第7章 目标规划 筹学与最优化方法-课件
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第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
最优路径问题 资源分配问题 排序问题 投资问题 装载问题 生产计划与库存问题 生产过程的最优控制等
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
最优化方法课程PPT
x
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
优化方法PPT课件
如:小于 1 0 3
无约束优化 m in f ( x ) x n
F(x)
Xl Xg
最优解都是局部最 优解,全局最优解只 能从局部最优解的 X 比较中得到.
梯 度 : f(x ) ( f, f, x 1 x 2
, x fn ) T ,H e s s ia n 矩 阵 : 2 f(x ) ( x i2 fx j)m n
必 要 条 件 :若 x * 为 的 极 小 点 , 则 f(x * ) 0
充 要 条 件 :若 f(x * ) 0 , 2f(x * )正 定 , 则 x * 是 极 小 点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f( x 1x 2 ) 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3 x 1 x 2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
步长的选择:搜索方向 d k 确定后,求步长实际上是一个一维d k
优化问题 m ifn(xk dk)
称为一维搜索
成功-失败法 黄金分割法(0.618法)
停 止 迭 代 ,X *X k. 否 则 ,转 向 ( 3 ) ；
⑷ 令Sk f Xk ，从 Xk 出发，沿Sk 进行一维搜索， 基
即求k使得：
minf Xk Sk
0
f
Xk kSk
；
本 算
⑸ 令Xk1Xk kSk，k=k+1返回⑵.
法
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最
速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛
无约束优化 m in f ( x ) x n
F(x)
Xl Xg
最优解都是局部最 优解,全局最优解只 能从局部最优解的 X 比较中得到.
梯 度 : f(x ) ( f, f, x 1 x 2
, x fn ) T ,H e s s ia n 矩 阵 : 2 f(x ) ( x i2 fx j)m n
必 要 条 件 :若 x * 为 的 极 小 点 , 则 f(x * ) 0
充 要 条 件 :若 f(x * ) 0 , 2f(x * )正 定 , 则 x * 是 极 小 点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f( x 1x 2 ) 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3 x 1 x 2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
步长的选择:搜索方向 d k 确定后,求步长实际上是一个一维d k
优化问题 m ifn(xk dk)
称为一维搜索
成功-失败法 黄金分割法(0.618法)
停 止 迭 代 ,X *X k. 否 则 ,转 向 ( 3 ) ；
⑷ 令Sk f Xk ，从 Xk 出发，沿Sk 进行一维搜索， 基
即求k使得：
minf Xk Sk
0
f
Xk kSk
；
本 算
⑸ 令Xk1Xk kSk，k=k+1返回⑵.
法
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最
速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法及其应用[优质ppt]
![最优化方法及其应用[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/80a9d4f0dd3383c4ba4cd22c.png)
一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x 1 ，宽为 x 2．由题意可 知面积为 f(x1, x2)x1x2 且变量 x 1 ，x 2 ，应满足
2x15x240 x10，x2 0
即求 mfa(x1x ,x2)x1x2，
2x1x10， 5xx22
40， 0．
一 最优化问题总论
一 最优化问题总论
概括地说，凡是追求最优目标的数学问 题都属于最优化问题作为最优化问题，一般 要有三个要素：第一是目标；第二是方案； 第三是限制条件．而且目标应是方案的“函 数”．如果方案与时间无关，则该问题属于
静 态最优化问题；否则称为动态最优化问题
本书只讨论静态最优化问题．
一 最优化问பைடு நூலகம்总论
最简单的最优化问题实际上在高等数学 中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯 上又称之为经典极值问题．
例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与
此相应的水槽容积为
f(x)(a2x)2x
一最优化问题总论 二一维搜索法 三常用无约束最优化方法 四常用约束最优化方法 五程序设计及其他优化方法
一 最优化问题总论
无论做任何一件事，人们总希望以最少 的代价取得最大的效益，也就是力求最好， 这就是优化问题．最优化就是在一切可能的 方案中选择一个最好的方案以达到最优目标 的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、 铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标 是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票 价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目 标．这是最简单的最优化问题，实际优化问 题一般都比较复杂．
最优化方法全部PPT课件
最优化方法
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
目标规划方法讲义(PPT49张)
g k 为第 k个目标的预期值；
x
j
为决策变量；
d k
、d 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
k
（6.3.15）式为目标函数; （6.3.16）式为目标约束; （6.3.17）式为绝对约束; （6.3.18）式和（6.3.19）式为非负约束;
) c (j k、 a ij 、 b i分别为目标约束和绝对约束中
min Zf( d )
（6.3.8）
在实际问题中，可以根据决策者 的要求，引入正、负偏差变量和目标 约束，并给不同目标赋予相应的优先 因子和权系数，构造目标函数，建立 模型。
例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严 格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量 不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备 的有限台时，不加班；再次是产值不小于56万 元。并分别赋予这3个目标优先因子 P 。 1, P 2, P 3 试建立该问题的目标规划模型。
( i 1 , 8）
x 0 ( j 1 , 2 , , n ) j
d d 0 ( l 1 , 2 , , L ) l, l
（6.3.19）
在以上各式中： l lk 、 lk 分别为赋予 p 优先因子的第 k个目标 的正、负偏差变量的权系数；
（6.4.1）
②追求总产值最大
max f2(X) =1.20 × (11 000 x x x 119500 12 9000 13 ) +1.50 × (8000 x216800 x22 600 0x23 ) +0.80 × (14000 x3112000 x32 10000 x33) 13200 x 11 400 x 10 800 x 11 12 13 12000 x2110200 x22 9000 x23 11 200 x319600 x32 800 0x33
