2020年高考模拟浙江省衢州二中高考数学第一次模拟测试试卷含解析

合集下载

2020年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

2020年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁Z B)=()A. ⌀B. {4}C. {3,4}D. {2,3，4}2.椭圆x216+y28=1的离心率为()A. 13B. 12C. √33D. √223.下面三视图所表示的几何体是()．A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥4.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”(整数部分)及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能约简之分数进行约简，又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和已通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数．例如：n=2及n=3时，序列如图所示，记S n为每个序列中最后一列数之和，则S7为()A. 1089B. 680C. 840D. 25205.函数f(x)=−e−ln|x|+x的大致图象为()A.B.C.D.6. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −3y −1≤0x −y −1≥0x +3y −3≤0，则z =x −2y 的最大值为( )A. 1B. 12C. 43D. 537. “a +b =0”的充分不必要条件是( )A. a =−bB. a 2=b 2C. 1a +1b =0D. e a ⋅e b =18. 设函数f(x)=|x|，g(x)=lg(ax 2−4x +1)，若对任意x 1∈R ，都存在在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (0,4]C. (−4,0]D. [0,+∞)9. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 1+√2 C. 4 D. 2+2√210. 函数f(x)满足f(2x −3)=4x −7，若f(a)=−3，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. −4D. −1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z =x +yi ，且|z −2|=√3，则yx 的最大值为________． 12. 已知数列{a n }为等比数列，且a 7=1，a 9=4，则a 8=______．13. 若(5x −3√x)n 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为_____． 14. 直线l ：x −y =0被圆x 2+y 2=4截得的弦长为______ ．15.已知随机变量X的分布列如表：若EX=2，则a=_____．16.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______．17.集合A={x|−2x2+x+1>0}，B={x|x−a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3c=asinB+√3bcosA．(1)求B；(2)若D为BC的中点，且AD=√7，BC=4，求△ABC的周长．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．20.设等差数列{a n}前n项和为S n，满足S4=4S2，a9=17．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b1a1+b2a2+⋯+b na n=1−12n，求数列{b n}的通项公式．21.如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．22.已知函数．(1)讨论f(x)的单调性；<F(x0)<1．(2)当a>0时，证明：函数F(x)=xf(x)存在唯一的极值点x0，且1−1e【答案与解析】1.答案：D解析：根据交集与补集的定义，进行化简运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}={−1,0，1}，∴A∩(∁Z B)={2,3，4}．故选D．2.答案：D解析：本题考查椭圆的离心率，属于基础题．解：由题意，a2=16，b2=8∴c2=a2−b2=16−8=8，∴e=ca =2√24=√22．故答案为：D．3.答案：D解析：本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力．由俯视图结合其它两个视图可以看出，此几何体是一个六棱锥．解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥，故选D．4.答案：A解析：本题考查合情推理，解决问题的关键是由已知写出当n=7时的序列，然后各个数相加可得答案．解：由题意可得当n=7时，序列如图所示：∴S7=420+210+140+105+84+70+60=1089．故选A．5.答案：B解析：本题考查函数图象的应用，属于基础题．根据函数不是奇函数排除A、D，根据x>0时函数为增函数，排除C，即可得到答案．解：f(x)=−e−ln|x|+x=−1|x|+x，−x≠−f(x)，故f(x)不是奇函数，图象不关于原点对称，排除A和D，f(−x)=−1|x|+x在x>0为增函数，排除C，当x>0时，f(x)=−1x故选B．6.答案：C解析：本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z =x −2y 对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到z =x −2y 的最大值．解：作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，z =x −2y 即y =12x −z2，当直线y =12x −z2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大，此时A 点坐标满足{x −3y −1=0x +3y −3=0 ，解得A(2,13)，此时z 的最大值为：43．故选：C ．7.答案：C解析：解：a +b =0⇔a =−b ．∴a =−b 是a +b =0的充要条件，故A 错误；由a =−b ，可得a 2=b 2，反之，由a 2=b 2，不一定有a =−b ， ∴a 2=b 2是a =−b ，即a +b =0的必要不充分条件，故B 错误；1a+1b =0⇔a+b ab=0⇒a +b =0，反之，由a +b =0，不一定有1a +1b =0，如a =b =0，∴1a +1b =0是a +b =0的充分不必要条件；故C 正确；e a ⋅e b =1⇔e a+b =1⇔a +b =0，∴e a ⋅e b =1是a +b =0的充要条件，故D 错误．故选：C ．由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案．本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：∀x 1∈R ，f(x)=|x|∈[0,+∞)， ∵∃x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，∴g(x)=lg(ax 2−4x +1)的值域包含[0,+∞)，当a =0时，g(x)=lg(−4x +1)，显然成立；当a ≠0时，要使g(x)=lg(ax 2−4x +1)的值域包含[0,+∞)，则ax 2−4x +1的最小值小于等于1， ∴{a >04a−(−4)24a≤1，即a >0．综上，a ≥0．∴实数a 的取值范围是[0,+∞)．故选：D ．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于a 的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．9.答案：D解析：解：如图所示， A(−1,−1)，B(1,−1)．设P(√2cosθ,√2sinθ)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)⋅(√2cosθ+1,√2sinθ+1) =2√2cosθ+2≤2√2+2． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2√2+2．故选：D ．如图所示，A(−1,−1)，B(1,−1).设P(√2cosθ,√2sinθ).可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查函数的解析式，属于基础题．根据题意，求出f(x)=2x−1，即可得解．解：由题意，f(2x−3)=4x−7=2(2x−3)−1，∴f(x)=2x−1，∴f(a)=2a−1=−3，解得：a=−1故选D．11.答案：√3解析：∵|z−2|=√(x−2)2+y2=√3，∴(x−2)2+y2=3．由图可知(yx )max=√31=√3．12.答案：±2解析：解：在等比数列{a n}中，由a7=1，a9=4，得a82=a7⋅a9=1×4=4．∴a8=±2．故答案为：±2．由已知结合等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．根据系数之和为32，求得n=5，在二项展开式的通项中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x的项的系数．解：∵(5x−3√x)n展开式中各项系数之和为32，令x=1，得2n=32，n=5，故展开式的通项为T r+1=C5r(5x )5−r(−3√x)r=55−r(−3)r C5r x−5+32r，令−5+32r=1，解得r=4，则该展开式中含x的项的系数为5×(−3)4×5=2025．故答案为2025．14.答案：4解析：解：圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，直线x−y=0过圆心，∴直线l：x−y=0被圆x2+y2=4截得的弦长为4，故答案为：4．圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，直线x−y=0过圆心，即可求出结果．本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力．15.答案：0解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，16.答案：2√33解析：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，是简单题．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，进而求出半焦距c，由双曲线离心率的公式计算即可得答案．解：根据题意，双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则b=2，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√12+4√12=2√33，故答案为2√33．17.答案：a≥1解析：∵A={x|−2x2+x+1>0}，，∵B={x|x−a<0}，∴B={x|x<a}，∵A⊆B∴a≥1．18.答案：解：(1)因为√3c=asinB+√3bcosA，所以√3sinC=sinAsinB+√3sinBcosA.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，所以√3sinAcosB+√3cosAsinB=sinAsinB+√3sinBcosA，则√3sinAcosB=sinAsinB，从而tanB=√3，因为0<B<π，所以B=π3；(2)因为D为BC的中点，且BC=4，所以BD=2，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB·BDcosB，即c2+4−2c=7，解得c=3，由余弦定理可得b2=c2+a2−ac，即b2=9+16−12=13，则b=√13，故△ABC的周长为a+b+c=7+√13．解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．(1)由√3c =asinB +√3bcosA ，可得√3sinC =sinAsinB +√3sinBcosA ，进而得√3sinAcosB =sinAsinB ，从而tanB =√3，得出B 的大小；(2)结合余弦定理，可得b 和c 的值，进而得出△ABC 的周长．19.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0,取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知ANNG =BNND =AMMP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值．20.答案：解：(1)设数列的公差为d ，因为等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S 4=4S 2，a 9=17．所以{4a 1+4×32×d =4×(2a 1+d )a 1+8d =17，解得{d =2a 1=1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =1+(n −1)×2=2n −1;(2)数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b na n=1−12n ，可得b 1a 1=1−12，解得b 1=12，n ≥2时，b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n−1a n−1=1−12n−1，又b 1a 1+b 2a 2+⋯+b na n=1−12n ，两式相减可得b na n=1−12n −1+12n−1=12n ，即有b n =2n−12．解析：本体考查数列的递推关系，数列的通项公式，等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题． (1)设数列的公差为d ，根据已知条件得到{4a 1+4×32×d =4×(2a 1+d )a 1+8d =17，求出首项和公差，即可得到数列{a n }的通项公式；(2)由题可得b 1a 1=1−12，解得b 1=12，根据n ≥2时，b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n−1a n−1=1−12n−1，结合已知条件，即可得到b na n=12n ，进而得到数列{b n }的通项公式．21.答案：解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x =−1的距离，由抛物线定义得，p2=1，即p =2；(2)由(1)得，抛物线方程为y 2=4x ，F(1,0)，可设A(t 2,2t)，t ≠0，t ≠±1， ∵AF 不垂直y 轴，∴设直线AF ：x =sy +1(s ≠0)，联立{y 2=4x x =sy +1，得y 2−4sy −4=0．y 1y 2=−4， ∴B (1t 2,−2t )，又直线AB 的斜率为2tt 2−1，故直线FN 的斜率为−t 2−12t ，从而得FN ：y =−t 2−12t (x −1)，直线BN ：y =−2t ，则N (t 2+3t 2−1,−2t )，设M(m,0)，由A 、M 、N 三点共线，得2tt 2−m =2t+2t t 2−t 2+3t 2−1，于是m =2t 2t −1=21−1t 2，得m <0或m >2．经检验，m <0或m >2满足题意．∴点M 的横坐标的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属难题．(1)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p 值；(2)设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB ，FN 的斜率，从而求出直线BN 的方程，根据A 、M 、N 三点共线，可求出M 的横坐标的表达式，从而求出m 的取值范围．22.答案：(1)解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x )=1x +a −1x2=ax 2+x−1x 2，设g(x)=ax 2+x −1，Δ=4a +1，①当a ≤−14时，g(x)≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)单调递减；②当−14<a <0时，由f′(x)=0，得x =−1±√4a+12a，则当0<x <−1+√4a+12a时，f′(x)<0；当−1+√4a+12a<x <−1−√4a+12a时，f′(x)>0；当x >−1−√4a+12a时，f′(x)<0，所以当−14<a <0时，函数f(x)在(0,−1+√4a+12a)和(−1−√4a+12a,+∞)单调递减，在(−1+√4a+12a,−1−√4a+12a)单调递增；③当a =0时，由f′(x )>0，得x −1>0，即x >1，所以函数f(x)在(1,+∞)单调递增，在(0,1)单调递减； ④当a >0时，由f′(x )>0，得x >−1+√4a+12a，所以函数f(x)在(−1+√4a+12a,+∞)单调递增，在(0,−1+√4a+12a)单调递减．(2)证明：由题意，则，设则g′(x )=1x +2a =2ax+1x，因为a >0,x >0，所以g′(x )>0，所以g (x )在(0,+∞)上为增函数，又g (1e )=2a e >0，当x 趋近于0时，g (x )<0，故存在t ∈(0,1e )，使g (t )=0，当0<x <t 时，F′(x )<0，x >t 时F′(x )>0，所以函数F(x)在(0,t )上单调递减，在(t,+∞)上单调递增，所以函数F(x)的极小值点为x 0=t,x 0∈(0,1e ), 且，所以，，所以，令，x ∈(0,1e )，所以，所以ℎ(x)在x ∈(0,1e )单调递减，ℎ(x )>1−1e ,所以F(x0)>1−1，e又所以，<F(x0)<1．综上所述，函数F(x)存在唯一的极值点x0，且1−1e解析：本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可；(2)构造新函数，研究函数的单调性和极值即可得到结论．。

2020浙江省高三数学数学一模(带解析)

