注意课堂中讲的指针名和操作方法（12）第4套填空题第6题答案错，设哈夫曼树中共有99个结点，则该树中有____50_____个叶子结点；若采用二叉链表作为存储结构，则该树中有__100___个空指针域。
（13）第5套选择第8题答案应为A:设连通图G中的边集E={(a，b)，(a，e)，(a，c)，(b，e)，(e，d)，(d，f)，(f，c)}，则从顶点a出发可以得到一种深度优先遍历的顶点序列为(A) abedfc(14)第5套应用题第3题题目未指明查找方法，没法作（15）第6套选择第5题应选B，实际是任意结点至多只有一个孩子：设二叉树的先序遍历序列和后序遍历序列正好相反，则该二叉树满足的条件是(B) 高度等于其结点数（16）第7套填空1题问题本身错，设指针变量p指向双向链表中的结点A，指针变量s指向被插入的结点X，则在结点A的后面插入结点X的操作序列为____s->left_____=p；s->right=p->right；___p->right_______=s；s->right->left=s；（设结点中的两个指针域分别为left和right）。
二路归并排序算法思想
二路归并排序算法思想
二路归并排序，又称为二路归并算法，是一种高效的排序算法。
它采用二分法的思想，将一组未排序的数据集合分为两个子集，先分别对每个子集进行排序，再将排序后的子集合归并在一起，得到一个完全有序的数据集合。
二路归并排序是一种“分而治之”的思想，三个步骤组成：分解、排序和合并。
首先，将数据集分解为两个规模较小的子数据集，然后分别对子集进行排序，最后将排序后的子集合归并在一起，得到一个完全有序的数据集合。
二路归并排序的时间复杂度和空间复杂度都比较低，其时间复杂度为O(nlogn)，其空间复杂度为O(n)。
二路归并排序的优点在于：可以对非常大的数据集进行排序，非常稳定（相同的元素排序后仍然保持相同的排序），并且有效的利用计算机的内存空间。
总体来说，二路归并排序是一种低开销、高效率的排序算法，不但能够处理大数据集而且能保证排序的稳定性，使用场合很多。
分治算法知识点总结
分治算法知识点总结一、基本概念分治算法是一种递归的算法，其基本思想就是将原问题分解成多个相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
分治算法的核心思想可以用一句话概括：分而治之，分即是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，治即是解决这些子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法通常包括三个步骤：（1）分解：将原问题分解成若干个规模较小的子问题；（2）解决：递归地解决这些子问题；（3）合并：将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的典型特征包括递归和合并。
递归指的是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题；合并指的是将子问题的解合并得到原问题的解。
通常来说，分治算法的递归实现方式很容易编写，但有时可能会面临大量的重复计算，因此需要合并操作来避免这种情况。
二、原理分治算法的原理可以通过一个简单的例子来说明。
我们以计算数组中的最大值为例，具体的步骤如下：（1）分解：将数组分解成两个规模相等的子数组；（2）解决：递归地在这两个子数组中分别找到最大值；（3）合并：比较这两个子数组的最大值，得到原数组的最大值。
从这个例子可以看出，分治算法将原问题分解成两个子问题：分别在左边子数组和右边子数组中找到最大值，然后将这两个子问题的解合并起来得到原数组的最大值。
这种将问题分解成若干个规模较小的子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解的方法正是分治算法的核心原理。
分治算法的优势在于它可以将原问题分解成多个规模较小的子问题，然后并行地解决这些子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。
这种并行的设计思路使得分治算法非常适合于并行计算，能够有效地提高计算效率。
三、应用分治算法在计算机科学领域有着广泛的应用，包括排序、搜索、图论、动态规划等多个方面。
下面我们将以排序算法和搜索算法为例，来介绍分治算法在实际应用中的具体情况。
1. 排序算法排序算法是计算机科学领域中一个重要的问题，分治算法在排序算法中有着广泛的应用。
算法分析基础——主定理
算法分析基础——主定理
对于形为T(n) = aT(n / b) + f(n)的递推⽅程，我们有如下结论：
主定理（MasterTheorem）设a≥1，b>1 为常数，f(n)为函数，n为⾮负整数，且 T(n) = aT(n / b) + f(n)，则有以下结果：
1. 若存在ε>0，使得f(n) = O(n log b a-ε)，则T(n) = Θ(n log b a)
