人教版八年级下册数学 矩形的性质(导学案)
人教八年级数学下册矩形的性质导学案
课型：新授课姓名：班级：小组：18.2.1矩形的性质设计构思：通过体育节夺旗游戏的视频引入课题，培养学生的数学抽象能力；动态展示一个平行四边形的运动过程中出现的特殊平行四边形去探索矩形的定义，再利用矩形纸片去观察、猜测、验证、总结矩形的性质。
最后回到游戏中解决实际问题，转化到直角三角形的性质。
通过抢答让学生积极参与巩固基础知识。
能力提升题目注重培养学生的发散思维能力。
体会直接从条件出发分析问题和间接从结论出发分析问题的数学方法。
在此过程中透数形结合，类比思想，转化思想，进一步提高学生的逻辑推理能力和数学建模思想，培养学生良好的核心素养。
【学习目标】1、理解矩形的定义，掌握矩形的性质及推论，能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。
2、经历探索矩形性质的过程，提高自己的逻辑推理能力。
3、体验数学知识来源于生活，体会在解决矩形相关问题中数形结合,类比思想，转化思想，建模思想的应用。
【学习重点】矩形的性质．【学习难点】矩形的性质的灵活应用【学法指导】问题式指导法。
一、初见——导入新课体育课“夺彩旗”游戏中，四名同学从足球场的四个顶点处同时出发争夺放在对角线交点处的红旗，谁先抢到红旗谁就获取胜利，这个游戏规则公平吗？为什么？二、又见——独立思考思考：观察老师手中平行四边形教具，轻轻拉动一个顶点，其中一个角从锐角变化到直角到钝角过程，当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。
归纳：矩形定义：__________________________________叫做矩形(通常也叫_________)．三、互见——合作交流矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？【探究】请同学们拿出一张矩形纸片（1）仔细观察并动手测量四个内角及对角线长度。
（2）折叠纸片。
你能发现什么吗？将你的发现写在导学案上。
（1）请以小组讨论形式总结矩形的特殊性质（2）独立完成证明过程。
矩形性质定理1： ____________________________．（1个优）已知：___________________求证：______________证明：矩形性质定理2：____________________________．（2个优）已知：___________________求证：______________证明：A DB C几何语言表示： ∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=______，AC_____BD. 【探究】直角三角形斜边中线性质体育课中“夺旗”游戏规则为什么是公平的呢？如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有： AO=BO=CO=DO= AC= BD直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半． 几何语言表示：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为斜边AB 的中点∴CD=______AB 四、 亮见——运用新知（抢答，第1、2题每题1个优，第3、4题每题2个优）1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A 、两组对边分别平行B 、对角相等C 、对角线互相平分D 、对角线相等 2.下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）A 、对角线相等B 、四个角都相等C 、对角线垂直D 、是轴对称图形3.已知：四边形ABCD 是矩形，AC ＝10㎝，BC =6㎝，则矩形的周长＝ _____ cm ， 矩形的面积＝_______ ㎝24.已知：四边形ABCD 是矩形，∠BOC=120°，AB ＝3㎝，则AC ＝_____㎝，BD ＝ ____㎝ 五、 真见——能力提升（成果展示）5.如图 BD ，CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，求证： ME=MD （2个优 ）6、已知：如图 在矩形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，过点C 作BD 的平行线与AB 的延长线相交于点E .求证：△ACE 是等腰三角形(2个优，每增加一种方法加3个优） D EACB MA E BCDB CA六、小结及作业布置（一）基础题教材53页第2题，第61页第9题（二）悬赏题(3个优)已知：如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15，(1)试说明∆AOB为等边三角形;(2)求∠BOE的度数。
《矩形第1课时 矩形的性质》精品导学案 人教版八年级数学下册导学案(精品).docx
学习目标：1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 学习重点：矩形的定义、性质及其应用.〉宙主研〈一、 课前检测二、 温故知新1. 平行四边形是怎样定义的？它有哪些性质？请分别用符号语言表示出来.2.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°N 这是我们学过的哪个图形？三、预习导航（预习教材第52页，标出你认为重要的关键词）1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做 _______ ,也就是长方形.2. 矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出矩形的性质吗？四、自学自测1. 矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？2. _________________________________________ 矩形的定义中有两个条件：一是 ___________________________________________ ,二是 ________________ . 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30° ,则矩形两条对角线相交所得的 锐角为 ________ ;若该矩形的对角线长为4cm,则矩形的两邻边长分别 为 ______ 、 _______ • 五、我的疑惑（反思）师生备注18. 2. 1矩形 第1课时矩形的性质1〉居究点一、要点探究探究点1:矩形的性质思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一 个角为直角，它是否具有一般平行四边形所不具有的一些特殊性质呢？活动准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.(1)请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四个角 度数和对角线的长度，并记录测量结果.ACBDZBADZADCZABCZBCD橡皮擦课本桌子(2)根据测量的结果，你有什么猜想？师生备注B:.ZC = ________ ° .A ZB=ZC=ZD=ZA = ____________ ° .②如图，四边形ABCD 是矩形，ZABC=90° ,对角线AC 与DB 相较于点0. 求证：AC=DB.证明：•.•四边形ABCD 是矩形，AAB _____ DC, ZABC=ZDCB= _________在AABC 和ADCB 中，VAB=DC, ZABC=ZDCB, BC= CB, AABC _____ ADCB. /. AC ___________ DB.猜想1矩形的四个角都是 __________ . 猜想2矩形的对角线— 证一证①如图，四边形ABCD 是矩形,ZB=90° . 求证：ZB=ZC=ZD=ZA=90° .证明：•••四边形ABCD 是矩形，A ZB _______ Z D, ZC ________ Z A, AB ________ DC. /. ZB+ZC= _________ ° .A又 V ZB = 90° ,思考请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条？ 要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有: 1. 矩形的四个角都是 _____ •矩形的对角线 _________ • 2. 矩形是 ________ 图形，它有 __ 条对称轴. A 几何语言描述： 在矩形ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点0.A ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB =90° , AC=DB.B二、精讲点拨例1如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点,AE=AD, DF 丄AE ,垂足为F.求证:DF=DC.例2如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ，处，BC'交AD 于点E, AD=8, AB=4,求ABED 的面积.方法总结:三、变式训练1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC, BD 交于点0,下列说法错误的是（A. AB 〃DCC. AC±BD2.如图，在矩形ABCD 中,AE 丄BD 于E, ZDAE ： 度数.四、课堂小结内容 符号语言B. AC=BD D. 0A=0BZBAE=3： 1,求ZBAE 和 ZEAO 的变式2题图矩形的概念 有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形矩形的性质 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等./ 星级达标★ 1.