新人教版七年级数学上册：解一元一次方程(讲义及答案)

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新人教版七年级数学上册：解一元一次方程(讲义及答案)

解一元一次方程（讲义）课前预习1.含有_______的_______叫做方程．2.等式的基本性质性质1：等式两边同时加上（或减去）_________，所得结果仍是等式．性质2：等式两边同时乘___________（或_____________________），所得结果仍是等式．3.。

4.已知a，b，x，y都是未知数，给出下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是方程的有_________________．（填序号）5.解下列方程：（1）；（2）．：知识点睛1.一元一次方程的定义：只含有___________，_______________的_______方程叫做一元一次方程．2.使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．3.|4.等式的基本性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个__________所得结果仍是___________；②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个_________的数）所得结果仍是___________．5.解方程的五个步骤：①______________；②______________；③_____________；④______________；⑤_______________．精讲精练1.下列各式中，是一元一次方程的为_________（填序号）．①；②3x5y=1；③；④3+7=10．2.若是关于x的一元一次方程，则a=______．3.如果x=2是方程的解，那么a=__________．4.。

5.解下列方程：（1）；解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得（2）；;（3）；移项，得合并同类项，得|系数化为1，得（4）；;（5）；解：去分母，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得<（6）；|（7）；去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得、（8）；￥（9）；'（10）；%（11）；解：原方程可化为去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得…系数化为1，得（12）．%6.m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5~【参考答案】课前预习1.未知数等式2.同一个数同一个数除以同一个不为0的数3.④⑤⑥⑦4.（1）（2）\知识点睛1.一个未知数并且未知数的指数都是1 整式2.相等未知数的值3.代数式，等式不为0，等式4.去分母去括号移项合并同类项系数化为1精讲精练1.①2.-13.4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．5.。

人教版七年级上册数学一元一次方程(基础篇)(Word版含解析)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）2+|b﹣7|=0．（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．【答案】（1）解：∵（a+5）2+|b﹣7|=0，∴a+5=0，b﹣7=0，∴a=﹣5，b=7；∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．答：点P所对应的数为﹣1015（3）解：设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（x+5），解得：x=﹣2；③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，依题意得：x﹣7=3（x+5），解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．【解析】【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得a与b的值，相减得两点间的距离。

