最新高三数学上学期期末考试试卷含答案
山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)-, B.(10)-, C.(20]-, D.(10]-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1D.23.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i- B.1i+ C.22i- D.22i+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=A.2B.2-C.2D.2-5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c b a<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为A.163πB.283π C.649π D.20π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32- B.32C.23- D.235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9B.1-或9C.1-或9- D.1或9-7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A .2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.14.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ijQ j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】计算出集合B 后由交集定义运算可得.【详解】{}{}101B x x x x =->=<，故{}2,0A B ⋂=-.故选：C.2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，再利用复数的乘法可求得()1i z --的值.【详解】在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，由复数的几何意义可得1i z =-+，因此，()()()1i 1i 1i 2z --=--⋅-+=.故选：A.3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.【答案】B 【解析】【分析】先表示出,,a b a b ⋅ ，然后根据πcos 3a b a b ⋅= 求解出m 的值.【详解】因为2a b m ⋅= ，2,a b ==所以πcos 3a b a b ⋅= ，所以1222m =，解得33m =或33m =-（舍去），故选：B.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32-B.32C.23- D.23【答案】B 【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()()431241442C C 20,1,2,3,4kk k kk k k T x x k x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240k -=，可得3k =，因此，展开式中的常数项为3334C 24832T =⋅=⨯=.故选：B.5.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b >B.11a b> C.b a a b > D.2211ab a b>【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 举反例即可得，对D 作差计算即可得.【详解】对A ：若0a b >>，则22a b <，故错误；对B ：若0a b >>，则11a b<，故错误；对C ：若0a b >>，则22a b >，0ab >，左右同除ab ，有a bb a>，故错误；对D ：由a b >且a ，b 为非零实数，则2222110a b ab a b a b --=>，即2211ab a b>，故正确.故选：D.6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9 B.1-或9 C.1-或9- D.1或9-【答案】D 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,2C -因为直线:20l x y b -+=与圆C=，即45b +=，解得1b =或9-.故选：D.7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011ee0.58512%55kkP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A.2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQ PF +最小时，点Q 的位置，进而求出,a b 的关系即得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为0bx ay ±=，由对称性不妨令点P 在第二象限，由双曲线定义得211||||2||2PQ PF PQ PF a F Q a +=++≥+，当且仅当P 为线段1FQ 与双曲线的交点时因此2PQ PF +的最小值为1||F Q 的最小值与2a 的和，显然当1FQ 与渐近线0bx ay +=垂直时，1||F Q 取得最小值，而1PF 平行于渐近线0bx ay -=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为0x y ±=，显然选项ABD 不满足，C 满足，所以双曲线C 的方程可能是22122x y -=.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a 为强率，由310π13<<可得，373101331.31244159a +==>+，即3a 为强率；由313π14<<可得，473131631.41254159a +==>+，即4a 为强率；由316π15<<可得，573161931.51264159a +==>+，即5a 为强率；由319π16<<可得，673192231.61274159a +==>+，即6a 为强率；由322π17<<可得，763222531.1252183.41597a +===<+，即7a 为弱率，所以7m =，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.【答案】29n -【解析】【分析】由等差数列及其前n 项和的性质计算即可得.【详解】设()()1171n a a n d n d =+-=-+-，则313321315S a d d =+=-+=-，即2d =，故()72129n a n n =-+-=-.故答案为：29n -.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.【答案】π4【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在ABC 中，由2cos 2b c a C -=及正弦定理，得2sin sin sin cos 2B C A C -=，则sin()sin sin cos 2A C C A C +-=，整理得cos sin sin 2A C C =，而sin 0C >，因此2cos 2A =，又0πA <<，所以π4A =.故答案为：π414.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.【答案】28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y ，依题意，||||2MF y =+||2y =+，整理得24(||)x y y =-，所以M 的轨迹方程是28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>.