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120° ,则矩形的短 边长为 ________ cm.★2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( )•C. 6对D. 8对 B.矩形的对角线相等 D.有一个角是直角的四边形是矩形★ ★4.如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC, BD.将AABC 沿BC 方向平移，使点B移到点C,得到ADCE. (1)求证：AACD 竺AEDC.(2)试确定△ BDE 的形状，并说明理由.★★5.已知：如图，0是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分ZBAD, ZA0D=120° ,求 ZAE0的度数.★★★6.如图，在矩形ABCD 中，AB=3, AD=4, P 是AD 上不与A, D 重合的一个动点, 过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足分别为E, F.求PE+PF 的值.我的反思(收获，不足) 分层作业必做(教材智慧学习配套)选做 参考答案精讲点拨例1试题分析：根据矩形的性质AD 〃BC,AE=AD,可以得到ZDEC=ZADE=ZAED,由DF 丄AE 于F,A. 2对B. 4对★3.下列说法错误的是().A.矩形的对角线互相平分 C.矩形的四个角都相等【详解】证明：连接DE.VAD=AE, .*.ZAED = ZADE.在矩形ABCD 中，AD〃BC, ZC=90° .ZADE=ZDEC,ZDEC = ZAED.又TDF丄AE,.•.ZDFE=ZC=90° .VDE=DE,/. ADFE^ADCE (AAS)..・.DF=DC.例2试题分析：首先根据矩形的性质可得出AD〃BC,即Z2=Z3,然后根据折叠知Z1=Z2, C，D=CD、BC' =BC,可得到Z1=Z3,进而得出BE=DE,设BE=DE=x,则EC' =8-x,利用勾股定理求出x的值，代入面积公式即可求出ABED的面积.详解：•••四边形ABCD是矩形，.・.AD〃BC,即Z2=Z3,由折叠知，Z1=Z2, C‘ D=CD=4、BC, =BC=8,3,即DE=BE,BE=DE=x，则EC' =8n,DEC'中，DC' '+EC' 2=DE242+(8^C)2=X2解得：x=5,ADE的长为5.ABED 的面积=丄DEX AB =丄X5X4=10.2 2变式训练1•试题分析：根据矩形的定义和性质分析判断即可.详解：矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等.所以选项A, B, D正确，C错误.故选C..-.Z1=Z 设在RtA2•试题分析:根据矩形性质得出心血,。
人教版八年级下册数学 矩形的判定(导学案)
18.2.1 矩形第2课时矩形的判定一、新课导入1.导入课题工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？(板书课题)2.学习目标（1）能推导归纳判定一个四边形是矩形的几种方法.（2）能选取适当的判定方法判定一个四边形是矩形.3.学习重、难点重点：矩形的判定方法的探究.难点：矩形的性质与判定的综合运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P53最后二行至P54例2前的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：用已学的矩形意义和性质推导出矩形的判定方法.（4）自学参考提纲：①按定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.②“矩形的对角线相等”的逆命题是对角线相等的平行四边形是矩形，这个命题成立吗？请给予证明.③有三个角是直角的四边形是矩形.④判断：a.对角线相等的四边形是矩形.(×)b.对角线相等且互相平分的四边形是矩形.（√）2.自学：结合自学指导自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生是否能完成对两个判定定理的推导，命题证明存在的障碍在哪里？②差异指导：指导学生依据矩形定义完成两个定理的论证及证明一个四边形是矩形的方法步骤.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化归纳矩形的三种判定方法及几何推理格式：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：有三个角是直角的四边形是矩形；方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.1.自学指导（1）自学内容：P54至P55例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：边看例题，边思考解题思路及解答过程中的每步依据.（4）自学参考提纲：①课本中求∠OAB 的度数的思路是：50()OAD OAB DAB OAD ∠=︒∠=−−−−−→∠∠－求∠DAB 的度数→证明∠DAB=90°→证明四边形ABCD 是矩形.②（证明）解答第一步推理运用了平行四边形的性质：对角线互相平分.第二步由OA=OD 得到AC=BD 的依据是等量代换.第三步由AC=BD 得到四边形ABCD 是矩形的依据是对角线相等的平行四边形是矩形.③完成课本P55练习第2题，参照例2的思路写出解答过程.2.自学：结合自参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生是否理解例2的解题思路和步骤，存在的困难在哪里.②差异指导：对练习第2题的条件进行分析，猜测有什么结论.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化（1）矩形的判定方法.（2）由条件到问题之间的联系如何分析.三、评价1.学生自我评价(围绕三维目标)：各组学生代表介绍自己的学习方法、收获及困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习中的态度、学习方式、成果及不足之处.（2）纸笔评价：评价作业.3.教师的自我评价(教学反思).本节课通过观察、探究，让学生掌握矩形的三个判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让同学之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本节课的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性主动性.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（50分）1.(20分)下列判定矩形的说法是否正确？什么？(1)有一个角是直角的四边形是矩形.(×)(2)四个角都相等的四边形是矩形.(√)(3)对角线相等的四边形是矩形.(×)(4)对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. (√)2.(10分)下列四边形中不一定是矩形的是 (C)A.有三个角直角的四边形B.四角都相等的四边形C.一组对边平行且对角相等的四边形D.对角线相等且互相平分的四边形3.(20分)如图：(1)当AC=BD 时， ABCD是矩形；(2)当∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°时，四边形ABCD是矩形.二、综合应用（20分）4.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm.(1)这平行四边形是矩形吗？说明你的理由;(2)求这个平行四边形的面积.解：（1）是.∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO，又∵AO=12AC,BO=12BD.(平行四边形的性质)∴AC=BD. ∴ ABCD 是矩形.（2）()212344163.2ABCD S cm =⨯⨯⨯= 三、拓展延伸（30分）5.如图，在△ABC 中，D 在AB 边上，AD=BD=CD ，DE ∥AC ，DF ∥BC.求证：四边形DECF 是矩形. 证明：∵AD=BD=CD ，∴△ABC 为直角三角形，∠FCE=90°，∵DE ∥AC,DF ∥BC,∴四边形DECF 为平行四边形，又∵∠FCE=90°，∴平行四边形DECF 是矩形.【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
人教版八年级数学下册第十八章《矩形性质和判定应用》导学案
新人教版八年级数学下册第十八章《矩形的性质和判断的应用》导教学设计学习目标：1．掌握矩形的性质和判断方法．2．能熟练应用矩形定义、判断等知识，解决简单的证明和计算，培养学生的解析能力学习重点：矩形的性质和判断．学习难点：矩形的判断及性质的综合应用．学习过程：一、自学指导（1）矩形看法：（2）矩形性质：边：角：对角线：（3）矩形与平行四边形之间的关系？3.经过谈论获取矩形的判断方法．判断矩形最基本的判断方法是：矩形判断方法1：（）．矩形判断方法2：（）．二、自学检测：1．以下说法正确的选项是（）．（A）有一组对角是直角的四边形必然是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形必然是矩形（C）对角线互相均分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．以下命题中不正确的选项是()。
(A) 直角三角形斜边中线等于斜边的一半(C) 矩形的对角线互相垂直(D)3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一边长为(B)矩形的对角线相等矩形是轴对称图形10，则另一边长为____________4、矩形拥有而一般的平行四边形不拥有的性质是(A 、对角相等B 、对边相等C、对角线相等)D、对角线互相均分5．已知在ABCD中 , 对角线ＡＣ，ＢＤ订交于点Ｏ，且∠OBC=∠ OCB.求证：四边形ABCD 是矩形三、课堂练习6．若矩形对角线订交所成钝角为120°，短边长 3.6cm ，则对角线的长为( )。