（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，并在-5的基础上把得到的数据相加即可。

（3）设点P对应的有理数的值为x，分别表示PA和PB的长，列方程求解即可。

七年级上册一元一次方程优质讲义(含答案解析)第二部分

1x3x基础训练内容提要考法.利用特殊解求字母的值2. 解下列方程：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）；（2）2．3.解下列方程：（1）1 （2）31.[单选题] 解方程3时，去分母正确的是（）A．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝3 B．2（2x﹣1）﹣10x+1＝3 C．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝12 D．2（2x﹣1）﹣10x+1＝122.[单选题]把方程0.5的分母化为整数，正确的是（）A ． 0.5 B ． 0.5 C ． 0.5 D ．0.53.解方程：（1）7x+2（3x﹣3）＝29 （2）（3）例题基础训练1.若方程3（x+1）＝2+x的解与关于x的方程2（x+3）的解互为倒数，求k的值．2.小明在解方程1，方程两边都乘以各分母的最小公倍数去分母时，漏乘了不含分母的项﹣1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解．3. 已知：方程（m+2）x﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值．|m|﹣11.（2020·越秀区）已知关于x的方程2（x﹣1）﹣6＝0与的解互为相反数，则a＝．2.小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．内容提要考法.方程的解的讨论例题3.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．1.[单选题]有下列结论：①若a+b+c ＝0，则abc≠0；②若a （x ﹣1）＝b （x ﹣1）有唯一的解，则a≠b ；③若b ＝2a ，则关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解为x；④若a+b+c ＝1，且a≠0，则x ＝1一定是方程ax+b+c ＝1的解；其中结论正确的个数有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2.[单选题]若关于x 的方程有无数解，则3m+n 的值为（）A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．以上答案都不对3. 解关于x 的方程：a （x ﹣1）＝2（x+2）基础训练内容提要考法.新定义运算例题基础训练1.[单选题]如果关于x 的方程（a﹣3）x＝2019有解那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠32.[单选题] 已知关于x的方程•a（x﹣6）无解，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠13.[单选题]已知方程2x+k＝6的解为正整数，则k所能取的正整数值为（）A．1 B．2 或 3 C．3 D．2 或 41.[单选题]对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（）A．﹣1 B．2 C．3 D．42. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．221. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+a．如：1☆3＝1×3﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；22模块二含绝对值的一元一次方程内容提要最简绝对值方程（2）若☆3＝8，求a 的值；（3）若m ＝4☆x ，n ＝（1﹣2x ）☆3（其中x 为有理数），试比较大小m n （用不等号填空）．2. 设x 、y 是任意两个有理数，规定x 与y 之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x 、y ，运算“⊕”满足x ⊕y ＝y ⊕x ，则称此运算具有交换律．x ⊕y （1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x ＝0，求x 的值．3. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b ﹣a ，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x ＝4的解为x ＝2＝4﹣2，则该方程2x ＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x ＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a ＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x 的一元一次方程2x ＝mn+m 和﹣2x ＝mn+n 都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 的值．2例题基础训练1.（1）解方程：|3x+1|﹣5＝0．（2）若方程|x﹣1|＝m﹣1有解，则m应满足的条件是．2.解方程： |x﹣2|＝|﹣3|．3.解方程：|3x﹣2|＝x 4.解方程：3+|2x﹣1|＝x1.[单选题] 方程|2x+1|＝5的解是（）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3 内容提要考法.含多个绝对值的方程例题2.[单选题]若关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，b﹣|x|＝0只有一个解，c﹣|x|＝0无解，则a、b、c的关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3.方程|5x+6|＝6x﹣5的解是． 4.解方程：（1）|3x﹣2|﹣4＝0．（2）当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解． 1.解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5．2.解方程|x﹣4|+|x+3|＝7．基础训练3.解方程：|2x+1|＝|x ﹣3| 4.解绝对值方程：|x ﹣1|﹣|x ﹣2|＝x ﹣3． 1.（1）解方程：|2x+3|＝8．（2）解方程：|2x+3|﹣|x ﹣1|＝1．2.解方程：|x ﹣2|+|x+3|＝6 3.解方程：|x ﹣3|﹣3|x+2|＝x ﹣9．内容提要考法.含多重绝对值的方程例题4.解方程：|2x ﹣3|＝|1﹣3x| 5.解方程：3|x ﹣1|﹣|x+1|＝2|x ﹣2|.1. 解方程：||x|﹣4|＝52.求方程|x ﹣|2x+1||＝3的不同的解的个数．3.设a ，b 为有理数，且|a|＞0，方程||x ﹣a|﹣b|＝5，恰好有两个不相等的根，求b 的取值范围．基础训练模块三含参数的一元一次方程内容提要考法1.解含字母系数的方程例题1. 解方程：|x ﹣|3x+1||＝4． 2.求关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|﹣a ＝0（0＜a ＜1）的所有解的和． 3.设a 、b 为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，求b 的值．4.已知关于x 的方程||x ﹣200|﹣250|＝a 有三个解，求a 的值．1.解关于x 的方程：2（x ﹣1）＝3m ﹣1. 2.已知关于x 的方程5m+3x ＝1+x 的解比关于x 的方程2x+m ＝3m 的解大2，求7m ﹣1的值．2基础训练内容提要考法2.方程的整数解3.已知关于x的方程m4的解是关于x 的方程的解的2倍，求m的值．1.解关于x的方程：5m+12x2.[单选题] 若关于x的方程2x+a＝3与x+2a＝7的解相同，则a的值为（）A ． B ． C ． D．3.若关于x的方程x+m﹣3＝0和2m＝2x﹣1的解的和为4，求m的值． 4.当k为何值时，关于x的方程3（2x﹣1）＝k+2x的解与关于x的方程8﹣k＝2（x+1）的解互为相反数．例题基础训练1.[单选题] 已知关于x 的方程x﹣a＝3x﹣14，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（）A．12 B．13 C．14 D．152.[单选题]已知关于x方程x1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．33.[单选题]若关于x的方程（k﹣2020）x﹣2019＝7﹣2020（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．6 B．8 C．9 D．101. 已知关于x的方程kx＝9﹣x的解为自然数，求整数k的值．2.已知k位非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，求k的所有可能取值.3.若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m﹣[m﹣（6m﹣5m）﹣2（m﹣3m）]的值． 2222内容提要考法3.含参数的一元一次方程的讨论例题基础训练4.已知a 为整数，关于x 的一元一次方程的解也为整数，求所有满足条件的数a 的和.1. 已知kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4是关于x 的一元一次方程，当k ，m 为何值时：（1）方程只有一个解；（2）方程无解；（3）方程有无数个解．2.已知关于x 的方程m （x ﹣1）＝5x ﹣2有唯一解，求m 的值． 1.已知关于x 的方程2kx+m ＝x+4．当k 、m 为何值时：（1）方程有唯一解；模块四自定义新一元一次方程内容提要自定义新一元一次方程例题（2）方程有无数个解；（3）方程无解．2. 当a取何值时，关于x的方程6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x）（1）有唯一解；（2）没有解． 3.已知方程（x+1）+1ax有无数个解，求a、b的值． 4.已知关于x的方程a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7．（1）若b＝1，a≠2时，求方程的解；（2）当a，b满足什么条件时，方程有无数个解？5.若关于x的一元一次方程（5a+3b）x+ax+b＝0有唯一解，则x＝．21. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[]，[﹣1]的值；（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．32.我们称使方程成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为（x ．y ）．（1）若（4，y ）是“相伴数对”，求y 的值；（2）若（a ，b ）是“相伴数对”，请用含b 的代数式表示a ；（3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m n ﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．3.已知f （x ）是关于字母x 的多项式f （x ）＝a x +a x +……+a x +a x+c （其中a ，a ，…，a 是各项的系数，c 是常数项）；我们规定f （x ）的伴随多项式是g （x ），且g （x ）＝na x +（n ﹣1）a x +……+2a x+a ．如f （x ）＝4x ﹣3x +5x ﹣8，则它的伴随多项式g （x ）＝3×4x ﹣2×3x+1×5＝12x ﹣6x+5请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知f （x ）＝x ，则它的伴随多项式g （x ）＝；（2）已知f （x ）＝3x ﹣2（7x ﹣1），则它的伴随多项式g （x ）＝；若g （x ）＝10，求x 的值．（3）已知二次多项式f （x ）＝（a ﹣3）x ﹣8x+7，并且它的伴随多项式是g （x ），若关于x 的方程g （x ）＝﹣2x 有正整数解，求a 的整数值．1n 2n ﹣1n ﹣12n 12n 1n ﹣12n ﹣2n ﹣1n 32222224.若x 是关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解，y 是关于y 的方程cy+d ＝0（c≠0）的解，且x ，y 是满足|x ﹣y |≤1，则称方程ax+b ＝0（a≠0）与方程cy+d ＝0（c≠0）的解接近．例如：方程4x+2x ﹣6＝0的解是x ＝1，方程3y ﹣y ＝3的解是y ＝1.5，因为x ﹣y ＝0.5＜1，方程4x+2x ﹣6＝0与方程3y ﹣y ＝3的解接近．（1）请直接判断方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与方程﹣2y ﹣y ＝3的解是否接近；（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程y ＝2k+1的解接近，请你求出k 的最大值和0000000000自主评价自主探究自主探究题目最小值；（3）请判断关于x的方程x﹣m＝2x﹣5与关于y的方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解是否接近，并说明理由． 1.[单选题]若方程2x+1＝﹣2与关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解相同，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2.[单选题]关于x的方程﹣4+ax＝3x+b有无数个解，则a、b的值分别是（）A．﹣3；4 B．0；0 C．3；﹣4 D．3；43.[单选题]当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解（）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D ．a≥64.