吉林大学2007级离散数学II试题(A)

一、判断题（20分）
1.对换是偶置换。

2.一个整区至少包含2个元素。

3.一个群一定存在正规子群。

4.设(G, *)为群，S是G的非空子集，如果对于任意的x, y∈S，均有x*y∈S，
那么(S, *)必为(G, *)的子群。

5.R2上的多项式：f(x)=x4+x2+x，g(x)=x2。

有：f(x)≠g(x)，但f(x)g(x)。

6.在有界格中，若有一个元素有余元素，则余元素必唯一。

7.设(L, ×,⊕)是模格，则对任意a, b, c∈L，有a⊕(b×c)=b×(a⊕c)。

8.设集合A={2,3,6,12,24,36}，D是A上的整除关系，则(A, D)是格。

9.代数格中的两个二元代数运算分别满足交换律，结合律，吸收律和消去律。

10.下面哈斯图表示的部分序集是格。

二、简答题（30分）
1.设=(1 2 3)，=(2 3)，计算-1。

2.设G是3次对称群，H={I, (2 3)}是G的子群，求H的所有左陪集。

3.设集合S k={1,2,…,k-1}，k是模k乘法，则
（1）当k=6时，(S k, k)是群吗？
（2）当k=7时，(S k, k)是群吗？
)是群，1是单位元，则
4.设G={1,a,b}，(G, ・
（1）a2=？
（2）b的周期是多少？
)是交换群吗？
（3）(G, ・
5.设R={0,1,2,…,8}，是模9加法，是模9乘法，则(R, , )是环，请问：
（1）环R是消去环吗？若不是，请找出其中的零因子；
（2）环R是整区吗？
（3）请给出环R的一个子环。

6.请指出下列4个哈斯图中有哪些是分配格？
A B C D
7.写出GF(16)的最大真子域。

8.求I/12I的所有极大理想。

9.R13中4/5等于多少？
10.设G是模20的整数加法群，G={0,1,…,19}，G’是模4的整数加法群，G’={0,1,2,3},
令σ：x x(mod 4)，x G，求σ的核，取G的子群H={0，5，10，15}，求σ-1(σ(H))。

三、（10分）
1、证明：f(x)=x5-4x2+4x+6在有理域R0上不可约。

2、设f(x)=3x5+x2-7，判断它在有理域R0上是否可约，并说明理由。

四、（10分）设G是群，H1、H2为G的子群，H1∪H2=G，证明：H1=G或H2=G。

五、（15分）构造一个8元有限域，并写出该域的加法和乘法表。

六、（15分）设（R，+，〃）是环，对于任意的a，b∈R，定义：
a b=a+b+1,
a⊙b=a b+a+b。

证明：（R, , ⊙）是含壹环。