最优化方法全部课件
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最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化方法课件01.3
值,所以一元凸函数表示连接函数图形上任 意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
13
对于一元凸函数f(x),可以发现,位于函数曲线 上方的图形是凸集.事实上这一结论对于多元 函数也是成立的,而且是充要条件,即有下面的 定理.
定理:设f(x)是定义在凸集D Rn上的函数,则 f(x)是凸函数的充要条件是其上图epi(f)为凸 集,其中epi(f)={(x,y)|x∈ D,y ∈ R,y≥f(x)}. 证明:作业
14
凸函数的性质
(i)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数k≥0,则 kf(x)也是D上的凸函数.
(ii)设f1(x), f2(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数
m 0,则f1(x)+m f2(x)也是D上的凸函数. (iii)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,b为实数,
则水平集S(f,b)={x|x∈D,f(x)≤b }是凸集.
不等式取等号,必须||y||=||z||=a,且（ y,z ） =||y||||z||, 容易证明y=z=x,根据定义可知,x为极点.
9
凸函数
定义1.7.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈ D,及任意的a ∈ [0,1]都有 f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
28
例:证明集合 S {X | AX b} 是凸集。其中，A 为 mn矩阵，b为m维向量。
证明：任取 X 1, X 2 S
A，X 1 则 b, AX 2 b
A[a X 1 + (1-a )X 2] a AX 1 + (1-a )AX 2 ab + (1-a )b b
所以，a X 1 + (1-a ) X 2 S
13
对于一元凸函数f(x),可以发现,位于函数曲线 上方的图形是凸集.事实上这一结论对于多元 函数也是成立的,而且是充要条件,即有下面的 定理.
定理:设f(x)是定义在凸集D Rn上的函数,则 f(x)是凸函数的充要条件是其上图epi(f)为凸 集,其中epi(f)={(x,y)|x∈ D,y ∈ R,y≥f(x)}. 证明:作业
14
凸函数的性质
(i)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数k≥0,则 kf(x)也是D上的凸函数.
(ii)设f1(x), f2(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数
m 0,则f1(x)+m f2(x)也是D上的凸函数. (iii)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,b为实数,
则水平集S(f,b)={x|x∈D,f(x)≤b }是凸集.
不等式取等号,必须||y||=||z||=a,且（ y,z ） =||y||||z||, 容易证明y=z=x,根据定义可知,x为极点.
9
凸函数
定义1.7.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈ D,及任意的a ∈ [0,1]都有 f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
28
例:证明集合 S {X | AX b} 是凸集。其中，A 为 mn矩阵，b为m维向量。
证明：任取 X 1, X 2 S
A，X 1 则 b, AX 2 b
A[a X 1 + (1-a )X 2] a AX 1 + (1-a )AX 2 ab + (1-a )b b
所以，a X 1 + (1-a ) X 2 S
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
最优化方法全部课件
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
f x0
同方向时，f x0
p
取到最大值
f x0 。当 p 与 f x0 同方向时，f x0 取到最小值 p
f x0
第1章 预备知识
1.1 经典极值问题 1. 例子， 2. 数学模型 第一，无约束极值问题
min f x1, x2, , xn 或 max f x1, x2, , xn
解法：解方程组 第二，仅含等式约束的极值问题
min f x1, x2, , xn s.t. hi x1, x2, , xn 0, i 1, 2, ,l(l n)
p
思考：f x 与
f x f x f x
,
,,
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
例1.8 P19
几个常用函数的梯度公式
（1）若 f x C ，则 f x 0
（2） bT x b ；
（3） xTQx 2Qx ；
（4） xT x 2x .