解方程：（1）4x﹣3＝12﹣x；（2）+1＝．5.已知方程5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，求（1k）的值．56.已知关于x的方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，试求a+b的值．27.（2019·花都区）已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．8. 解关于x的方程：a（x﹣5）＝x+19. 一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．结合数轴与绝对值的知识，求含绝对值的方程的整数解.10.已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值．参考答案模块一解一元一次方程例题1.解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，合并同类项得：﹣3x＝36，系数化为1得：x＝﹣12，（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，合并同类项得：﹣9x＝3，系数化为1得：x，解析:2.解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，移项得：2x﹣12x+9x＝9+4﹣3，合并同类项得：﹣x＝10，系数化为1得：x＝﹣10，（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，移项得：4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，合并同类项得：5x＝﹣5，系数化为1得：x＝﹣1．解析:3.解：（1）方程整理得： 1，去分母得：50x﹣10﹣37x﹣100＝20，移项合并得：13x＝130，解得：x＝10．（2）方程整理得： 3，即5y﹣10﹣2y﹣2＝3，移项合并得：3y＝15，解得：y＝5．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:2.C解析:3.解：（1）去括号得：7x+6x﹣6＝29，移项合并得：13x＝35，解得：x ；（2）去分母得：3（x ﹣2）﹣2（2x ﹣1）＝12，去括号得：3x ﹣6﹣4x+2＝12，解得：x ＝﹣16；（3）方程整理得： 1，去分母得：30x ﹣7（17﹣20x ）＝21，去括号得：30x ﹣119+140x ＝21，移项合并得：170x ＝140，解得：x．解析:例题1.解：解3（x+1）＝2+x ，得x，∵两方程的解互为倒数，∴将x ＝﹣2代入2（x+3）得2，解得k ＝0．解析:2.解：根据题意，x ＝3是方程4（2x ﹣1）＝3（x+m ）﹣1的解，将x ＝3代入得4×（2×3﹣1）＝3（3+m ）﹣1，解得m ＝4，所以原方程为1，解方程得x．解析:3.解：（1）∵方程（m+2）x ﹣m ＝0①是关于x 的一元一次方程，∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，解得m ＝2．（2）当m ＝2时，原方程变形为4x ﹣2＝0，解得x，∵方程①的解与关于x 的方程x3x ②的解互为相反数，∴方程②的解为x．方程x 3x 去分母得：6x+2（6x ﹣a ）＝a ﹣18x 去括号得：6x+12x ﹣2a ＝a ﹣18x ，移项、合并同类项得：3a ＝36x ，∴a ＝12x ＝12×（）＝﹣6．解析:基础训练基础训练题目|m|﹣11.﹣．解析:解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，解方程得：x＝3a﹣3，∵两个方程的解互为相反数，∴4+（3a﹣3）＝0，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．2.解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程，得1，去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移项合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8，答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．解析:3.解：设被墨汁污染的数字为y，原方程可整理得：1，把x＝4代入得：1，解得：y＝﹣12，即被污染了的数字为﹣12．解析:例题1.C解析:解：①错误，当a＝0，b＝1，c＝﹣1时，a+b+c＝0+1﹣1＝0，但是abc＝0；②正确，方程整理得：（a﹣b）x＝a﹣b，由方程有唯一解，得到a﹣b≠0，即a≠b，此时解为x＝1；③错误，由a≠0，b＝2a，方程解得：x2；④正确，把x＝1，a+b+c＝1代入方程左边得：a+b+c＝1，右边＝1，故若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解，故选：C．2.A解析:解：mx x，移项得：mx+x，合并同类项得：（m+1）x，∵该方程有无数解，∴，解得：，把m＝﹣1，n＝2代入3m+n得：原式＝﹣3+2＝﹣1，故选：A．3.解：a（x﹣1）＝2（x+2），ax﹣a＝2x+4，ax﹣2x＝4+a，（a﹣2）x＝4+a，当a﹣2≠0时，x，当a﹣2＝0时，方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2019有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．2.A解析:解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax＝2x+6移项，合并得，x，因为无解；所以a﹣1＝0，即a＝1．故选：A．3.D解析:解：2x+k＝6，移项得：2x＝6﹣k，系数化为1得：x，∵方程2x+k＝6的解为正整数，∴6﹣k为2的正整数倍，6﹣k＝2，6﹣k＝4，6﹣k＝6，6﹣k＝8…，解得：k＝4，k＝2，k＝0，k＝﹣2…，故选：D．例题1.C解析:解：∵，∴2x+4x＝18，即：x＝3，故选：C．2.解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×7﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×5﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣50+20﹣2＝﹣32；（2）☆3＝8，3﹣238，9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，4a＝12，a＝3；（3）∵m＝4☆x＝4•x﹣2×4x+4＝4x﹣8x+4，n＝（1﹣2x）☆3＝（1﹣2x）•3﹣2（1﹣2x）•3+1﹣2x＝﹣8x+4，2222222m ﹣n ＝4x ≥0，∴m≥n ，故答案为：≥．解析:2.解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x ＞y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝3y+2x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＝y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＜y 时，x ⊕y ＝3x+2y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x ＝0，2×2+3x ﹣7＝0解得x ＝1当x ＞2时，2⊕x ＝03×2+2x ﹣7＝0解得x （舍去）答：x 的值为1．解析:3.解：（Ⅰ）：∵5x ＝﹣8，∴x ，∵﹣8﹣5＝﹣13，，∴5x ＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a ＝3，∴x ＝b ﹣3，∴，∴，即b 时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m ＝4，mn+n，两式相减得，m ﹣n ，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 22＝﹣5（m ﹣n ）﹣22+3（mn+m）（mn+n ），，．解析:模块二含绝对值的一元一次方程例题1.解：（1）原方程化为|3x+1|＝5，当3x+1≥0时，方程可化为3x+1＝5，解得：x ，当3x+1≤0时，方程可化为3x+1＝﹣5，解得：x ＝﹣2，所以原方程的解是x 或x ＝﹣2，（2）∵方程|x ﹣1|＝m ﹣1有解，∴m ﹣1≥0，解得：m≥1，解析:2.解：∵|x ﹣2|＝3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，∴x ＝10或x ＝﹣2．解析:3.解：（1）|3x ﹣2|＝x ，∴3x ﹣2＝x 或3x ﹣2＝﹣x ，∴x ＝1或x；解析:4.解：当x时，原方程等价于3+1﹣2x ＝x ，解得x （不符合题意要舍去），当x 时，原方程等价于3+2x ﹣1＝x ，解得x ＝﹣2（不符合题意要舍去）综上所述，原方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x ＝2或x ＝﹣3，故选：D ．2.D22解析:解：∵关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，∴a＞0，∵b﹣|x|＝0只有一个解，∴b＝0，∵c﹣|x|＝0无解，∴c＜0，则a、b、c的关系是c＜b＜a．故选：D．3.x＝11解析:解：∵|5x+6|＝6x﹣5，∴5x+6＝±（6x﹣5），解得，x＝11或（舍去）．故答案为：x＝11．4.解：①当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，解得x．所以原方程的解是x＝2或x；②∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解解析:例题1.|x﹣2|+|x﹣1|＝5，①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝5，它的解是x＝4；②当x﹣1≤0，即x≤1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝5，它的解是x＝﹣1；③当1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝5，此时方程无解；∴原方程的解为x＝4和﹣1．解析:2.解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝7解得：x＝﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3＝7即7＝7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3＝7，x＝4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．解析:3.解：当x时，原方程等价于﹣1﹣2x＝3﹣x，解得x＝﹣4；当x＜3时，原方程等价于1+2x＝3﹣x，解得x；当x≥3时，原方程等价于1+2x＝x﹣3，解得x＝﹣4（不符合题意要舍去），综上所述：x＝﹣4或x；解析:4.解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝2（不符合范围，舍）；当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝0（不符合范围，舍）；当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣3．解得x＝4，综上所述：x＝4．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）当x时，原方程等价于2x+3＝﹣8，解得x；当x时，原方程等价于2x+3＝8，解得x；综上所述，方程|2x+3|＝8的解为x或x．（2）当x时，原方程等价于﹣x﹣4＝1，解得x＝﹣5；当x＜1时，原方程等价于3x+2＝1，解得x；当x≥1时，原方程等价于x+4＝1，解得x＝﹣3，（不符合题意，舍）；综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝1的解为x＝﹣5或x．解析:2.当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，∴x＝2.5；当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，∴x＝﹣3.5；综上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有两个：x＝2.5或-3.5解析:3.解：①当x＜﹣2时，原方程等价于3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得x＝﹣18，符合x＜﹣2，②当﹣2≤x＜3，时，原方程等价于价于3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x，符合﹣2≤x＜3，③当x≥3时，原方程等价于x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x＝0，不符合x≥3，∴原方程的解为：x＝﹣18，x．解析:4.解：根据题意得：2x﹣3＝1﹣3x或2x﹣3＝3x﹣1，解得：x或x＝﹣2，即原方程的解为：x，x＝﹣2，解析:5.解：当x＜﹣1时，得：﹣3（x﹣1）+（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得：恒成立，∴x＜﹣1当﹣1≤x≤1时得：﹣3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝﹣1当1＜x≤2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝2当x＞2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝2（x﹣2）解得：恒成立，则x＞2．综上所述：x≤﹣1或x≥2．解析:例题1.解：||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；解析:2.