坐标系与参数方程复习课

复习课 坐标系与参数方程

三维目标：

1．理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．

2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题． 重点难点：

学习重点：极坐标和直角坐标的互化；直线、圆和椭圆的参数方程及直线参数方程中参数的几何意义．

学习难点：用极坐标与参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点(,)P x y

是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：____________

____________x y '=⎧⎨'=⎩

的作

用下，点(,)P x y 对应到点(,)x P y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称

伸缩变换．

2．极坐标与直角坐标的互化：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ ，则它们之间的关系为：

______________

______________x y =⎧⎨

=⎩ 2___________

tan _________

ρθ⎧=⎨

=⎩ （极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，

x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．） 3．直线、圆、椭圆的参数方程

（1）过点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为______________

______________

x y =⎧⎨

=⎩

（2）圆心在点00(,)M x y ，半径为r 的圆的参数方程为______________

______________

x y =⎧⎨

=⎩

（3）椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为______________ ______________x y =⎧⎨=⎩

例1．已知曲线C 的极坐标方程为2

4cos 3sin 0ρθρθ-+=，以极点为直角坐标原点

O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；

（Ⅱ）若曲线C 经过伸缩变换ϕ： 2x x

y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，且直线l 与曲线C '交于A ，

B 两点，求

例2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧==θ

θsin 2cos 2y x （θ为参数）．以平面直角坐标系xoy 的

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为6)sin 2(cos =-

θθρ．

（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．

例3．在直角坐标系xoy 中，直线1:2C x =-，圆()()22

2:121C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程． （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=

∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积．

例4.已知曲线C 在平面直角坐标系xoy 下的参数方程为13cos 3sin x y θ

θ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），

以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是cos 336πρθ⎛

⎫

-

= ⎪⎝

⎭，射线OT ： (0)3

π

θρ=>与曲线C 交于点A 与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．

1．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线

l 的极坐标方程为2cos 204πρθ⎛

⎫

-

-= ⎪⎝

⎭

，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再

向右平移一个单位得到曲线1C . (Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知直线l 与曲线1C 交于A ， B 两点，点()2,0P ，求PA PB +的值.

2．已知在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是22 2422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程

2cos 4πρθ⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

. （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；

（Ⅱ）设M ()y x ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.

3．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2

(4sin x y θθθ

=+⎧⎨

=⎩为参数）

，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为6

π

θ=．

（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB

的值．

方法技巧

1.巧用极坐标方程两边同乘

ρ或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成形如

2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，然后利用互化公式进行转化，最后化简得到直角坐标方程．

2.消去参数的方法一般有三种：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 另外，消参时要注意参数的范围．

3.应用直线参数方程的注意点：在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.

4.圆和圆锥曲线参数方程的应用：有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.