信号与系统教程燕庆明第3章-1

f (t ) f (t kT )
(k 0, 1, 2, )
• 当周期信号f(t)满足狄里赫利条件时，则可用傅里 叶级数表示为
f (t ) a0 a1 cos 1t a2 cos 21t a3 cos 31t b1 sin 1t b2 sin 21t b3 sin 31t
2倍。具体地说，若有信号 t )，已知 1， F ， 1t f (t ) e j 2 nt f1( 2 cos 2t F 02 cos 4 tn 21 cos 6 2rad / s，则
j 2 nt f ( t ) e 1 2 cos 2t 2 cos 4t 2 cos 6t 可见，周期信号f ( t )的三角级数形式和复指数级数形式只是同一信 n n
3.2 周期信号的频谱

3.2.1 周期信号频谱的特点
4A 1 1 f (t ) (sin 1t sin 31t sin 51t ) π 3 5
4A π 1 π cos( t ) cos( 3 t ) 1 1 π 2 3 2
可以进一步表示为
e jn1t e jn1t e jn1t e jn1t f (t ) a0 an bn 2 2j n 1 an jbn jn1t an jbn jn1t a0 e e 2 2 n 1
2 1 rad / s T 1 T F0 a0 f (t )dt 0 T 0

0
T 2
Ae jn1t dt Ae jn1t dt
T 2 0
1 Fn T

T 2 T 2
T 1 2 jn1t jn1t 2 f (t )e dt Ae dt Ae jn t dt 0 T 0
(
2 T bn 2T f (t ) sin n1tdt T 2
2 2 An an bn
2 T an 2T f (t ) cos n1tdt T 2
1 a0 2T f (t )dt T 2
2π ) T T
n由级数理论可求 1：n次谐波的频率
出傅里叶系数
n arctan bn / an
第3章 信号与系统的频域 分析
导言
有小则有大，有分则有合； 有之以为利，无之以为用。
引言
第3章讲述LTI系统的时域分析时，是以阶跃和冲激 函数作为信号，将任意输入信号表示为冲激分量的 连续和(积分)，
f (t )

f ( ) (t )d f (t ) (t )
n 1
n
T 1 12 T 2 2 2 Fn (an jbn ) T f (t ) cos n1tdt j T f (t )sin n1tdt 2 2 T 2 T 2 T 1 T 1 2T f (t )(cos n1t j sin n1t )dt 2T f (t )e jn1t dt T 2 T 2
F n e jn1t Fn e jn1t Fn e jn e jn1t Fn e jn e jn1t
j ( n1t n ) j ( n1t n ) Fn e e 2 Fn cos(n1t n )
f (t ) F0 2 Fn cos( n1t n )
2 1 T
4 A cos n1t T n1
T 2 0
图2
4A nπ (n 1, 3, 5,)
2 A (1 cos n ) nπ
0
(n 2, 4, 6,)
所以f(t)的傅里叶级数为
f (t ) 4A 1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) π 3 5
n 1


比较
f (t ) a0 An cos(n1t n )
n 1
三角 复指数 An 2 FnA 是各次谐波幅度 可得，各谐波振幅 形式 形式 这就是说，周期信号 f (t )的各次谐波振幅 Fn 的 n
2倍。具体地说，若有信号 f (t )，已知F0 1， Fn 1，1 2rad / s，则 这就是说，周期信号 f (t )的各次谐波振幅 A n是各次谐波幅度 Fn 的

周期信号的复指数形式——傅里叶级数的另一种形式
对于周期信号的三角级数表达式
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1
利用欧拉公式
1 jt jt sin t (e e ) 2j 1 jt cos t (e e jt ) 2
由以上可知，Fn是各次谐波n1的函数，它可表示为 Fn Fn e jn 这里 Fn 为各次谐波的幅度， n为各次谐波的相位。
由
f (t ) F0 ( Fn e jn1t F-n e jn1t )
n 1

