几何概型-PPT课件

d的测度 D的测度
其中测度是指长度、面积、体积
完成下列表格，比较几何概型与古典概型的相同点与不 同点
古典概型
几何概型
共同点
基本事件发生的 基本事件发生的
等可能性
等可能性
不同点
基本事件个数的 基本事件个数的
有限性
无限性
公式
P( A) m n
d的测度 P( A) D的测度
（四）应用举例，巩固提高
变式1：将长为L的木棒随机折成3段，求3段 构成三角形的概率.
变式:2：甲乙两人约定在6时到7是之间在某 处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率.
总结：通过这节课的学习 1、学到了什么？ 2、掌握了哪些方法？ 3、解决几何概型的关键有哪几点？
收获与体会:
用几何概型解决实际问题的方法.
点，半径都是3，
解：S=｛正方形面积｝，
A
D
A=｛蚂蚁恰在离四个顶点距离都大
于3的地方｝,区域A的面积为SA，
S 6 6 36
SA
S
4
1
4
32
36 9
PA S A 4 -
S
4
B
C
练习
2a
4、取一个边长为2a的正方形及其内
切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，
求豆子落入圆内的概率.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型.
(2)把基本事件转化为与之对应区域的长度（面积、 体积） (3)把随机事件A转化为与之对应区域的长度（面积、 体积） (4)利用几何概率公式计算
思考探究： 2、向面积为 S的ABC内任投一点 P,求PBC的面积
小于 S 的概率；
2
变式：已知：RtABC中，BAC 90, C 30.
60
6
即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为
1 6
法二：（利用[50,60]时间段所占的弧长）：
p(
A)
A所在扇形区域的弧长 整个圆的弧长
1 6
;
法三：（利用[50,60]时间段所占圆心角）：
p( A)
A所在圆心角的大小 圆周角
1 360 6
360
1; 6
法四：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
AC′为所求事件的区域，所以
栏
目
P(AM＜AC′)＝AACB′＝
1＝ 2
22.
链 接
错因：解本题易出现的错误在于对几何概型的概念
把握不准，理解模糊，将角度型的几何概型错误地当作
长度型几何概型求解．
栏
解析：由于在∠ACB 内作射线 CM，等可能分布的是 CM
目 链
在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成 比 例,则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称为几何概型．
几何概型特点:
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. ②每个基本事件出现的可能性相等.
知识探究（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或 可以化归为几何问题的随机事件，一般 都有几何概型的特性，我们希望建立一 个求几何概型的概率公式.
P( A) 0.5 = 1 20 40
答：取出的球中含有这个水晶球的概率为0.025.
练习6
用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试 求这个砂粒距离球心不小于1cm的概率。
26 27
例4、 假设你家订了一份报纸,送报人可能 在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你 父亲离开家去工作的时间在早上7:00— 8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件A)的概率是多少?
思考1 ：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位
置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多
大？
3m
记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事 件A发生.由于中间一段的长度等于1m.
3米
1米
1米
事件A发生的概率 P（A）= 1 3
1米 与长度成比例
思考2：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内 为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为 12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中 靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多 少?
解：
件B, 由于中靶点随机落在
面积为 1 ×π ×122 2 cm 2的大圆内, 而当中靶点落在面 4
积为 1 ×π ×12.2 2cm 2的黄心内时, 事件B发生. 4
事 件 B 发 生 的 概 率 为(PB )
1 π12.22 4 1 π1222
1
100
4
与面积成比例
思考3：有一杯1升的水,其中含有
例1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开 收音机想听电台整点报时，求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
0 10 20 30 40 50 60
解: 设A= ｛等待的时间不多于10分钟｝
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
P（A）= 60-50
1 =
接
π π－ 4
是∠ACB，所以 P(AM＜AC)＝∠∠AACCCB′＝
2 π
3 ＝4.
2
点评：关注基本事件的形成过程，事实上，本例在
△ACB 内部作一条射线，故所求的概率与∠ACM 的大小有
关，而和 AM 的长度不成比例关系．解决此类问题的关键
栏 目
链
是要注意事件 A 在区域角度内是否是均匀的，进而判定 接
通过的概率为
8
15
3.某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到
达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车
时间大于10 分钟的概率？
1
3
例2、一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域
内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离
都大于3的地方的概率是多少？
分析：如果离四个顶点距离都大于3，那么蚂蚁所处
的位置应该四个四分之一圆之外，圆的圆心为4个顶
(1)在B C上任取点M，求使S ABM
S
的概率；
AMC
(2)在BAC内作射线AM交BC于M，求使SABM SAMC 的概率；
错解：依题意知，AC＝1，AB＝ 2，点 M 随机落在
线段 AB 上，故线段 AB 为基本事件的区域，当 M 位于线
段 AC′(AC′＝AC)上时(如图所示)，AM＜AC，故线段
B
N
N
B
B
N
BB
N N
B
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的
长度（或扇形的面积）和它所在位置都
是可以变化的，从结论来看，甲获胜的
概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有
关？哪个因素无关？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形 区域所在的位置无关.
（三）归纳总结，形成概念
几何概型定义:
事件的发生是否是等可能的．
祝
您
4
5．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随 机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数 为138颗．则我们可以估计出阴影部分的面积约 为________．
答案：23 5
例3、一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水 晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概 率是多少？
解：记“取出的0.5m³中含有这个水晶球”为事件A, 水晶球在海洋球池里的分布可以看成是随机的．
2020/4/25
p( A)
A所在扇形的面积 整个圆的面积
:
1.如右下图,假设你在每个图形上随 机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影 部分的概率.（课本140页1）
2020/4/25
15
练习
2.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间
为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口不用停直接
思考1：某班公交车到终点站的时间可能 是11：30～12：00之间的任何一个时刻； 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落 在方格中的任何一点上.这两个试验可能 出现的结果是有限个，还是无限个？若 没有人为因素，每个试验结果出现的可 能性是否相等？
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩 转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲 获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率 分别是多少？
3.3.1 几 何 概 型
（一）温故知新，复习提问: 1.古典概型
(1) 有限性: 试验中所有可能出现的基本事件为有限个
(2) 等可能性: 每个基本事件出现的可能性相等
2.古典概型的概率计算公式
P(A)= A包含的基本事件的个数 m
基本事件的总数
n
知识探究（一）：几何概型的概念
（二）创设情境,引出课题：
1个细菌,用一个小杯从这杯水中取 出0.1升,求小杯水中含有这个细菌 的概率.
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这 一事件记为A,则
与体积成比例
PA
取出水的体积 杯中所有水的体积
0.1 0.1 1
（三）归纳总结，形成概念 几何概型概率计算公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）