7．矩形邻边之比3∶ 4，对角线长为10cm，则周长为()。
(A)14cm(B)28cm(C)20cm(D)22cm8 如图 , 矩形 ABCD的周长为 24,M为 BC的中点 , ∠AMD=90° , 求矩形相邻两边的长 .A DB M C9．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF 折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的地址上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠ECB的度数．。
初二八年级数学下册第十九章矩形的性质导学案新人教版
第十八章平行四边形_________，也就是于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？∠ADC ∠ABC ∠对角线AC与DB相较于点°, 折一折,观察并思考.条对称轴.于点O.AC=DB.,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.DF=DC.例2如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是 （ ）A ．AB ∥DC B ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．OA=OB2.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.3.如图，在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E,∠DAE ：∠BAE ＝3：1,求∠BAE 和∠EAO 的度数．探究点2：直角三角形斜边上的中线的性质活动 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC 剪去一半.问题 Rt △ABC 中，BO 是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC 有什么关系？猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.证一证 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BO 是AC 上的中线.1.2BO AC 求证：证明：延长BO 至D, 使OD=BO,连接AD 、DC. ∵AO=OC, BO=OD ，∴四边形ABCD 是____________.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD 是________， ∴AC_______BD ，∴BO=_____BD=_____AC.要点归纳：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点． (1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD.方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．例4 如图，已知BD ，CE 是△ABC 不同边上的高，点G ，F 分别是BC ，DE 的中点，试说明GF ⊥DE.方法总结:利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )A.13B.6C.6.5D.不能确定3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( )A.20 °B.40°C.80 °D.10°4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB= 6cm，BC=8cm，则EF=______cm．5.如图,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE;（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED 的面积.能力提升7.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，求PE+PF 的值.。
义务教育教科书(人教版)数学八年级下册《矩形的性质》导学案
义务教育教科书(人教版)数学八年级下册18.2.1矩形的性质导学案学习目标掌握矩形的概念和性质；理解矩形与平行四边形的区别与联系；会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质并会运用。
学习重点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的探索和应用。
学习难点：矩形的性质的灵活应用教学过程:一、情景引入1.同学们的桌面是什么图形？_________2．假设四只蚂蚁分别站在你们桌面的四个顶点处，则时沿着对角线以相同的速度同时去吃放在对角线的交点处的饼干，哪只蚂蚁先到达?为什么？二、自主探究活动一观察图形变化,得矩形定义1. 观察发现平行四边形变化中什么变?什么不变?2. 你能给这种特殊的图形下定义吗？_________活动二 (小组活动) 观察得矩形的角和对角线的特殊关系,度量数学教科书验证矩形的角和对角线的特殊关系.猜想：矩形的特殊的性质？________________________活动三证明猜想的矩形的特殊性质结论： _____________________.________________________.活动四 (小组活动) 动手操作,得矩形的对称性矩形是轴对称图形吗？如果是,矩形是有几条对称轴？矩形对称轴是什么?结论: _____________________.三、学以致用,解决问题1、矩形具有而平行四边形不具有的的性质是（）（A）对角相等（B)对角线相等（C）对角线互相平分（D）对边平行且相等2.假设四只蚂蚁分别站在你们桌面的四个顶点处，同时沿着对角线以相同的速度去吃放在对角线的交点处的饼干，哪只蚂蚁先到达?为什么？四、例题精讲例1、已知: 如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O , AB= 4cm ，∠AOB=60°。
求矩形对角线的长。
完成例题变形:一个矩形的一条对角线长为8,两条对角线的一个交角为1200,求这个矩形的边长五、自主探究探究得直角三角形的斜边中线的性质如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，我们观察Rt △BCD 中,CO 是斜边上的中线,请探讨OC 与BD 的关系结论: _________________六、随堂检测1、已知△ABC 是Rt △，∠ABC=900，BD 是斜边AC 上的中线（1）若BD=3，则AC ＝ ㎝ （2 ）若∠C=30°，AB ＝5，则AC ＝ 。
数学人教版八年级下册矩形的性质导学案
D A C B D A CBＯ A B D C Ｏ A B DC 18.2.1矩形(第一课时)姓名学习目标：1、理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系．2、探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题。
3、探索并会应用直角三角形的性质解决简单问题。
学习重点：矩形的概念和性质． 学习难点：矩形的性质的应用． 学习过程： 一、情景导入以生活中的图片导入新知。
二、新知探究探究一：矩形的定义拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？当平行四边形移动到一个角是直角时，你会发现什么?归纳：矩形定义：__________________________________叫做矩形(通常也叫_________)． 探究二：矩形的性质我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还具有它自己的特殊性质.你能猜想一下矩形有哪些性质吗?（小组合作，并通过观察、度量、讨论猜想出矩形的性质）特殊性质：猜想1： 猜想2： 你能证明一下猜想吗？（小组讨论证明）已知：如图， 求证：___________________证明：《达标一》1、下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.A 对角线相等B 对边相等C 对角相等D 对角线互相平分 3、如图，矩形ＡＢＣＤ中相等的线段有哪些？探究三：直角三角形性质（见课件）直角三角形性质：《达标二》1、现在三位学生做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处,这样的队形对每个人公平吗?类别 平行四边形 矩 形边 对边平行且相等 角 对角相等,邻角互补 对角线对角线互相平分Ｏ A B DCＯ A BDC2、已知△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，BD 是斜边AC 上的中线 (1)若BD=3㎝，则AC ＝ _______ ㎝ (2)若∠C=30°，AB ＝5㎝，则AC ＝_______㎝， BD ＝_______㎝.三、典例讲解例1： 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长。
人教版八年级下册矩形的性质导学案
课题:18.2.1矩形性质 时间：2014.03.19 姓名：学习目标: 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并能利用这一性质解决问题． 学习重点: 矩形定义及性质。
学习难点: 性质的探究的方法及推理过程。
导学过程一、知识链接: (课前独立完成,课上对学、群学2分钟) 1.在 □ABCD 中：（1）若∠A=60°，则,∠B= ,∠C= ,∠D= . （2）若AB=6cm,BC=8cm,则□ABCD 的周长是 。
（3）已知：□ABCD（4）∠A=90°,则∠B= ,∠C= ,∠D= . 2.当平行四边形有一个内角为直角．．时,我们就把它叫做 。
