算法设计与分析递归
算法设计与分析课程论文
算法设计与分析课程论文1．引言算法设计与分析是数据结构的有力补充，从中可以了解到算法设计的奥妙以及对数据结构中的数据存储结构更深层次的运用。
计算机算法设计与分析是面向设计的、处于核心地位的一门学科。
算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。
算法设计是一件非常困难的工作，常用的算法设计方法有：分治法、贪心方法、动态规划、回溯法、分枝－限界法、基本检索与周游方法、遗传算法等。
本文主要对算法设计与分析中的递归算法以及动态规划算法进行了总结、分析以及对具体问题的编程实现。
2．递归算法分析2.1递归算法简介与特点递归就是在函数或子过程的内部，直接或间接地调用自己的算法；递归算法是从下往上进行思维，需要对问题有全局的了解；在使用递归算法时，必须至少测试一个可以终止递归的条件，并且还必须对在合理的递归调用次数内未满足此类条件的情况进行处理，如果没有一个在正常情况下可以满足的条件，则过程将陷入执行无限循环的高度危险之中；递归算法的描述非常简洁而易于理解，但因重复计算和较大的堆栈消耗使递归算法的解题的运行效率较低；并不是所有的语言都支持递归，在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储，递归次数过多容易造成栈溢出等不利编程的因素，所以一般不提倡用递归算法设计程序。
2.2递归过程递归过程是直接调用自己或通过一系列的过程调用语句间接调用自己的过程。
在一个过程的运行期间调用另一个过程时，在执行被调用过程之前，系统要先把所有的实在参数返回地址等信息传递给被调用的过程保存，为被调用过程的局部变量分配存储空间，将控制转移到被调用入口。
接下来从被调过程返回调用过程要保存被调用过程的计算结果，释放被调用过程的数据区，依照被调过程保存的返回地址将控制转移到调用过程。
该过程服从后调用先返回的原则。
2.3递归算法的优缺点递归算法易于理解，结构清晰，所编写的代码简洁精练，可读性好，有利于代码的维护。
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案，本次实验成绩按百分制计，完成各小题的得分如下，每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
（30分）2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
（30分）3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
（40分）提交结果：算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数：";cin>>n;cout<<"请输入数据：";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列："<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：从以下题目中任选一题完成，要求应用递归与分治策略设计解决方案。
算法设计与分析--递归
例3.4 将下面的递归程序转化成等价的非 递归程序。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin call P(w-1)； write(w)； end； endp；
由此归纳出： n =4时是递归的出口，在退出时作5个移动 操作： move (4,5) (9,10) move (8,9) (4,5) move (2,3) (8,9) move (7,8) (2,3) move (1,2) (7,8) 如果 2n 个棋子的移动用 chess( n )表示，则 递推关系是： Move (n,n+1) (2n+1,2n+2); move (2n-1,2n) (n,n+1); call chess(n-1);
④对返回语句，如果栈不空，则依次执行如下操 作，否则结束本子程序，返回。 a.回传数据：若有变参或是函数，将其值保存 到回传变量中； b.恢复现场：从栈顶取出返址(不妨设保存到X 中)及各变量、形参的值，并退栈； c.返回，执行goto X； d.对其中的非递归调用和返回操作可照搬。
修 改 后 的 程 序
3.4
递归算法的设计
适宜于用递归算法求解的问题的充分必要条件是： ①问题 P 的描述涉及规模，即 P(size)； ②规模发生变化后，问题的性质不发生变 ③问题的解决有出口。
表现形式
procedure P(参数表)； begin if 递归出口 then 简单操作 else begin 简单操作；call P; 简单操作 end; endp;
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
递归算法分析
一般地,一个递归模型是由递归出口和递归体两部分
组成,前者确定递归到何时结束,后者确定递归求解时
的递推关系。
实际上递归的思路是把一个不能或者不好直接求解的
“大问题”转化为一个或者几个“小问题”来解决；
再把“小问题”进一步分解为更小的“小问题”来解 递归出口 决；如此分解，直到“小问题”可以直接求解。
运 行 程 序
在700多年前，意大利有一位著名数学家斐波那契在他的《算盘全集》一书中 提出了这样一道有趣的兔子繁殖问题。 如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生 后的第三个月也都生下一对小兔。那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以 繁殖成多少对兔子？ 用列举的方法可以很快找出本题的答案： 第一个月，这对兔子生了一对小兔，于是这个月共有2对（1+1=2）兔子。 第二个月，第一对兔子又生了一对兔子。因此共有3对（1+2=3）兔子。 第三个月，第一对兔子又生了一对小兔而在第一个月出生的小兔也生下了一对 小兔。所以，这个月共有5对（2+3=5）兔子。 第四个月，第一对兔子以及第一、二两个月生下的兔子也都各生下了一对小兔 。因此，这个月连原先的5对兔子共有8对（3+5=8）兔子。 列表如下：
就象上面的故事那样，故事中包含了故事本身——自己调用自己。 程序设计中函数的出现——因为对自身进行调用，所以需对程序段进 行包装，也就出现了函数。 函数的利用是对数学上函数定义的推广，函数的正确运用有利于简化 程序，也能使某些问题得到迅速实现。对于代码中功能性较强的、重 复执行的或经常要用到的部分，将其功能加以集成，通过一个名称和 相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行 简单调用就能来完成特定功能。
《算法设计与分析》递归算法典型例题
算法递归典型例题实验一：递归策略运用练习三、实验项目1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。