上式中每对相同n值的正、负频率项就可合成为一个余弦实 函数，即
周期信号可分解为
f (t )
如给出Fn，则f t 惟一确定，以下两式是一对变换对
n
j n1t , 区间上的指数信号 e 的线性组合


Fne jn1t
1 T jn1t Fn 2 f ( t )e dt T T 2
F n Fn e jn
4A (n 1,3,5,...) nπ
wenku.baidu.com 发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
3.1 周期信号的分解与合成

周期信号分解为三角级数
图 1 锯齿 波的三角 级数合成
周期信号
•
(1)在一个周期内只有 有限个极大值和极小 周期信号是定义在(-∞, ∞)区间上，每隔一定周期 T 值，且只有有限个第 按相同规律重复变化的信号，它们可一般地表示 一类不连续点。 (2)在一个周期内f(t) 为 绝对可积。
• 3.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频 谱简称为频谱。
并利用卷积方法求取系统的响应。
y (t )

f ( )h(t )d f (t ) h(t )
本章将以正弦函数(余弦函数亦统称为正弦函数)为 基本信号，分析工程上常用的周期和非周期信号的 一些基本特性以及信号在系统中的传输问题。
引言
• 由欧拉公式，可得
1 jt jt sin t (e e ) 2j 1 jt cos t (e e jt ) 2
T (t )
n
(t nT )

则
1 T 1 jn1t 2 Fn T (t )e dt T -2 T
所以
1 jn1t T (t ) e T n
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
例3-3 对于周期矩形波，设T=2s，试求其复指数形 式的傅里叶级数。 解 所以 该信号的基波频率

1 令 F0 a0， Fn (an jbn ) 2
n0
2 T an f (t ) cos n1tdt T 0 2 T bn f (t ) sin n1tdt T 0
又因 an a n , bn b n ，因而有
1 1 F-n (a n jb n ) (an jbn ) 2 2
例3-1 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。 解 由于这里f( t )是奇函数，故有
1 T a0 f (t )dt 0 T 0 2 T an 2T f (t ) cos n1tdt 0 T 2 T 2 T 4 bn 2T f (t ) sin n1tdt 2 A sin n1tdt T 2 T 0
• 所以也可把虚指数函数 e jt 作为基本信号，将周期 信号和非周期信号分解为一系列虚指数函数的离散 和或连续和。分解工具是傅里叶级数(对周期信号) 和傅里叶积分(对非周期信号)。利用信号的正弦分 解思想，系统的响应可看作各不同频率正弦信号产 生响应的叠加。由于本章在信号与系统分析中所用 的独立变量是频率，故称为频域分析。
A jn t 1 A A jn e [e 1] [cos n 1] 0 jn jn jn 2A j n 0 ( n 1, 3, 5, ) ( n 2, 4, )
从而复系数Fn的模和相位分别为
2A Fn ( n 1, 3, 5, ) n o 90 ( n 1,3,5, ) n o ( n 1, 3, 5, ) 90

号的两种不同表示方法而已。前者为 实数级数，后者为复数级数， 可见，周期信号f (t )的三角级数形式和复指数级数形式只是同一信 但都是把周期信号表示为不同频率的实数级数 各分量。，后者为复数级数， 号的两种不同表示方法而已。前者为
但都是把周期信号表示为不同频率的各分量。
例3-2 设有周期冲激信号T( t )，求其复指数形式的 级数表示式。 解 因

3.1 周期信号的分解与合成 信号f(t)的三角形
式的傅立叶级数

周期信号分解为三角级数
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
a0 An cos( n1t n )
n 1

n 1
1：基波角频率
a0：直流分量， an：余弦幅度， bn：正弦幅度， An：谐波幅度，
因此，f (t)的复指数形式为
a jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 n e e 2 2 n 1

F0 Fn e jn1t F n e jn1t Fn e jn1t


系数 Fn
最后f(t)可表示为复指数形式
f (t )
n jn1t F e n
j
2 A j 3 t 2 A j t 2 A j t 2 A j 3 t 2 A j 5 t e j e j e j e j e 3 3 5
3.2 周期信号的频谱