2. 若f(n) = Θ(n log b a)，则T(n) = Θ(n log b a logn)
3. 若存在ε>0，使得f(n) = Ω(n log b a+ε)，并且对于某个常数c<1和所有充分⼤的n，有af(n / b)≤cf(n)，则T(n) = Θ(f(n))
证明：详见教材（推导过程略复杂，不想写了qwq）。
由主定理可以直接得到下述推论：
推论1 依主定理条件，递推⽅程为T(n)= aT(n / b) + c，则
1. 当a≠1时，T(n) = Θ(n log b a)
2. 当a=1时，T(n) = Θ(logn)
推论2 依主定理条件，递推⽅程为T(n) = aT(n / b) + cn，则
1. 当a>b时，T(n) = Θ(n log b a)
2. 当a=b时，T(n) = Θ(nlogn)
3. 当a<b时，T(n) = Θ(n)
例根据主定理及其推论，我们可以直接得到⼆分检索算法的平均时间复杂度为Θ(logn)，⽽⼆分归并排序的平均时间复杂度为Θ(nlogn)。
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿里）
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿⾥）⼆分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采⽤了⼆分查找法参考：⼆分查找法 redis的索引底层的跳表原理实现参考：⼆分查找法参考：⼆分查找法：1.⼆分查找⼆分查找也称为折半查找，它是⼀种效率较⾼的查找⽅法。
⼆分查找的使⽤前提是线性表已经按照⼤⼩排好了序。
这种⽅法充分利⽤了元素间的次序关系，采⽤分治策略。
基本原理是：⾸先在有序的线性表中找到中值，将要查找的⽬标与中值进⾏⽐较，如果⽬标⼩于中值，则在前半部分找，如果⽬标⼩于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相⽐较，如果⼩于中值，则在中值的前半部分找，如果⼤于中值，则在后半部分找。
以此类推，直到找到⽬标为⽌。
假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所⽰，则查找步骤为：⾸先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进⾏⽐较，发现22⽐13⼤，则在13的后半部分找；在后半部分 16，17，22，30中查找22，⾸先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进⾏⽐较，发现22⽐17⼤，则继续在17的后半部分查找；在17的后半部分 22，30查找22，⾸先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进⾏⽐较，查找到结果。
⼆分查找⼤⼤降低了⽐较次数，⼆分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。
⽰例代码：public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};System.out.println("⾮递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));}//⾮递归static int binarySearch(int[] arr, int res) {int low = 0;int high = arr.length-1;while(low <= high) {int middle = (low + high)/2;if(res == arr[middle]) {return middle;}else if(res <arr[middle]) {high = middle - 1;}else {low = middle + 1;}}return -1;}//递归static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){return -1;}int middle = (low+high)/2;if(res < arr[middle]){return binarySearch(arr, res, low, middle-1);}else if(res > arr[middle]){return binarySearch(arr, res, middle+1, high);}else {return middle;}}}其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)直接选择排序：排序过程：1 、⾸先在所有数据中经过 n-1次⽐较选出最⼩的数，把它与第 1个数据交换，2、然后在其余的数据内选出排序码最⼩的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为⽌。