2020浙江省高三数学数学一模（带解析）一、选择题1.已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记M=P∪Q ，则（）A. B. C. D.2.已知函数的定义域是（）A. B. C. D. R3.设不等式组，所表示的平面区域记为，则属于的点是（）A. B. C. D.4.已知函数则（）A. 1B.C. 3D.5.双曲线的渐近线是（）A. B.C. D.6.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.7.若锐角满足，则（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，若为的中点，则（）A. B.C. D.9.数列是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（）A. B. C. D.10.不等式的解集是（）A. B. C. 2 D.11.用列表法将函数表示为，则（）A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数12.如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形，若大圆为正方形的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（）A. B.C. D.13.设为实数，则“ ”是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.在直角坐标系中，已知点，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（）A. B. C. D.15.甲、乙几何体的三视图分别如图•图所示，分别记它们的表面积为，体积为，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,16.如图，设为椭圆=1（）的右焦点，过作轴的垂线交椭圆于点，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率（）A. 或B. 或C. 或D. 或17.设a为实数，若函数f(x)=2x2−x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（）A. 1或3B. 2或3C. 2或4D. 3或418.如图，设矩形所在的平面与梯形所在平面交于，若，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）A. B. C. D.二、填空题19.已知函数，则的最小正周期是________，的最大值是________.20.若平面向量满足则________.21.若中，已知则的取值范围是________.22.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是________.三、解答题23.在等差数列中，已知，，（Ⅰ）求的公差及通项；（Ⅱ）记，求数列的前项和.24.如图，已知抛物线与交于两点，是该抛物线上位于第一象限内的点.（Ⅰ）记直线的斜率分别为，求证为定值；（Ⅱ）过点作，垂足为，若关于轴的对称点恰好在直线上，求的面积.25.如图，在直角坐标系中，已知点直线，将分成两部分，记左侧部分的多边形为，设各边的平方和为，各边长的倒数和为 .（Ⅰ）求分别求函数和的解析式；（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.答案解析部分一、选择题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】B13.【答案】A14.【答案】B15.【答案】B16.【答案】D17.【答案】C18.【答案】B二、填空题19.【答案】；320.【答案】-221.【答案】22.【答案】三、解答题23.【答案】解：（Ⅰ）因为，将，代入，解得公差d=1，解得数列的公差通项（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项代入得由此可知是等比数列，其中首项，公比q=2.所以，数列的前n项和24.【答案】解：（Ⅰ）由题意得点A，B的坐标分别为A（-1,0），B（1,0）设点P是坐标为P ，且，则所以=2为定值。

2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷

2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设{1U =-，0，1，2}，集合2{|1A x x =<，}x U ∈，则(U A =ð ) A ．{0，1，2}B ．{1-，1，2}C ．{1-，0，2}D ．{1-，0，1}2．（4分）本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-3．（4分）已知复数z 满足202020191z i i =+g （其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．（4分）已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．113D ．46．（4分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．()2(||1)xf x x =- B ．21()2x x f x -=C ．()||||f x ln x = D ．()1x f x xe =-7．（4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*112(1)(1,)n n n S S S n n N +-+=+>∈．则( ) A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =8．（4分）已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11(F AO AOF O ∠=∠为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±9．（4分）已知平面向量,,a b c r r r，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r ，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为( )A ．14B ．13C ．12D ．110．（4分）已知函数2()1|21|()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则(a = ) A ．12B ．1-C ．1±D ．12±二、填空题：本大题共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分. 11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧¶AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧¶AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是，弧田的面积是．13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于．14．（6分）有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有种；()E ξ= ；15．（4分）已知函数2,()4,x x m f x x x x m <⎧=⎨+⎩…，且p m ∀<，q m ∃…，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是．16．（4分）已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是． 17．（4分）若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C --平面角的大小为30︒时，k 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，2223b c abc a +-=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．19．（15分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1)，4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E ，M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2)．（Ⅰ）求证：||AM 平面BCD ；（Ⅱ）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)2n n S a =--．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：123n T n >-． 21．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3e =，且短轴的一个端点B 与两焦点A ，C 3（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆222:O x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值． 22．（15分）已知函数()()f x ax lnx a R =+∈有两个零点1x ，2x ．（1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意1x ，2x ，当012(1)0x x x λλ=+->时均有0()0f x '<？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．。

【20套精选试卷合集】浙江省衢州第二中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则RA B =（）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是（） A ．18B ．24C ．36D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠=，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．31+D ．31+ 7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是（） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90，AD ：BC ：AB=234，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC 的方程是________________________． 17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三．解答题本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b Ca A=（Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小；（Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值．19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ=，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Ｑ，求PQ QB的取值范围．•BACEPD（第19题）21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+．（Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．理科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． BAC DEFP二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； 15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14．第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切, ⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交,且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =．（Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小；（Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2．又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾．所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =．所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分）当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ．又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ．设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ．设二面角A CD P --的平面角为α，则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ= 20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．（第19题）20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ．（Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P245127 245 ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ． 21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分）由四边形ABCD 是菱形，得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ，所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分）不妨设),(2b t t P +（0≠t ），因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22．又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ．所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(． 22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围． 22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ．（Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ．要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ．令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ．故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．高考模拟数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y3.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a < B.2b aa b+> C.2b ab > D.2lg lg a ab <4.规定2,a b ab a b a b R +⊗=++∈　、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 5.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是A.p ∨q 为真B.p ∧q 为真C.p 真q 假D.p ，q 均假6.若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于A.︒45 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒135 7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A ．()x f x x=B ．()()2ln1f x x x =+-C ．()x x x xe ef x e e --+=- D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-= 8.已知锐角α且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(0-P ，则α的值为 A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 9．下列命题正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知锐角B A ,满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为A ． 22B ．2 C ．22 D ．42 11.已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015] 12.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知2||=a，3||=b，b a,的夹角为60，则=-|2|b a___________.14.设420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于．15. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知6π=C ，1=a ，3=b ，则=B ____________.16.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知α为锐角，且tan()24πα+=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．18．（本小题满分12分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ，设命题p ：“()f x 的定义域为R ”; 命题q “()f x 的值域为R ” ．（Ⅰ）分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围；（Ⅱ）p ⌝是q 的什么条件?请说明理由.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且55sin ,43==A C π．（Ⅰ）求B sin 的值；（Ⅱ）若105-=-a c ，求ABC ∆的面积．22.（本小题满分12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中R a ∈).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，…………………9分又α为锐角，所以10sin α=所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=.…………………10分 18.解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………5分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分 19. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . ……………4分当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ. ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分20.解(Ⅰ)命题p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a 的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p ⌝]35,1(-∈a ;q ]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件 ……………12分 21. 解：（1）因为55sin ,43==A C π 所以552sin 1cos 2=-=A A 由已知得A B -=4π.所以A A A B sin 4coscos 4sin)4sin(sin πππ-=-=1010552225222=⋅-⋅=……………………………………………………6分（2）由（1）知43π=C 所以22sin =C 且1010sin =B .由正弦定理得510sin sin ==C A c a .又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC ………………………………12分 22. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'∴=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10xh x e '=->；当0x <时,()10xh x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分高考模拟数学试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回．参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(,1)-∞ D ． (0,1) 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log 2}B x R x =∈<，则()A CB Z =（）A ．{4}B ．{5}C ．[45]，D ．{45}，3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒 4．已知332333233332612201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()222，，，，若333331+2+3+4++=3025n ，则n =（）A ．8B ． 9C ．10D ．11 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数sin ()2xxf x e=的图象的大致形状是（）4226sin360°否结束输出ns ≥3.102nn=6开始7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k等于（）A ．B ．1±C ．D ．2±8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（） A ．12B ．2C ．1D9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48 10．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e-<的解集为（）A. (,)e -∞ B ．(1,)+∞ C. (1,)e D ．(,)e +∞11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（） A ．72 B ．48 C ．24 D ．16 12．函数2231119()cos(2)4cos 2([,])331212f x x x x x ππππ=-+--∈--所有零点之和为（） A ．3π2 B ．43π C ． π2 D ． 83π第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知6(1)(1)x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a = .14.已知向量(,),(1,2)a m n b ==-，若||25,(0)a a b λλ==<，则m n -= .15.对任意[1,5]k ∈，直线:1l y kx k =--都与平面区域620x a x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩有公共点，则实数a 的最大值是 .16.定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|,[1,0)()=1(),[0,2)2x x x x f x x -⎧+∈-⎪⎨-∈⎪⎩ ．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(1)2n nn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒=∠45ABC ，点E 是线段PA 上靠近点A （Ⅰ）求证AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB ∆是边长为2的等边三角形，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()axf x ebx =+(0)a <在点(0,(0))f 处的切线方程为51y x =+,且(1)(1)12f f '+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的极值；（Ⅱ）若2()3f x x >+在[1,]x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2xxy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求224x y --的最小值，并求相应点M 的直角坐标.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >；（Ⅱ）若存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．25; 14. 6-; 15. 2; 16. (,1][2,)-∞+∞ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）2312232222nn a a a a n n ++++=+……①， ∴当2n ≥时，23112231(1)12222n n a a a a n n --++++=-+-② ①②得2(2)2nn a n n =≥，∴12(2)n n a n n +=⋅≥. …………5分又∵当1n =时，1112a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=⋅. …………6分（Ⅱ）(1)(2)2n n nn a b n -==-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-……③2341(2)1(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--……④∴234112[1(2)]3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)(2)3n nn n n S n n ++---=--+-+-++---=--∴1(31)(2)29n n n S ++-+=-. …………12分18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分（Ⅱ）依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分 111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分∴ 1()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. (12)分 19.【解析】（Ⅰ）作PO AB ⊥于O ……①,连接OC ， ∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且PABABCD AB =面面，∴PO ⊥面ABCD . ………2分∵PC PB =，∴POB POC ∆≅∆,∴OB OC =，又∵︒=∠45ABC ，∴OC AB ⊥……② 又POCO O =,由①②，得AB ⊥面POC，又PC ⊂面POC ，∴AB PC ⊥. ………6分（Ⅱ）∵PAB ∆是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ====如图建立空间坐标系，(1,0,0)P - 设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,3),(1,1,0)PB BC=-=-0n PB x n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =(3,3,1)n = 11(1,0,3),(,0,33AP AE AP ===，(1,1,0)CB DA ==- 4(,1,33DE DA AE =+=-，设DE 与面PBC 所成角为θsin |cos ,|||||16n DE n DE n DE θ-⋅====∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值7. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+01011,y y k k x x --==，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由1y y x x -=--得00y y x x -=-…….②，由①②得 0011y x y x =+⎧⎨=+⎩0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由12211114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(41)80k x kx ++=， ∴2841M kx k -=+，∴221441M k y k -=+. 同理：122188414N k k x k k --==++，221221144414N k k y k k--==++ …………8分 224222222144881414888(33)3414M N MNM N k k y y k k k k k k k x x k k k k k-----+++====------++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴22221418()41341k k ky x k k k -+--=--++即：22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++ …………11分 ∴当k 变化时，直线MN 过定点5(0,)3-. …………12分21.【解析】（Ⅰ）()ax f x e bx =+，那么'()axf x ae b =+由'(0)5(1)'(1)12f f f =⎧⎨+=⎩，得512a aa b ae b b e +=⎧⎨+++=⎩，化简得(2)(1)0a e a -+= 由0a <得1,6a b =-=，∴()6xf x e x -=+ …………3分即'()60xf x e-=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(,ln 6)-∞-单调递减，在(ln 6,)-+∞单调递增，∴ln6()(ln6)6ln666ln6f x f e =-=-=-极小值，无极大值. …………5分（Ⅱ）2()3f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2630x e x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立.设2()63xg x ex x -=-+-，则'()26x g x e x -=--+设()'()26xh x g x e x -==--+，则'()2x h x e -=-， …………6分∵1x m ≤≤，有'()0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数，又∵123(1)40,(2)20,(3)0h eh e h e ---=->=->=-<，∴存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0h x g x ==，当01x x ≤<时，有'()0g x >，当0x x >时，有'()0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间0(,)x m 上递减，又∵123(1)20,(2)5>0,(3)6>0,g e g eg e ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.g e g e g e ---=+=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <；∴使命题成立的正整数m 的最大值为5. …………12分 22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分（Ⅱ）22(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα，则2222cos cos sin 4x y a a αα-=--cos222cos(2)3a παα==+ …………7分当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-，此时点M的坐标为(1,2或(1,2--. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞. …………5分（Ⅱ）存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2∞（，）. …………10分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (23)题为选考题，其他题为必考题。

