人教版初中八年级数学上册专题角的相关计算和证明讲义及答案

角的相关计算和证明（讲义）
课前预习
背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：
①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：
①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：
同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：
三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；
三角形的外角等于______________________________．
知识点睛
在证明的过程中，
由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．
精讲精练
1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则
∠BCE =_________．
F E
D C
B
A
2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D
作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．
E
D
B
A
G F
E
D
C
B
A
第2题图第3题图
3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，
AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，
∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．
G
F
E D
C
B
A
G F
E
D
C
A
第4题图第5题图
5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．
6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．
21
P
D
C
B
A
7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，
∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．
2
1
O E B
A
8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠
EAD 的度数．
9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若
∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．
F
E
D
C
B
A
E D
C
A
10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．
求证：∠A=2∠P．
证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β
∵BP平分∠ABC （_____________________）
∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）
∵CP平分∠ACE （_____________________）
∴∠ACE=______=_______ （_____________________）
∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）
∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）
∴β=______+_______（_____________________）
∴2β=2α+2∠P（_____________________）
∴∠A=2∠P （_____________________）
11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
求证：
1
90
2
D A
∠=︒+∠．A
B C
D
C
B
A
【参考答案】
课前预习
（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．
同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．
（2）相等；相等；相等．
（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．
知识点睛
同位角、内错角、同旁内角；
直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.
25°
4. 65°，70°
5. 125°
6. 60°
7. 证明：如图，
2
1
O E F
D C
B
A
∵EC ⊥AF （已知）
∴∠COF =90°（垂直的定义）
∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，
E D C A
在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）
∴∠BAC =180°-∠B -∠C
=180°-35°-75°
=70°（三角形的内角和等于180°）
∵AE 平分∠BAC （已知）
∴∠BAE =1
2
∠BAC
=1
2
×70°
=35°（角平分线的定义）
∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）
∴∠AED=∠B+∠BAE
=35°+35°
=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的和）
∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADE=90°（垂直的定义）
∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠EAD=90°-∠AED
=90°-70°
=20°（等式的性质）
9.解：如图，
∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）
∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵∠D=∠A+∠B（已知）
∴∠ACF=∠D（等量代换）
∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）
∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）
∵∠BFE=75°（已知）
∴∠FEG=75°（等量代换）
在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）
∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G
=180°-75°-35°
=70°（三角形的内角和等于180°）
10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β
∵BP平分∠ABC （已知）
∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）
∵CP平分∠ACE （已知）
∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）
∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）
∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）
∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）
∴∠PCE=∠PBC+∠P（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴β=α+∠P（等量代换）
∴2β=2α+2∠P（等式的性质）
∴∠A=2∠P （等式的性质）
11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β
∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）
∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180° （等量代换）
∴
1
90
2
∠A
αβ
++=︒（等式的性质）
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）
∴
1
90
2
D A
∠=︒+∠（等式的性质）。