二、新知初探1：在矩形的定义中：有 个角是直角的 四边形叫做矩形。
由此可见，矩形是特殊的 ，它具有平行四边形的 性质。
2．结合下面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？猜想1；矩形的四个角都是 。
猜想2：矩形对角线 。
已知：如图， 已知：如图， 求证：_________________。
求证： 。
证明： 证明：结论: 矩形除了具有行四边形的 性质外，还具有它自己特有的性质是： 四个角是 ，对角线 。
3.问题1： 如图，矩形ABCD ，对角线相交于O ，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？问题2 将目光锁定在Rt △ABC 中，你能发现它有什么特殊的性质吗？ 结论： 。
三、典例分析：例1 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ， 且∠AOB =60°，AB =4 cm ．求矩形对角线的长．例2 矩形ABCD 中，P 是AD 上一动点，且PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ．求证：PE+PF 为定值．三．题组训练、A 组1。
已知矩形ABCD 中，找出图中所有的直角三角形和等腰三角形. 2.矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 3．如图，矩形ABCD 的对角线的长为2，∠BDC=300，则矩形ABCD 的面积为 4．矩形的两条对角线所夹的锐为600，较短的边长为3.6cm ，则对角线的长为 。
八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质导学案1(无答案)(新版)新人教版
.2.1《矩形》矩形的性质学习目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．重点：矩形的性质．难点：矩形的性质的灵活应用．学习过程：一、预习导学1．思考：拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？_______________为什么？因为_________________________________________(教材52页)当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是_____形。
归纳：矩形定义：__________________________________叫做矩形(通常也叫_________)．2．学习教材52页. 归纳矩形的性质： ⑴矩形具有平行四边形的一切性质。
⑵矩形性质定理1： ____________________________．几何语言：∵_______________________________（如图1） ∴_______________________________⑶矩形性质定理2：____________________________．几何语言：∵_______________________________（如图2）∴_______________________________3．证明：（1）矩形的四个角都是直角已知：如图 四边形ABCD求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：（2）证明：矩形对角线相等已知：求证：证明：图24．变式：在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=21AC=21BD ．在R t △ABD 中AO= 21BD 因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．二．典例展示例1、已知：如图 ，矩形 ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比A D 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．例2、已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF例3、已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AB=8，∠AOB=60°，求矩形对角线的长。
八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质导学案新版新人教版
八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质导学案新版新人教版18、2、1《矩形》矩形的性质学习目标1、认识矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。
2、会应用矩形的概念和性质解决有关问题。
3、经历探索矩形的概念和性质及推论的过程，发展合情推理的意识，培养严密的逻辑推理能力。
重点：矩形的性质及其应用、难点：矩形的性质及其应用、时间分配旧知回顾2分钟、自主探知10分钟合作学习15分练习巩固10分课堂小结3分、学案（学习过程）导案（学法指导）学习过程一、回顾旧知：1、平行四边形就有什么性质？（边、角、对角线）2、三角形具有稳定性，那么平行四边形具有稳定性吗？二、自主探知1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形、2、矩形就有平行四边形的那些性质？（边、角、对角线）3、矩形既然是特殊的平行四边形，还应该具有特殊的性质,请思考探究：矩形还有什么性质？矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等、4、综合总结矩形的性质：矩形性质边对边平行、对边相等角对角相等、四个角都是直角对角线对角线相等且互相平分三、合作学习：1、如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC， BO是什么边上的什么线？你能说说这个结论吗？结论：直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长、四、课堂练习P53练习2学案42—探究5[一、导课：1、复习平行四边形的性质、2、从图形是否具备稳定性入手，理解长方形（矩形）是特殊的平行四边形，总结出矩形的定义，进而明白矩形具有平行四边形的一般性质。
二、自主探知1、教师引导解释强调矩形的定义：先判定是平行四边形在加一个直角。
人教版数学八年级下册 18.2.1.1 矩形 导学案
18.2.1.1 矩形学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．一、学前准备1.如图，在平行四边形ABCD中，找出相等的线段，相等的角，互相平行的线段．相等的线段：______________________________________________相等的角：________________________________________________互相平行的线段：__________________________________________二、预习导航（一）预习指导活动1矩形的定义与性质（阅读教材P52）2.矩形的定义：3.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质．此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质吗？活动2直角三角形的性质（阅读教材第53页思考）4.在前面的学习中，我们利用平行四边形知识研究了三角形的中位线．类似地，你能结合下图，发现直角三角形的一些特殊性质吗？预习疑惑：（二）预习检测5.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分6.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BO是斜边上的中线，则BO的长为．7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=6，BC=8，则△ABO的周长为．8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求矩形对角线的长．三、课堂互动问题1矩形的性质9.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，ED=5，EC=3，求矩形的周长及对角线的长．方法总结：四、总结归纳1.你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2.你还有哪些疑惑？3.你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4.在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．《18.2.1.1 矩形》参考答案一、学前准备1.相等的线段：AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO相等的角：∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，互相平行的线段AB∥CD，AD∥BC二、预习导航2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.有，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.A6.57.168.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=2OA=8.即矩形的对角线长为8三、课堂互动9.解：如图，连接BD；∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB=CD；AD∥BC；∵ED=5，EC=3，∴DC2=DE2﹣CE2=25﹣9，∴DC=4，AB=4；∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=4，矩形的周长=2×（4+3+4）=22．由勾股定理得：BD2=42+72，∴BD=．答：矩形的周长为22，对角线的长为．四、总结归纳:略五、达标检测：1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．。
