算法设计与分析递归

由此归纳出： n =4时是递归的出口，在退出时作5个移动 操作： move (4,5) (9,10) move (8,9) (4,5) move (2,3) (8,9) move (7,8) (2,3) move (1,2) (7,8) 如果 2n 个棋子的移动用 chess( n )表示，则 递推关系是： Move (n,n+1) (2n+1,2n+2); move (2n-1,2n) (n,n+1); call chess(n-1);

a. 保留现场：开辟栈顶存储空间，用于保存返回地 址(不妨用Li，i=1，2，…)和调用层的形参和局部变 量的值(最外层调用不必考虑)；



b. 准备数据：为被调子程序准备数据，计算实参值， 并赋给对应的形参； c.执行goto L0； d.在返回处设一个标号Li(i=1，2，3，…)，并根据需 要设置以下语句：若有变参或是函数，从回传变量 中取出所保存的值，并传送到相应的实参或位置。


例3.6 将例3.1转换成等价的非递归程序。
procedure GCD(m,n∶int;var h∶int); var temp,backvar∶int; begin init(S); l1∶h backvar; l0∶if n=0 then end; begin if not empty(S) then h m; begin write(h); backvar h; end pop(S,m,n,h); else goto l1; begin end; push(S,m,n,h); endp; temp m; m n; n temp mod n; goto l0;
解 按转化规则可得
procedure P1(w∶int)； begin init(S)； l0∶ if w>0 then begin push(S，w，l1)； w w-1 goto l0； l1∶ write(w)； end； if not empty(S) then begin pop(S，w，X)； goto X； end； endp；
第3章 递 归

递归调用的内部实现原理 递归程序的阅读 递归转非递归 递归算法的设计 解递归方程
递归的定义
在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函
数的成分,称之为递归。若调用自身,称之为直接递
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归。若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调用p,
称之为间接递归。

3.1 递归调用的内部实现原理







n=5 0000011111__ 第一步 0 0 0 0 _ _ 1 1 1 1 0 1 (5,6) (11,12) 第二步 0 0 0 0 1 1 1 1 _ _ 0 1 (9,10) (5,6) 这时前 8 枚棋子是 n =4的情况，移法如 n =4 的第一步到第五步即可完成 n =5时的移子。 n=6 000000111111__ 第一步 0 0 0 0 0 _ _ 1 1 1 1 1 0 1 (6,7) (13,14) 第二步 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 _ _ 0 1 (11,12) (6,7) 前 10 枚棋子为 n =5的情况。
7=1+6= 1+1+5= 1+1+1+4= 1+1+1+1+3= 1+1+1+1+1+2= 1+1+1+1+1+1+1= 1+1+1+2+2= 1+1+2+3= 1+2+4= 1+2+2+2= 1+3+3= 2+5= 2+2+3= 3+4
简化规则 1 如果递 归程序中只有一次递 归调用，则在转换时， 返回地址不入栈。
图3.4 例3.4的流程图
修改后的程序





procedure P1(w∶int)； begin init(S)； while w>0 do begin push(S，w)； w w-1； end； while not empty(S) do begin pop(S，w)； write(w)； end； endp；




例3.4 将下面的递归程序转化成等价的非 递归程序。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin call P(w-1)； write(w)； end； endp；


子程序调用的内部实现


①在执行调用时，系统至少执行如下操作： a. 返回地址进栈，同时在栈顶为被调子程序的 局部变量开辟空间； b. 为被调子程序准备数据：计算实参值，并赋 给对应的栈顶的形参； c.将指令流转入被调子程序的入口处； ②在执行返回操作时，系统至少执行如下操作： a.若有变参或是函数，将其值保存到回传变量 中； b.从栈顶取出返回地址； c.按返回地址返回； d.若有变参或是函数，从回传变量中取出保存 的值传送给相应的变量或位置上。
3.2 递归程序的阅读

3.2.1 模拟系统栈方式 例3.1 求m，n(m>n)的最大公因子的递归 过程。


procedure GCD(m，n∶int；var h∶int) begin



1∶if n=0 2∶ then begin h←m； write(h)； end 3∶else call GCD(n，m mod n，h)； 4∶endp；

④对返回语句，如果栈不空，则依次执行如下操 作，否则结束本子程序，返回。 a. 回传数据：若有变参或是函数，将其值保存 到回传变量中； b. 恢复现场：从栈顶取出返址 ( 不妨设保存到 X 中)及各变量、形参的值，并退栈； c.返回，执行goto X； d.对其中的非递归调用和返回操作可照搬。


图3.6 例3.6的流程图



procedure GCD(m,n∶int;var h∶int); var temp,backvar∶ int; begin init(S); while n≠0 do begin push(S,m,n,h); temp m; m n; n temp mod n; end; h m;write(h); while not empty(S) do begin backvar h; pop(S,m,n,h); h backvar; end; endp;