衢州二中2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析

【分析】
设 ,计算可得，再结合图像即可求出答案.
【详解】设，则，
则，
由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，
结合图像，，得 ,
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想,属于中档题。
二、填空题
11。若 ,则 =______， =______.
【答案】 (1)。（2）.
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即 , ;
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数,
该直线截距最大在过点时，此时，
即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.
因为在上的值域为（）或（），
在上的值域为，
故或 ,
解得
故答案为： .
【点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题。
16。已知实数a，b，c满足，则的最小值是______。
【答案】
【解析】
【分析】
先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.
【答案】 (1）。 6 （2)。 12π﹣9
【解析】
【分析】
过作 ,交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积。
【详解】∵如图，弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6，过作 ,交于 ,根据圆的几何性质可知，垂直平分 .
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，

浙江省衢州市高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}的真子集个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 82.设i是虚数单位，则复数=（）A. -4iB. -2iC. 2iD. 4i3.已知直线m，n和平面α，m⊂α，则“n⊄α”是“n与m异面”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，AC与BD相交于O，过点A作AE⊥BD于E，则=（）A. B. C. 3 D.5.若实数x，y，对任意实数m，满足，则由不等式组确定的可行域的面积是（）A. B. C. π D.6.已知定义在R上的函数f（x）=3-|x+m|+2（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log5e），c=f（π+m），则（）A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. a＜c＜bD. a＜b＜c7.等比数列{a n}中，a1=1，a12=8，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a12），f'（0）=（）A. 212B. 215C. 218D. 2218.已知双曲线的左，右顶点是A，B，P为双曲线右支上一点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.已知函数，设1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，若|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 610.设n∈N*，a n为（x+4）n-（x+1）n的展开式的各项系数之和，c=t-7，t∈R，（[x]表示不超过实数x的最大整数）．则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知的最小正周期为2，则ω=______，函数f（x）在上的值域是______．12.直线mx+y-2=0（m∈）与圆C：x2+y2-2y-1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为______，若三角形ABC的面积为，则m的值为______．13.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率p=______；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=______．14.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，线段BC上的点Q，满足PD=DA，PB=BA，则四面体P-BCD的体积的最大值是______；当P-BCD体积取最大值时，|PQ|min=______．15.已知平面向量，，满足，，则对任意的t∈R，的最小值记为M，则M的最大值为______．16.在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．设，则数列{c n}的前n项和为______．17.已知函数，若方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2（x1＜x2），且x1•x2＞6，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，sin（A-B）=1，．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．19.数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且（k∈N*），求使S2n取最小值时n的值．20.如图，已知矩形BCDE所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AB⊥AE，AB＞AE．（Ⅰ）若M为AC中点，N为BE中点，证明：MN∥平面ADE；（Ⅱ）若BE=2，DE=1，且DE与平面DAC所成角的正弦值为，求∠ABE的大小．21.已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（5，0）的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，直线|AC|的最小值为4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数，其中a＞0，b∈R．（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=3且b＜0时，①若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：；②若对任意的x1∈[1，t]，都有成立，求正实数t的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}，∵y∈N，x∈Z，∴y=-x2+5≥0，x∈Z∴，x∈Z，因此，当x=±2时，y=1；当x=±1时，y=4；当x=0时，y=5，∴M={1，4，5}，则M的真子集的个数是23-1=7个．故选：C．先确定集合M的元素个数，根据真子集的个数公式进行计算即可．本题主要考查集合真子集个数的判断，含有n个元素的集合，其子集的个数为2n个，真子集的个数为2n-1个，属基础题．2.【答案】D【解析】解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若n⊄α，则n与m可能相交，可能异面，故充分性不成立若n与m异面，则n⊄α，即“n⊄α”是“n与m异面”的必要不充分条件，故选：B．根据空间直线位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线位置关系是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，可得∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，所以=||||cos∠EAC=1×=3，故选：C．由解直角三角形得：∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，由平面向量数量积的运算得：=||||cos∠EAC=1×=3，得解．本题考查了解直角三角形及平面向量数量积的运算，属中档题．5.【答案】A【解析】解：实数x，y，对任意实数m，满足的可行域如图：可行域是扇形，个圆，面积为：=．故选：A．画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力．6.【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴3-|-x+m|+2=3-|x+m|+2，∴|-x+m|=|x+m|；∴m=0；∴f（x）=3-|x|+2；∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且a=f（|log0.23|）=f（log53），b=f（log5e），c=f（π+m）=f（π）∵0＜log5e＜log53＜π∴c＜a＜b．故选：B．根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=3-|x|+2，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.23|），b=f（log5e），c=f（π），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．7.【答案】C【解析】解：设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），∴f（x）=xg（x），∴f'（x）=g（x）+xg′（x），∴f'（0）=g（0）+0×g′（x）=g（0）=（-a1）（-a2）（-a3）…（-a12）=（a1a12）6=218故选：C．设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a12，由此求得f'（0）的值．本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基本知识的考查．8.【答案】C【解析】解：∵（）=（）•（）=-=0，∴BP=BA=2a，过P作x轴的垂线PC，C为垂足，则S△ABP===，∴PC=，∴BC==，∴P（，），代入双曲线方程得：-=1，解得：=，∴e===．故选：C．由题意可知AB=BP，用表示出P点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由，得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3．∵1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，∴M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f（x n）-f（x1）|≥|f（16）-f（2）|=|3-0|=3．则M的最小值为3．故选：A．由已知分段函数求得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3，再由M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f （x n）-f（x1）|≥|f（16）-f（2）|=|3-0|=3，可得M的最小值．本题考查分段函数及其应用，考查绝对值不等式的解法，属中档题．10.【答案】B【解析】解：令x=1可得，a n=5n-2n，[]=[n-]=n-1，=1+2+…+（n-1）=，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d，∵d==，∴的最小值．故选：B．令x=1可得，a n=5n-2n，求出b n，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．11.【答案】π[-，]【解析】解：∵已知=2sin（ωx-）的最小正周期为=2，则ω=π．在上，ωx-=πx-∈[-，]，sin（ωx-）∈[-，]，f（x）=2sin（ωx-）∈[-，]，故答案为：π；[-，]．由题意利用两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．12.【答案】2 ±1【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得．【解答】解：圆C：x2+（y-1）2=2的圆心为（0，1）半径为，圆心到直线的距离d==，弦长|AB|=2=2≥2，（当且仅当m=0时等号成立），S△ABC=d•2=•2=，即d4-2d2+=0，解得d2=或d2=，∴=或=，解得m=±1．故答案为：2，±1．13.【答案】；【解析】【分析】本题考查了n次独立重复试验概率、随机变量的数学期望、相互独立事件计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．①恰好摸4次停止的情况为：前3次有一次摸到红球，第4次摸到红球，利用相互独立事件计算公式即可得出．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，即可得出．【解答】解：①恰好摸4次停止的概率p=×=．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，得P（ξ=0）==；P（ξ=1）=×=；P（ξ=2）=++=．∴随机变量ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．故答案为：；．14.【答案】【解析】解：由题意可知△PBD是由△ABD绕BD旋转而得到的，故当四面体P-BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD．在△ABC中，由余弦定理可得AC==2，设AD=x（0＜x＜2），则S△BCD==-，S△ABD==x，BD=，∴A到BD的距离为d==，即P到平面BCD的距离为d=．∴四面体P-BCD的体积V=S△BCD•d=•，∴当x=时，V取得最大值=．当P-BCD体积取最大值时，D为AC的中点，PD⊥平面BCD，故PD=CD=，BD=1，∴PB=2，PC=，∴cos∠PBC==，∴∠PBC为锐角，∴P到BC的距离为PB•sin∠PBC=．∴|PQ|的最小值为．故答案为：，．设AD=x，用x表示出A到BD的距离和△BCD的面积，得出棱锥的体积V关于x的函数，利用二次函数的性质可得V的最大值，再计算P到BC的距离即可．本题考查了棱锥的体积计算，函数最值的计算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由平面向量，，满足，则与的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y），由，得x2+y2-（x+y）+=0，化简得+=，它表示以点（，）为圆心，以为半径的圆；又=表示圆上的点M（x，y）到点（t，0）t∈R的距离，即到直线y=0的距离；距离的最小值为M，由圆心（，）到直线y=0的距离为d=，则M的最大值为d+r=．故答案为：．由题意设=（1，0），=（，），=（x，y），化为+=，它表示圆；由表示该圆上的点M到点（t，0）的距离，即到直线y=0的距离；得出距离的最小值M，求得M的最大值为d+r．本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了转化思想与数形结合应用问题，是难题．16.【答案】2n+2-4【解析】解：∵a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．∴a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=-=2a n b n，∴a n b n=2n-1．∴==2n•=2n+1，则数列{c n}的前n项和==2n+2-4．故答案为：2n+2-4．由a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．可得a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．a n+1b n+1=-=2a n b n，即a n b n=2n-1．分别利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（1，3）【解析】解：x≥2时，f（x）=x+-4≥2-4=2-4，当且仅当x=时“=”成立；0＜x＜2时，f（x）=-2x+5∈（1，5）；画出函数的图象，如图所示；方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2，且x1＜x2，且x1•x2＞6，若a=1时，可得5-2x1=1，即x1=2；x2+-4=1，可得x2=3，满足x1x2=6，若a=3由5-2x1=3，即x1=1；x2+-4=3，可得x2=6，满足x1x2=6，结合图象可得当1＜a＜3时，x1•x2＞6，故答案为：（1，3）．作出函数f（x）的图象，求得x1•x2=6的两种情况a=1，a=3，结合图象可得所求a的范围．本题考查分段函数的图象和性质，考查化简运算能力和推理能力，数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜-B＜0，∴-π＜A-B＜π，又sin（A-B）=1，∴A-B=，∵A+B+C=π，∴A=π-B-C，∴B+=π-B-C，∴C=-2B，∴sin C=sin（-2B）=cos2B，∴cos2B=，∴2cos2B-1=，∴cos B=±，∴C=-2B＞0，∴0＜B＜，∴cos B=．，sin B=，（Ⅱ）由正弦定理可得=，即AC===3，∴△ABC的面积为AB×AC sinA=××3×sin（B+）=××3×=．【解析】（Ⅰ）根据-π＜A-B＜π，及sin（A-B）=1，∴A-B=，再根据内角和定理得C=-2B，再根据sin C=可得cos B；（Ⅱ）根据正弦定理求得AC，再根据面积公式可得．本题考查了正弦定理，属中档题．19.【答案】解：（I）数列{a n}中，a1=1，．∴a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．∴a2k-1=2k-1，a2k=2k．∴a n=，k∈N*．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k时，b n=b2k=-，S2n=（+-+……+-）-（+……+）=（-）-=（-）-1+．∴S2n+2-S2n=（-）-1+-（-）+1-=-．n=1时，S4-S2=-＜0，n=2时，S6-S4=-＜0．……，n=11时，S22-S20=-＜0，n=12时，S24-S22=-＞0，n≥12时，S2n+2＞S2n．可得：n=12时，S2n取得最小值．【解析】（I）数列{a n}中，a1=1，．可得a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．即可得出a n．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k-1时，b n=b2k=-，可得S2n．通过S2n+2-S2n，可得其单调性．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】（I）证明：取AD的中点P，连接PE，PM，∵P，M分别是AD，AC的中点，∴PM∥CD，PM=CD，∵四边形BCDE是矩形，N是BE的中点，∴EN∥CD，EN=CD，∴PM∥EN，PM=EN，∴四边形PMNE是平行四边形，∴MN∥PE，又MN⊄平面ADE，PE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（II）解：在平面ABE上作矩形EBGF，使得A在边FG上，过E作DF的垂线EH，垂足为H，则EB⊥EF，EB⊥DE，又DE∩EF=E，∴EB⊥平面DEF，∴EB⊥EH，又EB∥CD，故CD⊥EH，又EH⊥DF，DF∩CD=D，∴EH⊥平面CDF，即EH⊥平面ACD．∴∠EDH为DE与平面ACD所成的角，即sin∠EDH=，∴tan∠EDH=，∵DE=1，∴EF=．设AF=x，则AG=2-x，于是AE2=x2+，AB2=（2-x）2+，∵AB⊥AE，∴x2++（2-x）2+=4，解得x=1±，又AB＞AE，故x=1-，∴AG=1+，∴tan∠ABE=tan∠BAG==2-，∴∠ABE=15°．【解析】（I）取AD的中点P，证明四边形MNEP是平行四边形得出MN∥PE，故而结论得证；（II）在平面ABE上构造矩形EBGF，使得A在矩形边FG上，根据DE与平面DAC所成角的大小计算EF，再利用勾股定理或圆的性质计算∠ABE．本题考查了线面平行的判定，线面角的定义与作法，属于中档题．21.【答案】解：（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，把x=代入y2=2px可得y=±p，故2p=4，p=2，可得抛物线的方程为：y2=4x．（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ty-20=0，y1+y2=4t，y1y2=-20，直线PB的方程为y=（x-x0）即y=（x-x0），联立直线m：y=y1，可得x=x0+=x0+，由y1y2=-20，y1=y，可得y2=-，t=（y-），即有x=x0-5+（-）y2，由假设可得-=0，即x0=0，此时x=-5，可得存在定点P（0，0），定直线为x=-5．【解析】（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，可得2p=4，即可得到所求抛物线方程；（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程，运用韦达定理，由PB的方程和直线m的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（I）b=-3，f（x）=，a＞0，b∈R，x＞0，∴f′（x）==，x＞0，∴当a=3时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；当0＜a＜3时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（，+∞），递减区间是（1，）；当a＞3时，f（x）的单调递增区间是（0，），（1，+∞），递减区间是（，1）；（Ⅱ）①证明：∵a=3，∴f（x）=x2+2bx+3ln x，∴f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，∴△=4b2-36＞0，∵b＜0，∴b＜-3，∵，∴b=-（）＜-3，即，∵x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，且f（x1）=x12+2bx1+3ln x1=-x12+3ln x1-3，构造函数F（x）=-x2+3ln x-3，0＜x＜1，F'（x）=-3x+=＞0，函数F（x）递增，；②当b＜-3，由①可知，f（x）的极大值为，又f（x）的极小值为，随着x2的增大而减少，故要使t取最大值，则需f（x）的极小值，又，所以，得；当b≥-3时，f（x）在[1，t]上是增函数，且，故t＜e．综上，实数t的最大值为e．【解析】（Ⅰ）将b=-3代入，求导后分类讨论即可求得单调区间；（Ⅱ）①将a=3代入，由题意可得b＜-3，0＜x1＜1＜x2，表示出f（x1），再构造新函数，利用导数即可得证；②分b＜-3，及b≥-3两种情况讨论得解．本题考查利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题，考查转化思想及分类讨论思想，属于中档题．。

浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)

浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)高三数学（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={|,,}x x a b a A b B =⋅∈∈，则集合C 的元素之和为（A ）84 （B ）50 （C ）38 （D ）18 2．0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（）条件（A ）充分（B ）必要（C ）充要（D ）既非充分又非必要3．正三棱锥V-ABC 的底面边长为2，那么侧棱VC 在平面V AB 上的射影长（A ）0 （B ）1 （C （D ）234．已知二次函数2()2(0)f x ax x a =->对任意[0,1],|()|1x f x ∈≤恒成立，则a 的取值范畴（A ）0a <≤ （B ）1a <≤（C ）1a << （D ）1a ≤≤ 5．已知数列11{},1,(2)2n n n a a a S n ==≥，则S 8= （）（S n 为数列的前n 项和）（A ）127 （B ）128 （C ）256 （D ）2576．已知,l P αα⊂∉，过点P 引与直线l 成60°角的直线交平面α于Q ，则Q 点的轨迹是（A ）两个点（B ）抛物线（C ）椭圆（D ）双曲线 7．O 为∆ABC 内一点，且3OA OC OB O ++=，则:AOB AOC S S ∆∆=（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）2:1 （D ）3:18．已知双曲线22221x y a b-=，F 为右焦点，右准线与一条渐近线的交点P ，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率（A （B （C ）53 （D ）549．矩形的边长为2和5，通过它的短边上的点作直线，使得所截得的直角三角形的周长为8，则矩形留下部分面积的最小值（A）6+ （B）38 （C ）223（D）48- 10．已知函数1()ln2f x x x =++有以下命题： ①方程()0f x =只有一个实根②(2,1]--上为减函数，[1,)-+∞上为增函数 ③有极小值1- ④21lim0()x f x →-= 其中正确的命题是（A ）①③④ （B ）②③④ （C ）②③ （D ）①②④二、填空题（每小题4分，共16分）11．一个平均的四面体，一个面上标0，两个面上标1，一个面上标2，连续抛掷两次，则面向下的数之和的数学期望________________12．已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则|1|z x y =+-取值范畴______________13．过抛物线214y x =的焦点F 作弦|AB|，若||2||FA FB =，则|AB|=_________ 14．已知函数()y f x =的反函数11(),(1)fx f x --+若的反函数(1)f x +，且(1)2,(2007)f f ==则_____________高三数学（理）模拟考试答题卷二、填空题（每题４分，共12分）11 12 13 14 三、解答题（每题14分，共84分） 15．已知向量2(sin,1),(2,sin )2xm n x ==. （1）当0x π≤≤时，求m n ⋅的取值范畴.（2）定义函数()|1|f x m n =⋅-，求函数的递增区间.16．正三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 分别为各边的中点，三角形ABC 的面积为4.（1）以上述七个点为顶点的三角形全体记为集合M ，那么集合M 中共有几个元素？其中面积为1的三角形有几个？（2）从集合M 中，任取两个元素，面积均为1的概率是多少？（3）从M 中有放回地取三角形，若取出面积为1时停止，求恰好取3次后停止摸取的概率.班级________________ 姓名_______________ 准考证号___________________………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………17．已知M 68(,)55-关于直线2y x =的对称点N 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，离心率2e =. （1）求椭圆方程.（2）过N 点引两条互相垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，求证直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.18．如图，三棱锥P-ABC 中，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点，E 为PD的中点，,36PB PBD BE PB AC =∠==⊥. （1）求证：平面PAC PBD ⊥平面. （2）求三棱锥P-ABC 的体积.AC19．已知函数()lg(1)f x x =+，当点M (,)x y 在()y f x =的图象上运动时. （1）求对应点1(,2)()2x a N y a R -+∈确定的函数关系()y g x =. （2）若[0,1]x ∈时，()(2)g x f x ->恒成立，求参数a 的取值范畴.20．数列11{},(1),n n n n a a S n+=-是数列的前n 项和，S n 具有以下性质： 11=11122-=111112323-+=+11111123434-+-=+111111112345345-+-+=++11111111123456456-+-+-=++（1）依照以上规律，写出n=9与n=10时，S n 满足的等式；（2）依照以上规律，归纳出S n 满足的等式关系，并加以证明．.高三理科模拟考试参考答案一、BBADB DBCCC 二、2 []0,4922004- 三、15. （1）2sin()4mn x π⋅=-1⎡⎤∈⎣⎦ （2）3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16. （1）27629C -=，面积为1的三角形的个数有10个；（2） 21022945406C C = （3）23191036102924389⨯= 17. （1）2222(2,0),,4,1,124x N e a b y -===+= （2）设AN (2)y k x =+ BN 1(2)y x k=-+，由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得222284(,)4141k k A k k -++，因此222284(,)44k kB k k --++ 因此254(1)ABkk k -=-，AB 的方程为22224528()414(1)41k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，可得2224665(41)5k x k --==-+，即过定点（6,05-）18. （2）由题意2BD BP BE +=，两边平方得28280,0,233x x x x +-=>=13PBDV AC S =⋅⋅=19. （1）用代入法得()2lg(2)g x x a =+（2）由(),(2)g x f x -的定义域得122ax -<<，它包含[]0,1，因此2a >， ()(2)g x f x >得22211024a a x x +--+>，令22211()24a a h x x x +-=-+其对称轴为2114a x +=>（2a >），2min 41()(1)04a a h x h -+==>，2a >+20.(1) 11111111119,12348956789n =-+-+-+=++++ 1111111111110,12348910678910n =-+-+-+-=++++(2)n 为偶数时1111111112234112n n n n n-+-++-=++++--n 为奇数时1111111111234112n n n n n-+-++-=++++--用数学归纳法证，当1,2n =时由已知等式成立假设n=2k 时等式成立，即1111111112342121212k k k k k-+-++-=+++-+-，当n=2k+2时，111111112342122122111111212212211111()22211221111222122k k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-++-+-=-+-++++-+--+=++++-+--+=+++++-+等式也成立因此，当n 为偶数时，1111111111234112n n nn n-+-++-=++++-- 成立。

2020年浙江省衢州二中高考数学模拟试卷(6月份) (含解析)

2020年浙江省衢州二中高考数学模拟试卷(6月份)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|0<x<5}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∩∁R B()A. (0,3)B. (3,5)C. (−1,0)D. (0,3]2.双曲线2x2−y2=8的实轴长是()A. 4√2B. 4C. 2√2D. 23.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 74.设a,b是实数，则“a>b>1”是“a+1a >b+1b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.将函数f(x)=2sin xcos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，若所得的图象过点(π3,12)，则φ的最小值为()A. π6B. π4C. π3D. 2π36.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 28B. 30C. 36D. 427.已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则()．A. E(X)=5,D(X)>3B. E(X)=5,D(X)<3C. E(X)<5,D(X)>3D. E(X)<5,D(X)<38.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A、B、C三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为()A. 112B. 18C. 16D. 149.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=√3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. 15B. √56C. √22D. √5510.函数f(x)=x2+x−ln x的零点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五．方．白．圈．皆．阳．数．，．四．隅．黑．点．为．阴．数．，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五．个．阳．数．中．随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是．12.已知i为虚数单位，复数z=3+i2−i，则z−等于______．13.若(1−2x)2016=a0+a1x+a2x2+⋯+a2016x2016(x∈R)，则a12+a222+a323+⋯+a201622016=______．14.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF1，且|AB|：|AF1|=4：3，则椭圆的离心率为______．15.若函数f(x)=√x2+ax+1的值域为，则实数a取值范围是_________ ．16.已知a∈R，函数f(x)=|x+4x−a|+a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．17.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共63.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sinC−sinA)a=(sinC−sinB)(c+b)，△ABC的外接圆的半径为2√3，3(1)求角B的大小；(2)若a+c=4，求△ABC的面积．19.在三棱锥A−BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=√3，BD=CD=1，另一个侧面ABC是等边三角形．(1)求证：AD⊥BC.(2)在线段AC上是否存在一点E，使直线ED与平面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=3，S 5=20．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n =(12)a n ，求证：14≤T n <12．21. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一焦点F 在抛物线y 2=4x 的准线上，且点M(1,−√22)在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过直线x =−2上一点P 作椭圆E 的切线，切点为Q ，证明：PF ⊥QF ．22. 已知函数f(x)=e x−1−x ，求f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式变形得：(x−3)(x+1)>0，解得：x>3或x<−1，即B=(−∞,−1)∪(3,+∞)，∵全集为R，A=(0,5)，∴∁R B=[−1,3]，则A∩(∁R B)=(0,3]，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：双曲线2x2−y2=8，可化为x24−y28=1∴a=2，∴双曲线2x2−y2=8的实轴长是4故选B．双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足约束条件{x−3y+4⩾03x−y−4⩽0x+y⩾0作出可行域如图，联立{x +y =03x −y −4=0，解得C(1,−1)，化目标函数z =3x −2y 为y =32x −12z ，由图可知，当直线y =32x −12z 过C(1,−1)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值5．故选：C ．4.答案：A解析：设f(a)=a +1a ，f(b)=b +1b ，由于f(x)=x +1x 图象如下图．∴根据函数的单调性可判断：若“a >b >1”则“a +1a >b +1b ”成立，反之若“a +1a >b +1b ”则“a >b >1”不一定成立．根据充分必要条件的定义可判断：“a >b >1”是“a +1a >b +1b ”的充分不必要条件．5.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，属于基础题．根据正弦函数的图象平移法则及图象性质即可求出答案．解：由f(x)=sin2x的图象平移后所得的函数表达式为g(x)=sin(2x−2φ)，由题意，知sin(2π3−2φ)=12，所以2π3−2φ=π6+2kπ(k∈Z)或2π3−2φ=5π6+2k′π(k′∈Z)，所以φ=π4−kπ(k∈Z)，或φ=−π12−k′π(k′∈Z)．又φ>0，所以φ的最小值为π4．故选B．6.答案：D解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：是3个长方体的组合体：几何体的表面积为：2×(1+3+1+3)+2×(1×3)+2×(1+1+1+1)+2×(1+2+1+2)=42．故选：D．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，画出直观图是解题的关键．7.答案：B解析：本题考查随机娈量期望和方差的运算，可利用平均数、方差的定义直接求解．解：某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x¯，方差为s2，x=8×5+59=5，S2=8×3+(5−5)29=83<3，所以B选项是正确的．故选B．8.答案：C解析：本题主要考查了排列、组合的综合应用，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．根据排列组合知识得出甲乙被安排到同一个场馆的概率．解：由题意可知安排方法有C 42A 33=36种，甲乙被安排到同一个场馆方法有A 33=6种， ∴甲乙被安排到同一个场馆的概率为636=16．故选C ．9.答案：D解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=√3，，∴A(1,0,0),D 1(0,0,√3),D(0,0,0),B 1(1,1,√3),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3),设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ，则cosθ=|AD 1⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD 1||DB 1|=2√5=√55.，∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为√55.故选：D ．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．。

