判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、

两组对边分别平行

如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF

(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60°

∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF 是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。 二、 一组对边平行且相等

例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE

于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

A

F

B

D

C

E

图1

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理

由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行

四边形。

四、对角线互相平分

例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD 于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4

分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG，∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH

∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等

例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起

四边形ABCD是平行四边形吗理由。

(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗说

出你的结论和理由：。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。 解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下： ∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°， ∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120° 又∠A=60°，∠C=60°， ∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C

（2）四边形ABC 1D 1是平行四边形，理由如下：

将Rt△BCD 沿射线方向平移到Rt△B 1C 1D 1的位置时，有Rt△C 1BB 1≌Rt△ADD 1 ∴∠C 1BB 1=∠AD 1D ，∠BC 1B 1=∠DAD 1

∴有∠C 1BA=∠ABD+∠C 1BB 1=∠C 1D 1B 1+∠AD 1B=∠AD 1C 1，∠BC 1D 1= ∠BC 1B 1+∠B 1C 1D 1=∠D 1AD+∠DAB=∠D 1AB 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形

点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，将

Rt△BCD 沿射线BD 方向平移到Rt△B 1C 1D 1的位置时，始终有AB∥C 1D 1，故ABC 1D 1是平行四边形。

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