最优化及最优化方法讲稿课件
1939年前苏联数学家Л.B.Канторович提出 了解决下料问题和运输问题这两种线性规划问题的求解 方法。
最优化的发展简史
以苏联 Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为 代表的线性规划；
以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以 美国R.贝尔曼为代表的动态规划；
以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理 等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃 的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系 统工程等学科的发展起了重要作用。
最优化的发展简史
第二次世界大战前后，由于军事上的需要和科 学技术和生产的迅速发展，许多实际的最优化问 题已经无法用古典方法来解决，这就促进了近代 最优化方法的产生。
近代最优化方法的形成和发展过程中最重要 的事件有：
1847年法国数学家Cauchy研究了函数值沿什么方向下 降最快的问题，提出最速下降法。
② 最优最计划优:现化代方国民法经的济具或部体门应经济用的举计划例，直
至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业 规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和 生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个 重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。
③最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和 运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统 和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到 迅速的发展。
最优化的发展简史
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世 纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创 建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值 函数的最大值和最小值的方法，后来又出现 Lagrange乘数法。以后又进一步讨论具有未知 函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的 最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化的发展简史
以苏联 Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为 代表的线性规划；
以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以 美国R.贝尔曼为代表的动态规划；
以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理 等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃 的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系 统工程等学科的发展起了重要作用。
最优化的发展简史
第二次世界大战前后，由于军事上的需要和科 学技术和生产的迅速发展，许多实际的最优化问 题已经无法用古典方法来解决，这就促进了近代 最优化方法的产生。
近代最优化方法的形成和发展过程中最重要 的事件有：
1847年法国数学家Cauchy研究了函数值沿什么方向下 降最快的问题，提出最速下降法。
② 最优最计划优:现化代方国民法经的济具或部体门应经济用的举计划例，直
至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业 规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和 生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个 重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。
③最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和 运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统 和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到 迅速的发展。
最优化的发展简史
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世 纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创 建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值 函数的最大值和最小值的方法，后来又出现 Lagrange乘数法。以后又进一步讨论具有未知 函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的 最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化 PPT课件
22
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
第7章 目标规划 筹学与最优化方法-课件
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的根本概念 〔续〕
即在计算过程中, 首先保证P1级目标的实现，这时可 不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的根 底上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因 子的假设干个目标的差异时，可分别赋于它们不同的 权系数wj 。优先因子及权系数的值，均由决策者按具 体情况来确定．
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
〔3〕根据〔LGP〕模型特征，当不含绝对约束 时，di- 〔i=1,2,… ,K〕构成了一组根本可行解。 在寻找单纯形法初始可行点时，这个特点是很 有用的。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
(1)建立初始单纯形表．在表中将检验数行按 优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需 根据初始可行解计算出来，方法同根本单纯形 法。当不含绝对约束时，di- 〔i=1,2,… ,K〕构 成了一组根本可行解，这时只需利用相应单位 向量把各级目标行中对应di- 〔i=1,2,… ,K〕的 量消成0即可得到初始单纯形表。置k ＝ 1；
最后，考虑第四优先级要求 min〔d1- + 2d2- ) ， 即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的 权因子小于d2- ，因此在这里可以考虑取d2=0。于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。
§目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
7.1 目标规划模型
7.1.1 问题提出 (续) 容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所