，即 C 0 ；
2. Hesse矩阵
问：函数 f x 关于变量 x 的二阶导数又是什么？
1.5 梯度和Hesse矩阵
本段讨论都基于对函数 f x 可微的假定。
最优化方法课件 (1)
的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求 宇宙的和谐规律性。 – 17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分 的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植 物生长等均属于数学建模的范畴； – 19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问； – 可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数 学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
《最优化设计》PPT课件
经过十次迭代，得到最优解：
x* = [0 0]T f(x* ) =0
---
(3)
5
§4-2 最速下降法
(4)
图4-3表示例4-1的搜索路径，目标函数等值线为椭圆。 若进行代换
y1 = x1 y2 = 5x2
则 f(x1, x2) 变为(y1, y2)，等值线为一族同心圆。因为圆上
任一点的负梯度方向都指向圆心，因此沿负梯度方向经过 一次一维搜索即可找到最优点。
无约束优化方法可分为两大类：1)不求导数的直接法， 主要有随机方法和直接搜索方法；2)求导数的间接法，按 所求导数的最高阶数又可分为一阶方法和二阶方法。二阶 方法很少采用。
图4-1为无约束极小化算法的粗框图。在§1-4 中已给 出了优化算法的一般搜索迭代公式
xk+1= xk+xk (1－15)
xk+1= xk+kdk (1－16)
2 0
f x 0
1
2T
2
0
0 1
4
100T
50
2T
1 2
4 0100
0
4
1 50
T
100
0T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
---
9
§4-4 共轭方向及共轭方向法
(1)
共轭方向的概念
二次正定函数的一般形式为：
fx1xTG xbTxc
2
式中，G为 nn 阶对称正定矩阵，b=[b1, b2, ,bn]T 为常矢
x* = [0 0]T f(x* ) =0
---
(3)
5
§4-2 最速下降法
(4)
图4-3表示例4-1的搜索路径，目标函数等值线为椭圆。 若进行代换
y1 = x1 y2 = 5x2
则 f(x1, x2) 变为(y1, y2)，等值线为一族同心圆。因为圆上
任一点的负梯度方向都指向圆心，因此沿负梯度方向经过 一次一维搜索即可找到最优点。
无约束优化方法可分为两大类：1)不求导数的直接法， 主要有随机方法和直接搜索方法；2)求导数的间接法，按 所求导数的最高阶数又可分为一阶方法和二阶方法。二阶 方法很少采用。
图4-1为无约束极小化算法的粗框图。在§1-4 中已给 出了优化算法的一般搜索迭代公式
xk+1= xk+xk (1－15)
xk+1= xk+kdk (1－16)
2 0
f x 0
1
2T
2
0
0 1
4
100T
50
2T
1 2
4 0100
0
4
1 50
T
100
0T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
---
9
§4-4 共轭方向及共轭方向法
(1)
共轭方向的概念
二次正定函数的一般形式为：
fx1xTG xbTxc
2
式中，G为 nn 阶对称正定矩阵，b=[b1, b2, ,bn]T 为常矢
最优化-第7章-多目标及离散变量优化方法PPT课件
0.7 满
意 区
0.3 间
较 满 意 区
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
数学建模优化课件
一、数学建模的理解例子：二、经典最优化方法1、微分与极值2、无约束极值问题3、约束极值问题三、无约束优化问题数值解法（向量）1、最优梯度法（梯度下降法）2、牛顿法3、共轭梯度法4、阻尼牛顿法5、变尺度法1.1 无约束优化的一般形式无约束非线性规划问题为其最优解通常都是局部最优解，寻找全局最优解需要对局部最优解进行比较以后得到（如果能够求出所有局部最优解的话）。
1.2 最优性条件是最优解的必要条件为；充分条件为，且正定。
1.3 下降法的基本思想在迭代的第k步，确定一个搜索方向和一个步长，使沿此方向、按此步长走一步到达下一点时，函数值下降。
其基本步骤为1）选初始解；2）对于第次迭代解，确定搜索方向并在此方向确定搜索步长令，使<；3）若符合给定的迭代终止原则，停止迭代，最优解；否则，转2。
搜索方向的选择（不同方向产生不同的算法）：1）最速下降法（梯度法）2）牛顿法3）拟牛顿法：利用第和步得到的，用BFGS公式，DFP公式，GM公式等迭代公式构造正定矩阵近似代替，或直接构造近似代替，从而由，或得到下降方向d k+1。
搜索步长的确定——线性搜索：用二分法、黄金分割法（即0.618法）、Fibonacci 法，牛顿切线法和割线法，插值方法等近似方法求一维优化问题：来确定步长。
2.1 非线性最小二乘拟合问题有一组数据要拟合一个已知函数y=f(x, t), x=(x1,x2,…,xm),, x为待定系数。
记误差，，拟合误差定义为的平方和，于是问题表示为如下的优化模型：当对（的某些分量）是非线性函数时，称非线性最小二乘拟合。
四线性规划1、线性规划的数学模型某工厂安排生产1、2两种产品，2、线性规划的图解法单纯形及其求解法1.1 线性规划的图解法线性规划的图解法只能用于求解两个决策变量（2维）的情形。
由于线性规划的约束条件和目标函数均为线性函数，所以对于2维情形，可以在平面坐标系下画出可行域和目标函数的等值线。
工程最优化设计理论、方法和应用PPT课件
∆Xk = αk dk 即 Xk+1=Xk+αk dk 满足f(Xk+1) < f(Xk)