题目列表如下：（1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。
第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。
到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。
编程求N和M。
（2）国王分财产。
某国王临终前给儿子们分财产。
他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。
每个儿子都窃窃自喜。
以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。
请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？源程序：（3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。
问这鱼缸里原有多少条金鱼？（4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？（5）猴子吃桃。
有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？（6）小华读书。
第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？（7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
算法设计与分析(详细解析(含源代码)
常用算法设计方法要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。
计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。
算法数据结构是程序的两个重要方面。
算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。
指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。
计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。
其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。
算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。
另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。
一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，x n-1）设方程组为：x i=g i(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x[i]=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y[i]=x[i];for (i=0;i<n;i++)x[i]=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y[i]-x[i])>delta) delta=fabs(y[i]-x[i])；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x[i])；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
算法设计与分析：第02章 递归与分治策略
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1
递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
课件第2章
递归与分治策略
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
2.1
递归的概念
例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
2.1
递归的概念
例6 Hanoi塔问题 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 接移至塔座b上即可。 用递归技术来解决这个问题。 { 思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 if (n > 0) 四个，现要将n个圆盘从a全部移动 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 { 到d，移动规则不变，求移动步数最 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 hanoi(n-1, a, c, b); 小的方案。 移动规则从塔座c移至塔座b。 move(a,b); 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， hanoi(n-1, c, b, a); 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 } }
算法设计与分析-递归法
b)
cn k
n1 n1
O (nlog b a ) T (n) O(nk log b n) O(nk )
a bk a bk a bk
但是并非所有的递推式都可以用公式法求解。 例T(n)=2T(n/2)+nlogn 由于a=2, b=2, f(n)=nlogn和nlogba=n。看起来似乎属于 主定理情况（3），但事实上f(n)只是渐近大于n，但并不 是多项式大于n。f(n)与的nlogba比值是log n，对于任何 正数，log n渐近小于n，所以，此例不能运用定理。
1 替换方法
替换方法要求首先猜测递推式的解，然后用归纳法证明。
例2.2 T(n) 2T(n / 2) n
需要注意在上述证明过程中，没有考虑初始条件，而初始条 件是归纳法成立的基础。上例归纳证明的初始条件是是 T(1)≤c，只要选择足够大的c≥1即成立。
2.迭代方法
迭代方法的思想是扩展递推式，将递推式先转换成 一个和式，然后计算该和式，得到渐近复杂度。 例2.4 使用迭代方法分析 T (n) 2T (n / 2) n2
本章要点
• 递归算法特性
• 递推关系 • 递归算法的应用
章节内容
2.1 递归算法 2.1.1 递归算法特性 2.1.2 递归算法的执行过程 2.1.3 递推关系
2.2 递归法应用举例
2.3 典型问题的C++程序
2.4 小结
2.1 递归法
2.1.1 递归算法的特性
若一个算法直接的或间接的调用自己本身，则称这个算 法是递归算法。递归本质上也是一种循环的算法结构，它把较 复杂的计算逐次归结为较简单的情形的计算，直到归结到最简 单情形的计算，并最终得到计算结果为止。