2020年浙江省衢州二中高考6月模拟数学试题(含解析)

2020年浙江省衢州二中高考6月模拟数学试题一、单选题1．若当0x >时，函数2()2x f x e mx =-+有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞2．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大3．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,3,5,M N M N ==⋂集合则等于（） A ．{2}B ．{2，3}C ．{1,,3 }D ．{1,2,3,4,5}5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．46．设变量x ，y 满足约束条件250{200x y x y x +-≤--≤≥则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．117．2013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（） A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种8．已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） AB ．23CD ．1210．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的14，则实数m = A ．116B ．14C ．4D ．16二、填空题11．函数222231x x y x x ++=+-的值域为________． 12．已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若1AF 与2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______.13．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________. 14．函数arcsin tan()4y x x π=+的值域是________三、解答题15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos cos cos c a B b A C=+，4c =.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）当ABC ∆的面积取最大值时，求b 的值． 16．已知212ln ()xf x x+=. （1）求()f x 的最大值；（2）存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使1212()()ln ln f x f x k x x -≥-成立，求k 的取值范围. 17．已知抛物线()2:20C y px p =>上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，焦点F 满足10AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过()6,0Q .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 上一点，当F 为DC 的中点时，EF 平行于平面P AD .（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值.19．首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤(1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； (3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值．四、双空题20．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是______，有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是______.21．已知()()()()2*012111nn n x a a x a x a x n N =++++++∈…+对任意x ∈R 恒成立，则0a=__________；若450a a +=，则n =_________________．22．已知复数z ：满足1)3i z i +=+（（i 为虚数单位），则复数z 的实部为①________，z =②________.【答案与解析】1．A求出()'f x ，使()0f x '=在()0,x ∈+∞上有两个根，然后利用参变分离思想处理.因为函数2()2x f x e mx =-+，则()2xf x e mx '=-+，若当0x >时，函数2()2xf x e mx =-+有两个极值点，则()20xf x e mx '=-+=在()0,x ∈+∞上有两根，即2xe m x=在()0,x ∈+∞上有两解，令()2=x e g x x ，则()()22122xx x x exe e g x x x--'==，当1x >时，()0g x '>，则()g x 在()1,x ∈+∞上递增，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1x ∈上递减，所以函数()2=xe g x x在1x =处取得最小值，即()12e g =，故2e m >.故选：A.本题考查利用函数的极值点个数求参数的取值范围问题，难度一般，解答时注意灵活转化，注意参变分离思想的运用. 2．A根据随机变量的期望，方差公式计算出()E ξ，()D ξ后根据函数的单调性可得．由题意得11()01212222p p pE ξ-=⨯+⨯+⨯=-，所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少； 221()[0(1)][1(1)]2222p p p D ξ=--⨯+--⨯22132[2(1)]222p p p p --++--⨯=231()242p --=，所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少．故选A ．本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，属中档题． 3．B由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1r =，圆柱的高为5，据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+. 本题选择A 选项.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 4．C因为{}13M N ⋂=， ,所以选C. 5．C试题分析：因为y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π]),即sin 2xy =(x ∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y ＝12的交点有两个. 考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像. 点评：本小题关键是利用诱导公式3cos()sin 2παα+=把y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])转化为sin 2xy =(x ∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y ＝12的交点个数.6．B试题分析：约束条件对应的可行域为直线250,20,0x y x y x +-=--==围成的三角形及其内部；三顶点为()()50,,0,2,3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23z x y =+过点()3,1时取得最大值9考点：线性规划问题 7．B分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个项目，有11232212C C A =种情况，②没有人与甲在同一个项目，则有12C C 32•A 22=12种情况；则若甲要求不去A 项目，则不同的分配方案有12+12=24种；故选B ．考点：本题主要考查排列、组合的应用，计数原理．点评：易错题，注意题意中“每个比赛项目至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论． 8．A先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ，由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则2d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．A建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角．因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1B，1(0,1C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC ABBC AB BC ⋅<>===． ∴直线1AB 与1BC ．故选：A ．本题考查求异面直线所成的角，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解． 10．A本题可以先将双曲线转化为标准式方程，得出实轴长与虚轴长，最后根据题意解得结果．双曲线方程可化为2211y x m-=，则实轴长为2，虚轴长为由题意可得124=⨯116m =．故选A ．本题考查双曲线方程，双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x b a-=．11．(,2](2,)-∞-⋃+∞首先分离常数，再求出21x x +-的范围，得出211x x +-的范围，即可逐步求出函数的值域.2222235211x x y x x x x ++==++-+-，因为221551244x x x ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭，所以21415x x ≤-+-或2101x x >+-，则25221x x +≤-+-或25221x x +>+-，即(,2](2,)y ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(,2](2,)-∞-⋃+∞本题考查具体函数的值域问题，属于中档题. 12．1e =因为2 AOF 为正三角形，故可根据椭圆的定义可得,a c 的关系，从而得到离心率.我们也可以根据已知条件得到12A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把A 代入椭圆整理，得42840e e -+=，由此能够求出椭圆的离心率．解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为1AF 与2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=，260AOF ∠=，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得1AF =.根据椭圆的定义，可得)1221a AF AF c =+=，故椭圆的离心率212c c e a a ====. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=，260AOF ∠=，所以2AOF △为正三角形，故12A c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-，整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得24e =+24e =-，所以1e =.本题考查椭圆的本题考查了椭圆的定义，性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用． 13．[]4,4-先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解. 解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-，过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=，即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．[1,1]22ππ--+利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可．因为函数arcsin tan()4y x x π=+的定义域是[1-，1]，函数是增函数，所以函数的最小值为：12π--，最大值为：12π+．所以函数的值域为：[12π--，1]2π+．故答案为[12π--，1]2π+．本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查计算能力． 15．(1)3C π=;(2)4b =.分析：（Ⅰ）由正弦定理统一角，可求得cosC ．（Ⅱ）由角C 的面积公式与角C 的余弦定理和均值不等式，求得了面积的最大值，同时均值不等式等号成立条件可求得b 边．详解：（Ⅰ）因为()cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得()sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，sin 2sin cos C C C = 又sin 0C ≠，即可得1cos 2C =，故3C π= （Ⅱ）依题意，ABC ∆的面积1sin 24S ab C ab ==，故只需ab 最大即可；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即2216a b ab =+-，结合基本不等式可得16ab ≤，当且仅当4a b ==时取等号，所以当ABC ∆的面积取最大值时，4b =.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况． 16．（1）1；（2）2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （1）对函数求导，求函数的单调性，利用单调性即可求得最大值.（2）不妨设121x x >>，由（1）知当x ∈(1，＋∞)时，y ＝f (x )单调递减，由题意可得2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立，构造函数()()ln h x f x k x =+，得h (x )在(1，＋∞)上存在减区间，则()234ln kx xh x x -'=<0有解，即k <24ln x x 有解，则k <2max4ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令t (x )＝24ln x x ，求出y ＝t (x )的最大值即可. （1）()34ln x f x x '=-，令()34ln 0x f x x'=-=，得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，函数单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，()0f x '<，函数单调递减，所以当x ＝1时函数取到最大值为f （1）＝1.（2）不妨设121x x >>，由（1）知当x ∈(1，＋∞)时，y ＝f (x )单调递减.1212()()ln ln f x f x k x x -≥-即()1122()()ln ln f x f x k x x -≥-，即2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+，存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立.令()()ln h x f x k x =+，h (x )在(1，＋∞)上存在减区间，则()234ln kx xh x x -'=<0有解，即k <24ln x x 有解，则k <2max 4ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令t (x )＝24ln x x ，t ′(x )＝()3412ln x x-. 当x ∈(0时，()0t x '>，y ＝t (x )单调递增；当x ∈，＋∞)时，()0t x '<，y ＝t (x )单调递减.所以当x =2e=. 所以k 的取值范围是2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造函数的思想，利用导数研究函数的单调性，考查分析能力和计算能力，属于中档题.17．（1）24y x =；（2）1x =+.（1）由10AF BF +=，结合抛物线的定义得出1210x x p ++=，再由中垂线的性质得出QA QB =，利用两点间的距离公式得出12122x x p +=-，可求出实数p 的值，由此可得出抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 平移且使得平移后的直线与直线l 之间的距离等于2，可得出直线1:1l x my =++，2:1l x my =+-，可知直线1l 或2l 与抛物线C 相切，并与抛物线C 的方程联立，利用0∆=求出实数m 的值，即可得出直线l 的方程. （1）由抛物线的定义可得1210AF BF x x p +=++=，① 由于线段AB 的垂直平分线过()6,0Q ，则QA QB =，=221112221236212362x x px x x px -++=-++，()()()1212121220x x x x p x x ∴+--+-=，()()12121220x x x x p -+-+=，12x x ≠，12122x x p ∴+=-，②由①②得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 平移且使得平移后的直线与直线l 之间的距离等于2，设平移后的直线方程为x my t =+2=，得1t =±，得直线1:1l x my =++，2:1l x my =+-，可知直线1l 或2l 与抛物线C 相切，若直线1l 与抛物线C相切，则214x my y x⎧⎪=++⎨=⎪⎩2440y my ---=，2116160m ∆=++=，此方程无解；若直线2l 与抛物线C相切，则214x my y x⎧⎪=+-⎨=⎪⎩，得2440y my --+=，2216160m ∆=+-=，得23m =，解得m =因此，直线l的方程为10x -=或10x +-=.本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线上的点到直线的距离问题，可以利用平移直线法转化为直线与抛物线相切，考查化归与转化思想，属于中等题. 18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）PD ⊥平面ABCD 可得PD BC ⊥，从而证出BC ⊥平面PCD ，则BC DE ⊥，从而可证出DE ⊥平面PCB ；（Ⅱ）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面BDE 和平面PDB 的的一个法向量，再根据法向量求出二面角．（Ⅰ）证：PD ⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又∴正方形ABCD 中，CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，BC ∴⊥平面PCD ，又DE ⊂平面PCD ，BC DE ∴⊥，PD CD =，当F 为DC 的中点时，EF 平行平面PAD ，所以E 是PC 的中点， DE PC ⊥，PC BC C ⋂=，DE ∴⊥平面PCB ；（Ⅱ）解：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ，(0,1,1)E ，(2,2,0)DB =，(0,1,1)DE =，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n DB ⋅=，0n DE ⋅=，2200x y y z +=⎧∴⎨+=⎩，令1z =，得到1y =-，1x =，(1,1,1)n ∴=-；又(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，(2,2,0)=-AC ，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为(1,1,0)m =-；设二面角E BD P --的平面角为α，由图可知角α为锐角，则1cos |cos ,|m n α+=<>==，∴二面角E BD P --．本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题．19．（1）2,0,6--；（2）2n b n =-；（3）当k 为奇数时,k S 的最大值为0; 当k 为偶数时，k S 的最大值为2k-. (1)由递推关系得到4a 的所有可能值；(2)由题意可知数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，先证明数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3) 由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.（1）4a 的值可以取2,0,6-- .（2）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列，即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，根据条件21a =-，40a =，所以当20n a ≥对2n ≥成立，下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数，因为1||i i a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有()i 1112i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾，若i 1,i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>，与条件矛盾，所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<<，所以 22121n n a a n --=-，()212222n n a a n ---=--，所以()()22121221n n n n a a a a ----+-=，即2221n n a a --=，其中2n ≥ ，即11n n b b --=，其中2n ≥，又121b a ==-，240b a ==，所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列，所以()112n b n n =-+-=- . （3）记1231k k k S a a a a a -=+++++，由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，当0n a ≥，则1a 0n +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤-，当10n a +≥，则a 0n <，根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤，所以，总有10n n a a ++≤成立，当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++ 1≤-，当n 为偶数时，10n n a a ++≤ ，当k 为奇数时，()()12310k k k S a a a a a -=+++++≤，考虑数列：01,1,2,2,--，， 12k --，12k -⋯，可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =, 所以k S 的最大值为0，当k 为偶数时，()()1212k k k k S a a a a -=++++≤-，考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k- ,可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-，所以k S 的最大值为2k-.本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题. 20．25 54125根据计数原理，所有的取球方法共有36C 种，而三种球各有一个共包含()312C 个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故恰好有1人获奖的概率可求.设中奖为事件A ,则事件A 包含的基本事件个数为()3128C =，所有的基本事件共有3620C =个，所以中奖概率为82()205P A ==；有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2132254(1)155125P X C ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭；故答案为：254;5125. 本题主要考查古典概率和二项分布，明确题目的求解模型是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.21．()1n- 9利用1t x =+将问题转化为二项式的问题，然后利用二项式的通项分别表示出即可求解.令1t x =+，则()20121nn n t a a t a t a t -=+++…+，则()01na =-，()4441n n n a C --=-，()5551n n n a C --=-，∵450a a +=，故45n n n n C C --=，即45n n C C =，解得9n =.本题考查二项式定理,二项展开式的项和系数的关系是易错点.22．2根据复数z 满足1)3i z i +=+（，利用复数的乘除化简为2z i =-，再利用复数的概念和模的公式求解.因为复数z 满足1)3i z i +=+（，所以()()31)32111)i i i z i i i i +-+===-++-（（，所以()()31)3111)i i i z i i i +-+====++-（（故答案为：①2本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.。