解：|x﹣|2x+1||＝3，当x时，原方程化为|x|＝3，无解；当x时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4（舍去）．当x时，原方程可化为：|x+（2x+1）|＝3，12即|3x+1|＝3，∴3x+1＝±3，解得：x（舍去）或x．综上可得方程的解只有x＝2或x两个解．解析:3.解：∵方程||x﹣a|﹣b|＝5有两个不相等的解，∴方程|x﹣a|﹣b＝±5，即|x﹣a|＝b±5，（1）当b＝﹣5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝﹣10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝﹣10，此时方程无解．所以当b＝﹣5时，方程只有一个解；（2）当﹣5＜b＜5时，即b+5＞0，b﹣5＜0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＜0时，方程无解．所以当﹣5＜b＜5时，方程有两个不相等解；（3）当b＝5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝10，此时方程有两个不相等解．所以当b＝5时，方程有三个解；（4）当b＞5时，即b±5＞0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＞0时，方程有两个不相等解．所以当b＞5时，方程有四个不相等解．故答案为：﹣5＜b＜5．解析:基础训练基础训练题目1.解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时，即x，由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x与x不相符，故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x（2）当3x+1＜0时，即x，由x ﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x 与x 不相符，故舍去由x ﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x 故原方程的解是x 或x 解析:2.解：由原方程得||x ﹣2|﹣1|＝a ，∴|x ﹣2|﹣1＝±a ，∵0＜a ＜1，∴|x ﹣2|＝1±a ，即x ﹣2＝±（1±a ），∴x ＝2±（1±a ），从而x ＝3+a ，x ＝3﹣a ，x ＝1+a ，x ＝1﹣a ，∴x +x +x +x ＝8，即原方程所有解的和为8．解析:3.解：∵方程||x+a|+2b|＝4，∴|x+a|＝4﹣2b 或﹣4﹣2b ，∵有三个不相等的解，∴4﹣2b 与﹣4﹣2b ，其中一个为0，则得3个解，如果都不是零，则得4个解，故b ＝2或﹣2．经检验，b ＝2不合题意舍弃，∴b ＝﹣2故答案为﹣2．解析:4.解：根据题意得：a≥0，|x ﹣200|﹣250＝±a ，|x ﹣200|＝250±a ，x ﹣200＝±（250±a ），x ＝200±（250±a ），所以x ＝450+a ，x ＝﹣50﹣a ，x ＝450﹣a ，x ＝﹣50+a ，则有两个相等，12341234显然450+a＝﹣50+a，﹣50﹣a＝450﹣a不成立，若450+a＝﹣50﹣a，解得：a＝﹣250，（舍去），若450+a＝450﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若﹣50+a＝﹣50﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若450﹣a＝﹣50+a，解得：a＝250，x＝700，x＝﹣300，x＝200，（符合题意），故答案为：a=250．解析:模块三含参数的一元一次方程例题1.解：2x﹣2＝3m﹣1 2x＝3m+1解析:2.解：解方程5m+3x＝1+x得x，解方程2x+m＝3m得x＝m，由题意知m＝2，解得：m，则7m﹣1＝7×（）﹣1＝711．解析:3.解：解方程m4得：x＝12﹣3m ，解方程1得：x＝6﹣m，根据题意得：222（6﹣m）＝12﹣3m，解得：m＝0．解析:基础训练基础训练题目1.解：去分母：10m+24x=2x+1 22x=1-10m解析:2.B解析:3.解：方程x+m﹣3＝0的解为x＝3﹣m，方程2m＝2x﹣1解为：x（2m+1），根据题意得：3﹣m（2m+1）＝4，去分母得：9﹣3m+4m+2＝12，移项合并得：m＝1解析:4.解：方程3（2x﹣1）＝k+2x，解得：x，方程8﹣k＝2（x+1），解得：x，根据题意得： 0，解得：k＝15．解析:例题1.B解析:解：方程移项合并得： x＝a﹣14，去分母得：﹣x＝2a﹣28，解得：x＝28﹣2a，∵方程的解x是正整数，∴28﹣2a＞0，∴a＜14则a的最大值为13，故选：B．2.A解析:解：x1，6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣66x﹣4+ax＝2x+2a﹣66x+ax﹣2x＝2a﹣6+4（a+4）x＝2a﹣2x，∵方程的解是非正整数，∴0，解得：﹣4＜a≤1，当a＝﹣3时，x＝﹣8；当a＝﹣2时，x＝﹣3；当a＝﹣1时，x（舍去）；当a＝0时，x（舍去）；当a＝1时，x＝0；则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．故选：A．3.B解析:解：方程整理得：kx﹣2020x﹣2019＝7﹣2020x﹣2020，移项合并得：kx＝6，解得：x，由x为整数，得到k＝±1，±2，±3，±6，共8个，故选：B．基础训练基础训练题目1.解：移项，得kx+x＝9，合并，得（k+1）x＝9，当k+1≠0时，x∵关于x的方程的解为自然数，∴9能被k+1整除．∴k+1＝1、3、9，即k＝0、2、8时，关于x的方程的解为自然数．解析:2.解：方程去括号得：3x﹣9＝kx，移项合并得：（3﹣k）x＝9，解得：x ，由x 为正整数，得到k ＝2，0解析:3.解：解方程mx ＝2﹣x 得：x ，∵关于x 的方程mx ＝2﹣x 的解为整数，且m 为负整数，∴1+m ＝±2或±1，解得：m ＝1或﹣3或0或﹣2，其中m ＝1和m ＝0舍去（不是负整数），即m ＝﹣3或﹣2；5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]＝5m ﹣[m ﹣6m+5m ﹣2m +6m]＝5m ﹣m +6m ﹣5m +2m ﹣6m＝m ，当m ＝﹣2时，原式＝（﹣2）＝4；当m ＝﹣3时，原式＝（﹣3）＝9，所以代数式5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]的值是4或9．解析:4.解：∵，∴（6﹣a ）x ＝6，∵关于x的一元一次方程的解为整数，∴x 为整数，∴6﹣a ＝±1或±2或±3或±6，又∵a 为整数，∴a ＝5或7或4或8或3或9或0或12，∴所有满足条件的数a 的和为：5+7+4+8+3+9+0+12＝48.解析:例题1.解：化简kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4得（k ﹣1）x ＝﹣m ﹣4，（1）当k≠1时方程只有一个解，即x．（2）当k ＝1，m≠﹣4时方程无解．（3）当k ＝1，m ＝﹣4时方程有无数个解．解析:2.解：方程去括号得：mx ﹣m ＝5x ﹣2，移项合并得：（m ﹣5）x ＝m ﹣2，由方程有唯一解，得到m ﹣5≠0，解得：m≠5．2222222222222222222解析:基础训练基础训练题目1.解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m，（1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k；（2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0，解得：k，m＝4；（3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0，解得：k，m≠4．解析:2.解：6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x），去括号得6ax﹣12﹣x﹣1＝2+4x，移项、合并同类项得（6a﹣5）x＝15．（1）当6a﹣5≠0，即a时，方程有唯一解．（2）当6a﹣5＝0，即a时，方程没有解．解析:3.解：原方程即x1ax，移项，得： x ax1，合并同类项，得：（）x，当0，且0时，方程有无数个解．则b＝﹣2，a．解析:4.解：（1）b＝1，代入原式得：a（3x﹣2）+2x﹣3＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2x﹣3＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a﹣6）x＝2a﹣4，（a≠2）化系数为1得：x．（2）a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2bx﹣3b＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a+2b﹣8）x＝2a+3b﹣7，∴当3a+2b﹣8＝0，2a+3b﹣7＝0时，x有无数个解，解得：b＝1，a＝2．故a＝2，b＝1时，方程有无数个解．解析:5.解析:解：∵（5a+3b ）x +ax+b ＝0是一元一次方程，∴5a+3b ＝0，∵方程（5a+3b ）x +ax+b ＝0有唯一解，∴a≠0，x，∴ba ，∴x ．故答案是：．模块四自定义新一元一次方程例题1.解：（1）[] 2，[﹣1]＝﹣1+2＝1；（2）a ＞0，b ＜0，[a]＝[b]，即a ﹣2＝b+2，解得：a ﹣b ＝4，故（b ﹣a ）﹣2a+2b ＝（b ﹣a ）﹣2（a ﹣b ）＝（﹣4）﹣8＝﹣72；（3）当x≥0时，方程为：2x ﹣2+x+1﹣2＝1，解得：x ；当﹣1＜x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，解得：x ＝0（舍弃）；当x≤﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x；故方程的解为：x．解析:2.解：（1）∵（4，y ）是“相伴数对”，∴解得y ＝﹣9；（2）∵（a ，b ）是“相伴数对”，∴解得a b ；（3）∵（m ，n ）是“相伴数对”，∴由（2）得，mn ，∴原式＝﹣3mn ﹣2＝﹣3×（n ）n ﹣2＝﹣2．解析:3.解：（1）由题意得：g （x ）＝2x ；故答案为：2x ；（2）由题意得：g （x ）＝6x ﹣14，22333由g（x）＝10，得6x﹣14＝10，解得：x＝4；故答案为：6x﹣14；（3）由题意得：g（x）＝2（a﹣3）x﹣8＝（2a﹣6）x﹣8，由g（x）＝﹣2x，得（2a﹣6）x﹣8＝﹣2x，化简整理得：（a﹣2）x＝4，∵方程有正整数解，∴a﹣2≠0，可得x，∵a为整数，∴a﹣2＝1或2或4，∴a＝3或4或6，又∵f（x）是二次多项式，∴a﹣3≠0，可得a≠3，综上可知，a＝4或6．解析:4.解：（1）解方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0得，x＝1，解方程﹣2y﹣y＝3得，y＝﹣1，∵1﹣（﹣1）＝2＞1，∴方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与方程﹣2y﹣y＝3的解不接近；（2）关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0的解为x＝1，关于y的方程y＝2k+1的解为y＝3k+2，∵关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程y＝2k+1的解接近，∴|1﹣（3k+2）|≤1，解得k≤0或k，即k≤0，∴k的最大值是0，最小值；（3）解方程x﹣m＝2x﹣5得，x解方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m得，y∵1∴方程x﹣m＝2x﹣5与方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解接近．解析:自主探究自主探究题目1.B解析:解：解2x+1＝﹣2，得x．把x代入1﹣2（x﹣a）＝2，得1﹣2（a）＝2．解得a＝﹣1，故选：B．2.C解析:解：方程移项合并得：（a﹣3）x＝b+4，由方程有无数个解，得到a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，故选：C．3.B解析:解：令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；当x≤0时，y＝﹣5x+9，∴y≥9；综上所述，y≥5，∴a≥5时等式恒有解．故选：B．4.(1) x＝3；(2) x＝1．解析:解：（1）移项得：4x+x＝12+3，合并得：5x＝15，解得：x＝3；（2）去分母得：3（1﹣x）+12＝4（2x+1），去括号得：3﹣3x+12＝8x+4，移项得：﹣3x﹣8x＝4﹣3﹣12，合并得：﹣11x＝﹣11，解得：x＝1．5.解：解方程5x﹣3＝2x，可得：x＝1，∵5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，∴方程4x＝6的解是x＝﹣1，∴，解得k，∴（1k）＝（1）＝﹣1．解析:556.解：由方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，得到a＝5，b＝﹣6，则原式＝25﹣6＝19．解析:7.解：方程3x+2＝﹣4，解得：x＝﹣2，因为x、y互为相反数，所以y＝2，把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1，解得：m＝2．解析:8.解：去括号得：ax﹣5a＝x+1，移项得：ax﹣x＝1+5a，合并得：（a﹣1）x＝1+5a，当a﹣1≠0时，x，当a﹣1＝0时，方程无实数解，∴当a≠1时，方程的根是x；当a＝1时，方程没有实数根．解析:9.解：方程的解是数轴上到与到的所有点的集合，∴x，则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；解析:10.解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，系数化成1得：x，∵x是正整数，∴a﹣7＝﹣1或﹣13，∴a＝6或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝6．解析:。