故答案为：28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、()1,0,A a a 、(),,0B a a 、()10,0,D a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a 、()10,,C a a ，则()1,0,B C a a =-- 、()1,,BD a a a =-- 、()11,,0A C a a =- 、()1,0,A D a a =-- 、()10,,AB a a = 、()11,0,0A D a =- 、()10,0,AA a = ，设11B P B C λ= ，[]0,1λ∈，则()11,,AP AB B P a a a a λλ=+=-- ，222210AP BD a a a a λλ⋅=-+-= ，故1AP BD ⊥，故①正确；设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z =，则有11100A C n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax ay ax az -+=⎧⎨--=⎩，取1x =，则()1,1,1n =- ，有0AP n a a a λλ⋅=-+-+= ，故AP n ⊥ ，又AP ⊄平面11A C D ，则//AP 平面11A C D ，故②正确；当0λ=时，有()0,,AP a a = ，此时110000A A P D =+⋅+= ，即11AP A D ⊥，即此时直线AP 与直线11A D 所成角为π2，故③错误；由()1,1,1n =- ，()11,,PA AA AP a a a λλ=-=- ，则133PA n d n ⋅== ，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD PA ⊥去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB =结合勾股定理的逆定理去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B 与AP 中点E 、连接ME ，又M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，故//ME AD 、12ME AD =，又底面ABCD 是正方形，故//BN AD 、12=BN AD ，故//ME BN 且ME BN =，故四边形MEBN 为平行四边形，故//MN EB ，又EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，故//MN 平面PAB ；【小问2详解】选条件①：CD PA ⊥，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.条件②：PB =，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由PB =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，又//AB CD ，故CD PA ⊥，又CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）π4ϕ=（2）π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值；（2）利用三角恒等变换化简得出()1sin 22g x x =-，由0x m <<可得022x m <<，结合题意可得出关于m 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，可得到函数ππ2284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，函数π24y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()ππ4k k ϕ-=∈Z ，可得()ππ4k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π4ϕ=.【小问2详解】解：由（1）可知，()π2sin 2cos 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()()21112cos sin 2cos 21cos 2sin 2222g x f x x x x x x =-+=+-++=-，因为0x m <<，则022x m <<，由()0g x =，可得1sin 22x =，因为()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则π5π266m <≤，解得π5π1212m <≤.因此，实数m 的取值范围是π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.【答案】（1）27（2）X 的分布列见解析，()47E x =（3）23s >2212s s =【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为27；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X =，()2527C 100C 21P X ===，()2227C 12C 21P X ===，()1011011212121P X ==--=，所以X 的分布列如下图所示：X012P 10211021121()1010140122121217E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，23s >2212s s =.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.【答案】19.22143x y +=20.3260x y ±-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P 、Q 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由13A F a c =+=，12c e a ==，解得2a =，1c =，故3b ==，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】由椭圆C 的标准方程为22143x y +=，则()12,0A -、()22,0A 、()1,0F ，由题意可得直线2A P 斜率存在且不为0，设2:2A P l x my =+，令0x =，则2y m =-，故20,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234120m y my ++=，即()234120m y m y ⎡⎤++=⎣⎦，故0y =或21234m y m -=+，由()22,0A ，故21234P m y m -=+，则112121144222A PQ A A Q A A P Q P Q P S S S y y y y =-=⨯-⨯=- ，又()212122P A FP P y S y =⨯-=，即2422P Q P P y y y y -=⨯=，即Q P P y y y -=，若Q P y y >，则2Q P y y =，即2122234m m m -=⨯+，即223412m m +=，即249m =，则23m =±，若Q P y y <，则P Q P y y y -=，即0Q y =，不符，故舍去，即23m =±，故22:23A P l x y =±+，即直线2A P 的方程为3260x y ±-=.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）ey =（2）15,2⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭、51,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的单调递增区间；（3）令()21g x ax x =+-，分析可知，函数()g x 在()0,1上有且只有一个异号零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当0a =时，()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x-'=，所以，()1e f =，()10f '=，故当0a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =.【小问2详解】解：当1a =时，()()1e 11e x x x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()2221e 2e 1e x x x x x x x x f x x x +-+-+'==，由()0f x ¢>，即210x x +->，解得152x +<-或512x ->，因此，当1a =时，函数()f x的单调递增区间为1,2⎛+-∞- ⎪⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【小问3详解】解：因为()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则()()2221e 11e x x ax x f x a xx x +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令()21g x ax x =+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当0a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<，不合乎题意；当0a >时，函数()21g x ax x =+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()10g a =>，合乎题意；当a<0时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102x a=->，因为()010g =-<，只需()10g a =>，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N ，都有n m na q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，可得当2n ≥时，43n n a a +=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出n a 通项公式后，检验2n na a +是否恒等于3即可得；（3）借助{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，则当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j i q q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j i n j ij n a q a -+-=即可得.【小问1详解】由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，则当2n ≥时，43n na a +=，故623a a =，953a a =，117339a a a ==，又31a =，52a =，故691125323393329120a a a a a a a ++=++=+⨯+⨯=，即253a =；【小问2详解】{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由如下：设()11n b b n d =+-，112n n c c -=⋅，由234b c ==，112b c c +=，即有11111442b d c b c c +==⎧⎨+=⎩，解得1113b c d ==⎧⎨=⎩，故32n b n =-，12n n c -=，则1232n n n n a b c n -=+=+-，有()21122322234n n n a n n +-++=++-=++，则121234232n n n n a n a n ++-++=+-，不恒等于3，故{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”；【小问3详解】由{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，即当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j ii i j j i i j i j j i j i i j ia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ，故12j i q q =，即12i j q q =，由1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有22212j i n i j n j i j i n i in j a a q q q a a q q --++--+====，即对任意的1n i ≥+时，有2j i n j ij n a q a -+-=，即{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n i n a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i i a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出12j i q q =.。
2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案
( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程； （2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（ ） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（ ）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（ ）
2
河南省郑州市2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学含解析
绝密★启用前2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=.若存在两项m a ，n a ，使得14a =，则14m n+的最小值为()A.4 B.23C.32D.92.已知函数()()223x x f x a bx -=-++,且0ab ≠.若()2019f h =-,则()f h -=()A.2024B.2023C.2022D.20253.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.32-B.12-C.12D.324.在ABC △中，下列各式正确的是()A.sin sin a B b A=B.sin sin a C c B=C.2222cos()c a b ab A B =+-+D.sin()sin a A B c A+=5.满足下列条件的两条直线1l 与2l ，其中可以推出12//l l 的条件是()①1l 的斜率为2，2l 过点(1,2)A ，(4,8)B ；②1l 经过点(3,3)P ，(5,3)Q -，2l 平行于x 轴，但不经过P 点；③1l 经过点(1,0)M -，(5,2)N --，2l 经过点(4,3)R -，(0,5)S .A.①②B.②③C.①③D.①②③6.在三棱锥P ABC -中，CP ，CA ，CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAB 的法向量可以是()A.11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是()A.9,34⎛⎫⎪⎝⎭B.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(1,3)D.(2,3)8.一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s )之间的函数关系为()25s t t mt =+，且这一物体在23t ≤≤这段时间内的平均速度为26m /s ，则实数m 的值为()A.2B.1C.1- D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设一元二次方程220x ax a ++=的两个实根为,1x ,()212x x x ≠,则()A.1216x x >B.当17a >时,12117x x a +-的最小值为34+C.1211x x +为定值D.当21127x x x x +=时,16a =10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π||2ϕ<），则下列叙述正确的是()A.6R =，π30ω=，π6ϕ=-B.