人教版八年级数学下册《矩形的定义和性质》导学案
18.2.1矩形八年级数学下册 编写人： 审定 班 组 姓名学习目标：1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2．探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理。
学习重难点：矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明和应用。
学习过程：一、情境引入：矩形定义：有一个角为 的 叫矩形。
二、新知探究，合作交流（一）矩形的性质 1、矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有 的所有性质。
矩形除具备平行四边形的性质外还特有的性质？【学生观察、测量、展示】猜想：① ②2、证明矩形①②性质。
【学生分小组讨论完成】性质①已知： 性质② 已知 证明： 证明C D A O O B CD 90°平行四边形 矩形（二）知识延展（1）由矩形性质有OA=OC=21AC OB=OD=21BD 且AC=BD 得OA= = = ∴矩形对角线的交点O 到各顶点的距离 。
（2）由图可知，在矩形中有 个直角三角形，它们分别是 有 个等腰三角形，它们分别是 。
∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。
（3）由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt △ABC 中，若OB 是斜边AC 的 ，则OB= AC∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的（4）∵矩形是平行四边形，∴矩形是 对称图形。
思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是 图形，有 条对称轴。
对称轴是对边 点所确定两条直线。
∴矩形既是 对称图形，又是 对称图形，对称轴为三、反思小结1、 的平行四边形是矩形。
2、矩形性质矩形 边 角 对角线性质对称性3、矩形性质延伸（1）矩形对角线交点到各顶点的距离（2）直角三角形斜边上的 等于斜边的四、例题解析，巩固新知例1：已知如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。
求矩形对角线的长。
18.2 矩形 第1课时 导学案2022-2023学年人教版八年级数学下册
18.2 矩形第1课时导学案一、学习目标1.理解矩形是一种特殊的平行四边形；2.掌握矩形的性质，如四个角都是直角，对角线相等等；3.熟练运用矩形的性质求解相关的数学问题。
二、学习重点和难点1.矩形的定义和性质；2.利用矩形的性质进行解题。
三、学习内容1. 矩形的定义和性质矩形是一种特殊的平行四边形，它有以下性质：1.四个角都是直角；2.对角线相等，且互相垂直；3.相邻两边相等。
如下图所示：D ------------ C| || || |A ------------ B其中，AB=CD，AD=BC，AC=BD。
2. 利用矩形的性质进行解题根据矩形的性质，可以解决许多相关的数学问题。
例如：例1：求矩形面积已知矩形ABCD的长为12cm，宽为8cm，求其面积。
解：由于矩形的相邻两边相等，所以可以用长和宽相乘得到矩形的面积：面积 = 长× 宽= 12cm × 8cm = 96cm²例2：求矩形对角线长度已知矩形ABCD的长为6cm，宽为8cm，求其对角线长度。
解：由于矩形的对角线相等，且互相垂直，所以可以用勾股定理求解：对角线长度= √(长² + 宽²) = √(6² + 8²) = √100 = 10cm四、学习方法和建议1.多画图，理解矩形的性质；2.多做练习，熟练应用矩形的性质求解相关问题。
五、学习总结通过本课学习，我们了解了矩形的定义和性质，以及如何利用矩形的性质求解相关数学问题。
在实际生活和学习中，我们要善于观察身边的事物，发现其中的规律和特点，运用数学知识解决实际问题。
八年级数学下册19.2.1 矩形的性质导学案 新人教版
八年级数学下册19.2.1 矩形的性质导学案新人教版19、2、1 矩形矩形的性质第1课时学习目标：1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系、2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题、一、温故知新：回顾平行四边形有哪些性质？然后填空。
1、平行四边形的__________相等。
表示方法：若四边形ABCD 是平行四边形，则___________;2、平行四边形的__________相等。
表示方法：若四边形ABCD 是平行四边形，则___________;3、平行四边形的对角线________、表示方法：在□ ABCD 中，AC与BD相交于O，则______________4、平行四边形的对称性：平行四边形是对称图形，而不是____对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________、二、学习新知：自学P94-95页。
1、（1）观察手中的四根木棒拼成的平行四边形，看每个内角是什么角？（钝角、直角、锐角）（2）试着改变平行四边形的形状，使一个内角为90度，这时这个平行四边形就是形。
（3）通过操作得出概念、有一个角是角的四边形叫做矩形、矩形是生活中非常常见的图形，你能举出一些例子来吗？2、当平行四边形一个内角为90度时，其他三个内角分别为度，因此，矩形的每个内角都为度。
3、如图：在矩形ABCD中，作出它的两条对角线，并测量两条对角线的长度，你有什么发现？请证明你的结论。
已知：求证：证明：4、矩形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还具有哪些性质呢？因此矩形具有如下性质：①边: ②角: ③对角线:5、观察下图：根据矩形对角线的性质完成下列各题，你能得出什么结论？OA＝＝OB＝＝AC＝因此：在Rt△ABC中，OB是斜边AC上的中线，OB＝ AC，在Rt△ABD中，OA是斜边BD上的中线，OA＝BD（1）结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的（2）上面结论的逆命题是：是否正确？请给予证明。
《矩形第2课时 矩形的性质》精品导学案 人教版八年级数学下册导学案(精品)
18.2.1矩形第2课时 矩形的性质学习目标：知道直角三角形斜边中线的性质, 并会进行简单的运用． 学习重点：直角三角形斜边中线的性质及其运用．一、课前检测：如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点O, 且AC=2AB ． 求证：△AOB 是等边三角形.(注意表达格式完整性与逻辑性)拓展与延伸：此题假设将“AC=2AB〞改为“∠BOC=120°〞, 你能获得有关这个矩形的哪些结论？二、温故知新△ABC 中, ∠C=90°,∠A=30°, AB=10cm, 那么AC=______. 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90°, AB=2AC, 求∠A、∠B 的度数． 三、预习导航〔预习教材第53页, 标出你认为重要的关键词〕 1.关于直角三角形, 前面你有了哪些了解？2.直角三角形斜边上的中线等于_______________. 用几何语言表示为： 四、自学自测如图, 矩形ABCD 中, AB=2BC, 且AB=AE, 试求∠CBE 的度数． 五、我的疑惑(反思)一、要点探究探究点1：直角三角形斜边上的中线的性质活动 如图, 取一张矩形纸片, 画出两条对角线, 沿着对角线AC 剪去一半． 问题 Rt△ABC 中, BO 是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC 有什么关系？ 猜测 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．证一证 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ABC=90°, BO 是AC 上的中线．求证：BO=21AC.证明：延长BO 至D, 使OD=BO,连接AD 、DC ． ∵AO=OC, BO=OD,∴四边形ABCD 是____________． ∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD 是________, ∴AC_______BD,∴BO=_____BD=_____AC．要点归纳：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________．几何语言：探究点拨自主研习即学即练：如图, 在△ABC中, AD是高, E、F分别是AB、AC的中点．(1)假设AB＝10, AC＝8, 求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD．方法总结:当条件含有线段的中点、直角三角形的条件时, 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．二、精讲点拨例题如图, BD, CE 是△ABC 的两条高, 点G, F 分别是BC, DE 的中点, 试判断GF 、DE 位置关系, 并说明理由．方法总结:在直角三角形中, 遇到斜边中点常作斜边中线, 进而可将问题转化为等腰三角形的问题, 然后利用等腰三角形“三线合一〞的性质解题．三、变式训练1．如图, 在△ABC 中,∠ABC = 90°,BD 是斜边AC 上的中线． (1)假设BD=3cm,那么AC =_____cm ；(2)假设∠C = 30° ,AB = 5cm,那么AC =_____cm, BD =_____cm ．2.如图, 在矩形ABCD 纸片中, AB ＝6, AD ＝8, 将矩形纸片ABCD 折叠, 使点B 与点D 重合, 试求折痕EF 的长.