信息学奥赛基础测试题及答案
信息学奥赛基础测试题及答案1、计算机的基本硬件结构一直沿袭()设计的框架。
A.比尔•；盖茨B.冯•；诺依曼C.布尔D.图灵答案：B 2、下列无符号数中，最小的数是()A.(11011001)2B.(75)10C.(37)8D.(2A)16答案：C 3、在外部设备中，绘图仪属于()A.输入设备B.输出设备C.辅(外)存储器D.主(内)存储器答案：B 4、计算机主机是由CPU与()构成的A.控制器B.输入、输出设备C.运算器D.内存储器答案：D 5、计算机病毒的特点是()A.传播性、潜伏性、易读性与隐蔽性B.破坏性、传播性、潜伏性与安全性C.传播性、潜伏性、破坏性与隐蔽性D.传播性、潜伏性、破坏性与易读性答案：C 6、WINDOWS 9X是一种()操作系统A.单任务字符方式B.单任务图形方式C.多任务字符方式D.多任务图形方式答案：D 7、Internet的规范译名应为()A.英特尔网B.因特网C.万维网D.以太网答案：B 8、计算机网络是一个()系统A.管理信息系统B.管理数据系统C.编译系统D.在协议控制下的多机互连系统答案：D 9、计算机系统总线上传送的信号有()A.地址信号与控制信号B.数据信号、控制信号与地址信号C.控制信号与数据信号D.数据信号与地址信号答案：B 10、计算机的运算速度取决于给定的时间内，它的处理器所能处理的数据量。
处理器一次能处理的数据量叫字长。
已知64位的奔腾处理器一次能处理64个信息位，相当于()字节。
A.8个B.1个C.16个D.2个答案：A 11、某种计算机的内存容量是640K，这里的640K容量是指()个字节A.640B.640*1000C.640*1024D.640*1024*1024答案：C 12、下面哪些计算机网络不是按覆盖地域划分的()A.局域网B.都市网C.广域网D.星型网答案：D 13、在有N个叶子节点的哈夫曼树中，其节点总数为()A.不确定B.2N-1C.2N+1D.2N答案：B 14、已知数组中A中，每个元素A(I，J)在存贮时要占3个字节，设I从1变化到8，J从1变化到10，分配内存时是从地址SA开始连续按行存贮分配的。
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
算法设计与分析复习题目及答案 (1)
一。
选择题1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ B ）。
A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法4、在下列算法中有时找不到问题解的是（ B ）。
A、蒙特卡罗算法B、拉斯维加斯算法C、舍伍德算法D、数值概率算法5. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ B ）。
A、子集树B、排列树C、深度优先生成树D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。
A 运行速度快B 占用空间少C 时间复杂度低D 代码短8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。
A 棋盘覆盖问题B 选择问题C 归并排序D 0/1背包问题9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（C ）A 数值概率算法B 舍伍德算法C 拉斯维加斯算法D 蒙特卡罗算法11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。
A、广度优先B、最小耗费优先C、最大效益优先D、深度优先12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法13.备忘录方法是那种算法的变形。
（ B ）A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。
A、O（n2n）B、O（nlogn）C、O（2n）D、O（n）15．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（ B ）。
A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组16．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（ A ）。
排序的时间复杂度
排序的时间复杂度
1、插入排序
插入排序时间复杂度：
最好：
所有元素已经排好序，只需遍历一遍，无需交换位置；
最坏：
所有元素逆序排列，遍历一次需要比较的元素个数每次+1，所以时间复杂度是O(n^2);
平均时间复杂度就是O(n^2)喽。
