常见概率分布期望方差以及分布图汇总
概率分布以及期望和方差
学辅教育成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差上课时间 :上课教师：上课重点 :掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X1 0P p q其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布．X100.8 0.2P两点分布又称 0 1 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．典例分析学辅教育成功就是每天进步一点点！，针尖向上；1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 X1，如果针尖向上的，针尖向下 .概率为 p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白，当取到白球时，球个数”，即X1，求随机变量 X 的概率分布． ，当取到红球时，3、若随机变量 X 的概率分布如下：X1P23 8C9C C试求出 C ，并写出 X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 )1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数 )试写出随机变量 的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 P ．⑴记投篮1次得分X，求方差D ( X )的最大值；⑵当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y的分布列及Y的期望与方差．二超几何分布知识内容将离散型随机变量X 所有可能的取值x i与该取值对应的概率p i (i 1, 2,, n)列表表示：X x1x2P p1p2⋯⋯x ip i⋯⋯x np n一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取 n 件 ( n ≤ N ) ，这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为P( X m)C M m C n N m M≤ l ，l为 n 和M中较小的一个 ) ．C n N(0≤ m我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为 N ， M ，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道 N ， M 和n，就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率P( X m)，从而列出 X 的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量 X 服从参数为N，M，n的超几何分布，则 E(X)nM，n(N n)( N M )M．ND(X)2(N 1)N典例分析例题：一盒子内装有 10 个乒乓球，其中 3 个旧的，7 个新的，从中任意取 4 个，则取到新球的个数的期望值是．练习 1. 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的 6 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习 3. 在12个同类型的零件中有2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，的期望值及方差．三二项分布知识内容若将事件 A 发生的次数设为X ，事件 A 不发生的概率为q 1 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率是P( X k)C kn pk q n k，其中k0 , 1, 2 , n, ．于是得到X的分布列X01⋯k⋯nP C 0n p0q n C1n p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二项展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1C k n p k q n k C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n，p 的二项分布，记作 X ~ B(n , p) ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则E ( X ) np ， D (x) npq (q1 p) ．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则 E( X ) np ，D ( x) npq (q 1 p) ．典例分析二项分布的概率计算1例题：已知随机变量服从二项分布， ~ B(4 ， ) ，则 P(2)等于．练3习 1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2，则甲以 3:1 的比分获胜的3概率为（ ）A ．8B ．64C ．4D ．8278199练习 2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是1，他投球 10 次，恰好投2进 3 个球的概率．（用数值表示）练习 3. 某人参加一次考试， 4 道题中解对 3 道则为及格，已知他的解题正确率为 0.4 ，则他能及格的概率为 _________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为．（精确到 0.01）例题 :从一批由 9 件正品， 3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2 位有效数字）．练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习 2. 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都学辅教育成功就是每天进步一点点！是1．若某人获得两个“支持，”则给予 10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习 1. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250 元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习 2. 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1，若中奖，则家具城返还顾客5现金 200 元．某顾客消费了 3400 元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金 200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率．例题：设飞机 A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t的函数p 1 e t ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1 P，且各发动机互不影响．如果至少50% 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的 P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 ．3⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题 :已知X ~ B(10，0.8)，求E( X )与D(X )．练习 1. 已知X ~ B(n，p)，E ( X )8， D(X ) 1.6 ，则 n 与p的值分别为（）A．10和0.8B．20和0.4C．10和 0.2D．100和 0.8练习 2.已知随机变量 X 服从参数为6，0.4的二项分布，则它的期望E(X )，方差 D(X)．练习 3. 已知随机变量X服从二项分布，且E ( ) 2.4 ，D( ) 1.44 ，则二项分布的参数 n ，p的值分别为，．练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取 4 次，则取到新球的个数的期望值是．例题：甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是1，2，1．352⑴现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；⑵用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习 1. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差．练习 2. 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为 4% ．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a，b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．yx=μO x1( x)2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f (x) e 22，x R ，其中，2π是参数，且0 ， ．式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差． 期望为 、标准差为 的正态分布通常记作N ( ,2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布： 我们把数学期望为0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间( ,)，(2 ,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% ．②正态变量在 (，) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3 ，3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，故正态变量的取值几乎都在距 x三倍标准差之内，这就是正态分布的3 原则．若 ~N(， 2) ， f ( x) 为其概率密度函数，则称 F (x)P( ≤ x)xf (t )dt 为概率分布函数，特别的，，2x1t 2dt 为标准正态分布函数．2~ N (0 1 ) ，称 ( x)e2πP(x) (x) ．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（）1 ( x r ) 22 πe A ． f ( x )B ． f ( x )e22π2 πx 221 ( x1) 21 x 2ee2C ． f ( x )4D ． f ( x )22π2π2.若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2e 2( x R ) ，下列判断正确的是（）2πA ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布 N 0 ，1 1 x 2的概率密度函数2 ，下列说法不正确f xe2 π的是（）A．f x为偶函数B．f x最大值为12πC．f x在x0 时是单调减函数，在x ≤ 0 时是单调增函数D．f x关于x 1对称4.设的概率密度函数为1( x 1) 2e2f ( x)2πA．P(1) P(1)C．f (x)的渐近线是x0，则下列结论错误的是（）B．P( 1≤ ≤1) P(11) D．1~ N(0 ，1)（二)求,的取值以及概率例题：设 X ~ N ( ，2 ) ，且总体密度曲线的函数表达式为：f (x)1x2 2 x 1e4，2πx R ．⑴求，；⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值．练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f ( x)1( x 80)2，则下列命题中不正确的是（）200e102A．该市这次考试的数学平均成绩为80 分B．分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C．分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10（三）正态分布的性质及概率计算例题 :设随机变量服从正态分布N (0 ，1) ，a0 ，则下列结论正确的个数是____ ．⑴ P(||a )P(||a)P(| | a)⑵ P(||a )2P(a)1⑶ P(||a )12P(a)⑷ P(||a )1P(||a)练习 1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3 ，a 2 ) ，则 P( X 3)（）A ．1B ．1C ．1D ．15 432练习 2. 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1， 20 ，若X 在 0，1内取值的概率为 0.4 ，则 X 在 0 ，2 内取值的概率为．练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 ， 2) ， P( X ≤ 4) 0.84 ，则 P(X ≤ 0)A ． 0.16B ． 0.32C ． 0.68D ． 0.84练习4.已知X~N( 1，2 )，若 P( 3≤ X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤ X ≤1) （）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6D ．无法计算加强训练：1 设随机变量 服从正态分布 N (2 ，9) ，若 P( c 2)P( c 2) ，则 c_______．2 设 ~ N(0 1)，且 P(| | b) a(0 a 1 b 0) ，则 P(b) 的值是_______（用 a 表，，≥示）．3 正态变量 X ~ N (1， 2 ) ， c 为常数， c0 ，若 P(c X2c) P(2c X 3c ) 0.4，求P( X ≤ 0.5) 的值．4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ，4) ，则不属于区间 ( 4 ，4) 这个尺寸范围的零件约占总数的．（四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量~ N( ， 2)，ED1，求 P( 1 1)的值．(五）正态分布的 3 原则例题 :灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位： h ），已知 ~ N (1000 ，302 ) ，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为 99.7% ，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____ 小时以上．