在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有 多种. 在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只 实现了经理的第一、二、三条目标，而没有到达最 后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标 是不可能的。
最优化方法线性规划单纯形法ppt(共76张PPT)
ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
运筹学与最优化方法
( 1)
,d
(2)
,…,d
(m) m
R, d
(j)
n
(k)
0
记 L( d
(1)
,d
(2)
,…,d
(m)
)={ x = d j j =1
jR }
为由向量d , d , … , d 生成的子空间，简记为L。 n 正交子空间：设 L 为R 的子空间，其正交子空间为 n L ＝{ x R xTy=0 , y L } n n 子空间投影定理：设 L 为R 的子空间。那么 x R ， 唯一 x L , y L , 使 z=x+y , 且 x 为问题 min ‖z - u‖ s.t. u L 的唯一解，最优值为‖y‖。 n 特别， L ＝R 时，正交子空间 L ＝{ 0 }（零空间）
x
x+y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ R , x R 点列｛x(k)｝收敛到 x ，记 (k) = x lim‖x(k)- x‖ = 0 lim x (k) = x ,i lim x i k k ki
y
n
n
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” n “若 xTy ≥ , yR 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
一、什么是运筹学
为决策机构在对其控制下的业务活动进
行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。 或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。
2019运筹学与最优化方法.ppt
x2y2+
…+
xnyn
x , y 的距离： ‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn ,
x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
一阶中值公式：对x, , 使
f (x) = f (x*)+ ［f (x*+(x-x*))]T(x-x*)
Lagrange余项：对x, , 记xx*+ (x-x*)
f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T 2f (x )(x-x*)
1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系
表示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
四、运筹学模型的构造思路及评价
第一章 其它基础知识
复习下列知识：
线性代数的有关概念：向量与矩 阵的运算、向量的线性相关和线 性无关，矩阵的秩，正定、半正 定矩阵，线性空间等；
集合的有关概念：开集、闭集， 集合运算，内点、边界点等。
2f (x)=
2f /x1 2
2f /x1 x2
…
2f /x1 xn
2f /x2 x1 … 2f /xn x1
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（2）、绝对约束和目标约束
我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝 对约束和目标约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行
解，所以它们是硬约束。设例7.1.1 中生产A，
x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252
(7.1.1) (7.1.2)
(7.1.3) (7.1.4)
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
(3)、优先因子与权系数． 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,,fL,
决策者在要求达到这些目标时，一般有主次
之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i =
1,2,,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为 f1,f2,,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于 优先因子P1，次位的目标赋于优先因子
P2、…，并规定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,,L-1.
7.1 目标规划模型
集合。
最后，考虑第四优先级要求 min（d1- + 2d2- ) ， 即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的 权因子小于d2- ，因此在这里可以考虑取d2- =0。 于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学 模型，我们可以用图解法来分析求解．通过图 解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、 负偏差变量及权系数等的几何意义。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其 它渠道予以补充，则构成绝对约束。
目标约束是目标规划特有的，我们可以把约束 右端项看作要努力追求的目标值，但允许发 生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差 变量来表示，于是称它们是软约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
对于例7.1.1, 我们有如下目标约束
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 （续） 下面用图解法来求解例7.1.1
我们先在平面直角坐标系的第一象限内， 作出与各约束条件对应的直线，然后在
这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3， 4。图中x，y分别表示问题（7.1.5）的x1
和x2；各直线移动使之函数值变大、变 小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- （如图7.1.1 所示）．
其基本形式有三种：
① 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可能 地小。这时取 min （d + + d - )；
② 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。这 时取 min （d + )；
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
向 量量 消把 成0各即级可目得标到行初中始对单应纯d形i- （表i=。1,置2,…k ＝,K1）；的
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2)检查当前第k行中是否存在大于0，且对应 的前k-1行的同列检验数为零的检验数。若有取 其中最大者对应的变量为换入变量，转(3)。若 无这样的检验数，则转(5)；
(1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 相同的；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的
优 检先 验因 数子的，整体Pi来>>看P：i+1，Pi+i1=（1i,2=,1,2,L,-1,.L于-1是）从优每先个
K
min
Pl [
(lkdk
d lk k
)]
n
l1 k1
(LGP)s.t.