2020年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学模拟试卷(4月份)

2020年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合[0A =，4]，{|||1}B x R x =∈„，则()(R A B =I ð ) A ．[1-，0)B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．(1，4]2．（4分）椭圆2212x y +=的离心率是( )A ．12 B ．13C ．2 D ．2 3．（4分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是( )A ．323B ．163C ．4D ．84．（4分）明朝的程大位在《算法统宗》中(1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知．它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值．《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何．”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件．( ) A ．21B ．22C ．23D ．245．（4分）函数()()||x x f x e e ln x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）若实数x ，y 满足约束条件2302300x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…，则23x y +的取值范围是( )A ．[1-，15]B ．[1，15]C ．[1-，16]D ．[1，16]7．（4分）若0a >，0b >，则“4ab „”是“1aba b+„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（4分）已知任意[1a ∈-，2]，若存在实数b 使不等式2||x ax b -„对任意的[0x ∈，2]恒成立，则( ) A ．b 的最小值为4 B ．b 的最小值为6 C ．b 的最小值为8D ．b 的最小值为109．（4分）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是( )A ．PA PC PB PD +u u u r u u u r u u u r u u u rg g 是定值B ．PA PB PB PC PC PD PD PA +++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g 是定值C ．||||||||PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r是定值 D ．2222PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r 是定值10．（4分）对任意0x >，不等式220x ae lnx lna -+…恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．eB ．2eC ．2eD ．12e二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（4分）复数2(1z i i=+为虚数单位），则||z = ． 12．（6分）在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知21a =，36a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = n S = ．13．（6分）二项式61()2x x -的展开式的各项系数之和为，4x 的系数为．14．（6分）已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为，动直线l 被圆22280x y y +--=截得的弦长最短为． 15．（6分）已知随机变量X 的分布列如表：X 0 2 aP12 b14其中0a >，0b >．且()2E X =，则b = ，(21)D x -= ．16．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k =g ，则双曲线离心率e 等于．17．（4分）已知函数2()f x x ax a =++，{|()}A x R f x x =∈„，{|[()]()}B x R f f x f x =∈„，A ≠∅，A B ⊆，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。

2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020年2月普通高考数学(浙江卷)全真模拟卷(1)(解析版)

2020年2月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|log (1)}A x y x ==-，{|B y y ==，则A B =I （）A ．(0,2]B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(1,2]【答案】C 【解析】因为{}1,{|0}A x x B y y ==≥，所以{|1}A B x x =>I ，应选答案C 。

2．下列曲线中离心率为2） A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -=D ．221410x y -=【答案】B 【解析】由e =得222222331,1,222cb b a a a =+==，选B.3．设实数x ，y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】实数x ,y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,其表示出平面区域如下图所示:将函数12y x =-平移,可知当经过点()0,3A 时, 122zy x =-+的截距最大此时0236z =+⨯= 所以2z x y =+的最大值为6 故选:D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．43π+ B ．23+π C ．43π+ D ．423π+ 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A. 5．“1sin 2α=”是“1cos22α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为1sin 2α=，所以21cos 2=12sin 2αα-=．又因1cos22α=，所以1sin 2α=±，因此“1sin 2α=”是“1cos22α=”的充分不必要条件．故选A ．6．若函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为函数()(0x xf x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上是奇函数，所以(0)0f =所以，101k k -=⇒=，()x xf x a a -=-又因为函数()xxf x a a-=-在(,)-∞+∞上是增函数，所以，1a >所以()()log (1),1a g x x a =+>，它的图象可以看作是由函数log a y x =向左平移一个单位得到，故选D.7．已知随机变量X 的分布列如下表：其中,,0a b c >.若X 的方差3DX ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则( ) A ．103b <≤ B ．203b <≤ C ．113b ≤< D ．2b 13≤<【答案】D 【解析】由X 的分布列可得：X 的期望为a c EX =-+，1a b c ++=，所以X 的方差()()()22211DX a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()()2222a c a b c a c a c a c a c =-++--++=--++，()221211412b a b b a b -⎛⎫=--++-=--+- ⎪⎝⎭因为()0,1a b ∈-所以当且仅当12ba -=时，DX 取最大值1b -，又13DX ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，所以只需113b -≤，解得23b ≥，所以213b ≤<. 故选D8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（）A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<【答案】D 【解析】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大，当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=，因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<，所以αβθ<<，故选D.9．设函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，若()()()02233441f f f <==<，则()()15f f +的取值范围是( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】A 【解析】令()()()()()234xf x t a x x x x m -=----，其中01t <<，取0x =可得24.t ma ①-=取1x =可得()()161.f t m a -=--② 取5x =可得()()5565.f t m a -=-③由②③可得：()()()()515630165f f t m a m a ⎡⎤+-=--+-⎣⎦，④ 将①代入④可得：()()()150,1f f t +=∈．故选A ．10．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=a nan+2(n ∈N ∗).若b n+1=(n −2λ)⋅(1a n+1) (n ∈N ∗)，b 1=−λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．λ>23B ．λ>32C ．λ<32D ．λ<23【答案】D 【解析】因为a n+1=a nan+2⇒1an+1=2a n+1⇒1an+1+1=2(1a n+1)⇒1a n+1=(1a 1+1)2n−1=2n ，所以b n+1=(n −2λ)⋅2n ，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n+1>b n ⇒(n −2λ)⋅2n >(n −1−2λ)⋅2n−1⇒n >2λ−1⇒2>2λ−1⇒λ<32；当n =1时，b 2>b 1⇒(1−2λ)⋅2>−λ⇒λ<32，因此λ<23，选D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.12．直线142x y+=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =______；以线段AB 为直径的圆的方程为_________．【答案】 22420x y x y +--= 【解析】令0x =得2y =,令0y =得4x =,所以(4,0),(0,2)A B ,所以AB ==,所以AB 中点坐标为()2,1 所以圆的方程：()222(1)5x y -+-=.故答案为:22420x y x y +--=13．若35280128(3)(21)...x x a a x a x a x -+=++++，则0a =_________，028...a a a +++=_________.【答案】-27 -940 【解析】令0x =得()()35031a -=，所以027a =-，令1x =得()()35012823...a a a a -=++++，令1x =-得()301284...a a a a =++++，两式相加得()0280282...1880,?...940.a a a a a a +++=-+++=- 14．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠=__________，AC =____________.【答案】14【解析】由余弦定理可知：2222cos 288DC DB BC DB DBCDB DC DB DB +-∠===⋅ 2221cos 22AD DB AB ADB AD DB DB+-∠==⋅ 因为ADB CDB ∠=∠，所以182DB DB=，解得：2DB = 所以21cos 884DB CDB ∠=== 217cos cos 22cos 121168ADC CDB CDB ∠=∠=∠-=⨯-=-所以AC ===故答案为：14；15．已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为222112222111y y k k k x x k -==⇒==-+，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 16．已知函数()32*()5(4)1f x x n x nx n N =++++∈有三个零点且均为有理数，则n 的值等于________.【答案】7 【解析】由(1)5410f n n -=-++-+=，可得1-是函数()f x 的一个零点．令23232()(1)(51)5(5)(1)15(4)1(*)f x x x ax x a x a x x n x nx n N =+++=+++++=++++∈．54a n ∴+=+，1a n +=，即1a n +=．∴方程25(1)10x n x +-+=有两个根，且均为有理数．2(1)200n ∆=--…，可得1n …，且2(1)20n ∆=--为完全平方数．设22(1)20n k --=，*k N ∈．(1)(1)2045210120n k n k ∴-+--==⨯=⨯=⨯，经过验证只有：110n k -+=，12n k --=，7n =，4k =时满足题意．∴方程25(1)10x n x +-+=即25610x x ++=，解得11x =-，215x =-，均为有理数．因此7n =．故答案为：7．17．在ABC ∆中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a cb +-，且C ∠为钝角，则tan B =__；ca的取值范围是___．【答案】43 5(,)3+∞【解析】因为1sin 2S ac B ==()22213a cb +-，所以2223sin cos 42a c b B B ac+-==即4tan 3B =，因为C ∠为钝角，所以43sin ,cos 55B B ==，由正弦定理知sin sin()sin cos 34cos cot sin sin sin 55c C B A B A B A a A A A +===+=+ 因为C ∠为钝角，所以2A B π+<,即2A B π<- 所以4cot cot()tan 23A B B π>-==所以34455533c a >+⨯=，即c a 的取值范围是5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-. （1）求角C ；（2）求a bc+的取值范围. 【答案】（1）3C π=(2)(1,2]【解析】（1）根据正弦定理有:,化简得,根据余弦定理有, 所以.（2）根据正弦定理将a bc+化简,同时将（1）代入,化简为因为,,所以.故,的取值范围是19．如图，已知四棱锥P ABCD -，//BC AD ，平面PAD ⊥平面PBA ，且DP DB =，2AB BP PA AD BC ====．（1）证明：AD ⊥平面PBA ；（2）求直线AB 与平面CDP 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：分别取PA ，PB 的中点M ，N ，连结AN ，DN ，BM .因DP DB =，N 为PB 的中点，故PB DN ⊥.同理，PB AN ⊥，BM PA ⊥.故PB ⊥平面DNA . 故PB AD ⊥.因平面PAD ⊥平面PBA ，平面PAD I 平面PBA PA =，BM ⊂平面PBA ，BM PA ⊥，故BM ⊥平面PAD . 则BMAD ⊥.又PB ，BM 是平面PBA 中的相交直线，故AD ⊥平面PBA .（2）由（1）知，AD ⊥面ABP ，又BC ∥AD ，BC ⊥面PAB .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，B ，C ，(0,0,2)D ，(2,0,0)P ，则AB =u u u v，(1,CD =-u u u v ，(2,0,2)PD =-u u u v. 设(,,)n x y z =r是面PCD 的一个法向量，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，，即0220x z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，，取=1x ，则(1,0,1)n =r.设直线AB 与平面PCD 所成的角为θ，则sin |cos ,|4AB n AB n AB nθ⋅====⋅u u u v r r r u u u v u u u v ，所以直线AB 与平面PCD所成角的正弦值为4. 20．已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2na 的前n 项和为nS，且12S +，22S +，32S +成等比数列．（1）求通项公式n a ；（2）求证：11n <L （*n N ∈）；【答案】（1）n a n =；（2）见解析【解析】（1）记d 为{}n a 的公差，则对任意n *∈N ，112222n n n na a a d a ++-==，即{}2na 为等比数列，公比20dq =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++，即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q =，即1d =.所以1(1)n a a n d n =+-=，即()n a n n N *=∈；（2）由（1）)n N *++<+∈L .下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k N *=∈<L ，则当1n k =++<+L .因0+=<，++<.++<L ，即当1n k =+时，不等式仍成立.)n N *++<+∈L .所以11)n N n *<+∈L 21．如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中10y >，124y y =-．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．【答案】（1）2p =（2【解析】(1)设直线:2AB p l x ty =+,联立2222202y px y pty p p x ty ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩,故212y y p =-,又124y y =-,故2p =.(2)点221212(,)(,)44y y A y B y ，,则1(1,)H y -,直线1:(1)2y PQ y x =--,代入24y x =,得2222111(216)0y x y x y -++=.设3344(,)(,)P x y Q x y ，,则2134214(4)2y PQ x x y +=++=. 设A B ，到PQ 的距离分别为12d d ，,由11:20PQ y x y y +-=,得12d d +===22==,因此1211||()2APBQS PQ d d =⋅+= 设函数256(4)()x f x x+=(0)x >,则24274(4)(6)'()x x f x x +-=, 可得,当x ∈时,()f x单调递减；当)x ∈+∞时,()f x 单调递增,从而当1y =时,S=22．已知函数()()2ln f x x a x a R =-∈. (1)若2a =,求证：()f x 在()1,+∞上是增函数；(2)求()f x 在[]1,x e ∈上的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）ln 222a a a-. 【解析】（1）当时，,当时，,所以在上是增函数.（2）,当若则当时，所以在上是增函数，又故函数在上的最小值为1,若，则当所以在上是减函数，又所以函数在上的最小值为,若，则：当时，，此时是减函数,当时，，此时是增函数,又,所以函数在上的最小值为,综上可知，当函数在上的最小值为1,当，函数在上的最小值为,当，函数在上的最小值为.。