练习 1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6 小时、标准差为4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少？练习 2. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80 ，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习 3. 以F x表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布N ,2，则概率P等于（）A．F F B．F1F1C．F 1D．2F练习 4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．np(1 p)B．np C．n D．p(1 p)4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次，设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白5球的概率是7．9⑴若袋中共有 10 个球，从袋中任意摸出 3 个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于7 ．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5% ，现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株65大树中：⑴至少有 1 株成活的概率；⑵两种大树各成活 1 株的概率．6.一个口袋中装有n 个红球（n≥5且n N *）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；⑵若 n 5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n取多少时， P 最大？7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球， 从 A 中摸出一个红球的概率是 1，从 B 中摸出一个红球的概率为p ．3⑴从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．①求恰好摸 5 次停止的概率；②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量 的分布．⑵若 A ，B 两个袋子中的球数之比为 1: 2 ，将 A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2，求 p 的值．58、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次，正面向上恰为 1次的可能性不为 0 ，而且与正面向上恰为2 次的概率相同．令既约分数i为硬币在 5 次抛掷中有 3j次正面向上的概率，求ij ．9、某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后面第 2位）⑴5 次预报中恰有2次准确的概率；⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率；⑶5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10 、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层可以停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在 20 层下的概率．311、10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率．12 、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5，求投篮n次甲胜乙的概率．（ n N，n ≥ 1 ）14、省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用 6 瓶x饮料，并限定每人喝 2 瓶，求：⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号不，正确的记“×”号若．某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于 4 道的概率；⑶至少答对 2 道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 ．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出 3人；⑵双方各出 5 人；⑶双方各出 7 人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的有75% ，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选 3 名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m≤n）个人过生日的天数为 X ，求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险。
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： VF(x) P(X x)(X) o2、 随机变量函数的概率密度： X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度: f y (y) f x (x)[h(y)] h'(y)。
(参见 P66〜72)x y3、 分布函数F(x,y) f (u, v)dudv 具有以下基本性质：⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x,y) 1，对于任意固定的x , y 有：F( ,y) F(x, )0 ； ⑶、F(x,y)关于x右连续，关于y 右连续;⑷、对于任意的(x i , yj,(X 2, y 2), X i X 2, y i y ，有下述不等式成立:为一维正态分布4、一个重要的分布函数1:F(x,y)2f(x,y)F(x,y)x y62 , 2(x24)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：f x (X ) f Y (y)f (x, y)dy f (x, y)dxx y 、 (— arctan-)(— arctan‘)的概率 密度为2 3xF x (x) F(x,)[边缘分布函数：yF Y (y) F( ,y) y[f(u,y)dy]du二维正态分布的边缘分布 f(x,v)dx]dv6随机变量的独立性：若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量X , Y 相互独立。
简称X 与Y 独立7、两个独立随机变量之和的概率密度：f Z (z) f X (x)f Y (z x)dx f Y (y)f X (z y)dy 其中 Z = X + Y 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2 2 2 2Z aX bY: N(a 1 b 2,a 1 b 2 。
9、期望的性质：…( 3)、E(X Y) E(X) E(Y) ； (4)、若 X , 丫 相互独立，则E(XY) E(X)E(Y) O10、方差： D(X) E(X 2) (E(X))2 O若 X , 丫不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y),否则 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y), D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)称：X 与丫不相关。