算法设计与分析的基本方法-论文
算法设计与分析的基本方法1.递推法递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法.递推是序列计算机中的一种常用算法。
它是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。
其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。
2.递归法程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。
一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。
递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。
一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。
当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。
注意：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身;(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
3.穷举法穷举法，或称为暴力破解法，是一种针对于密码的破译方法，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。
例如一个已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多尝试10000次就能找到正确的密码。
理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题只在于如何缩短试误时间。
因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩小密码组合的范围。
4.贪心算法贪婪算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。
用贪婪法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下,以迭代的方法做出相继的贪心选择,每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题, 通过每一步贪心选择,可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。
算法设计与分析 第三章1 循环与递归
3．1．2 递归设计要点
◆递归算法是一个模块（函数、过程）除了可调用 其它模 块（函数、过程）外，还可以直接或间接 地调用自身的算法。 ◆递归是一种比迭代循环更强、更好用的循环结构。 ◆只需要找出递归关系和最小问题的解。 ◆递归方法只需少量的步骤就可描述出解题过程所需 要的多次重复计算，大大地减少了算法的代码量。
main( ) {int i,j,a[100][100],n,k; input(n); k=1; for(i=1;i<=n;i=i+1) for( j=1;j<=n+1-i;j=j+1) {a[i-1+j][j]=k; k=k+1;} for(i=1;i<=n;i=i+1) {print( “换行符”); for( j=1;j<=i;j=j+1) print(a[i][j]); } }
数学模型2：Sn=Sn-1+（-1）n+1An；
An=An-1 *1/((2*n-2)*(2*n-1))
main( ) {int i,n, sign; float s,t=1; input(n); s=1； sign=1; for(i=2;i<=n;i=i+1) {sign=-sign; t= t*(2*i-2)*(2*i-1)}; s=s+ sign/t; } print(“Sum=”,s); }
递归的关键
递归定义：使问题向边界条件转化的规则。递归定 义必须能使问题越来越简单。 递归边界条件：也就是所描述问题的最简单情况， 它本身不再使用递归的定义。
递归算法解题通常有三个步骤：
1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问 题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。 2）设置边界、控制递归：找出停止条件，即算法可解 的最小规模问题。 3）设计函数、确定参数：和其它算法模块一样设计函 数体中的操作及相关参数。
算法设计与分析(王佳)02递归
2021/8/17
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函数调用原理
１．在函数调用之前，系统需完成三件事： ⑴ 为被调用过程的局部变量分配存储区； ⑵ 将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用过程保存； ⑶ 将控制转移到被调过程的入口。
２．从被调用过程返回调用过程之前，系统也应完成三件工作： ⑴ 保存被调过程的计算结果； ⑵ 释放被调过程的数据区； ⑶ 依照被调过程保存的返回地址将控制转移到调用过程。
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带入T(1)=1，通过递归式有，T(2) = 4，T(3)=5， 如何使T(2)、T(3)满足T(n)≤cnlogn？ 只要c取足够大的常数使得T(2)≤c2log2和T(3)≤c3log3成立即 可。这样的c是什么？ 答案：只要c≥2即可。 综上所述，取常数c≥2，最终的结论T(n)≤cnlogn就成立。 命题得证。
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2) 递归式 Recursion
递归公式：当递推式中只含数列中的项，而无常数项或其它 项时，就叫做递归公式。
所以，递归公式属于递推公式的一个特例。
例如，自然数列
用通项公式表示为：an=n 用递推公式表示为：an+1=an+1
初始条件：a1=1 用递归公式表示为：an+2=2an+1-an，
初始条件：a1=1，a2=2
这里，没有过于细致地区分递归式与递推式，我们视为 一致。
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2. 递归式的求解 这里所说的求解递归式就是化简递归式，以得到形式简单的
限界函数表示（即O、Ω、Θ的表示）。 三种常用方法：
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ß 代换（Substitution）方法: Þ Guess first, Þ 然后用数学归纳法证明.