四、课堂小结 内 容符号语言直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半★1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A ．对角线相等 B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分★2.假设直角三角形的两条直角边长分别5和12,那么斜边上的中线长为 ()A ．13B ．6C ．6.5D ．不能确定★3. 如图,△ABC 中, E 在AC 上, 且BE⊥AC．D 为A B 中点, 假设DE=5, AE=8, 那么BE 的长为______．★★4．如图, 在矩形ABCD 中, 对角线AC 、BD 相交于点O, 点E 、F 分别是AO 、AD 的中点, 假设AB=6cm, BC=8cm, 那么EF=______cm ．★★5.如图, 在△ABC 中, AD 是BC 边上的高, CE 是AB 边上的中线, 且DC=BE.求证：∠B=2∠BCE.★★6．如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,BE∥AC 交DC 的延长线于点E ．〔1〕求证：BD=BE ； 〔2〕假设∠DBC=30°,BO=4 ,求四边形ABED 的面积． ★★★7．如图, 在Rt △ABC 中, ∠BAC=90°, 且BA=3, AC=4,点D 是斜边BC 上的一个动点, 过D 分别作DM ⊥AB 于点M, DN ⊥AC 于点N, 连接MN, 那么线段MN 是否存在最小值？假设存在, 求出其最小值；假设不存在, 请说明理由. 我的反思〔收获, 缺乏〕 分层作业必做 (教材 智慧学习 配套) 选做星级达标5题图ED C B A7题图N MD CBA参考答案：课前检测试题分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB, 再求出AB＝AC, 然后根据三条边都相等的三角形是等边三角形得证.证明：△OAB是等边三角形．理由如下：在矩形ABCD中, OA＝OC, OB＝OD, AC＝BD,∴OA＝AC, OB＝BD,又∵AB＝AC,∴OA＝OB＝AB,即△OAB是等边三角形．拓展与延伸：此题假设将“AC=2AB〞改为“∠BOC=120°〞获得的结论有：∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=30°, AC=BD=2AB=2CD, △OAB, △OCD是等边三角形等.证明略温故知新1.试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半, 即可求得AC的长．详解：∵∠C＝90°, ∠B＝30°, AB＝10cm,∴AC＝AB＝5,故答案为：5．2.试题分析：此题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质, 直角三角形两锐角互余, 如图, 取AB的中点D, 连接CD, 证明△ACD是等边三角形即可．详解：如图, 取AB的中点D, 连接CD．∵∠C＝90°, AD＝BD,∴CD＝AD＝BD,∵AB＝2AC,∴AC＝AD＝CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC＝60°,∵DC＝DB,∴∠B＝∠DCB,∵∠ADC＝∠B+∠DCB,∴∠B＝30°, ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．自学自测试题分析：根据矩形性质得出∠D＝∠ABC＝90°, AD＝BC, DC∥AB, 推出AE＝2AD, 得出∠DEA＝30°＝∠EAB, 求出∠EBA的度数, 即可求出答案．详解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠D＝∠ABC＝90°, AD＝BC, DC∥AB,∵AB＝AE, AB＝2CB,∴AE＝2AD,∴∠DEA＝30°,∵DC∥AB,∴∠DEA＝∠EAB＝30°,∵AE＝AB,∴∠ABE＝∠AEB＝〔180°﹣∠EAB〕＝75°,∵∠ABC＝90°, ∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°.即学即练：试题分析：〔1〕根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB, DF＝AF＝AC, 再根据四边形的周长的定义计算即可得解；〔2〕根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．详解：〔1〕∵AD是高, E、F分别是AB、AC的中点,∴DE＝AE＝AB＝×10＝5, DF＝AF＝AC＝×8＝4,∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；〔2〕证明：∵DE＝AE, DF＝AF,∴E, F都在AD的垂直平分线上.∴EF垂直平分AD．精讲点拨例题试题分析：连接EG、FG, 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝EG＝BC, 再根据等腰三角形的三线合一证明即可．证明：GF⊥DE．理由如下：如图, 连接EG、DG,∵BD、CE分别是△ABC的AC、BC边上的高, 点G是BC的中点,∴DG＝EG＝BC,∵点F是DE的中点,∴GF⊥DE．变式训练1.试题分析：〔1〕根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AC ＝2BD ＝6cm ； 〔2〕先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC ＝2AB ＝10cm, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=21AC=5cm ． 详解：〔1〕∵Rt △ABC, ∠ABC ＝90°, BD 是斜边AC 上的中线, BD ＝3cm, ∴AC ＝2BO ＝6cm ；（2）∵Rt △ABC, ∠ABC ＝90°, ∠C = 30° ,AB = 5cm, ∴AC ＝2AB ＝10cm. ∵BD 是斜边AC 上的中线, ∴BD=21AC=5cm ． 故答案为〔1〕6；〔2〕10, 5．2.试题分析：此题主要考查了轴对称变换, 矩形的性质以及勾股定理的运用, 连接BE, 过E 作EG ⊥BC 于G, 设AE ＝x, 根据勾股定理得到AE, 进而得出BE 的长, 根据EG ＝AD, 求出GF 的长, 运用勾股定理即可得到EF ．详解：连接BE, 过E 作EG ⊥BC 于G, 设AE ＝x, 那么DE ＝BE ＝8﹣x. 在Rt △ABE 中, AB 2+AE 2＝BE 2, ∴x 2+62＝〔8﹣x 〕2 解得x ＝, ∴AE ＝. ∴BE ＝DE ＝8﹣＝,∵∠DEF ＝∠BFE, ∠DEF ＝∠BEF, ∴∠BFE ＝∠BEF, ∴BF ＝BE ＝,∴GF ＝, ∴Rt △EFG 中, EF ＝＝,即EF 的长为.星级达标：：由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．详解：∵矩形的对边相等, 对角相等, 对角线互相平分且相等； 平行四边形的对边相等, 对角相等, 对角线互相平分； ∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；应选：A．：根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．详解：∵直角三角形两直角边长为5和12,∴斜边＝＝13,∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．应选：C．3.试题分析：由BE⊥AC, D为AB中点, DE＝5, 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半, 即可求得AB的长, 然后由勾股定理求得BE的长．详解：∵BE⊥AC, ∴∠AEB＝90°,∵D为AB中点,∴AB＝2DE＝2×5＝10,∵AE＝8,∴BE＝＝6．故答案为：6．4.试题分析：此题考查了勾股定理, 矩形性质, 三角形中位线的应用, 关键是求出OD长．根据勾股定理求出AC, 根据矩形性质得出∠ABC＝90°, BD＝AC, BO＝OD, 求出BD、OD, 根据三角形中位线性质即可得解．详解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°, BD＝AC, BO＝OD,∵AB＝6cm, BC＝8cm,∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10〔cm〕,∴DO＝5cm,∵点E、F分别是AO、AD的中点,∴EF＝OD＝2.5cm,故答案为：2.5．：根据直角三角形斜边上中线性质推出DE＝BE＝CD, 根据等腰三角形性质推出∠B＝∠EDB, ∠BCE＝∠DEC, 根据三角形外角性质即可推出答案．证明：连接ED．∵AD是高, ∴∠ADB＝90°,在Rt△ADB中, DE是AB边上的中线,∴ED＝,∴∠B＝∠EDB．∵DC＝BE,∴ED＝DC,∴∠DEC＝∠ECD,∵∠EDB＝∠DEC+∠ECD＝2∠BCE,∴∠B＝2∠BCE．6.试题分析：〔1〕根据矩形的对角线相等可得AC＝BD, 然后证明四边形ABEC是平行四边形, 再根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE, 从而得证；〔2〕根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度, 再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度, 然后利用勾股定理求出BC的长度, 再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．详解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD, AB∥CD,又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC＝BE,∴BD＝BE.