常见概率分布总结
x 2πσ2
x≥0
λe−λx，x ≥ 0，λ > 0
xα−1 e−x/β Г α βα
x ≥ 0，α > 0，β > 0
kλ k k−1
! xk−1e−kλx
xn /2−1 2n /2 Г n/2
e−x/2，x
≥0
μ
——
1 λ αβ 1 λ n
μ2
——
1 λ2
2
αβ 1 kλ2 2n
ejμω−μ2ω2/2
x σ2
e−(x 2 +a 2 )/2σ 2
I0
ax σ2
−∞ < ������ < ∞，a> 0
2 Гm
m Ω
m x2m−1 e(−m/Ω)x2
x>0
α α+β
——
σπ
2
1 + r I0
r 2
+
， rI1
r 2
e−r/2
r = a2/2σ2
Г m + 1/2 Ω
Гm
m
αβ α+β 2 α+β+1
∞
rq
pr
p2
1 − qejω
rq p2
N2 − 1 12
pr ejω − q
ej
N +1
ω/2
sin Nω/2 sin ω/2
C 协方差矩阵
e jm ut −uC ut /2
—— (1 − jω/λ)−1 (1 − jωβ)−α (1 − jω/kλ)−k (1 − j2ω)−n/2
韦伯分布
αx β −1 e−α x β /β x ≥ 0，α > 0，β > 0
8个常见分布期望和方差
8个常见分布期望和方差概率分布的期望和方差为了理解和预测复杂的概率分布，其中最重要的两个因素是期望和方差。
概率分布的期望是由可能的结果的各种频率的平均值。
它是一个数字，可以确定概率变量的未来值的变化，用来表明对分布结果的期望：方差是描述随机变量变化程度的数字，它表示数据离期望值多大程度。
期望和方差是描述统计定律的基本量，它们是用于理解和预测随机变量的行为的最重要的两个概念。
此外，方差也是可以利用的重要的统计概念，用来表明总体变化的大小，以及在给定范围内期望出现变化的可能性。
尽管，有很多不同的概率分布存在，但是在概率领域，最常用的概率分布可以分为三类：正态分布，二项分布和卡方分布。
下文将分别介绍这三类分布的期望和方差。
正态分布是指概率分布中，观测值的分布曲线呈现出钟形状，中心对称型的曲线。
正态分布的期望可以表示为：E（x）=μ，即随机变量的期望值就是均值。
正态分布的方差可以表示为：V（x）=σ2，其中σ2是样本数据的方差，表示数据的变化程度。
二项分布研究的是独立重复试验，其中均有概率p成功，概率q失败，这里p+q=1。
对二项分布，其期望值E(X)=np，即期望值取决于p值和重复次数n；其中变异系数V(x)=npq，表示数据变异的程度。
卡方分布也被称为卡方正态或卡方分位数分布，它描述的是数据来源于独立正态分布的累积分布，通常用于统计检验中的卡方检验。
对卡方分布，其期望值E(X)=n；变异系数V(x)=2n,表示数据变异的程度。
总的来说，概率分布的期望和方差是理解和预测复杂概率分布的基础，它们提供了一种可以用来确定观测值的有效值并预测观测结果的方法。
通过期望和方差，我们可以很容易地推断三类常见分布的理论值，进一步推断复杂概率分布的变化趋势，从而帮助更好地。
4_2方差及常见分布的期望方差
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X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望 的平方的 期望
解：
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方 差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变 量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距 目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
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六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
常见概率分布的期望和方差
常见概率分布的期望和方差
概率分布是统计学中极为重要的概念，它给出了随机变量在不同值上出现的概率。
期望和
方差是衡量概率分布形状和程度的重要指标，常见的概率分布的期望和方差也是学习统计
学的重要内容。
首先我们来看看正态分布。
正态分布又称高斯分布，是最常见和最重要的概率分布之一，
它形状像两个钟形，其期望等于均值μ，方差等于μ的平方，常见的概率分布期望和方差
如下：正态分布期望μ=E(X)= μ，方差σ2=V(X)=σ2；指数分布期望μ=E(X)=1/ λ，方差
σ2=V(X)= 1/ λ2 ；γ分布期望μ=E(X)=α/β，方差σ2=V(X)=α/β2；beta分布期望
μ=E(X)=α/ (α+β)，方差σ2=V(X)=αβ/ ( (α+β)2 (α+β+1) )。
比较期望和方差的计算式可以发现，期望是分布的一般性参数，它反映了随机变量的中心倾向，而方差则是分布的程度型参数，它反映了随机变量的离散程度。
借助于期望和方差，我们可以粗略地描述随机变量的分布情况。
在实际应用中，我们可以利用期望和方差对庞大的数据进行归纳和总结，预测数据的分布趋势，给出适宜的分析结论。
期望和方差是统计概率分布的两个重要参数，它们可以反映概率分布的形状和程度。
读者可以根据不同概率分布的计算式来计算其概率分布的期望和
方差。
常见分布的期望和方差
罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做(0,1)N 2()Yx n t =概率取数理统计沉面纲要1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2、随机变量函数的概率稀度：X是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹P66～72）3、分散函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量：⑴、是变量x ，y 的非落函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝；⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造：4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散：边沿概率稀度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿分散函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分散的边沿分散为一维正态分散.6、随机变量的独力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独力.简称X 取Y 独力.7、二个独力随机变量之战的概率稀度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、二个独力正态随机变量的线性推拢仍遵循正态分散，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++).9、憧憬的本量：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独力，则()()()E XY E X E Y =. 10、圆好：22()()(())D X E X E X =-. 若X ，Y 没有相闭，则()()()D X Y D X D Y +=+，可则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11、协圆好：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独力，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 取Y 没有相闭. 12、相闭系数：(,)()()XYCov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤，当且仅当X 取Y 存留线性闭系时1XYρ=，且1,b>0;1,b<0XYρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