当[35,55]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C.当[10,25]t ∈时，函数()y f t =单调递减D.当20t =时，||PA =三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知样本数据1x ,2x ,…,2022x 的平均数与方差分别是m 和n ,若i i 2(i 1,2,,2022)y x =-+= ,且样本数据的1y ,2y ,…,2022y 平均数与方差分别是n 和m ,则222122022x x x +++= ________.14.已知过不同两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的一个方向向量(1,1)=a ，则实数m =_________.15.若直线l 的斜率k 的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是__________.16.商场对某种产品的广告费用支出x (元)与销售额y (元)之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额y 的预报值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球, .球数构成一个数列{}n a ,满足1n n a a n -=+,1n >且*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:121112na a a +++< .（1）求sin ABD ∠的值；（2）求ABD △的面积.19.（12分）已知函数()cos )sin f x x x =+-,在ABC △中,AB =,()f C =ABC △的面积为2．（1）求C 的值；（2）求sin sin A B +的值．20.（12分）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A ,每期利率为r ,期数为n ,到期末的本利和为S ,则()1n S A r =+其中,S 称为n 期末的终值,A 称为n 期后22.（12分）已知0a >,设函数()(2)ln f x x a x x =-+,()f x '是()f x 的导函数.（1）若2a =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,()212x x x <.①求实数a 的取值范围；②证明：()222e 2e 2a ax f x '<--.2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，可得28886a q a q a +=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍）.14a =，2216m n +-∴=，6m n ∴+=，141141413()5(56662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即2m =，4n =时，等号成立.故14m n +的最小值为32.故选C.2.答案：D解析：由()()223x x f x a bx -=-++,得()()223x x f x a bx --=--+,()()6f x f x -+∴=,()()62025f h f h ∴-=-=.故选：D.3.答案：D解析：由题意得122236ωπππ⨯=-，解得2ω=，易知6x π=是()f x 的最小值点，所以322()62k k ϕππ⨯+=+π∈Z ，得72()6k k ϕπ=+π∈Z ，于是77()sin 22sin 266f x x k x ππ⎛⎫⎛⎫=++π=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则557sin 2sin 1212632f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.4.答案：D解析：对于选项A：由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ==,故sin sin a Ab B=,故选项A 错误；对于选项B ：因为sin sin a c A C=,故sin sin a C c A =,故选项B 错误；对于选项C：()cos cos A B C +=-,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()2222cos c a b ab A B =+++;故选项C 错误;对于选项D：由正弦定理可得sin sin a c A C=,再根据诱导公式可得：()sin sin a c A A B =+,即()sin sin a A B c A +=，故选项D 正确;故选：D 5.答案：B解析：根据两点间的斜率公式知①中2l 的斜率为2，但是不能保证12//l l ，因为有可能直线1l 与2l 重合；②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证12//l l .故选B.6.答案：A解析：由题意，得(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)P ，则(1,1,0)AB =- ，(1,0,2)AP =-，设平面PAB 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1y =，12z =，所以11,1,2⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，故选A.7.答案：D解析：根据题意，6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，要使{}n a 是递增数列，必有8630,1,(3)73,a a a a -->⎧⎪>⎨⎪-⨯-<⎩即3,1,29,a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或可得23a <<.故选D.8.答案：B 解析：由已知，得()()322632s s -=-，()()2253352226m m ∴⨯+-⨯+=，解得1m =，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：BC解析:因为方程220x ax a ++=的两个实根为1x ,()212x x x ≠,所以280a a ∆=->,解得()(),08,a ∈-∞+∞ ,由12x x a +=-,122x x a =,所以()()12,016,x x ∈-∞+∞ ,所以A 错误;则()1211123421734342171717x x a a a a a ⋅+=+=+-+++--- ,当172a =+时,等号成立,所以12117x x a +-的最小值为34+B 正确;由1212121112x x x x x x ++==-,所以C 正确;当21127x x x x +=时,()22221212121212242722x x x x x x a a a x x x x a +-+-===-=,得18a =,所以D 错误.故选:BC.10.答案：ABD解析：由题意可知60T =，所以2π60ω=，解得π30ω=，又从点3)A -出发，所以6R =，6sin 3ϕ=-，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，A 正确；ππ6sin()306y t =-，当[35,55]t ∈时，ππ5π[π,]3063t -∈，则ππsin([1,0]306t -∈-，[6,0]y ∈-，点P 到x 轴的距离为||y ，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，B 正确；当[10,25]t ∈时，πππ2π[,30663t -∈，所以函数ππ6sin(306y t =-在[10,25]上不单调，C 不正确；当20t =时，πππ3062t -=，则π6sin 62y ==，且π6cos 02x ==，所以()0,6P ，则||PA ==正确.故选ABD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.解析：分析知2223m m m +≠--，即1m ≠-且12m ≠.又由题意，得()()222231132m m m m m --=---+，所以2m =-.15.