粘性流体力学基础

×3
=
0.98
从表 11-1 中，用内插法，查得
vx = 1 ϕ′(η) = 0.619 U2
所以 Vx ＝0.619Ｕ＝403ｍ/ｓ
(2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ查表 11－1，找出 vx = 99% 时， U
η＝2.5,
由η = 1 y U 可得：
=
1 (∂vy 2 ∂x
−
∂vx ) ∂y
=
− ∂vx ∂y
。
二、边界层外部区域
边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。
重要推论：
（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力
即： P1 = P2 = P3
P P1
P2
x
（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力 分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。
∂ 2 v′x ∂y′2
~
1
δ ′′2
化简后为：
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂x
+ν
∂ 2v x ∂x 2
∂p = 0 ∂y
（11-4）
∂vx + ∂vy = 0
∂x
∂y
边界条件：
ｙ＝０，Vx = Vy = 0 ； ｙ＝δ，Vx = U (x) 。 上式为边界层基本微分方程（Prandtl 方程）。
1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即：
δ′= δ
1
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级以此作为基本假定，将
N-S 方程（二维）化简：
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂x
+ν
(
∂ 2v x ∂x 2
+
∂ 2v x ∂y 2
)
vx
∂vy ∂x
+
vy
∂vy ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂y
Rekp
=
(Ux ν
)
kp
= Uxkp ν
= 5×105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
§8-2
xkp
=
5 ×105
ν U
边界层基本微分方程
（11-1）
粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表 面可近似当作平面。
取物面法线为ｙ轴。在大 Re 数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：
ρux2dy
单位时间内流出ＣＤ面的质量和动量分别为：
∫ mCD =
δ 0
[ρvx
+
∂(ρvx ∂x
U
ν L ∂y
L ∂x
U
ν L y → ∞ , ψ ∂ϕ = U
U
ν L ∂y
U
（11-9） （11-10） （11-11）
（11-12）
若令ψ = νUL ,则方程和边界条件都将变成无量纲的形式,并且其中不再
显含ν和Ｕ。
∂ ϕ ∂ 2ϕ − ∂ ϕ ∂ 2ϕ
∂y ∂x∂y
∂x ∂y2
y = 0,
∂ϕ = 0, ∂x
2 νx
δ = 2.5× 2 ν x = 5 0.15×10−4 × 3 = 0.128m = 1.28cm
U
6.95
（3)求板面上的切应力 τ0
解：
由牛顿内摩擦定律
τ0
=
μ
∂vx ∂y
y=0Fra Baidu bibliotek
=
μ
∂ 2ϕ ∂y 2
y=0
=
μ
1U 4
U ϕ′′(0) νx
按照表 11－1，φ″（0）可近似表达为：
ϕ ′′(0) ≈ ϕ ′′(0.1) − ϕ ′′(0) = 1.328 0.1 − 0
边界层：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。从边界层厚
度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，
开创了近代流体力学的一个分支—边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如 下图：
与来流速度相同的量级,U99％ 均 匀 来 流 速 度
ux
=
∂ψ ∂y
ux
=
−
∂ψ ∂x
(11-6)
将其代入简化后的边界层方程第一式有：
∂ ψ ∂ 2ψ − ∂ ψ ∂ 2ψ = ν ∂ 3ψ
∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2
∂y3
(11-7)
边界条件： y = 0
∂ψ = 0 ∂y
∂ψ = 0 x>0 ∂x
y→∞
∂ψ = U ∂y
若求出了流函数ψ，便可求出速度，ψ应是ｘ，ｙ的函数，且ψ中包含ν和
所以
∂v′x = ∂v′x , ∂y′ ∂x′
∂v′x ~ 1, ∂x′
所以
∂v′y ~ 1, ∂y′
v′y ~ δ ′
∂ 2 v′x ∂x′2
~ 1，
∂v′y ~ δ ′,
∂x′
∂v′y ~ 1 ,
∂y′ δ ′ ∂2v′y ~ δ ′
∂x′2
∂v′x ~ 1
∂y′ δ ′′
(a )
(b )
(c)
表 11-1 给出问题的数值解，其中 1 ϕ′(η) = vx 就是边界层内无量纲的速
2
U
度分布。
例 11.1 本例说明上表 11-1 的用法。
(1) 欲求边界层内点（x,y）的速度 Vx（x,y）可将ｘ及ｙ的值代入η = 1 y U ， 2 νx
1
中得出η值，由此值从上表中找出相应的
ϕ
′ (η
)
第 8 章 粘性流体动力学基础
本章内容：
1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层 6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法
§8-1 边界层的概念
+ν
(
∂ 2v y ∂x 2
+
∂ 2v y ∂y 2
)
∂ v x + ∂ v y = 0 连续性方程
∂x
∂y
引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中的各物理量无量纲化：
x′ = x , L
y′ = y , L
v′x
=
vx U
,
v′y
=
vy U
,
将其代入 N-S 方程，整理后得：
p′
=
p ρU 2
v′x
上述边界层方程简化为：
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=ν
∂ 2vx ∂x2
∂vx + ∂vy = 0
∂x
∂y
(11-5)
边界条件： ｙ＝０， Vx = 0,Vy = 0 ； ｙ→∞，Vx = U 。
严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距离，近似认为ｙ＝δ，Vx = U 。
引入流函数ψ，与速度的关系为：
N-S 方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷 诺数流动问题。高 Re 时(量级在106 ~ 109 的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。 1904 年，L.Prandtl 指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影 响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。