2024新人编版七年级数学上册《第五章5.2.3利用移项和合并同类项解一元一次方程的应用》教学课件

义务教育（2024年）新人教版七年级数学上册
第5章一元一次方程课件
第五章一元一次方程
5.2 解一元一次方程
第3课时利用合并同类项和移项解一元一次方程的实际问题
学习目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程，进一步体会方程模型的作用及应用价值，培养学生的模型意识. 2.通过使学生经历观察、分析、探究、发现实际问题中相等关系的过程，感受方程思想的现实体现，培养学生的建模意识。 3.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.
学习目标
学习重点：建立一元一次方程解决实际问题. 学习难点：会将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决实际问题.
导入新课
从前有一只狡猾的狐狸，它平时总喜欢捉弄小动物.有一天它遇见了老虎，狐狸说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程5x-2=2x-2，等号两边同时加上2，得5x-2+2=2x-2+2，即5x=2x.等式两边同时除以x，得5=2.” 老虎瞪大了眼睛，听傻了.请你们想一想，狐狸说得对吗？为什么？
解得x=10000，所以大瓶销售了2×10000=20000瓶，故答案是:20000.
巩固练习
4．江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理．已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克，求粗加工的该种山货质量．解：设粗加工x千克，则3x＋2000＝10000－x，解得x＝2000. 答：粗加工的这种山货质量为2000 千克.
导入新课
对于方程5x-2=2x-2，根据等式的性质1，等号两边同时加上2，得5x-2+2=2x-2+2，即5x=2x.这一步是对的.