2、快速排序
有关快速排序时间复杂度：
最好的时间复杂度和平均时间复杂度就是O(nlogn);
正常情况下是递归log2n次，每次遍历的最坏时间复杂度是n，所以平均时间复杂度是O(nlogn)；
最好的时间复杂度就是每次都划分的很均匀；时间复杂度就是O(nlogn)；
最坏的时间复杂度是O(n^2),这种情况就是原先的数据就是排序好，这样每次只能位移一个数据，
每次划分的子序列只比上一次划分少一个记录，注意两一个为空。
3、归并排序
归并排序时间复杂度：
归并排序无论在什么情况下，将数组拆分都需要log(n)次；
在归并时，也需要遍历比较两个数组的大小，平均时间复杂度O(n)；所以归并排序最好最坏时间复杂度都是nlogn;
空间复杂度是O(n)；
4、堆排序
堆排序每次都要将一个元素上升到堆顶，然后放回最后，需要n轮，固定不变
每一轮堆调整的时间复杂度是log(n),n依次递减
所以堆排序的时间复杂度是O(nlogn)。
二分归并排序的时间复杂度以及递推式
二分归并排序的时间复杂度以及递推式二分归并排序的时间复杂度以及递推式一、引言在计算机科学中，排序算法是一类非常重要的基础算法。
它们的效率直接影响了程序的性能和运行速度。
二分归并排序是一种比较高效的排序算法，具有稳定性和较高的时间复杂度。
本文将探讨二分归并排序的时间复杂度以及递推式，并进行深入解析。
二、二分归并排序的基本原理二分归并排序是一种分治策略的排序算法，它将待排序数组不断地二分，直到每个子数组只有一个元素，然后将这些子数组两两合并，最终得到一个有序的数组。
它的基本原理可以用以下伪代码表示：```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i, j, k = 0, 0, 0while i < len(left_half) and j < len(right_half): if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1```三、时间复杂度分析1. 最好情况时间复杂度在最好情况下，即待排序数组已经完全有序，二分归并排序只需要进行一次划分和合并操作。
最好情况时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数组的长度。
2. 最坏情况时间复杂度在最坏情况下，即待排序数组完全逆序，二分归并排序需要进行log2n次划分和O(n)次合并操作。
二路归并排序算法时间复杂度推导
二路归并排序算法时间复杂度推导1. 介绍二路归并排序是一种常见的排序算法，其主要思想是将待排序的序列不断地划分为两个子序列，直到子序列的长度为1，然后将两个子序列合并成一个有序序列。
该算法的时间复杂度是其性能的重要指标之一。
本文将详细介绍二路归并排序算法的时间复杂度推导过程。
2. 算法步骤二路归并排序算法的具体步骤如下： 1. 将待排序序列划分为两个子序列，分别对两个子序列进行递归调用归并排序算法，直到子序列的长度为1。
2. 将两个有序子序列合并成一个有序序列。
3. 归并操作的时间复杂度归并操作是二路归并排序算法中的核心操作，其时间复杂度取决于合并的两个子序列的长度。
3.1. 合并两个有序子序列的时间复杂度假设两个有序子序列的长度分别为m和n，合并两个有序子序列的时间复杂度可以用O(m+n)表示。
这是因为在合并过程中，我们需要比较两个子序列的元素，并将较小的元素放入新的有序序列中，直到其中一个子序列的元素全部放入新的有序序列中。
因此，合并两个有序子序列的时间复杂度与两个子序列的长度成正比。
3.2. 归并排序的时间复杂度在归并排序算法中，每一次合并操作都会将待排序序列的长度减半。
假设待排序序列的长度为N，那么归并排序的时间复杂度可以表示为： T(N) = 2T(N/2) + O(N)其中，T(N/2)表示对两个子序列进行归并排序的时间复杂度，O(N)表示合并两个有序子序列的时间复杂度。
4. 时间复杂度推导通过递归展开归并排序的时间复杂度表达式，我们可以推导出其时间复杂度的具体形式。
4.1. 递归展开将归并排序的时间复杂度表达式展开，得到： T(N) = 2T(N/2) + O(N) =2(2T(N/4) + O(N/2)) + O(N) = 4T(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = 4(2T(N/8) +O(N/4)) + 2O(N/2) + O(N) = 8T(N/8) + 4O(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = …4.2. 合并项将递归展开后的表达式进行合并，得到： T(N) = 2T(N/2) + O(N) = 4T(N/4) +2O(N/2) + O(N) = 8T(N/8) + 4O(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = … = 2kT(N/2k) + 2(k-1)O(N/2(k-1)) + … + 2O(N/2) + O(N)4.3. 推导边界条件当递归展开到最后一层时，子序列的长度为1，即N/2^k = 1，解得k = log2(N)。