2020年浙江省嘉兴市、丽水市、衢州市高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)

2020年浙江省嘉兴市、丽水市、衢州市高考数学模拟试卷（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合的真子集的个数是（）A. B. C. D.2.双曲线的渐近线方程是（）A. 2x±y=0B. x±2y=0C. 4x±y=0D. x±4y=03.若实数满足不等式组则的最小值等于A. B. C. D.4.已知函数满足，设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（）A. 12B. 11C. 10D. 97.ξ-101P则当p在内增大时，（）A. E（ξ）减小，D（ξ）减小B. E（ξ）减小，D（ξ）增大C. E（ξ）增大，D（ξ）减小D. E（ξ）增大，D（ξ）增大8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，，点E，O分别是线段C1C，BC的中点，，分别记二面角F-OB1-E，F-OE-B1，F-EB1-O的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是（）A. γ＞β＞αB. α＞β＞γC. α＞γ＞βD. γ＞α＞β9.已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A. B. C. D. 510.记递增数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，a9=9，且对{a n}中的任意两项a i与a j（1≤i＜j≤9），其和a i+a j，或其积a i a j，或其商仍是该数列中的项，则（）A. a5＞3，S9＜36B. a5＞3，S9＞36C. a6＞3，S9＞36D. a6＞3，S9＜36二、填空题（本大题共7小题，共38.0分）11.设i为虚数单位，给定复数，则z的虚部为______，|z|=______．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13.已知a，b，c分别为△ABC的三边，若a=6，b=7，c=8，则cos C=______，△ABC的外接圆半径等于______．14.如图，将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的3个小正三角形，分别再从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上的做法，得到的集合为希尔宾斯基三角形．设A n是前n次挖去的小三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是前2次挖去的4个小三角形面积之和），则A2=______，A n=______．15.若（2x+1）6=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=______．16.某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是．（用数字作答）17.如图，椭圆的离心率为e，F是Γ的右焦点，点P是Γ上第一象限内任意一点，，，若λ＜e，则e的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）18.已知函数．（Ⅰ）求f（2019π）的值；（Ⅱ）若f（α）=1，且0＜α＜π，求cosα的值．19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E，F分别是线段DC，BC的中点，分别将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D，C重合于点G，连结AF．（Ⅰ）求证：平面GEF⊥平面GAF；（Ⅱ）求直线GF与平面GAE所成角的正弦值．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n和a n+1之间插入n个实数，使得这n+2个数依次组成公差为d n的等差数列，设数列的前n项和为T n，求证：T n＜2．21.已知三点P，Q，A在抛物线Γ：x2=4y上．（Ⅰ）当点A的坐标为（2，1）时，若直线PQ过点T（-2，4），求此时直线AP与直线AQ的斜率之积；（Ⅱ）当AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|时，求△APQ面积的最小值．22.已知函数f（x）=x2e3x（Ⅰ）若x＜0，求证：f（x）＜（Ⅱ）若x＞0，恒有f（x）≥（k+3）x+2ln x+1，求实数k的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为集合{2，0，1，9}有4个元素，{2，0，1，9}的真子集个数为：．故选：C．集合{2，0，1，9}有4个元素，从而得出该集合的真子集个数．考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，组合知识的运用．2.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐进方程．属于基础题．渐近线方程是-y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是-y2=0整理得x ±2y=0．故选：B．3.答案：A解析：【分析】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值.首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【解答】解：作出实数x，y满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得A（1，1），由z=3x+y得y=-3x+z，平移y=-3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z min=3×1+1=4．故选A.4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，涉及函数的概念，属基础题．作为函数，对于定义域内x的每一个值，有且只有一个y的值与之对应，但是可以有不同的x对应于同一个y．【解答】解：若x0=4，则f（x0）=f（4）=17，即y0=17成立，作为函数，对于定义域内x的每一个值，有且只有一个y的值与之对应，但是可以有不同的x对应于同一个y．比如f（x）=|x|+1，则由f（x0）=y0=17，得x0=±4，∴“y0=17”是“x0=4”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零点判断函数的正负是解决本题的关键．判断函数f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在x轴右侧的函数零点判断函数的正负进行判断即可【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=ln cos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，令得或,所以x轴右侧的零点为，在上取，则，排除C，故选：D．6.答案：B解析：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω•（-）+φ=kπ，且ω•+φ=k′π+，k、k′∈Z，∴ω=2（k′-k）+1，即ω为奇数①．∵f（x）在（，）单调，∴≥-，∴ω≤12 ②．由①②可得ω的最大值为11．当ω=11时，由x=为y=f（x）图象的对称轴，可得11×+φ=kπ+，k∈Z，故有φ=-，ω•（-）+φ=kπ，满足x=-为f（x）的零点，同时也满足满足f（x）在（，）单调，故ω=11为ω的最大值，故选：B．由题意可得ω•（-）+φ=kπ，且ω•+φ=k′π+，故有ω=2（k′-k）+1①，再根据≥-，求得ω≤12②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．E（ξ）=（-1）×+=，D（ξ），判断其在内的单调性即可．【解答】解：根据题意E（ξ）=（-1）×+=-在p∈内递增，D（ξ）=.是以为对称轴，开口向下的抛物线，在上单调递减，故选C．8.答案：D解析：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则F（1，0，），O（，，0），E（0，0，），B1（1，1，），，，，，，设平面OB1E的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），同理可求平面OB1F的法向量，平面OEF的法向量，平面EFB1的法向量．∴，，．∴γ＞α＞β．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：A解析：解：根据题意设=（1，0），=（0，1），对应的点C在单位圆上，（+2）2-（2+）2=32-32=0，所以|+2|=|2+|，|2+|+|3+2-|表示C点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为2x-5y+4=0，原点到直线2x-5y+4=0的距离为=＜1，所以与单位圆相交，所以|2+|+|3+2-|的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即．故选：A．，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．|+2|=2|+|，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为|+2|=|2+|．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10.答案：D解析：解：∵a i+a j，或其积a i a j，或其商仍是该数列中的项，∴a2+a9或者a2a9或者是该数列中的项，又∵数列{a n}是递增数列，∴a1＜a2＜a3＜…＜a9，∴a2+a9＞a9，a2a9＞a9，只有是该数列中的项，同理可以得到，，..，也是该数列中的项，且有a1＜＜＜…＜＜a9，∴，∴a5=3或a5=-3（舍），∴a6＞3，根据a1=1，a5=3，a9=9，同理易得a2=，a3=，a4=，a6=，a7=，a8=，∴S9=a1+a2+…+a9=＜36，故选：D．由题意可得，从而得到a5=3，再由a5=3就可以得出其它各项的值，进而判断出S9的范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．11.答案：2解析：解：∵=，∴z的虚部为2，|z|==．故答案为：2，．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：144-12π 168+6π解析：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积S=2×6×6+4×4×4-9π+×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π．由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求解即可．本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关键．13.答案：解析：解：∵a=6，b=7，c=8，∴cos C===．∴sin C==，∴设△ABC的外接圆半径R，由正弦定理可得2R==，解得△ABC的外接圆半径R=．故答案为：，．由已知利用余弦定理可求cos C的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而根据正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.答案：=．解析：解：由题意，可知：原等边三角形的面积A==．∴A1=A=．∴A2=A1+3••A1==．由题意，可知：每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形．第一次挖去的三角形是原等边三角形的，第一次只挖去1个三角形；第二次挖去的三角形是原等边三角形的•，第一次只挖去3个三角形；第三次挖去的三角形是原等边三角形的（）3，第一次只挖去32个三角形；•••∴第n次挖去的三角形是原等边三角形的（）n，第一次只挖去3n-1个三角形；∴A n-A n-1=3n-1•（）n•A=3n-1•（）n•=，（n≥2，且n∈N*）．∴A1=，A2-A1=•，A3-A2=•，•••A n-A n-1=．∴A n=•[1+++…+]==．故答案为：；．本题要逐步观察，每一次挖去的三角形都是前一次三角形的，每一次只挖去3n-1个三角形，由此规律不难发现A n与A n-1的关系，然后根据累加法即可求出A n的值．本题主要考查对规律的观察理解能力，以及运用累加法求数列通项，本题属中档题．15.答案：13解析：解：设f（x）=（2x+1）6，g（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，所以f′（x）=12（2x+1）5，g′（x）=a1+2a2（x+1）+…+6a6（x+1）5，又f（x）=g（x），所以f′（x）=g′（x），即12（2x+1）5=a1+2a2（x+1）+…+6a6（x+1）5，取x=0得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12，又g（0）=f（0），所以a0=1，故a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=1+12=13，故答案为：13由导函数的应用得：设f（x）=（2x+1）6，g（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，所以f′（x）=12（2x+1）5，g′（x）=a1+2a2（x+1）+…+6a6（x+1）5，又f（x）=g（x），所以f′（x）=g′（x），即12（2x+1）5=a1+2a2（x+1）+…+6a6（x+1）5，由二项式定理得：x=0得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12，又g（0）=f（0），所以a0=1，故a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=1+12=13，得解本题考查了导函数、二项式定理，属中档题16.答案：解析：解：某市公租房源位于A、B、C三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数n=35=243，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源包含的基本事件个数：m==80，∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源的概率是p=．故答案为：．基本事件总数n=35=243，恰好有2人申请A小区房源包含的基本事件个数m==80，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：（0，]解析：解：设直线OP的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得P（，），，可得Q（，），由，可得k FQ=-，即为=-，化为λ=＜e=，可得＜2+k2，对k＞0恒成立，由2+k2＞2，可得a2≤2b2，即为a2≤2（a2-c2），可得c≤a，即0＜e≤，故答案为：（0，]．设直线OP的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由向量数量积为0的等价条件可得OP，FQ的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得a，b的关系，可得所求离心率的范围．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）=；（Ⅱ），由f（α）=1得，又因为0＜α＜π，故，所以，所以=．解析：（Ⅰ）=；（Ⅱ）先得到sin（α+）=，再根据cosα=cos（-）可得．本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属中档题．19.答案：（Ⅰ）证明：∵GE⊥GA，GE⊥GF，GA∩GF=G，∴GE⊥平面GAF，又GE⊂平面GEF，∴平面GEF⊥平面GAF．（Ⅱ）解：过F作FH⊥AG于H，∵由GE⊥平面GAF，FH⊂平面GAF，∴GE⊥FH，又FH⊥GA，GE∩GA=H，∴FH⊥平面GAE，从而∠FGH是直线GF与平面GAE所成角．因为AG=3，，，所以，从而．解析：本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．（I）根据GE⊥GA，GE⊥GF，可得GE⊥平面GAF，故而平面GEF⊥平面GAF．（II）过F作FH⊥AG于H，则可证FH⊥平面GAE，故∠FGH为所求角，在△AGF中利用余弦定理计算cos∠FGH，再计算sin∠FGH．20.答案：解：（Ⅰ）∵a n+1=2S n+1，∴a n=2S n-1+1（n≥2），两式相减可得，a n+1-a n=2（S n-S n-1）=2a n（n≥2），故a n+1=3a n（n≥2），∵{a n}是等比数列，且a2=2a1+1，∴3a1=2a1+1，故a1=1，∴；（Ⅱ）证明：由题设可得a n+1=a n+（n+1）d n，∴，∴，①则，②①-②得：=．∴，得证．解析：（Ⅰ）a n+1=2S n+1，a n=2S n-1+1（n≥2），两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题设可得a n+1=a n+（n+1）d n，可得，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）设直线PQ的方程为y=k（x+2）+4．联立方程组，得x2-4kx-8k-16=0，△=16k2+32k+64＞0，故x1+x2=4k，x1x2=-8k-16．所以=；（Ⅱ）不妨设△APQ的三个顶点中的两个顶点A，Q在y轴右侧（包括y轴），设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（x3，y3），AP的斜率为k（k＞0），又AP⊥AQ，则，①因为|AP|=|AQ|，所以x3-x2=k（x1-x3）②由①②得，，（且k≥1）从而≥4••=4当且仅当k=1时取“=”号，从而，所以△APQ面积的最小值为16．解析：（Ⅰ）设出直线PQ的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；（Ⅱ）利用AP⊥AQ，|AP|=|AQ|，AP的斜率k（k＞0），求得A的坐标，|AP|，再用基本不等式求得|AP|的最小值，从而可得三角形APQ的面积的最小值．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．22.答案：证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜-或x＞0；由f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，-）内单调递增，在（-，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为f（-）=，∴当x＜0时，f（x）≤f（-）=＜=．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2ln x+1，∴k≤，x＞0，令g（x）=，x＞0，则g′（x）=，令h（x）=x2（1+3x）e3x+2ln x-1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2ln x-1，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）=0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）=，∵h（x0）=+2ln x0-1，得=，令=t0，则2ln x0+3x0=ln x0，且φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数k的取值范围是（-∞，0]．解析：（Ⅰ）求出f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而f（x）在（-∞，-）内单调递增，在（-，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而f（x）的极大值为f（-）=，由此能证明当x＜0时，f（x）＜．（Ⅱ）k≤，x＞0，令g（x）=，x＞0，则g′（x）=，令h（x）=x2（1+3x）e3x+2ln x-1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在x0∈（0，1），使得h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）=，由此能求出实数k的取值范围．本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．。