算法分析与设计论文
算法分析与设计论⽂1：递归算法程序直接或间接调⽤⾃⾝的编程技巧称为递归算法（Recursion）。
递归算法是⼀个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调⽤⾃⾝的⼀种⽅法。
它通常把⼀个⼤型复杂的问题转化为⼀个与原问题类似的规模较⼩的问题来求解。
递归策略只需少量的代码就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，⼤⼤减少了程序的代码量。
递归的优势在于⽤有限的语句来定义对象的⽆限集合，⽤递归思想写出的程序往往⼗分简洁易懂。
递归需要有边界条件，递进前进段和递归返回段，当边界条件不满⾜时，递归前进；当边界条件满⾜时，递归返回（使⽤递归时，不必须有⼀个明确的递归出⼝，否则递归将⽆限进⾏下去）。
递归算法解题的运⾏效率较低，在递归调⽤过程中，系统为每⼀层的返回点，局部变量等开辟了堆栈来储存。
递归次数过多容易造成堆栈溢出等。
例：Fibonacci数列“菲波那切数列”是意⼤利数学家列昂纳多-斐波那契最先研究的⼀种递归数列，他的每⼀项都等于前两项制盒次数列的前⼏项为1,1,2,3,5等。
在⽣物数学中许多⽣物现象都会出现菲波那切数列的规律，斐波那契数列相邻两项的⽐例近于黄⾦分割数，其递归定义为：Fibonacci数列的递归算法：int fib(int n){if (n<=1) return 1;return fib(n-1)+fib(n-2);}算法效率⾮常低，重复递归的次数太多，通常采⽤递推算法：int fib[50]; //采⽤数组保存中间结果void Fibonacci(int n){fib[0] = 1;fib[1] = 1;for (int i=2; i<=n; i++)fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];}采⽤数组保存之前已求出的数据，减少了递归次数，提⾼了算法效率。
2：分治算法在计算机科学中，分治法是⼀种很重要的算法。
字⾯上的解释是“分⽽治之”，就是把⼀个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的⼦问题，再把⼦问题分成更⼩的⼦问题……直到最后⼦问题可以简单的直接求解，原问题的解即⼦问题的解的合并。
算法设计与分析实验报告
本科实验报告课程名称：算法设计与分析实验项目：递归与分治算法实验地点：计算机系实验楼110专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真指导教师：郝晓丽2018年05月04 日实验一递归与分治算法1.1 实验目的与要求1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境；2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。
1.2 实验课时2学时1.3 实验原理分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。
需要注意的是，分治法使用递归的思想。
划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。
最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。
1.4 实验题目1．上机题目：格雷码构造问题Gray码是一个长度为2n的序列。
序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。
试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。
对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。
（1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。
（2）序列中无相同的编码。
（3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
2．设计思想：根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。
两位是00 01 11 10。
三位是000 001 011010 110 111 101 100。
n位是前n-1位的2倍个。
N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。
3．代码设计：}}}int main(){int n;while(cin>>n){get_grad(n);for(int i=0;i<My_grad.size();i++)cout<<My_grad[i]<<endl;My_grad.clear();}return 0;}运行结果：1.5 思考题（1）递归的关键问题在哪里？答：1.递归式，就是如何将原问题划分成子问题。
《算法设计与分析》实验目的
《算法设计与分析》实验指导书曹严元计算机与信息科学学院2007年5月目录实验一递归算法与非递归算法 (2)实验二分治算法 ................................................... 错误！未定义书签。
实验三贪心算法 (3)实验四动态规划 (2)实验五回溯法 (3)实验六分枝—限界算法 (4)实验七课程设计 (4)实验一递归与分治算法实验目的1.了解并掌握递归的概念，掌握递归算法的基本思想；2.掌握分治法的基本思想方法；3.了解适用于用递归与分治求解的问题类型，并能设计相应递归与分治算法；4.掌握递归与分治算法复杂性分析方法，比较同一个问题的递归算法与循环迭代算法的效率。
实验二动态规划实验目的1.掌握动态规划的基本思想方法；2.了解适用于用动态规划方法求解的问题类型，并能设计相应动态规划算法；3.掌握动态规划算法复杂性分析方法。