例3.11 任何一个大于1的自然数 n，总可以拆分成 若干个小于 n 的自然数之和，试求 n 的所有 拆分。

n =2 可拆分成 n =3 可拆分成 n =4 可拆分成

2=1+1 3=1+2= 1+1+1 4=1+3= 1+1+2= 1+1+1+1= 2+2
……

n =7 可拆分成

表现形式


例3.7 简单的0/1背包问题。

设一背包可容物品的最大质量为 m，现有n个物品，质 量为(w1,w2,…,wn)，wi均为正整数，从n件物品中挑选若 干件，使放入背包的质量之和正好为m。



例3.9 棋子移动。有 2n 个棋子(n≥4)排成一 行，白子用 0 代表，黑子用 1 代表， n =5 的 初始状态为： 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 _ _(右边至少有两个空位) 移动规则是每次必须同时移动相邻两个棋 子，颜色不限，移动方向不限，每次移动 必须跳过若干棋子，不能调换两个棋子的 位置，最后成为： 0101010101



下面用不完全归纳法找出口和递推关系。 n=4 0 0 0 0 1 1 1 1_ _ 第一步 0 0 0 _ _ 1 1 1 0 1 (4,5) (9,10) 第二步 0 0 0 1 0 1 1 _ _ 1 (8,9) (4,5) 第三步 0 _ _ 1 0 1 1 0 0 1 (2,3) (8,9) 第四步 0 1 0 1 0 1 _ _ 0 1 (7,8) (2,3) 第五步 _ _ 0 1 0 1 0 1 0 1 (1,2) (7,8)
3.3 递归转非递归

递归算法的程序设计存在两个问题：

①并不是所有语言都支持递归； ②递归程序比非递归程序要花费更多的时间， 当递归层数太多时，会出现栈溢出。
递归转非递归方法



①系统自动地为递归设置了一个栈，因此，在等 价的非递归程序中，需要设置栈S，初始为空 ②调用的c操作是将程序的执行流程转入到子程序 的入口处，所以等价程序中，用无条件的转移语 句实现，并在入口处设置一个标号L0。 ③对程序中的每个递归调用，用以下几个等价操 作替换：
call GCD(28，6，X)执行过程
指令流方式

指令流方式 GCD(100 ， 18 ， x) 执行 write(x) 的运行过程，





指令流方式 例3.3 对下面的递归过程， 写出调用P(3)的运行结果。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin call P(w-1)； write(w)； call P(w-1)； end； endp；
图3.1 子程序调用的几种形式
值的回传


(1)两次值传送方式 按指定类型为变参设置相应的存储空间， 在执行调用时，将实参值传送给变参，在 返回时将变参的值回传实参。 (2)地址传送方式 在内部将变参设置成一个地址，调用时首 先执行地址传送，将实参的地址传送给变 参，在子程序执行过程中，对变参的操作 实际上变成所对应的实参的操作。
简化规则2 在尾递 归调用时，不必执 行入栈操作。
注意：如果有变参或 是函数，则在返回后 还要执行赋值操作， 所以不能算尾递归。
图3.5 例3.5流程图
修改后的程序

procedure P1(w∶int)； begin l0∶if w>0 then begin write(w); w w-1; goto l0 end; endp;




例3.5 将下面递归程序改为等价的非递归 程序。 procedure P(w∶int)； begin if w>0 then begin write(w)； call P(w-1)； end； endp；






procedure P1(w∶int)； begin init(S)； l0∶ if w>0 then begin write(w)； push(S，w)； w w-1； goto l0； l1∶ end； if not empty(s) then begin pop(S，w)； goto l1； end； endp；
修 改 后 的 程 序
3.4

递归算法的设计
适宜于用递归算法求解的问题的充分必要条件是： ①问题 P 的描述涉及规模，即 P(size)；


③问题的解决有出口。
procedure P(参数表)； begin if 递归出口 then 简单操作 else begin 简单操作；call P; 简单操作 end; endp;



例3.10 求 n 个元素的全排列。 分析： n =1输出：a1; n =2输出：a1 a2 a2 a1; n =3输出： a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3 a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a1 a2


分析 n =3，全部排列分成三类： ① a1 类： a1 之后跟a2 ， a3 的所有全排列。 ② a2 类： a2 之后跟a1 ， a3 的所有全排列。 ③ a3 类： a3 之后跟a2 ， a1 的所有全排列。 将①中a1 ， a2 的互换位置，得到②；将① 中a1 ， a3 的互换位置，得到③。它说明可 以用循环的方式重复执行交换位置，后面 跟随剩余序列的所有排列，对剩余序列再 使用这个方法，这就是递归调用，当后跟 的元素没有时就得到递归的边界。