七年级数学上册人教版一元一次方程的概念和解法复习(解析版)

一元一次方程的概念和解法复习（解析版）第一部分典例剖析+变式训练知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的整式方程.)1．（2022春•淅川县期中）下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2−y4=y−15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（）A．3B．4C．5D．6思路点拨：根据一元一次方程的定义判断即可．解：①x﹣2=2x，分母中含有未知数，不是一元一次方程；②x＝6，是一元一次方程；③2−y4=y−15，是一元一次方程；④x2﹣4x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；⑤0.3x＝1，是一元一次方程；⑥x+2y＝0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程．所以其中一元一次方程的个数是3．故选：A．总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．变式训练1．（2022春•安溪县期中）若x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．思路点拨：根据一元一次方程的定义即可得出答案．解：∵x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，∴m+1＝1，∴m＝0．故答案为：0．总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0B．7C．8D．10思路点拨：根据一元一次方程的定义得出7﹣a ＝0且a ≠0，再求出a 即可．解：∵方程（7﹣a ）x 2+ax ﹣8＝0是关于x 的一元一次方程， ∴7﹣a ＝0且a ≠0，解得：a ＝7，故选：B ．总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．3．（2022春•仁寿县期中）已知（m ﹣2）x |m |﹣1＝5是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（） A ．﹣2B ．±2C ．2D ．0思路点拨：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．解：∵（m ﹣2）x |m |﹣1＝5是关于x 的一元一次方程，∴{m −2≠0|m|−1=1，解得m ＝﹣2．故选：A ．总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根)典例2 检验下列各数是不是方程4x ﹣3＝2x +3的解：（1）x ＝3；（2）x ＝﹣3．思路点拨：（1）将x ＝3直接代入方程的左右边进而判断即可；（2）将x ＝﹣3直接代入方程的左右边进而判断即可．解：（1）当x ＝3时，左边＝12﹣3＝9，右边＝6+3＝9， ∵左边＝右边， ∴x ＝3是方程的解；（2）当x ＝﹣3时，左边＝﹣12﹣3＝﹣15，右边＝﹣6+3＝﹣3， ∵左边≠右边，∴x ＝﹣3不是方程的解．总结升华：此题主要考查了方程的解，正确计算得出方程左右边的值是解题关键．变式训练1．（2021秋•兴庆区校级期末）如果关于x的方程a﹣x=x2+3a的解是x＝4，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣5D．5思路点拨：把x＝4代入方程a﹣x=x2+3a得出a﹣4=42+3a，再求出方程的解即可．解：把x＝4代入方程a﹣x=x2+3a得：a﹣4=42+3a，解得：a＝﹣3，故选：A．总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．2．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（）A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数思路点拨：根据方程无解，确定出a的范围即可．解：∵关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2022春•丰泽区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣b＝5的解，则6a﹣2b﹣2的值为（）A．2B．8C．﹣3D．﹣8思路点拨：将x＝3代入ax﹣b＝5中得3a﹣b＝5，将该整体代入6a﹣2b﹣2中即可得出答案．解：将x＝3代入ax﹣b＝5中得：3a﹣b＝5，所以6a﹣2b﹣2＝2（3a﹣b）﹣2＝2×5﹣2＝8．故选：B．总结升华：本题考查了运用整体法求解一元一次方程的问题，熟练掌握整体法是解题的关键．4．（2021秋•肥西县月考）已知x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．3思路点拨：直接利用方程的解的定义代入求解即可．解：∵x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，∴6﹣a＝4，解得a ＝2，故选：C ．总结升华：本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键． 5．（2021秋•市南区期末）方程2x ﹣1＝3与方程1−3a−x3=0的解相同，则a 的值为（） A ．3B ．2C ．1D ．53思路点拨：先解方程2x ﹣1＝3，求得x 的值，因为这个解也是方程1−3a−x3=0的解，根据方程的解的定义，把x 代入求出a 的值．解：解方程2x ﹣1＝3，得x ＝2，把x ＝2代入方程1−3a−x3=0，得 1−3a−23=0，解得，a =53．故选：D ．总结升华：此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．6．（2021春•杨浦区校级期末）关于x 的一元一次方程ax ＝3，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（） A ．该方程一定有实数解 B ．该方程一定没有实数解C ．该方程不一定有实数解D ．上述说法都不对思路点拨：根据一元一次方程的解法即可求出答案．解：由题意可知a ≠0，此时方程的解为x =1a ，故选：A ．总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解法步骤，本题属于基础题型．知识点3:等式的性质：1.等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式．）典例3用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的：（1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣ ＝7；（2）若2a ＝1.5，则6a ＝；（3）若﹣3y ＝18，则y ＝；（4）若a +8＝b +8，则a ＝；（5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝．思路点拨：（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（3）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（4）等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；（5）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．解：（1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣4x ＝7，依据是等是性质1，两边都减4x ；（2）若2a ＝1.5，则6a ＝4.5，依据是等是性质2，两边都乘以3；（3）若﹣3y ＝18，则y ＝﹣6依据是等是性质2，两边都除以﹣3；（4）若a +8＝b +8，则a ＝b 依据是等是性质1，两边都减8；（5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝﹣y 依据是等是性质2，两边都除以﹣5；故答案为：4x ；4.5；﹣6；b ；﹣y ．总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．变式训练1．（2021秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（） A ．如果a ＝2，那么a +2＝4 B ．如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6C ．如果3a ＝5，那么a =35D ．如果a ＝﹣2，那么a 2＝4思路点拨：根据等式的性质解决此题．解：A ．根据等式的性质，如果a ＝2，那么a +2＝4，那么A 正确，故A 不符合题意． B ．根据等式的性质，如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6，那么B 正确，故B 不符合题意． C ．根据等式的性质，如果3a ＝5，那么a =53，那么C 错误，故C 符合题意． D ．根据等式的性质，如果a ＝﹣2，那么a 2＝4，那么D 正确，故D 不符合题意．故选：C ．总结升华：本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． 2．（2021秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（） A ．由x2=2，得x ＝1B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x +x ＝﹣1﹣3思路点拨：利用等式的性质2可对A 、B 选项进行判断；利用等式的性质1可对C 、D 选项进行判断．解：A ．由x2=2，得x ＝4，所以A 选项不符合题意；B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2，所以B 选项符合题意；C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6+2，所以C 选项不符合题意；D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x ﹣x ＝﹣1﹣3，所以D 选项不符合题意；故选：B ．总结升华：本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1）典例4（2022春•郸城县校级月考）解下列方程：（1）4x ﹣3（20﹣x ）＝3；（2）12(x −1)=2−15(x +2)；（3）x+24−2x−36=1；（4）0.3x−0.50.2−0.12−0.05x0.03=x ．思路点拨：根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可．解：（1）去括号得：4x ﹣60+3x ＝3，移项得：4x +3x ＝3+60，合并同类项得：7x ＝63，系数化为1得：x ＝9；（2）去分母得：5（x ﹣1）＝20﹣2（x +2），去括号得：5x ﹣5＝20﹣2x ﹣4，移项得：5x +2x ＝20﹣4+5，合并同类项得：7x ＝21，系数化为1得：x ＝3；（3）去分母得：3（x +2）﹣2（2x ﹣3）＝12，去括号得：3x +6﹣4x +6＝12，移项得：3x ﹣4x ＝12﹣6﹣6，合并同类项得：﹣x ＝0，系数化为1得：x ＝0；（4）原方程可化为3x−52−12−5x 3=x ，去分母得：3（3x ﹣5）﹣2（12﹣5x ）＝6x ，去括号得：9x ﹣15﹣24+10x ＝6x ，移项得：9x +10x ﹣6x ＝15+24，合并同类项得：13x ＝39，系数化为1得：x ＝3．总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键．变式训练1．（2021秋•南关区校级期末）解下列方程：（1）10x +9＝12x ﹣1；（2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4；（3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1）；（4）2x+13−5x−16=1．思路点拨：（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；（2）方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．解：（1）10x +9＝12x ﹣1，移项，得10x ﹣12x ＝﹣1﹣9，合并同类项，得﹣2x ＝﹣10，系数化为1，得x ＝5；（2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4，去分母，得x ﹣6（x ﹣2）＝8，去括号，得x ﹣6x +12＝8，移项，得x ﹣6x ＝8﹣12，合并同类项，得﹣5x ＝4，系数化为1，得x =−45；（3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1），去括号，得5x ﹣5＝8x ﹣2x ﹣2，移项，得5x ﹣8x +2x ＝5﹣2，合并同类项，得﹣x ＝3，系数化为1，得x ＝﹣3；（4）2x+13−5x−16=1，去分母，得2（2x +1）﹣（5x ﹣1）＝6，去括号，得4x +2﹣5x +1＝6，移项，得4x ﹣5x ＝6﹣1﹣2，合并同类项，得﹣x ＝3，系数化为1，得x ＝﹣3．总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．2．（2021秋•新民市期末）当x 取什么值时，代数式2x+32的值与1−x−13的值相等？思路点拨：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x 的值．解：根据题意得：2x+32=1−x−13，去分母得：6x +9＝6﹣2x +2，移项合并得：8x ＝﹣1，解得：x =−18．总结升华：此题考查了解二元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键．知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程b ax =，⑴若0≠a ，则方程只有惟一解abx =；⑴若0,0≠=b a ，则原方程无解；⑴若0,0==b a ，则原方程有无数个解．）典例5 已知关于x 的方程x−23−mx 2+3=113．（1）当m 取何值时，方程有解？（2）当m 取何整数时，方程的解是整数？（3）在（2）的条件下，a ，b 在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，求（a +b +m ）2013．思路点拨：（1）方程去分母整理后，根据方程有解确定出m 的值即可；（2）将m 看作已知数表示出x ，根据x 为整数确定出整数m 即可；（3）根据题意得到a 与b 互为相反数，得到a +b ＝0，代入原式计算即可得到结果．解：方程去分母得：2x ﹣4﹣3mx +18＝22，整理得：（2﹣3m ）x ＝8，（1）当2﹣3m≠0，即m≠23时，方程解为x=82−3m；（2）由x=82−3m为整数，得到2﹣3m＝﹣1，﹣2，﹣4，1，2，4，﹣8，8，解得：m＝1，2，0，﹣2；（3）由题意得：a+b＝0，当m＝1时，原式＝1；当m＝2时，原式＝22013；当m＝0时，原式＝0；当m＝﹣2时，原式＝﹣22013．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．变式训练1．（2021秋•石景山区期末）设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．思路点拨：（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，x=−1 3，（2）当m≠5时，方程有解，x=3−mm−5=−1−2m−5，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．总结升华：本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．第二部分一元一次方程的概念和解法复习配套作业1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2a+1与a﹣2的值相等，则a等于（）A．0B．1C．2D．3思路点拨：根据题意列等式方程，解一元一次方程即可．解：﹣2a+1＝a﹣2，3＝3a，a＝1，故选：B ．总结升华：本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程．2．（2021秋•滕州市校级期末）如果关于x 的方程6n +4x ＝7x ﹣3m 的解是x ＝1，则m 和n 满足的关系式是（） A ．m +2n ＝﹣1B ．m +2n ＝1C ．m ﹣2n ＝1D ．3m +6n ＝11思路点拨：虽然是关于x 的方程，但是含有三个未知数，主要把x 的值代进去，化出m ，n 的关系即可．解：把x ＝1代入方程6n +4x ＝7x ﹣3m 中移项、合并同类项得：m +2n ＝1．故选：B ．总结升华：本题考查式子的变形，知道一个未知数的值，然后代入化出另外两数的关系． 3．（2021秋•开县期末）关于x 的方程2x +m ＝1的解是方程3x ﹣2＝2x ﹣1的解的3倍，则m 的值是（） A ．﹣5B ．﹣17C ．1D ．3思路点拨：求出第二个方程的解得到第一个方程的解，即可确定出m 的值．解：3x ﹣2＝2x ﹣1，解得：x ＝1，得到2x +m ＝1的解为x ＝3，把x ＝3代入方程得：6+m ＝1，解得：m ＝﹣5，故选：A ．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2022春•唐河县月考）若﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，则方程nx ﹣m ＝5的解是（）A ．x ＝4B ．x ＝3C ．x ＝2D ．x ＝1思路点拨：首先根据﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，可得：{m −3=1n −1=2，据此求出m 、n的值；然后根据解一元一次方程的方法，求出方程nx ﹣m ＝5的解即可．解：∵5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，∴{m −3=1n −1=2，解得：{m =4n =3，∴3x ﹣4＝5，移项，可得：3x ＝5+4，合并同类项，可得：3x ＝9，系数化为1，可得：x ＝3．故选：B ．总结升华：此题主要考查了同类项的含义和应用，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 5．（2021秋•朝阳区校级期中）写出一个满足“未知数的系数是﹣2，方程的解为3”的一元一次方程：．思路点拨：由一元一次方程ax +b ＝0（a ≠0），结合题意写出一个满足条件一元一次方程即可．解：∵未知数的系数是﹣2，方程的解为3， ∴方程﹣2x +6＝0满足条件，故答案为﹣2x +6＝0（答案不唯一）．总结升华：本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的一般形式及定义是解题的关键．6．（2021秋•阜新县校级期末）当x ＝时，单项式5a 2x +1b 2与8a x +3b 2是同类项．思路点拨：本题考查同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项）可得方程2x +1＝x +3，解方程即可求得x 的值．解：由同类项的定义可知，2x +1＝x +3，解得x ＝2．总结升华：同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 7．（2021秋•银川校级期末）已知：x ＝4是关于x 的一元一次方程3a ﹣x =x2+3的解，则a ＝．思路点拨：把x ＝4代入方程3a ﹣x =x2+3得出3a ﹣4=42+3，再求出方程的解即可．解：把x ＝4代入方程3a ﹣x =x 2+3得：3a ﹣4=42+3，解得：a ＝3，故答案为：3．总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键．8．（2021秋•兴庆区校级期末）若12a +1与2a−73互为相反数，则a 的值为．思路点拨：根据互为相反数的两个数的和为0得出方程，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．解：根据题意得：12a +1+2a−73=0， 3a +6+2（2a ﹣7）＝0，3a +6+4a ﹣14＝0， 3a +4a ＝14﹣6， 7a ＝8， a =87，所以当a =87时，12a +1与2a−73互为相反数，故答案为：87．总结升华：本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．8．（2021秋•罗源县期末）已知2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝．思路点拨：利用一次一次方程的定义，可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．解：∵2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，∴m ﹣2＝1，解得：m ＝3．故答案为：3．总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．9．（2021秋•巩义市期末）关于x 的一元一次方程2x +m ＝6，其中m 是正整数．若方程有正整数解，则m 的值为．思路点拨：解关于x 的方程得到：x =6−m2，然后根据x 是正整数来求m 的值．解：2x +m ＝6，移项，得2x ＝6﹣m ，系数化为1，得x =6−m2， ∵m 是正整数，方程有正整数解， ∴m ＝2或4．故答案为：2或4．总结升华：本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．10．（2021秋•西宁期末）已知x ＝1是关于x 的方程ax +3x ＝2的解，则a ＝．思路点拨：把x ＝1代入方程计算即可求出a 的值．解：把x ＝1代入得：a +3＝2，解得：a ＝﹣1．故答案为：﹣1．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11．（2022春•朝阳区期中）若x ＝4是关于x 的方程2x ﹣3a ＝2的解，则a ＝．思路点拨：把x ＝4代入方程计算即可求出a 的值．解：把x ＝4代入方程得：8﹣3a ＝2，解得a ＝2，故答案为：2．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12．（2022秋•宣州区校级月考）关于x 的方程x−43=−1的解是x ＝．思路点拨：通过去分母，移项、合并同类项解方程即可．解：x−43=−1，去分母，得x ﹣4＝﹣3，移项、合并同类项，得x ＝1．故答案是：1．总结升华：本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．13．（2022•南京模拟）若关于x ax +2x ＝1的解为1，则a ＝．思路点拨：把x ＝1代入原方程，再解关于a 的方程即可．解：∵关于x 的方程ax +2x ＝1的解为1， ∴a +2＝1，解得：a ＝﹣1，故答案为：﹣1．总结升华：本题考查的是一元一次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．14．（2022•南京模拟）已知关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，那么关于y 的一元一次方程12020（2y +1）+3＝2（2y +1）+b 的解y ＝．思路点拨：根据已知条件得出方程2y +1＝19，求出方程的解即可．解：∵关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，∴关于y的一元一次方程12020（y+1）+3＝2（y+1）+b中2y+1＝19，解得：y＝9，故答案为：9．总结升华：本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解两个方程之间的关系是关键．15．（2022春•沙坪坝区期末）若2x n﹣1＝3是关于x的一元一次方程，则n＝．思路点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可．解：因为2x n﹣1＝3是关于x的一元一次方程，所以n﹣1＝1，解得n＝2．故答案为：2．总结升华：本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．16．（2021秋•河西区期末）已知关于x的方程a（a﹣2）x﹣4（a﹣2）＝0．当此方程有唯一的解时，a的取值范围是．当此方程无解时，a的取值范围是．当次方程有无数多解时，a的取值范围是．思路点拨：根据一元一次方程的定义和一元一次方程的解的定义进行解答．解：①当此方程有唯一的解时，该方程属于一元一次方程，则由原方程，得a（a﹣2）x＝4（a﹣2），解得，x=4(a−2) a(a−2)．a（a﹣2）≠0，解得，a≠0且a≠2．故答案是：a≠0且a≠2；②当此方程无解时，分母a（a﹣2）＝0，且a﹣2≠0，解得，a＝0．故答案是：a＝0；③当次方程有无数多解时，a﹣2＝0，解得，a＝2．故答案是：a＝2．总结升华：本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2021秋•溧阳市期末）解下列方程：（1）2x ﹣5＝x +4；（2）32x =7+13x ；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2；（4）x −x+26=x2−1．思路点拨：（1）方程移项、合并同类项即可；（2）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．解：（1）2x ﹣5＝x +4，移项，得2x ﹣x ＝5+4，合并同类项，得x ＝9；（2）32x =7+13x ，移项，得32x −13x =7，合并同类项，得76x =7，系数化为1，得x ＝6；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2，去括号，得10x ﹣5＝2+4x +x ﹣2，移项，得10x ﹣4x ﹣x ＝2﹣2+5，合并同类项，得5x ＝5，系数化为1，得x ＝1；（4）x −x+26=x2−1，去分母，得6x ﹣（x +2）＝3x ﹣6，去括号，得6x ﹣x ﹣2＝3x ﹣6，移项，得6x ﹣x ﹣3x ＝2﹣6，合并同类项，得2x ＝﹣4 系数化为1，得x ＝﹣2．总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．18．（2021春•奉贤区期中）解关于x 的方程：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）．思路点拨：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．解：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）， ax ﹣x ＝﹣2x ﹣4， ax ﹣x +2x ＝﹣4，（a +1）x ＝﹣4，当a +1≠0时，x =−4a+1，当a +1＝0时，方程无解．总结升华：本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．19．（2021秋•海城区校级月考）已知y ＝1是方程2−13（m ﹣y ）＝2y 的解，求关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝m （2x +5）的解．思路点拨：把y ＝1代入方程计算求出m 的值，代入所求方程计算即可求出解．解：把y ＝1代入方程得：2−13（m ﹣1）＝2，去分母得：6﹣m +1＝6，解得：m ＝1，把m ＝1代入得：x ﹣3﹣2＝2x +5，解得：x ＝﹣10．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．20．（2022春•封丘县月考）已知代数式x4与代数式2−x 3．（1）当x 为何值时，这两个代数式的值相等？（2）当x 为何值时，代数式x4的值比代数式2−x 3的值大2？（3）是否存在x ，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由，思路点拨：（1）根据题意列方程求解即可．（2）根据题意列方程求解即可．（3）根据题意列方程求解即可．解：（1）x4=2−x 3，去分母得：3x ＝4（2﹣x ），去括号得：3x ＝8﹣4x ，移项得：3x +4x ＝8，系数化为1得：x =87．（2）x4−2−x 3=2，去分母得：3x ﹣4（2﹣x ）＝24，去括号得：3x ﹣8+4x ＝24，移项得：3x +4x ＝24+8，合并同类项得：7x ＝32，系数化为1得：x =327．（3）x4+2−x 3=0，去分母得：3x +4（2﹣x ）＝0，去括号得：3x +8﹣4x ＝0，移项得：3x ﹣4x ＝﹣8，合并同类项得：﹣x ＝﹣8，系数化为1得：x ＝8．故存在x 使这两个代数式的值互为相反数，此时x ＝8．总结升华：本题考查解一元一次方程，解题关键是根据题意列方程并熟知解一元一次方程的基本步骤．21．（2020秋•白云区月考）当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx −53=12（x −43）的解是整数？思路点拨：先求出方程的解，根据已知方程的解是正整数得出3m ﹣1＝1或2或3或6，求出符合的整数m 即可．解：12mx −53=12（x −43），（12m −12）x =53−23，（m ﹣1）x ＝2，则x =2m−1， ∵x 、m 都是整数，∴m ＝0或m ＝2或m ＝3或m ＝﹣1．总结升华：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程的应用，能求出关于m 的方程是解此题的关键．22．（2021秋•鹿邑县期末）在有理数范围内定义运算“※”，其规则为a ※b =a−b2．（1）求2021※2022的值；（2）求方程x ※3＝2的解．思路点拨：（1）原式利用题中的规则把2021※2022转化为2021−20222，再进行计算即可得出答案；（2）原式利用题中的规则把x ※3＝2转化为一般的方程，再根据一元一次方程的解法求解．解：（1）原式=2021−20222=−12；（2）由题意可得：x−32=2，解得：x ＝7．总结升华：本题考查了解一元一次方程，根据规则转化出关于x 的一元一次方程是解题的关键．。