数组各种排序算法和复杂度分析
数组各种排序算法和复杂度分析Java排序算法1）分类：插⼊排序（直接插⼊排序、希尔排序）交换排序（冒泡排序、快速排序）选择排序（直接选择排序、堆排序）归并排序分配排序（箱排序、基数排序）所需辅助空间最多：归并排序所需辅助空间最少：堆排序平均速度最快：快速排序不稳定：快速排序，希尔排序，堆排序。
2）选择排序算法的时候要考虑数据的规模、数据的类型、数据已有的顺序。
⼀般来说，当数据规模较⼩时，应选择直接插⼊排序或冒泡排序。
任何排序算法在数据量⼩时基本体现不出来差距。
考虑数据的类型，⽐如如果全部是正整数，那么考虑使⽤桶排序为最优。
考虑数据已有顺序，快排是⼀种不稳定的排序（当然可以改进），对于⼤部分排好的数据，快排会浪费⼤量不必要的步骤。
数据量极⼩，⽽起已经基本排好序，冒泡是最佳选择。
我们说快排好，是指⼤量随机数据下，快排效果最理想。
⽽不是所有情况。
3）总结：——按平均的时间性能来分：时间复杂度为O(nlogn)的⽅法有：快速排序、堆排序和归并排序，其中以快速排序为最好；时间复杂度为O(n2)的有：直接插⼊排序、起泡排序和简单选择排序，其中以直接插⼊为最好，特别是对那些对关键字近似有序的记录序列尤为如此；时间复杂度为O(n)的排序⽅法只有，基数排序。
当待排记录序列按关键字顺序有序时，直接插⼊排序和起泡排序能达到O(n)的时间复杂度;⽽对于快速排序⽽⾔，这是最不好的情况，此时的时间性能蜕化为O(n2)，因此是应该尽量避免的情况。
简单选择排序、堆排序和归并排序的时间性能不随记录序列中关键字的分布⽽改变。
——按平均的空间性能来分（指的是排序过程中所需的辅助空间⼤⼩）：所有的简单排序⽅法(包括：直接插⼊、起泡和简单选择)和堆排序的空间复杂度为O(1)；快速排序为O(logn )，为栈所需的辅助空间;归并排序所需辅助空间最多，其空间复杂度为O(n );链式基数排序需附设队列⾸尾指针，则空间复杂度为O(rd )。
——排序⽅法的稳定性能：稳定的排序⽅法指的是，对于两个关键字相等的记录，它们在序列中的相对位置，在排序之前和经过排序之后，没有改变。
北大屈婉玲算法分析与设计 习题解答4
Exercise1说明：对于算法设计的习题，解题要求如下：先用一段简短的文字说明算法的主要设计思想，其中所引入的符号要给出必要的说明，是否给出伪码根据题目要求确定. 可以调用书上的算法作为子过程，最后对所设计的算法需要给出时间复杂度的分析.1. 对以下函数，按照他们的阶从高到低排列；如果f (n )与g (n )的阶相等，表示为f (n )=Θ(g (n )).n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n log ,2,,log ,log log ,,,2,)(log ,log ,)2/3(,,2,!,1,log ),!log(log 3log log 2log log /122. 求解以下递推方程： (1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=1)1(,)4()2()(T c cn n T n T n T 为常数 (2) ⎩⎨⎧=+=1)1()log ()2/(5)(2T n n n T n T3．设A 是含有n 个元素的数组，如果元素x 在A 出现的次数大于n /2，则称x 是A 的主元素.(1) 对于可排序的数组，设计一个测试算法.(2) 如果A 中元素只能进行“是否相等”的测试，但是不能排序，设计一个算法判断A 中是否存在主元素.4．设X [0:n −1]和Y [0:n −1]为2个数组，每个数组含有n 个已排好序的数。
试设计一个O (log n )时间的算法，找出X 和Y 的2n 个数的中位数.5．设S 是含有n 个数的数组，k 是给定正整数，k <n . 求S 中在数值上最接近中位数的k 个数. 给出伪码描述.6．在Internet 上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务. 对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异. 考虑1,2,…,n 的排列i 1i 2…i n ，如果其中存在i j , i k ，使得j <k 但是i j >i k ，那么就称(i j ,i k )是这个排列的一个逆序. 一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数. 例如排列263451含有8个逆序(2,1), (6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，它的逆序数就是8. 显然，由1,2,…,n 构成的所有n !个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是12…n ；最大的逆序数是n (n −1)/2，对应的排列就是n (n −1)…21. 逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大.利用二分归并排序算法设计一个计数给定排列逆序的分治算法，并对算法进行时间复杂度的分析.。