实验三贪心算法实验目的1.掌握贪心法的基本思想方法；2.了解适用于用贪心法求解的问题类型，并能设计相应贪心法算法；3.掌握贪心算法复杂性分析方法分析问题复杂性。
实验五回溯法实验目的1.掌握回溯法的基本思想方法；2.了解适用于用回溯法求解的问题类型，并能设计相应回溯法算法；3.掌握回溯法算法复杂性分析方法，分析问题复杂性。
实验六 分枝—限界算法实验目的1. 掌握分枝—限界的基本思想方法；2. 了解适用于用分枝—限界方法求解的问题类型，并能设计相应动态规划算法；3. 掌握分枝—限界算法复杂性分析方法，分析问题复杂性。
实验七 课程设计实验目的1. 在已学的算法基本设计方法的基础上，理解算法设计的基本思想方法；2. 掌握对写出的算法的复杂性分析的方法，理解算法效率的重要性；3. 能运用所学的基本算法设计方法对问题设计相应算法，分析其效率，并建立对算法进行改进，提高效率的思想意识。
预习与实验要求1. 预习实验指导书及教材的有关内容，回顾所学过的算法的基本思想；2. 严格按照实验内容进行实验，培养良好的算法设计和编程的习惯；3. 认真听讲，服从安排，独立思考并完成实验。
算法设计与分析—递归算法.ppt
//递归调用
return n * y;
}
}
9
为说明该递归算法的执行过程，设计调用过程如下：
void main(void) {
long int fn; fn = Fact(3); }
上述代码用实参n = 3调用了递归算法Fact(3)，而 Fact(3)要通过调用Fact(2)、Fact(2)要通过调用Fact(1)、 Fact(1)要通过调用Fact(0)来得出计算结果。Fact(3)的递 归调用过程如下图所示，其中，黑色实线箭头表示函数调 用，绿色虚线箭头表示函数返回，此函数在返回时函数名 将带回返回值。
由于堆栈的后进先出特性正好与递归函数调用和返回的过
程吻合，因此，高级程序设计语言利用堆栈保存递归函数调
用的信息，系统用于保存递归函数调用信息的堆栈称为运行
时栈。
栈顶
局部变量m 返回地址m 参 数m
……
……
……
局部变量2 返回地址2 参 数2
局部变量1 返回地址1 参 数1 栈底
运行时栈示意图
29
递归函数被调用时，在每进入下一层递归调用时，系统 就建立一个新的工作记录，并把这个工作记录进栈成为运 行时栈新的栈顶；每返回一层递归调用，就退栈一个工作 记录。
设计：按照阶乘函数的递推定义式计算阶乘函数的递归算
法如下：
long int Fact(int n)
{ int x;
long int y;
if(n < 0)
//n < 0时阶乘无定义
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else { y = Fact(n - 1);
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下面用不完全归纳法找出口和递推关系。 n=4 0 0 0 0 1 1 1 1_ _ 第一步 0 0 0 _ _ 1 1 1 0 1 (4,5) (9,10) 第二步 0 0 0 1 0 1 1 _ _ 1 (8,9) (4,5) 第三步 0 _ _ 1 0 1 1 0 0 1 (2,3) (8,9) 第四步 0 1 0 1 0 1 _ _ 0 1 (7,8) (2,3) 第五步 _ _ 0 1 0 1 0 1 0 1 (1,2) (7,8)
3.2 递归程序的阅读
3.2.1 模拟系统栈方式 例3.1 求m，n(m>n)的最大公因子的递归 过程。
procedure GCD(m，n∶int；var h∶int) begin
1∶if n=0 2∶ then begin h←m； write(h)； end 3∶else call GCD(n，m mod n，h)； 4∶endp；
子程序调用的内部实现
①在执行调用时，系统至少执行如下操作： a. 返回地址进栈，同时在栈顶为被调子程序的 局部变量开辟空间； b. 为被调子程序准备数据：计算实参值，并赋 给对应的栈顶的形参； c.将指令流转入被调子程序的入口处； ②在执行返回操作时，系统至少执行如下操作： a.若有变参或是函数，将其值保存到回传变量 中； b.从栈顶取出返回地址； c.按返回地址返回； d.若有变参或是函数，从回传变量中取出保存 的值传送给相应的变量或位置上。
例3.11 任何一个大于1的自然数 n，总可以拆分成 若干个小于 n 的自然数之和，试求 n 的所有 拆分。
n =2 可拆分成 n =3 可拆分成 n =4 可拆分成
2=1+1 3=1+2= 1+1+1 4=1+3= 1+1+2= 1+1+1+1= 2+2
……
n =7 可拆分成
图3.6 例3.6的流程图
procedure GCD(m,n∶int;var h∶int); var temp,backvar∶ int; begin init(S); while n≠0 do begin push(S,m,n,h); temp m; m n; n temp mod n; end; h m;write(h); while not empty(S) do begin backvar h; pop(S,m,n,h); h backvar; end; endp;
第3章 递 归
递归调用的内部实现原理 递归程序的阅读 递归转非递归 递归算法的设计 解递归方程
递归的定义
在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函
数的成分,称之为递归。若调用自身,称之为直接递
归。若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调用p,
称之为间接递归。
3.1 递归调用的内部实现原理
修 改 后 的 程 序
3.4
递归算法的设计
适宜于用递归算法求解的问题的充分必要条件是： ①问题 P 的描述涉及规模，即 P(size)；
③问题的解决有出口。
procedure P(参数表)； begin if 递归出口 then 简单操作 else begin 简单操作；call P; 简单操作 end; endp;