3.3解一元一次方程(二)去括号与去分母(第1课时)(课件)七年级数学上册(人教版)

分析：设上半年每月平均用电量xkW·h，
则下半年每月平均用电为(x－2000) kW·h．
上半年共用电为：6x kW·h；
上半年共用电为：6(x－2000) kW·h．
根据题意列出方程6x＋6(x －2000)＝150000
怎样解这个方
程呢？
探究新知
6x + 6 ( x-2000 ) = 150000系数化为1，得来自−6 = 84
=−
3
4
x＝- .
3
例题讲解
(2)3 − 7( − 1) = 3 − 2( + 3)
解：去括号，得
− + = − −
移项，得
− + = − −
合并同类项，得
− = −
系数化为1，得
=
归纳总结
共得利息 0.36万元（不计利息税），求甲、乙两种存款各多少
万元？
解：解：设甲种存款万元，乙种存款万元.
根据题意，得1.5%x+2%(20-x)=0.36.
解得，x=8，所以20-8=12.
答：甲种存款8万元，乙种存款12万元.
中考链接
1．（2023·甘肃天水一模）解方程−2 2 + 1 = ，，以下去括号正
D． 2 6 3x 2
3．若 x 3 是一元一次方程2( + ) = 5（k 为实数）的解，则 k 的值是（
A．
1
2
1
B． 2
C．
11
2
D．
11
2
D）
分层作业
【基础达标作业】
4．去掉方程3( − 1) − 2( + 5) = 6中的括号，结果正确的是( B )