常见排序算法及它们的时间的时间复杂度，空间复杂度
常见排序算法及它们的时间的时间复杂度，空间复杂度⼀、概念扩展------有序度----1、有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j; 逆序元素对：a[i] > a[j], 如果 i < j。
2、⼀组数据中有/逆序元素对的个数即为有/逆序度3、2,3,1,6这组数据的有序度为4（因为其有有序元素对为4个，分别是(2,3)、(2,6)、(3,6)和(1,6)）逆序度为2（因为其有逆序元素对为2个，分别是(2,3)和(2,1)）4、1,2,3,6这样完全有序的数组叫作满有序度；满有序度的计算公式为 n*(n-1)/2；5、逆序度 = 满有序度 - 有序度-----原地排序算法---空间复杂度是 O(1) 的排序算法，如：冒泡排序，插⼊排序----稳定排序算法---如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变⼆、冒泡排序1、冒泡排序只会操作相邻的两个数据。
每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进⾏⽐较，看是否满⾜⼤⼩关系要求。
如果不满⾜就让它俩互换。
⼀次冒泡会让⾄少⼀个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序⼯作2、冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是⼀个原地排序算法3、当有相邻的两个元素⼤⼩相等的时候，我们不做交换，此时冒泡排序是稳定的排序算法。
4、冒泡排序每交换⼀次，有序度就加 1，直到满有序度；5、冒泡排序最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进⾏ n*(n-1)/2 次交换，最好情况下，初始状态的有序度是 n*(n-1)/2，就不需要进⾏交换。
我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，所以平均时间复杂度就是 O(n^2)三、插⼊排序1、插⼊排序是将数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间。
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度转载请注明出处：（浏览效果更好）排序算法经过了很长时间的演变，产⽣了很多种不同的⽅法。
对于初学者来说，对它们进⾏整理便于理解记忆显得很重要。
每种算法都有它特定的使⽤场合，很难通⽤。
因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进⾏归纳。
排序⼤的分类可以分为两种：内排序和外排序。
在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使⽤外存，则称为外排序。
下⾯讲的排序都是属于内排序。
内排序有可以分为以下⼏类： (1)、插⼊排序：直接插⼊排序、⼆分法插⼊排序、希尔排序。
(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。
(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。
(4)、归并排序 (5)、基数排序表格版排序⽅法时间复杂度（平均）时间复杂度（最坏)时间复杂度（最好)空间复杂度稳定性复杂性直接插⼊排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单希尔排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)不稳定较复杂直接选择排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(1)O(1)不稳定简单堆排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(1)O(1)不稳定较复杂冒泡排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单快速排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)不稳定较复杂归并排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(n)O(n)稳定较复杂基数排序O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(n+r)O(n+r)稳定较复杂图⽚版①插⼊排序•思想：每步将⼀个待排序的记录，按其顺序码⼤⼩插⼊到前⾯已经排序的字序列的合适位置，直到全部插⼊排序完为⽌。