常见分布的期望和方差)
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要X — 41、 正态分布的计算： F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。
c2、 随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量， 求丫 = f(X)的概率密度：f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。
(参见P66〜_ x y3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:0<F(x,y)<1，对于任意固定的 x , y 有：F^,y) = F(x^)=0 ;对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i<y 2，有下述不等式成立:r 24、一个重要的分布函数： F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为：f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 22兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)5、二维随机变量的边缘分布:f x (x) = J*f(x, y)dy边缘概率密度：tf Y (y) = Lcf(x,y)dxx -beF X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du边缘分布函数： '4； 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
⑴、 是变量x , y 的非降函数;⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续，关于y 右连续;⑷、yF Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv随机变量的独立性：若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务；+b 2cr 2)o13、k 阶原点矩：vk=E(X k)，k 阶中心矩：4k =E[(X-E(X))k] o16、独立同分布序列的中心极限定理:6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度：f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + YJ-oC9、 期望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY()；(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y) o10、方差： D(X ) =E(X 2)-(E(X))2o若 X , Y 不相关，贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，若 X , Y 独立，则 Cov(X,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。
常见概率分布期望方差以及分布图汇总
������������
������������ 2
指数分布（负指 数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况 χ2 分布
������2 (������)
������ ≥ 1
负二项分布（帕
离 散 型
斯卡分布）
B0 (������, ������)
0<p<1 r≥1
K=r,r+1,… P{������ = ������} = (1 − ������)������−1 ������ K=1,2,…
������ ������ 1 ������ ������������ ������
������ 2 ∞ ������⁄ 2
0，n>1
������ , ������ > 2 ������ − 2
非中心 t 分布
������(������, ������)
������ ������ ≥ 1
������ − 1 ������Γ ( ) ������ 2 √ ������ 2 Γ( ) 2 (n>1)
常见的“概率分布表 + 分布图”汇总（内容源自书本，同时本人额外加了许多内容进去。此表可直接打印）整理人：算法君
说明，我们学过的各种概率分布公式较多且形式多样，各分布的数学期望及方差是常用的数据，为方便做题目，也方便记忆故作此表，并在此共享给大家希望给大家提供一定方便！
类
分布
单点分布（退化 分布） (0-1)分布（两点 分布或伯努利分 布） 二项分布
数学期望 a p np
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
常见的概率分布
常见的概率分布离散分布0-1分布(伯努利分布)它的分布律为：\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]0-1分布记作：\(X \sim b(1,p)\)期望：\(E(X)=p\)⽅差:\(D(X)=p(1-p)\)常⽤的场景：新⽣婴⼉性别的登记，招⽣考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反⾯。
⼆项分布⼆项分布为\(n\)重伯努利实验的概率分布。
分布律为：\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]⼆项分布记作：\( X \sim b(n,p)\)期望：\(E(X)=np\)⽅差:\(D(X)=np(1-p)\)常⽤的场景：⽐如⼀个⼈射击\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。
从下⾯的图中，我们可以看到命中次数先增加，到了3达到最⼤，之后⼜逐渐减少，⼀般来说，对于固定的\(n,p\)，都具有这⼀性质。
（1）当\(（n+1）p\)不为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)时达到最⼤值；（2）当\(（n+1）p\)为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)时达到最⼤值。
%每轮射击10次，命中概率0.3，射击10000轮，x中返回的是每轮中命中的次数x=binornd(10,0.3,10000,1);%bin的数⽬为10hist(x,10);N=100;p=0.4;k=0:N;%事件发⽣k次的概率pdf=binopdf(k,N,p);%事件发⽣不⼤于k次的概率cdf=binocdf(k,N,p);plotyy(k,pdf,k,cdf);grid on;多项分布多项式分布是⼆项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，⼀次实验会有多个互斥结果，⽽⼆项式分布所代表的实验中，⼀次实验只有两个互斥结果。