表现形式
例3.7 简单的0/1背包问题。
设一背包可容物品的最大质量为 m，现有n个物品，质 量为(w1,w2,…,wn)，wi均为正整数，从n件物品中挑选若 干件，使放入背包的质量之和正好为m。
例3.9 棋子移动。有 2n 个棋子(n≥4)排成一 行，白子用 0 代表，黑子用 1 代表， n =5 的 初始状态为： 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 _ _(右边至少有两个空位) 移动规则是每次必须同时移动相邻两个棋 子，颜色不限，移动方向不限，每次移动 必须跳过若干棋子，不能调换两个棋子的 位置，最后成为： 0101010101
n=5 0000011111__ 第一步 0 0 0 0 _ _ 1 1 1 1 0 1 (5,6) (11,12) 第二步 0 0 0 0 1 1 1 1 _ _ 0 1 (9,10) (5,6) 这时前 8 枚棋子是 n =4的情况，移法如 n =4 的第一步到第五步即可完成 n =5时的移子。 n=6 000000111111__ 第一步 0 0 0 0 0 _ _ 1 1 1 1 1 0 1 (6,7) (13,14) 第二步 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 _ _ 0 1 (11,12) (6,7) 前 10 枚棋子为 n =5的情况。
解 按转化规则可得
procedure P1(w∶int)； begin init(S)； l0∶ if w>0 then begin push(S，w，l1)； w w-1 goto l0； l1∶ write(w)； end； if not empty(S) then begin pop(S，w，X)； goto X； end； endp；
例3.5 将下面递归程序改为等价的非递归 程序。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin write(w)； call P(w-1)； end； endp；
procedure P1(w∶int)； begin init(S)； l0∶ if w>0 then begin write(w)； push(S，w)； w w-1； goto l0； l1∶ end； if not empty(s) then begin pop(S，w)； goto l1； end； endp；
a. 保留现场：开辟栈顶存储空间，用于保存返回地 址(不妨用Li，i=1，2，…)和调用层的形参和局部变 量的值(最外层调用不必考虑)；
b. 准备数据：为被调子程序准备数据，计算实参值， 并赋给对应的形参； c.执行goto L0； d.在返回处设一个标号Li(i=1，2，3，…)，并根据需 要设置以下语句：若有变参或是函数，从回传变量 中取出所保存的值，并传送到相应的实参或位置。
3.3 递归转非递归
递归算法的程序设计存在两个问题：
①并不是所有语言都支持递归； ②递归程序比非递归程序要花费更多的时间， 当递归层数太多时，会出现栈溢出。
递归转非递归方法
①系统自动地为递归设置了一个栈，因此，在等 价的非递归程序中，需要设置栈S，初始为空 ②调用的c操作是将程序的执行流程转入到子程序 的入口处，所以等价程序中，用无条件的转移语 句实现，并在入口处设置一个标号L0。 ③对程序中的每个递归调用，用以下几个等价操 作替换：
例3.6 将例3.1转换成等价的非递归程序。
procedure GCD(m,n∶int;var h∶int); var temp,backvar∶int; begin init(S); l1∶h backvar; l0∶if n=0 then end; begin if not empty(S) then h m; begin write(h); backvar h; end pop(S,m,n,h); else goto l1; begin end; push(S,m,n,h); endp; temp m; m n; n temp mod n; goto l0;
call GCD(28，6，X)执行过程
指令流方式
指令流方式 GCD(100 ， 18 ， x) 执行 write(x) 的运行过程，
指令流方式 例3.3 对下面的递归过程， 写出调用P(3)的运行结果。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin call P(w-1)； write(w)； call P(w-1)； end； endp；
简化规则2 在尾递 归调用时，不必执 行入栈操作。
注意：如果有变参或 是函数，则在返回后 还要执行赋值操作， 所以不能算尾递归。
图3.5 例3.5流程图
修改后的程序
procedure P1(w∶int)； begin l0∶if w>0 then begin write(w); w w-1; goto l0 end; endp;
由此归纳出： n =4时是递归的出口，在退出时作5个移动 操作： move (4,5) (9,10) move (8,9) (4,5) move (2,3) (8,9) move (7,8) (2,3) move (1,2) (7,8) 如果 2n 个棋子的移动用 chess( n )表示，则 递推关系是： Move (n,n+1) (2n+1,2n+2); move (2n-1,2n) (n,n+1); call chess(n-1);
简化规则 1 如果递 归程序中只有一次递 归调用，则在转换时， 返回地址不入栈。
图3.4 例3.4的流程图
修改后的程序
procedure P1(w∶int)； begin init(S)； while w>0 do begin push(S，w)； w w-1； end； while not empty(S) do begin pop(S，w)； write(w)； end； endp；