〔2〕解：∵在矩形ABCD中, BO＝4,∴BD＝2BO＝2×4＝8,∵∠DBC＝30°,∴CD＝BD＝×8＝4,∴AB＝CD＝4, DE＝CD+CE＝CD+AB＝4+4＝8,在Rt△BCD中, BC＝＝＝4,∴四边形ABED的面积＝〔4+8〕×4＝24．：此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识, 解题的关键是熟练掌握根本知识.由勾股定理求出BC的长, 再证明四边形DMAN是矩形, 可得MN＝AD, 根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．详解：线段MN存在最小值.∵∠BAC＝90°, 且BA＝3, AC＝4,∴BC＝＝5,∵DM⊥AB, DN⊥AC,∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°,∴四边形DMAN是矩形,∴MN＝AD,∴当AD⊥BC时, AD的值最小,此时, △ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD,∴AD＝＝,∴MN的最小值为.第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y不是．．x的函数的是()A．y＝x B．y＝x2＋1C．y＝|x|D．|y|＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y是x的函数的是()5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x表示乘公共汽车的站数, y表示应付的票价．x/站12345678910y/元111223334 4A．y是x的函数B．y不是x的函数C．x是y的函数D．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h(单位：m)与上的台阶数m(单位：个)之间的函数关系式是()A ．h ＝6mB ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表： 信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表： 品种 价格(单位：元/棵)成活率 劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x吨, 这批原材料能用y天, 那么y与x之间的函数表达式为〔〕A．y＝100x B．y＝C．y＝+100D．y＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热,水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕10080604020压强y〔kPa〕6075100150300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA, AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k ＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200240250400销售量y〔双〕3025241513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V, 那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100125200250…镜片与光斑的距离y/m…1…m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕4006258001000 (1250)镜片焦距x〔cm〕251610 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源,水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。
最新人教版八年级数学下册 第1课时 矩形的性质(导学案)
18.2 特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时矩形的性质一、新课导入1.导入课题演示平行四边形方框,使方框相邻两边成直角时，让学生尝试说出此时四边形的名称，并板书课题.2.学习目标（1）理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（2）掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.3.学习重、难点重点：矩形的性质及其推论.难点：矩形性质的运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P52内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：观看平行四边形方框改变成有一个角是直角时，边的关系是否发生改变.（4）自学参考提纲：①矩形是平行四边形吗?它具有平行四边形的性质吗？②如图，四边形ABCD是矩形，那么：AD∥BC且AD＝BC，AB∥CD且AB＝CD，∠D=∠B=90°，∵∠A+∠B=180°，∴∠A=∠C=∠D，OA=OC，OB=OD.③矩形还具有哪些一般平行四边形不一定具有的性质呢？结合上图进行论证归纳出来.对于四个角来说有四个角都是直角.对于对角线来说有对角线相等.2.自学:结合自学参考提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生完成参考提纲时存在的困难问题.②差异指导：引导学生通过平行四边形性质及三角形全等知识探究矩形的特殊性质.（2）生助生：学生之间相互交流和帮助.4.强化（1）矩形具有一般平行四边形的性质.（2）矩形具有的特殊性质.1.自学指导（1）自学内容：P53练习以上的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：认真阅读“思考”文字内容，对照图形思考BO与AC之间存在什么关系.（4）自学参考提纲：①如教材中图18.2-3，因为矩形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，即O是AC的中点，BO是△ABC的边AC上的中线.②因为∠ABC=90°，BO是AC的中线，BO=12BD，AC=BD，所以BO=12AC；也就是说直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.③归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.④例1中OA=OB运用了对角线相等和对角线互相平分性质.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生找BO与AC关系的思考过程.②差异指导：指导学生将结论用文字表达出来.（2）生助生：学生相互交流帮助.4.强化：直角三角形的性质:（1）两锐角互余.（2）两直角边的平方和等于斜边的平方.（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.在学习本节课之前，学生对矩形的基本知识有一定的了解，而且有前一节探究平行四边形有关知识作为基础，学生已具有一定的独立思考和探究的能力，所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，促进学生能力的提高.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（共60分）1.(15分)矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线互相平分2.(15分)直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边的中线长是(D)A.26B.13C.8.5D.6.53.(15分)矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，BC=12cm,则△ABO的周长等于18cm .4.(15分)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°.点D是AB边的中点.试判断△BCD的形状，并说明理由.解：△BCD为等边三角形.∵∠ACB=90°,点D是AB的中点，∴CD=12AB=BD.在Rt△ABC中，∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.在△CBD中，CD=BD,∠B=60°,∴△BCD为等边三角形.二、综合应用（20分）5.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5cm，求对角线长.解：对角线长=2×4.5=9（cm）.三、拓展延伸（20分）6.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF.证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，∴OB=OC.又∵∠BEO=∠CFO=90°，∠EOB=∠FOC.∴Rt△EBO≌Rt△FCO, ∴BE=CF.。
八年级数学下册 19.2.1 矩形的性质导学案 人教新课标版