ckjxj dk dk gk ,
j1
k 1,2,, K
Байду номын сангаас
n
aijxj (,)bi , i 1,2,,m
j1
xj ,dk,dk 0, j 1,2,,n,k 1,2,, K
§7.1 目标规划模型
7.1.3 目标规划模型的一般形式 (续)
我们在第一级目标的最优解集合中找满足 第二优先级要求min（d3+ )的最优解.取d3+= 0 , 可得到图 7 – 3 中阴影部分即是满足第一、第 二优先级要求的最优解集合。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 - 2
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x 20
+ 15
10
5
0
5
G-1 -+
+ G-2
+ - G-3
G-4
10 15 20
y
图7 - 1
§7.2目标规划的几何意义及图解法
下面我们根据目标函数的优先因子来分析 求解．首先考虑第一级具有P1优先因子的目 标的实现，在目标函数中要求实现min（d1++ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图 7 – 2 中阴影部分即表示 出该最优解集合的所有点。
那
第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ；
第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估 计为252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
7.1 目标规划模型
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
综合上述分析，我们可得到下列目标规划模型
Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- )
s.t. x1
+ d1- -d1+ = 9
x2 + d2- -d2+ = 8
级第k个检验数的正、负首先决定于 P1 ，
P2 ，… ，Pi 优先级第k个检验数的正、负。若P1
级第k个检验数为0，则此检验数的正、负取决于 P2级第k个检验数；若P2 级第k个检验数仍为0， 则此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数， 依次类推。换一句话说，当某Pi 级第k个检验数
为负数时，计算中不必再考察Pj（ j > I ）级第k
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 – 3
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
第三优先级要求 min（d4- )，根据图示可知， d4- 不可能取0值，我们取使d4- 最小的值72得到 图7–4 中两阴影部分的交线(黑色粗线)，其表 示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解
（4）、目标规划的目标函效．
目标规划的目标函数是通过各目标约 束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等 级来构造的．
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏 离目标的数值。于是，目标规划的目标函数 应该是求极小：min f ＝ f （d +，d -)．
个检验数的正、负情况；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
（3）根据（LGP）模型特征，当不含绝对约束
时 在，寻d找i- 单（纯i=形1,2法,…初始,K可）构行成点了时一，组这基个本特可点行是解很。
有用的。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
(1)建立初始单纯形表．在表中将检验数行按 优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需 根据初始可行解计算出来，方法同基本单纯形 法 成。 了当 一不组含基绝本对可约 行束 解时 ，， 这d时i- 只（需i=1利,2用,…相,K应）单构位
满意解。否则置k = k+1，返回（2）。
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
例7.3.1 试用单纯形法来求解例7.1.1的目标规划 模型(7.1.5)
(3)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变 量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时， 选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转 （4）；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(4)按单纯形法进行基变换运算，建立新的 单纯形表，（注意：要对所有的行进行转轴 运算）返回(2)；
(5)当k ＝ K 时，计算结束。表中的解即为
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
这 P即1级时在目可计标不算的考过基虑程础次中上级, 首考目先虑标保的；证，而P以P12级此级目类目标推标的。是实当在现实需，现要 区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时， 可 权分 系别 数赋的于值它，们均不 由同 决的 策权 者系 按数 具w体j 情。况优来先确因定子．及
我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝 对约束和目标约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行
解，所以它们是硬约束。设例7.1.1 中生产A，
x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252
(7.1.1) (7.1.2)
(7.1.3) (7.1.4)
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
(3)、优先因子与权系数． 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,,fL,
决策者在要求达到这些目标时，一般有主次
之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i =
1,2,,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为 f1,f2,,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于 优先因子P1，次位的目标赋于优先因子
P2、…，并规定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,,L-1.
7.1 目标规划模型
集合。
最后，考虑第四优先级要求 min（d1- + 2d2- ) ， 即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的 权因子小于d2- ，因此在这里可以考虑取d2- =0。 于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学 模型，我们可以用图解法来分析求解．通过图 解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、 负偏差变量及权系数等的几何意义。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其 它渠道予以补充，则构成绝对约束。
目标约束是目标规划特有的，我们可以把约束 右端项看作要努力追求的目标值，但允许发 生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差 变量来表示，于是称它们是软约束。
7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
对于例7.1.1, 我们有如下目标约束
§7.2 目标规划的几何意义及图解法 （续） 下面用图解法来求解例7.1.1
我们先在平面直角坐标系的第一象限内， 作出与各约束条件对应的直线，然后在
这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3， 4。图中x，y分别表示问题（7.1.5）的x1
和x2；各直线移动使之函数值变大、变 小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- （如图7.1.1 所示）．
其基本形式有三种：
① 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可能 地小。这时取 min （d + + d - )；
② 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。这 时取 min （d + )；
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
向 量量 消把 成0各即级可目得标到行初中始对单应纯d形i- （表i=。1,置2,…k ＝,K1）；的
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2)检查当前第k行中是否存在大于0，且对应 的前k-1行的同列检验数为零的检验数。若有取 其中最大者对应的变量为换入变量，转(3)。若 无这样的检验数，则转(5)；
(1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 相同的；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的
优 检先 验因 数子的，整体Pi来>>看P：i+1，Pi+i1=（1i,2=,1,2,L,-1,.L于-1是）从优每先个
K
min
Pl [
(lkdk
d lk k
)]
n
l1 k1
(LGP)s.t.