（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将 N-S 方程化简，获得边界层的基本 微分方程。
边界层内的流动状态：
层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层） ，其厚度与 Re 有 关。
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：
雷诺数：
Re
=
Ux ν
（ｘ为离平板前缘点的距离）
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：
y=
νL U
y
ϕ =ψϕ
将（11-9）代入（11-7）式，得
ψ 2 ∂ϕ (
L(νUL ) ∂y
∂ 2ϕ ∂x∂y
− ∂ϕ ∂x
∂2ϕ ∂y 2
)
=
ν
ψ (νUL )3/ 2
∂3ϕ ∂y3
ψ νUL
( ∂ϕ ∂y
∂2ϕ ∂x∂y
−
∂ϕ ∂x
∂2ϕ ∂y2 )
=
∂3ϕ ∂y3
边界条件化为：
ν L y = 0, ψ ∂ϕ = 0, ψ ∂ϕ = 0
Karman 动量积分方程方程，就是一种近似求解边界层问题的方法。
§8-3 边界层动量积分方程
应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿ｘ方向的动量变化 和外力之间的关系。
设流动定
控制体边界ABCD
单位时间内经过ＡＢ面流入的质量和带入的动量分别为：
∫ ∫ mAB =
δ 0
ρuxdy
K AB =
δ 0
讨论：
Prandtl 边界层方程中第二个方程： ∂p = 0 。说明了什么？ ∂y
说明了： P1 = P2 = P3 = 0
p0 p1
p2
Prandtl 边界层方程的求解:
Blasius 解----顺流放置无限长平板上的层流边界层流动。 均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面，原点在平板前缘，平板极薄且无曲 度，边界层外缘处速度为来流速度Ｕ。沿边界层外缘上各点上压力相同，即 dp = 0 。 dx
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规
律随着ｘ的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦
阻力是：
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定：
Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。
选特征量：
Ｌ：ｘ的比例尺
ν L ：y 的比例尺， U
Ψ: ψ的比例尺，Ψ为常数
若用ψ , x, y 表示ψ，ｘ及ｙ的无量纲值，则有
x= x L
y= y νL U
ϕ=ϕ ψ
(11-8)
x = Lx
（11-14）式应采取如下形式：
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
（11-16）
返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即 ：
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
（11-18）
通过以上分析，来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
（11-19）
将上式代入方程（11-7），有
φ′′′ + φφ′′ = 0
φ满足的是三阶非线性常微分方程
（11-20）
边界条件为：
η＝０， φ＝０， φ′＝０ η→∞， φ′＝２ 非线性的微分方程，得不到解析解。采用级数展开办法，或者直接进行数值 积分。由于φ和η均为无量纲量，且在方程及边界条件中只有纯数而不显含ν及 Ｕ，故所得结果可以一劳永逸地应用。
平板上u=0u=0
边界层内粘 性力不可忽
一薄层内速度这
∂vx
梯度 ∂y 很大
边界层外边界
U99％
边界层名义厚度 :外边界上流速达到 U99％的点到物面的法向距离 边界层厚度：
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：
一、边界层：
∂vx 1.这一薄层内速度梯度 ∂y 很大。
2.边界层内的流动是有旋流动 ωz
⎣
U⎤
ν
x
⎥ ⎦
将ψ代入（11-17）式求解
（11-17）
∂ϕ = νUx dϕ dη = νUxϕ ⋅ 1 U = 1 Uϕ′(η)
∂y
dη dy
2 νx 2
∂ 2ϕ ∂y 2
=
1U 4
U ϕ′′(η) νx
∂3ϕ = 1 U 2 ϕ′′′(η) ∂y3 8 ν x
∂ϕ = 1 Uν [ϕ(η) −ηϕ′(η)] ∂x 2 ν x ∂2ϕ = − 1 U ηϕ′′(η) ∂x∂y 4 x
2
则：
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得：
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
∂v′x ∂x′
+ v′y
∂v′x ∂y′
=
−
∂p′ ∂x′
+
1 Re
(
∂ 2 v′x ∂x′2
+
∂ 2 v′x ∂y′2
)
1⋅1
δ2⋅1
δ
(δ 2 )
1
1
δ2
v
′
x
∂
v
′
y
∂x′
+
v
′
y
∂
v
′
y
∂y′
=
−
∂p′ ∂y′
+
1 Re
(
∂
2
v
′
y
∂x′2
+
∂
2
v
′
y
∂y′2
)
1⋅δ δ ⋅ 1
(δ 2 ) δ ′
y → ∞,
∂ϕ = 1 ∂y
= ∂ 3ϕ ∂y 3 ∂ϕ = 0 ∂y
（11-13）
这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再显含ν及Ｕ，其解也应该不包
含ν及Ｕ。
即 ：ψ =ψ (x, y) （11-14）
ϕ = νULϕ ( x , y )
求出 ϕ ，则ψ为：
L νL
U
（11-15）
注意：
平板为半无限长即没有任何特征长度，故其解不应包含Ｌ(只是任选的长度 比例尺)，而只应该包含ν和Ｕ。
Cf
=
Rf
1 2
ρU
2bL
= 1.328 Re
（11-21）
式中为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后，可确定平板层流 边界层情况下的摩擦阻力为：
Rf
= Cf
⋅ 1 ρU 2bL
2
（11-22）
虽然边界层基本微分方程比 N-S 方程要简单得多，但求解问题仍有很大困难 尚且如此之大，因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际 意义。
1
δ′
∂v′x + ∂v′y = 0 ∂x′ ∂y′
1
1
因为 δ ~ 1 ，所以 Re ~ δ ′2 L Re
因为 0 ≤ x ≤ L ，所以 x′ = x ~ 1 L
因为 y′ = y ~ 1， 0 ≤ y ≤ δ 所以 y′ ~ δ = δ ′
L
L
因为 0 ≤ Vx
≤U
，所以Vx′ =
Vx U
~1