19.2.1 矩形的性质·导学案学习目标：1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行简单的推理 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决相关问题;3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 重点：矩形的性质．难点：矩形的性质的灵活应用． 导学过程阅读教材第94页至第95页的部分，完成以下问题 【课前预习】1中，找出相等的线段，相等的角，互相平行的线段___________________________ ______________________________ ______________________2、平行四边形的判定方法．3、矩形的定义一个活动的平行四边形在拉动的过程，使其一个内角恰好为直角，得到一种特殊的平行四边形是什么图形？猜想归纳矩形定义：矩形是我们最常见的图形之一，请同学们举一些生活中的例子．4、矩形的性质(1)矩形和平行四边形的关系是什么？ 矩形具有平行四边形的性质吗? (2)矩形的特殊性质 【探究1】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋做出两条对角线，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？由此我们得到矩形的性质：矩形性质1 矩形性质2符号语言 符号语言归纳矩形的性质：对称性： 边：角： 对角线： 5.直角三角形的性质：如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有 AO=BO= = =21=21．因此可以得到直角三角形的一个性质： 符号语言 课堂练习：活动1、例习题分析例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．练习：1、 如图，四边形ABCD 是矩形，找出相等的线段和相等的角2、如果矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为120。
18.2.1 第1课时 矩形的性质(导学案)-2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课(人教
18.2.1 第1课时矩形的性质（导学案）-2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（人教版）一、知识点概述本节课我们将学习矩形的性质。
矩形是我们常见的一种四边形，具有一些特殊的性质和规律。
通过学习本节课的内容，我们可以更好地理解和应用矩形的性质。
二、学习目标1.了解矩形的定义和性质。
2.掌握计算矩形的周长和面积的方法。
3.能够解决与矩形相关的问题。
三、学习内容1. 矩形的定义和性质•矩形是一种四边形，其中两对相对的边相等且平行，并且四个角都是直角。
•矩形的性质包括：a.相邻的两条边相等；b.对角线相等且平分；c.对角线互相垂直。
2. 计算矩形的周长和面积•矩形的周长（C）可以通过公式计算：C = 2 * (长 + 宽)。
•矩形的面积（A）可以通过公式计算：A = 长 * 宽。
3. 解决矩形相关问题通过学习本节课内容，我们可以利用矩形的性质解决一些实际问题，例如：•已知矩形的周长和一条边的长度，如何求解另一条边的长度？•已知矩形的面积和一条边的长度，如何求解另一条边的长度？•如何判断一个四边形是否为矩形？四、学习方法1.仔细阅读教材相关内容，理解矩形的定义和性质。
2.运用所学方法，通过计算矩形的周长和面积来提高问题解决能力。
3.在学习过程中，要多思考，多练习，加深对矩形性质的理解。
五、学习要求1.熟记矩形的定义和性质，并能够运用到实际问题中。
2.能够独立计算矩形的周长和面积。
3.能够判断一个四边形是否为矩形，并给出相应的证明。
六、课堂练习1.计算下列矩形的周长和面积：a)长为5cm，宽为3cm的矩形；b)长为8m，宽为6m的矩形。
2.若一个四边形的两条边相等且平行，且四个角都是直角，我们可以判断该四边形为矩形吗？3.现有一个矩形，已知其周长为16cm，且宽为3cm，求解该矩形的长。
七、小结通过本节课的学习，我们了解了矩形的定义和性质，学会了计算矩形的周长和面积的方法，并且能够解决一些与矩形相关的问题。
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18.2 特殊的平行四边形
杭信一中何逸冬
18.2.1矩形
第1课时矩形的性质
一、新课导入
1.导入课题
演示平行四边形方框,使方框相邻两边成直角时，让学生尝试说出此时四边形的名称，并板书课题.
2.学习目标
（1）理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
（2）掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.
3.学习重、难点
重点：矩形的性质及其推论.
难点：矩形性质的运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P52内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：观看平行四边形方框改变成有一个角是直角时，边的关系是否发生改变.
（4）自学参考提纲：
①矩形是平行四边形吗?它具有平行四边形的性质吗？
②如图，四边形ABCD是矩形，那么：AD∥BC且AD＝BC，AB∥CD且AB＝CD，∠D=∠B=90°，∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠C=∠D，OA=OC，OB=OD.
③矩形还具有哪些一般平行四边形不一定具有的性质呢？结合上图进行论证归纳出来.
对于四个角来说有四个角都是直角.
对于对角线来说有对角线相等.
2.自学:结合自学参考提纲进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生完成参考提纲时存在的困难问题.
②差异指导：引导学生通过平行四边形性质及三角形全等知识探究矩形的特殊性质.
（2）生助生：学生之间相互交流和帮助.
4.强化
（1）矩形具有一般平行四边形的性质.
（2）矩形具有的特殊性质.
1.自学指导
（1）自学内容：P53练习以上的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：认真阅读“思考”文字内容，对照图形思考BO与AC之间存在什么关系.
（4）自学参考提纲：
①如教材中图18.2-3，因为矩形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，即O是AC的中点，BO是△ABC
的边AC上的中线.
②因为∠ABC=90°，BO是AC的中线，BO=1
2
BD，AC=BD，所以BO=
1
2
AC；也就是说直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半.
③归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
④例1中OA=OB运用了对角线相等和对角线互相平分性.
2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生找BO与AC关系的思考过程.
②差异指导：指导学生将结论用文字表达出来.
（2）生助生：学生相互交流帮助.
4.强化：直角三角形的性质:
（1）两锐角互余.
（2）两直角边的平方和等于斜边的平方.
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处.
.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及不足.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
在学习本节课之前，学生对矩形的基本知识有一定的了解，而且有前一节探究平行四边形有关知识作为基础，学生已具有一定的独立思考和探究的能力，所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，促进学生能力的提高.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基巩固（共60分）
1.(15分)矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)
A.对边相等
B.对角相等
C.对角互补
D.对角线互相平分
2.(15分)直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边的中线长是(D)
A.26
B.13 C8.5 D.6.
3.(15分)矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，BC=12cm,则△ABO的周长等于18cm .
4.(15分)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°.点D是AB边的中点.试判断△BCD的形状，并说明理由.
解：△BCD为等边三角形.
∵∠ACB=90°,点D是AB的中点，∴CD=1
2
AB=BD.
在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°.
在△CBD中，CD=BD,∠B=60°,
∴△BCD为等边三角形.
二、综合应用（20分）
5.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5cm，求对角线长.
解：对角线长=2×4.5=9（cm）.
三、拓展延伸（20分）
6.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF.
证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，∴OB=OC.
又∵∠BEO=∠CFO=90°，∠EOB=∠FOC.
∴Rt△EBO≌Rt△FCO,
∴BE=CF.
【素材积累】
1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
预测未来的醉好方法，旧是创造未来。
坚志而勇为，谓之刚。
刚，生人之德也。
美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。
人生的胜者决不会摘挫折面前失去勇气。
2、我一直知道，漫长人生中总有一段泥泞不得不走，总有一个寒冬不得不过。
感谢摘这样的时候，我遇见的世界上最美的心灵，我接受的最温暖的帮助。
经历过这些，我将带着一颗感恩和勇敢的心继续走上梦想的道路，无论是风雨还是荆棘。