完整版)人教版七年级上数学一元一次方程经典题型讲解及答案

完整版)人教版七年级上数学一元一次方程经典题型讲解及答案1.为了吸引顾客，某商店开张时所有商品都按八折优惠出售。

已知一种皮鞋的进价为60元一双，商家按八折出售后获得40%的利润率。

问这种皮鞋的标价和优惠价各是多少元？2.一家商店将某种服装的进价提高40%后标价，再按八折优惠卖出，每件仍获得15元的利润。

问这种服装的进价是多少元？3.一家商店将一种自行车的进价提高45%后标价，再按八折优惠卖出，每辆仍获得50元的利润。

问这种自行车的进价是多少元？4.某商品的进价为800元，出售时标价为1200元。

由于积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%。

问最多可以打几折？5.一家商店将某种型号的彩电的原售价提高40%，然后打广告写上“大酬宾，八折优惠”。

经过顾客投诉，被罚款2700元，罚款是非法收入的10倍。

问每台彩电的原售价是多少元？6.甲独自完成一项工作需要10天，乙独自完成需要8天，两人合作几天可以完成？7.甲独自完成一项工程需要15天，乙独自完成需要12天。

现在甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成。

问乙还需要几天才能完成全部工程？8.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。

单独开甲管6小时可注满水池，单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空。

现在先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管。

问打开丙管后几小时可以注满水池？9.输入一批工业最新动态信息到管理储存网络中，甲独自完成需要6小时，乙独自完成需要4小时。

甲先做了30分钟，然后甲、乙一起完成。

问甲、乙一起完成还需要多少小时？10.某车间有16名工人，每人每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个。

已知每加工一个甲种零件可以获得16元的利润。

现在一部分工人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。

请问加工甲种零件的工人有多少人？1.这个车间一天可以获利60个乙种零件，因为每个乙种零件可以获利24元，而总获利是1440元。

新人教版七年级数学上册一元一次方程整章教案和习题

3．1．1一元一次方程[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

[重点难点]一元一次方程和方程的解的概念是重点；怎样列方程解决实际问题是难点。

[教学过程]一、问题导入含有未知数的等式叫做方程。

方程把问题中的未知数与已知数的联系用等式的形式表示出来。

研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。

怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？二、怎样列方程问题汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。

王家庄到翠湖的路程有多远？地名时间王家庄10：00 青山13：00 秀水 15：001、汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？从青山到秀水用了多少时间？2、请你用算术方法解决这个问题。

3、如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山多少千米？王家庄距秀水多少千米？4、由于汽车是匀速行驶，可知各段路程的车速相等。

你能据此列出方程吗？列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含未知数的等式——方程。

列方程的过程可以表示如下：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

三、一元一次方程的概念例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）用一根长24㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？ 50千米 70千米王家庄青山翠湖秀水 x 千米实际问题一元一次方程设未知数，列方程（3）某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：（1）设正方形的边长为x厘米，可列方程4x=24 ①（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间。

人教版初中七年级上册数学《3.2 解一元一次方程(一)》课件

课堂检测
基础巩固题
1. 以下方程合并同类项正确的选项是D 〔〕 A. 由 3x-x＝-1＋3，得 2x ＝4 B. 由 2x＋x＝-7-4，得 3x ＝-3 C. 由 15-2＝-2x＋ x，得 3＝x D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0
课堂检测
基础巩固题
2. 假如2x与x-3的值互为相反数，那么x等于〔B 〕
〔1〕 -41x5－15 = 9
①
“-15〞这一项
4x = 9 +15
②
从方程的左边移到了方程的右边.
“-15〞这项挪动后，符号由“－〞变“＋〞
探究新知
〔2〕 2x = 5x －21.
〔2〕 2x5=x 5x －21 ③
解：两边都减5x，得
2x－ 5x = －21 ④
2x－5x= 5x－21 －5x
移项
ax－cx=d－b
合并同类项
〔a－c〕x=d－b
系数化为1
巩固练习
1. 解以下方程：
〔1〕 5x-7=2x-10; 解：移项，得
A．-1 B．1
C．-3
D．3
3. 某中学七年级〔5〕班共有学生56人，该班男生的
人数是女生人数的2倍少1人．设该班有女生有x人，可列方程为__2_x_-_1_+_x_=_5_6___.
课堂检测
能力提升题
解方程: 〔1〕-3x+0.5x=10.
解：合并同类项得 -2.5x=10,
系数化为1，得 x=-4.
x+2x+14x=25500，解得x=1500, 那么2x=3000，14x=21000.
答：方案消费Ⅰ型洗衣机1500台，Ⅱ型洗衣机3000台，Ⅲ型洗衣机21000台.

数学人教版七年级上期一元一次方程(专题详解)(解析版)

一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (3)知识点2 方程的解与解方程 (4)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (6)题型1 依题意列方程 (6)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (8)题型1 利用定义求待定字母的值 (8)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (9)知识框架 (9)一、基础知识点 (9)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (9)知识点2 移项解一元一次方程 (10)二、典型题型 (12)题型1 一元一次方程的简单应用 (12)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (13)知识框架 (13)一、基础知识点 (13)知识点1 去括号 (13)知识点2 去分母 (14)二、典型题型 (16)题型1 去括号技巧 (16)题型2 转化变形解方程 (17)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (19)三、难点题型 (21)题型1 待定系数法 (21)题型2 同解问题 (21)题型3 含参数的一元一次方程 (22)题型4 利用解的情况求参数的值 (23)题型5 整体考虑 (24)3.4实际问题与一元一次方程 (25)一、基础知识点 (25)知识点1 列方程解应用题的合理性 (25)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (25)知识点3 分析数量关系的常用方法 (26)二、典型例题 (28)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。

例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。

人教版初中数学同步讲义七年级上册第02讲解一元一次方程(解析版)

知识点 03 解方程——去括号、移项、合并、系数化为 1
1. 具体步骤： ①去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变
每一项的符号。 ②移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。注意移动过的项一定要改变符
号。 ③合并：按照合并同类项的方法进行合并。 ④系数化为 1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。题型考点：①步骤的熟悉。 ②利用步骤解方程。
【即学即练 1】
7．解方程 2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1），步骤如下：
去括号，得 2x﹣x﹣10＝5x+2x﹣2 第一步
移项，得 2x﹣x﹣5x+2x＝﹣2+10 第二步
合并同类项，得﹣2x＝8 第三步
系数化为 1，得 x＝﹣4 第四步
以上解方程步骤中，开始出现错误的是（）
A．第一步
B．第二步
B．4x＝8
C．8x＝8
【解答】解：方程 8x+6x﹣10x＝8，
合并同类项得：4x＝8，
故选：B．
【即学即练 3】
3．判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因：
（1）﹣6x+3x＝﹣1﹣8．
解：合并同类项，得﹣9x＝﹣9．系数化为 1，得 x＝1．
（2）5x+4x＝18．
解：合并同类项，得 9x＝18．
系数化 1，得：x＝ …………………………第⑥步
C．第三步
【解答】解：解方程 2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1），步骤如下：
去括号，得 2x﹣x﹣10＝5x+2x﹣2 第一步
移项，得 2x﹣x﹣5x﹣2x＝﹣2+10 第二步

(新)人教版七年级数学上册《一元一次方程》应用题分类讲义详解

一元一次方程应用题分类讲义1．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．2．若干应用问题等量关系的规律（1）和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量（2）等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc3．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．4．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．5．行程问题基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．6．工程问题工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝17．储蓄问题（1）利润＝每个期数内的利息本金×100%（2）利息＝本金×利率×期数.（一）行程问题：1. 某人从家里骑自行车到学校。

+3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母++课件+2023—-2024学年人教版七年级数学上册

2(x+1) －4 = 8+ (2 －x).
去括号，得 2x+2 －4 = 8+2 －x.
移项，得
2x+x = 8+2 －2+4.
合并同类项，得 3x = 12.
系数化为1，得 x = 12.
(2)3x x 1 3 2x 1 .
2
3
解：去分母(方程两边乘6)，得 18x+3(x－1) =18－2 (2x －1).
4. 解下列方程： (1) 3x－5(x－3)=9－(x+4)；
(2)
6
2 3
x
5
x
6
1 2
x
1 .
解：(1) x =10；(2) x=10.
5. 某羽毛球协会组织一些会员到现场观看羽毛球比赛. 已知该协会购买了价格分别为300元/张和400元/张的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解：去括号，得
2x－x－10＝5x＋2x－2.
移项，得
2x－x－5x－2x＝－2＋10.
合并同类项，得 6x＝8.
系数化为1，得
x＝－ 4 . 3
(2)3x－7( x－1)＝3－2( x＋3).
解：去括号，得
3 x－7 x＋7＝3－2 x－6.
移项，得
3 x－7 x＋2 x＝3－6－7.
合并同类项，得
移项及合并同类项，得 0.5x = 13.5.
系数化为1，得
x = 27.
答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．

新人教版七年级数学上册：解一元一次方程(讲义及答案)