2020届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
11．已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.
12．已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为 .
即
所以切线方程为或
所以当变化时, 到直线的最大值为
即的最大值为
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用,圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
2．B
【解析】
【分析】
先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程.
A． B． C． D．
7．设，集合，则（）
A． B． C． D．
8．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）
A． B．1C． D．i
9．已知函数（）的最小值为0，则（）
A． B． C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．3C． D．4
5．B
【解析】
【分析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.
【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为 .
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.

浙江省2020版高考数学一模试卷(I)卷

浙江省2020版高考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高三上·东区期末) 集合，，则 ________2. （1分） (2017高二下·深圳月考) 复数的值是________.3. （1分） (2019高一上·安达期中) 已知函数，若关于的方程在内有唯一解，则的取值范围是 ________.4. （1分）(2014·重庆理) 函数f（x）=log2 • （2x）的最小值为________．5. （1分） (2019高一上·项城月考) 如果函数在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是________.6. （1分） (2018高二上·江苏月考) 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 =________7. （1分） (2019高一下·上海期中) 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则的通项公式 ________.8. （1分）(2017·南京模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D 为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为________．9. （1分）已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.10. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}是首项为32的正项等比数列，Sn是其前n项和，且 =，若Sk≤4•（2k﹣1），则正整数k的最小值为________．11. （1分） (2018高二下·黄陵期末) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．12. （1分）若函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0）相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为________二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .14. （2分）将直线l向左平移个单位，再向上平移1个单位后所得直线与l重合，则直线l的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°15. （2分）是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则a的取值范围是（）A . a<1B . a<3C . a>1D . a>316. （2分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A . 1个B . 2个C . 4个D . 8个三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD=1，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求几何体C﹣PBE的体积．18. （10分） (2018高一上·天门月考) 求下列各式的值．（1）指数函数的图象经过点，求的值；（2）；（3）若，求的值．19. （5分） (2017高三上·南通期末) 如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛到地面的距离为米（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．20. （15分） (2019高二上·洛阳月考) 命题：方程表示焦点在轴上的双曲线：命题：若存在，使得成立.（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围；（2）如果“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数的取值范围.21. （15分）(2019·北京) 已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1<i2<…<im）.若ai1<ai2<…<aim.则称新数列ai1 ， ai2 ，…，aim.为{an}的长度为m的递增子列.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ，若p<q，求证：am0<an0；（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020年高考模拟高考数学一模试卷一、选择题1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1} 2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．46．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝3818．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．110．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±二、填空题11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝，lga+lgb＝．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是，弧田的面积是．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有种；E（ξ）＝；15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】化简集合A，求出A的补集即可．解：设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}＝{0}，∴∁U A＝{﹣1，1，2}，故选：B．2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】根据弧度制的定义，即可求解．解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，故选：B．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【分析】由虚数单位i的运算性质可得z＝1﹣i，则答案可求．解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由两直线平行的充要条件得：“l1∥l2”的充要条件为：，即：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，得解．解：已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，又“l1∥l2”的充要条件为：，解得：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：V＝＝．故选：C．6．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣1【分析】结合图象，运用排除法得解．解：当x＝﹣1时，函数值为0，由此排除D；当x＝0时，函数值为﹣1，由此排除C；当x→+∞时，函数值→+∞，由此排除B．故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝381【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的项和数列的和．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．当n≥2时，S n+2+S n＝2（S n+1+1），当n＝2时，解得a3＝4，所以a n+2+a n＝2a n+1，所以数列{a n}是以2为首项公差d＝4﹣2＝2的等差数列．所以a n＝2+2（n﹣2）＝2n﹣2，所以，故＝226．a4＝2×4﹣2＝6．a10＝2×10﹣2＝18．S20＝a1+a2+…+a20＝1+＝381．故选：D．8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点A的坐标，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，F2的对称点为A（m，n），即有＝﹣，且•n＝•，解得m＝，n＝，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，即有（+c）2+＝c2，结合c2＝a2+b2，化为c＝2a，即b＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】先假设，＝，从而得到点A的轨迹是圆，再由计算，将其化简为关于λ的二次函数，因此得到的最小值为m 与x的关系，再利用导数求其最大值即可．解：设，＝，∵，∴（x+2）2+y2＝1即点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，x∈[﹣3，﹣1]．∵λ+2μ＝1，∴＝（λx+1﹣λ，λy），∴+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，∵x∈[﹣3，﹣1]，∴﹣6x﹣2＞0，则关于λ的二次函数开口向上，当时，取得最小值，即＝，令（x∈[﹣3，﹣1]），则，∴函数f（x）在[﹣3，]上单调递增，在（，﹣1]上单调递减，∴，即，∴m的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值．解：设，所以，则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|＝，由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下，且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线，且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1．故选：C．二、填空题：共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分.11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝1，lga+lgb＝0．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：∵a＝log23，b＝log32，则a•b＝•＝1，lga+lgb＝lgab＝lg1＝0．故答案为：1，0．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是6，弧田的面积是12π﹣9．【分析】由已知利用弧长公式可求∠AOB，可得∠AOD＝，OA＝6，即可求解AB的值，由弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB即可计算得解．解：∵如图，弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OA sin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案为：6，12π﹣9．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为m＞2，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于5．【分析】作出平面区域，结合线性规划的知识及目标函数的几何意义即可求解．解：作出可行域如图，则要为三角形需满足B（1，1）在直线x+y＝m下方，即1+1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x﹣z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时z min＝﹣1，直线PA：y＝x+1，与AB：y＝2x﹣1的交点为A（2，3），该点也在直线AC：x+y＝m 上，故m＝2+3＝5，故答案为：m＞2；5．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有36种；E（ξ）＝1；【分析】ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．分别求出P （ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出E（ξ）．解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．∴ξ＝1对应的排法有36种；P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴E（ξ）＝＝1．故答案为：36，1．15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】根据条件转化为函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集；分别求值域即可得到结论．解：依题意，f（q）＝﹣f（p），即函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集．因为y＝f（x）在[m，+∞）上的值域为[﹣4，+∞）（m≤﹣2）或[m2+4m，+∞]（m＞﹣2），y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域为（﹣m，+∞），故或，解得m≤0故答案为：（﹣∞，0]．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是﹣．【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1﹣2c2＝a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，即有1﹣2c2≥﹣2ab，则ab+c≥c2+c﹣＝（c+）2﹣，即2ab+c的最小值为﹣，故答案为：﹣．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．【分析】二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则d＝．再由点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得|PQ|＝，由此可得sinθ＝k，则由cosθ＝cos30°＝可求k值．解：如图，设二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则|QH|＝d sinθ，即d＝．∵点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，∴＝k，则|PQ|＝，∵动点Q的轨迹是抛物线，∴|PQ|＝d，即＝．则sinθ＝k．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为cosθ＝＝＝cos30°＝．解得：k＝（k＞0）．故答案为：．三、解答题：共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得，，结合余弦定理可求（2）由正弦定理可求B，C，代入三角形面积公式可得解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝即＝，∴a＝（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝∵a＞b，∴B＝，C＝π﹣A﹣B＝∴S△ABC＝＝＝19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）证明四边形ADCM为平行四边形，可得AM∥CD，进而得证；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，再根据已知条件求得点D的坐标以及平面BCEF 的一个法向量，利用向量公式即可得所求正弦值．解：（Ⅰ）证明：连接CM，由AD平行且等于EF，MC平行且等于EF可知，AD平行且等于MC，∴四边形ADCM为平行四边形，∴AM∥CD，又AM不在平面BCD内，CD在平面BCD内，∴AM||平面BCD；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设D（x，y，z），由，可得，∴，易知平面BCEF的一个法向量为，设直线CD与平面BCFE所成角为θ，则，即直线CD与平面BCFE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（Ⅱ）运用数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）∵，∴，即，∴，当n≥2时，，得，即{a n}是等比数列；∴．（Ⅱ）证明：＝＝，由得，所以，从而＝＝．即．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）结合已知可得，bc＝求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m2＝4k2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得S△MCO+S△ANO，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出S△MON，得到S ACMN＝S△MON+S+S△ANO，整理后利用基本不等式求最值．△MCO解：（Ⅰ）可得，bc＝结合a2＝b2+c2，解得a＝2，c＝，b＝1．得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，d＝，|MN＝2＝2．S△MON+＝＝d＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣+2m＝．∴S△MCO+S△NAO＝×（|y1|+|y2|）＝（|y1+y2|＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝+而m2＝4k2+1，k2＝，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，四边形ACMN的面积S＝＝当且仅当＝|m|，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）f′（x）＝a+（x＞0），求导讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调区间，求得f（﹣）＞0，求得a的取值范围；（2）由于（1）可知：f′（x0）＜0，f′（x1）•f′（x2）＜0可知λ≠0，且λ≠1，x1，x2是f（x）＝0的两个根，求得a的表达式，λ+（1﹣λ）＞，t＝，构造辅助函数g（t）＝lnt﹣（t＞0），求导化简整理，令μ＝，利用μ的取值范围，即可判断g（t）的单调性，即可求得λ的值．解：（1）f′（x）＝a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）＝a+＝，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a＝﹣，故x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t＝，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）＝lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）＝﹣＝，令μ＝，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）＝0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）＝0，与（*）式不符；若μ＝1，解得λ＝，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）＝0⇔t＝1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ＝符合题意．。