时间复杂度的计算方法
时间复杂度的计算方法时间复杂度是算法效率的衡量标准，它描述了算法的运行时间与输入规模之间的关系。
在计算机科学中，我们经常需要分析算法的时间复杂度，以便选择最优的算法来解决问题。
本文将介绍时间复杂度的计算方法，帮助读者更好地理解和分析算法的效率。
一、基本概念。
时间复杂度通常用大O符号（O(n)）来表示，其中n表示输入规模。
大O符号表示算法运行时间的上界，即最坏情况下的运行时间。
在计算时间复杂度时，我们通常关注算法的基本操作执行次数与输入规模之间的关系，忽略常数项和低阶项。
二、常见的时间复杂度。
1. O(1)，常数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模无关，即算法的执行时间是固定的。
2. O(log n)，对数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的对数成正比。
3. O(n)，线性时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模成正比。
4. O(n log n)，线性对数时间复杂度，通常出现在快速排序、归并排序等算法中。
5. O(n^2)，平方时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
6. O(n^3)，立方时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的立方成正比。
三、计算方法。
1. 循环次数法，对于循环结构的算法，可以通过计算循环执行次数来确定时间复杂度。
例如，对于一个包含n个元素的数组，遍历一次的时间复杂度为O(n)，遍历两次的时间复杂度为O(2n)，即O(n)。
2. 递归关系法，对于递归算法，可以通过递推关系式来确定时间复杂度。
例如，斐波那契数列的递归算法的时间复杂度为O(2^n)，而使用动态规划算法可以将时间复杂度降为O(n)。
3. 均摊时间复杂度法，对于一些特殊的算法，可能存在最坏情况和平均情况的时间复杂度不同。
在这种情况下，我们可以使用均摊时间复杂度来描述算法的平均性能。
四、案例分析。
1. 简单案例，考虑一个数组中查找最大值的算法，其时间复杂度为O(n)。
因为需要遍历整个数组来找到最大值，所以算法的执行时间与数组的长度成正比。
二分查找时间复杂度的计算
二分查找时间复杂度的计算二分查找是一种分治算法，可以在有序数组中快速定位一些特定元素的位置。
假设有序数组长度为n，二分查找的时间复杂度可以通过递归树的思想来分析。
在每一次迭代中，将目标元素与数组中间位置的元素进行比较。
如果相等，则返回中间位置的索引；如果目标元素小于中间元素，则继续在左半边进行查找；如果目标元素大于中间元素，则继续在右半边进行查找。
因此，每一次迭代都可以将问题规模缩小为原来的一半。
假设数组长度为n，每一次迭代后问题规模就会缩小为原来的一半，直到找到目标元素或者问题规模缩小到0，则算法结束。
因此，可以得到以下递归关系式：T(n)=T(n/2)+c其中T(n)表示问题规模为n时的时间复杂度，c表示常量时间复杂度，表示比较目标元素与中间元素的操作。
根据递归关系式，可以推导出迭代的次数为log₂n。
因为每一次迭代问题规模都会缩小一半，所以需要进行log₂n次迭代才能将问题规模缩小到0。
因此，整个二分查找的时间复杂度为O(log₂n)。
可以通过简单的例子来验证这个结论。
假设有一个长度为8的有序数组，需要查找目标元素。
根据二分查找的流程，首先需要将问题规模缩小为4，然后继续缩小为2，最后缩小为1、需要进行的迭代次数为log₂8=3、因此，二分查找的时间复杂度为O(log₂n)。
二分查找的时间复杂度为O(log₂n)可以说是非常高效的。
即使在非常大的数组中，二分查找也可以在很短的时间内找到目标元素。
与其他线性查找算法相比，二分查找的时间复杂度更低。
需要注意的是，二分查找要求有序数组。
如果数组不是有序的，需要先对数组进行排序，这样才能使用二分查找。
排序的时间复杂度往往比二分查找要高，取决于具体的排序算法。
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一、简介
二分归并排序是一种常见的排序算法，它通过将问题分解为子问题，
并将子问题的解合并来解决原始问题。
该算法的时间复杂度非常重要，因为它直接影响算法的效率和性能。