ckjxj dk dk gk ,
j1
k 1,2,, K
Байду номын сангаас
n
aijxj (,)bi , i 1,2,,m
j1
xj ,dk,dk 0, j 1,2,,n,k 1,2,, K
§7.1 目标规划模型
7.1.3 目标规划模型的一般形式 (续)
我们在第一级目标的最优解集合中找满足 第二优先级要求min（d3+ )的最优解.取d3+= 0 , 可得到图 7 – 3 中阴影部分即是满足第一、第 二优先级要求的最优解集合。
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 - 2
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x 20
+ 15
10
5
0
5
G-1 -+
+ G-2
+ - G-3
G-4
10 15 20
y
图7 - 1
§7.2目标规划的几何意义及图解法
下面我们根据目标函数的优先因子来分析 求解．首先考虑第一级具有P1优先因子的目 标的实现，在目标函数中要求实现min（d1++ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图 7 – 2 中阴影部分即表示 出该最优解集合的所有点。
那
第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ；
第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估 计为252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
7.1 目标规划模型
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
综合上述分析，我们可得到下列目标规划模型
Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- )
s.t. x1
+ d1- -d1+ = 9
x2 + d2- -d2+ = 8
级第k个检验数的正、负首先决定于 P1 ，
P2 ，… ，Pi 优先级第k个检验数的正、负。若P1
级第k个检验数为0，则此检验数的正、负取决于 P2级第k个检验数；若P2 级第k个检验数仍为0， 则此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数， 依次类推。换一句话说，当某Pi 级第k个检验数
为负数时，计算中不必再考察Pj（ j > I ）级第k
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
x
G-1
20
-+
15 + -
10 A(3,8)
5
+
G-3
G-4
-
0
5
10 15
20
图7 – 3
+ G-2
-
y
§7.2目标规划的几何意义及图解法
第三优先级要求 min（d4- )，根据图示可知， d4- 不可能取0值，我们取使d4- 最小的值72得到 图7–4 中两阴影部分的交线(黑色粗线)，其表 示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解
（4）、目标规划的目标函效．
目标规划的目标函数是通过各目标约 束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等 级来构造的．
§7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏 离目标的数值。于是，目标规划的目标函数 应该是求极小：min f ＝ f （d +，d -)．
个检验数的正、负情况；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
（3）根据（LGP）模型特征，当不含绝对约束
时 在，寻d找i- 单（纯i=形1,2法,…初始,K可）构行成点了时一，组这基个本特可点行是解很。
有用的。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤
(1)建立初始单纯形表．在表中将检验数行按 优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需 根据初始可行解计算出来，方法同基本单纯形 法 成。 了当 一不组含基绝本对可约 行束 解时 ，， 这d时i- 只（需i=1利,2用,…相,K应）单构位
满意解。否则置k = k+1，返回（2）。
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
例7.3.1 试用单纯形法来求解例7.1.1的目标规划 模型(7.1.5)
(3)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变 量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时， 选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转 （4）；
§7.3 求解目标规划的单纯形方法 (续)
(4)按单纯形法进行基变换运算，建立新的 单纯形表，（注意：要对所有的行进行转轴 运算）返回(2)；
(5)当k ＝ K 时，计算结束。表中的解即为
7.1.2 目标规划模型的基本概念 （续）
这 P即1级时在目可计标不算的考过基虑程础次中上级, 首考目先虑标保的；证，而P以P12级此级目类目标推标的。是实当在现实需，现要 区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时， 可 权分 系别 数赋的于值它，们均不 由同 决的 策权 者系 按数 具w体j 情。况优来先确因定子．及