中考数学考点系统复习第五单元四边形第21讲矩形菱形和正方形试题

2019-2020年中考数学考点系统复习第五单元四边形第21讲矩形菱形和正方形试题1．(xx·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )

A．对角线相等 B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直

2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( B ) A．30° B．60° C．90° D．120°

3．(xx·黔东南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( D ) A．2 B．3 C. 3 D．2 3

4．(xx·台湾)如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中点E在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( C )

A．50° B．55° C．70° D．75°

5．(xx·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( A )

A.24

5

B.

12

5

C．5 D．4

6．(xx·南充中考预测三)如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG 于点F.下列结论不一定成立的是( D )

A．△AED≌△BFA B．DE－BF＝EF

C．△BGF∽△DAE D．DE－BG＝FG

7．(xx·西宁)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．

8．(xx·达州宣汉县模拟)如图，菱形的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：AO ＝OB 或∠DAB＝90°等(答案不唯一)，使得该菱形为正方形．

9．(xx·昆明)如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 各边的中点，AB ＝6，BC ＝8，则四边形EFGH 的面积是24．

10．(xx·青岛)如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为3.5．

提示：易知CF ＝12DE ＝EF ＝132，∴DE ＝13.∴DC＝BC ＝132－52

＝12.∴BE＝12－5＝7.∴OF＝12BE ＝72

.

11．(xx·南充营山县一模)如图，已知点E ，F 在四边形ABCD 的对角线延长线上，AE ＝CF ，DE ∥BF ，∠1＝∠2. (1)求证：△AED≌△CFB；

(2)若AD⊥CD，四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由．

解：(1)证明：∵DE∥BF，∴∠E ＝∠F. 又∵∠1＝∠2，AE ＝CF ， ∴△AED ≌△CFB(AAS)． (2)四边形ABCD 是矩形． 理由：∵△AED≌△CFB ， ∴AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF. ∴∠DAC ＝∠BCA.∴AD∥BC. ∴四边形ABCD 是平行四边形．

又∵AD⊥CD，∴四边形ABCD 是矩形．

12．(xx·贺州)如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF⊥AC，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.

(1)求证：四边形AECF 是菱形；

(2)若AB ＝3，∠DCF ＝30°，求四边形AECF 的面积．(结果保留根号)

解：(1)证明：∵点O 是AC 的中点，且EF⊥AC， ∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC.

∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠AFO ＝∠CEO.

在△AOF 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠AFO＝∠CE O ，∠AOF ＝∠COE，OA ＝OC ，

∴△AOF ≌△COE(AAS)．∴AF＝CE.

∴AF ＝CF ＝CE ＝AE. ∴四边形AECF 是菱形．

(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝ 3.

在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD

CF ，∠DCF ＝30°，

∴CF＝

CD

cos30°

＝2.

∵四边形AECF 是菱形， ∴CE ＝CF ＝2.

∴四边形AECF 的面积为EC·AB＝2 3.

13．(xx·菏泽)在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( B ) ①AC ＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①③④ 提示：当▱ABCD 的面积最大时，AB ⊥BC ，即▱ABCD 为矩形．

14．(xx·宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( A )

A ．4.8

B ．5

C ．6

D ．7.2

15．(xx·淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( B )

A.

835 B ．2 2 C.14

5

D ．10－5 2 16．(xx·眉山)如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点

E ，

F ，连接BF 交AC 于

点M ，连接DE ，BO.若∠COB＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF ；④S △AOE ∶S △BCM ＝2∶3.其中正确结论的个数是( C )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 提示：正确的结论有①③.

17．(xx·凉山)菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为(23－3，2－3)．

18．(xx·南充)如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10，△ADP 沿点A 旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP 与BC 相交于点Q. (1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ 的大小； (3)求CQ 的长．

解：(1)证明：∵△ADP 沿点A 旋转至△ABP′， ∴根据旋转的性质可知，△APD ≌△AP ′B. ∴AP ＝AP′，∠PAD ＝∠P′AB. ∵∠PAD ＋∠PAB＝90°，

∴∠P ′AB ＋∠PAB＝90°，即∠PAP′＝90°. ∴△APP ′是等腰直角三角形．

(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP ＝AP′＝1， ∴PP ′＝ 2.

∵P ′B ＝PD ＝10，PB ＝22，

∴P ′B 2＝PP′2＋PB 2

. ∴∠P ′PB ＝90°.

∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°.

∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B 作BE⊥AQ，垂足为点E. ∵∠BPQ ＝45°，PB ＝22， ∴PE ＝BE ＝2. ∴AE ＝2＋1＝3. ∴AB ＝AE 2

＋BE 2

＝13.

∵∠EBQ ＝∠EAB，cos ∠EAB ＝AE AB ＝3

13

，