在本文中，我们将深入探讨二分
归并排序的时间复杂度，并通过递推式来进一步分析算法的性能。
二、二分归并排序的时间复杂度
1. 分析
在二分归并排序中，时间复杂度可以通过以下三个步骤来分析：
- 分解：将原始数组分解为较小的子数组。
- 解决：通过递归调用来对子数组进行排序。
- 合并：将排好序的子数组合并为一个整体有序的数组。
2. 时间复杂度
在最坏情况下，二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这是因为在每一层递归中，都需要将数组分解为两个规模近似相等的子数组，并
且在每一层递归的最后都需要将这两个子数组合并起来。
可以通过递
推式来进一步证明算法的时间复杂度。
3. 递推式分析
我们可以通过递推式来分析二分归并排序的时间复杂度。
假设对规模
为n的数组进行排序所需的时间为T(n)，则可以得到以下递推式：
T(n) = 2T(n/2) +
其中，T(n/2)表示对规模为n/2的子数组进行排序所需的时间表示将
两个子数组合并所需的时间。
根据递推式的定义，我们可以得到二分
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
三、结论与个人观点
通过以上分析，我们可以得出二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这意味着该算法在最坏情况下也能保持较好的性能，适用于大规模数
据的排序。
我个人认为，二分归并排序作为一种经典的排序算法，其
时间复杂度的分析对于理解算法的工作原理和性能至关重要。
通过深
入研究递推式，可以更加直观地理解算法的性能表现，为进一步优化
算法提供了重要的参考依据。
四、总结
在本文中，我们探讨了二分归并排序的时间复杂度，通过分析和递推
式的方式深入理解了该算法的性能表现。
通过对时间复杂度的分析，
我们对算法的性能有了更深入的认识，并且能够更好地理解算法在实
际应用中的表现。
相信通过本文的阅读，读者能够对二分归并排序有
更全面、深刻和灵活的理解。
四、继续深入探讨二分归并排序的时间
复杂度
1. 时间复杂度的影响因素
在上一部分中，我们已经讨论了二分归并排序的时间复杂度为
O(nlogn)，这是在最坏情况下的时间复杂度。
然而，实际情况中，算
法的性能受到多种因素的影响，可能会出现不同的时间复杂度。
下面
我们将进一步探讨这些影响因素。
影响时间复杂度的因素之一是初始数据的状态。
对于完全随机的数据，二分归并排序通常能够保持O(nlogn)的时间复杂度。
但是，在数据近乎有序或者完全逆序的情况下，算法的时间复杂度可能会有所不同。
具体来说，如果数据已经近乎有序，那么在进行合并操作时，算法的
时间复杂度可能会降低至O(n)级别；而在数据完全逆序的情况下，算
法的时间复杂度可能会接近O(nlogn)的最坏情况。
影响时间复杂度的因素之二是算法优化的策略。
在最基本的二分归并
排序中，每一次合并操作都是通过比较大小来完成的，这需要额外的
时间。
但是，在实际应用中，可以通过一些优化策略来降低合并操作的时间复杂度，从而提高整体排序的效率。
2. 实际应用中的时间复杂度
除了最坏情况下的时间复杂度之外，我们还需要关注二分归并排序在实际应用中的平均时间复杂度。
对于随机数据而言，该算法通常能够保持O(nlogn)的时间复杂度。
然而，在特定情况下，比如数据近乎有序或者完全逆序的情况下，算法的平均时间复杂度可能会有所不同。
在实际生产环境中，我们通常需要考虑算法的稳定性和鲁棒性。
虽然有些特定情况下可能会出现算法时间复杂度不稳定的情况，但是在大多数情况下，二分归并排序都能够保持较好的性能表现，适用于各种不同类型的数据。
3. 优化策略对时间复杂度的影响
除了理论上的时间复杂度分析之外，我们还需要关注算法优化对时间复杂度的影响。
在实际应用中，通过一些优化策略，我们可以进一步提高二分归并排序的性能表现。
可以通过迭代方式替代递归方式来实现排序操作，减少函数调用的开销；可以在合并操作中使用临时数组进行优化，减少比较次数和赋值
操作的开销；可以利用插入排序来优化小规模子问题的排序过程等等。
这些优化策略可以在一定程度上降低算法的时间复杂度，并提高算法
的效率和性能。
4. 总结
通过深入探讨二分归并排序的时间复杂度，我们可以更全面地理解算
法的性能表现。
除了最坏情况下的时间复杂度之外，我们还需要考虑
算法在实际应用中的平均时间复杂度、稳定性和鲁棒性。
算法优化对
时间复杂度的影响也是需要重点关注的方面。
通过不断优化算法，可
以提高算法的性能表现，更好地满足实际应用的需求。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的排序算法，以及针
对具体问题进行算法优化，从而达到更好的排序效果。
二分归并排序
作为经典的排序算法之一，其时间复杂度分析对于理解算法的内在原
理和性能表现非常重要，希望通过本文的阐述能够对读者有所帮助。