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
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p 0
p
n 维向量 l ,
那么称函数
f x 在点
x 处可微。 0
若令
f x0 p f x0 l T p
p
便得到（1.9）的等价形式
f x0 p f x0 l T p o p
. （1.10）
2.梯度
定理1.1 若
f : Rn R1 在点
x 处可微，则 0
f x
在该点关于各个变量的一阶偏导数存在，并且
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值函数的缘故）； ②等值面不会在区域的内部中断，除了极值点所在的等值面以外。这是由于目标函数是连续函数的缘故；
⑶等值面稠密的地方，目标函数值变化得比较快；等值
面稀疏的地方，目标函数值变化得比较慢；
⑷在极值点附近，等值面（等值线）一般近似地呈现为同心椭球面族（椭圆线族）。
s x 0
2. 最优化问题的分类
试验问题：用于检验、比较最优化方法优劣的一些最优化问题。
3. 术语 目标函数
f x 等式约束
容许解（点）
容许集
h x 0 不等式约束
s x 0
D x h x 0, s x 0
求解问题（3）是指：在容许集
D 中找一点
目标函数
f x 在该点取极小值，即对于容许集中的任
其实，
a,b aTb a1, a2,
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母
, , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当
0 时， , 0（正定性）；
向量的长
,
单位向量 向量的夹角 ，
向量的正交 1.可微
1
, arccos ,
0 ,
, , 0 （正交性）
2
定义1.7 设 对于可任意小的
f : D Rn R1, x0 D .如果存在
n 维非零向量
p ，总有
lim f x0 p f x0 l T p 0
min f x1, x2, , xn min f x （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
等于＝，小于
，严格小于
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。由此
min f x1, x2 , , xn s.t. hi x1, x2 , , xn 0,
min f x s.t. h x 0
意一点
x ，总有
f x* f x
最优点（极小点）
x *最优值
f x* 最优解
x *，使得
x*, f x*
局部
严格极小点 非严格极小点
全局
严格极小点 非严格极小点
全局极小点一定是局部极小点。
到目前为止，大多数最优化算法求到的都是局部极小点。为了求得全局极小点，一种解决办法是，先求出所有 的局部极小点，然后再从中找出全局极小点。
图解法的步骤：
①令 f x, y x 22 y 12 c ，显然
c0 ；
c 0,1, 4,9, ②取
并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点
x* 2, 1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。
虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以下 性质：
第1章
1.1 经典极值问题 1. 例子， 2. 数学模型
预备知识
第一，无约束极值问题
min f x1, x2, , xn 或 max f x1, x2, , xn
解法：解方程组
第二，仅含等式约束的极值问题
min f x1, x2, , xn s.t. hi x1, x2, , xn 0, i 1, 2, ,l(l n)
f x f x
f
x
T
l
x1
,
x2
,
,
xn
。
定义1.8 以函数
n f x 的
个偏导数为分量的向量
f x f x
x1
,
x2
,
f x 。
f x T
,
xn
称为
1.5 梯度和Hesse矩阵
本段讨论都基于对函数
f x 可微的假定。
以下及今后的讨论中还经常要用到以下一些向量的知识。
向量的内积 设
a a1, a2, , an T ,b b1,b2, ,bn T ,
则 a1b1 a2b2 anbn 称为向量
a b 与
的内积，
记作 a, b 。
b1
（2）
i 1, 2, ,l(l n)
以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1, x2, s.t. hi x1, x2,
s j x1, x2,
, xn , xn 0, , xn 0,
i 1, 2, j 1, 2,
,l(l n)
,m
（3）
min f x s.t. h x 0
最优化方法
（最优化课件研制组）
主讲：张 京
退出
开始
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后 ，在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领域 。
4. 极大值问题与极小值问题的关系
max f x
min f x
s.t. h x 0 s.t. h x 0
s x 0
s x 0
x* x*
f f x*
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解
min f x, y x 22 y 12
或 max f x1, x2 , s.t. hi x1, x2,
解法：Lagrange乘子法
, xn , xn 0,
i 1, 2,
,l(l n)
1.2 实例 数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念 1. 最优化问题的向量表示法 设
x x1, x2, , xn T 则