答案：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：0k ≤< 0tan α∴≤<.又[0,)α∈π，0,3απ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.16.答案：82.5解析：x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额的预报值为6.51017.582.5⨯+=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）π3A =（2）见解析解析：（1）因为1n n a a n -=+,1n >,所以1n n a a n --=,1n >,所以当1n >时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+()()11212n n n n +=+-+++= ,当1n =时,上式也成立,所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.19.答案：（1）3C =（2）32解析：（1）π()cos )sin 2cos()6f x x x x =+-=++由()f C =,得π2cos(6C +=,π2cos(06C +=()0,πC ∈ ππ7π(,)666C ∴+∈π3C ∴=.（2）由（1）知π3C =,又1sin 2ABC S ab C = △31πsin 223ab ∴=2ab ∴=由余弦定理得2222π32cos23a b ab a b ==+-+-225a b ∴+=,3a b +=由正弦定理得sin sin sin 12A B C a b c ===13sin sin ()22A B a b +=+=∴.（2）①a >;②证明见解析解析:（1）由题设()2(1)ln f x x x x =-+,则2(1)2()2ln 12ln 3x f x x x x x-'=++=-+,且0x >,所以(1)1f =,(1)1f '=,则在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-,即0x y -=.（2）①当1x >时()0f x =等价于20ln x x a x +-=,设()2ln x g x x a x =+-,则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln x x x g x x x -+-=+'=.当1x <<时()0g x '<,()g x 单调递减;当x >()0g x '>,()g x 单调递增;所以,当1x >时min ()g x g a ==,因为()f x 在(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,2x ,则min ()0g x <,解得a >.当a >时,取1a a x a =∈-,则1ln 11a a x x a <-=-,故()221201ln 111a a a a a x a a a g x x a a x a a a -=+->+-=>---,又2002ln 2a a g a⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,所以()f x在和2a ⎫⎪⎭上各有一个零点,故a >.②因为()2ln 3a f x x x-'=+,所以22222()2ln 3x f x x x a x '=-+,结合()()22222ln 0f x x a x x =-+=知：()()2222222222232222a x a x f x a x a x x a a x -=-+=---+--'.设ln 1y x x =-+,则11y x'=-,在(0,1)上0y '>,在(1,)+∞上0y '<,所以y 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减,故ln1110y ≤-+=,即ln 1x x ≤-,所以ln 1e ex x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,即ln e x x ≤,当e x =时取等号,所以e e e e e e ln e 02222e 2a a a a a f -----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭.由①知,()f x 在[)2,x +∞上单调递增,且()20f x =,所以2e 2a x -≤,即22e a x -≥.因为22()2a a t t tϕ=--+在[e,)+∞上是减函数,且22e a x -≥,所以()()22222(e)e 22e a a x f x a x ϕϕ=-≤=--+',得证.。
广东省深圳市宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析
深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.272.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.644.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.37.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+的最大值是7，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114C.144D.112二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是311.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.612.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A .平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD 的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为43π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足2a b += a b -= __________.14.函数()(()3log R f x x a a =+-∈是奇函数，则()4f a =__________.15.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC = 的面积为，求ABC 的周长.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率是3，点(P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.27【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】因为()()()()322(2i)44i i2i 34i 2i 63i 8i 4i211i +=+++=++=+++=+，所以复数3(2i)+的实部与虚部之和是21113+=，故选：B.2.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数【答案】C 【解析】【分析】依题意，A B ⋂转换为两个图象交点问题，两函数联立，转为一元二次方程解得个数问题，从而得到答案.【详解】联立221,31,y x x y x ⎧=--⎨=+⎩整理得2520x x --=.由()2(5)412330∆=--⨯⨯-=>，得原方程组有两组解，即A B ⋂中有2个元素，故选：C.3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.64【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可得解.【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为10032064500⨯=，女性职工人数为1006436-=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628-=.故选：A.4.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对11x≥可得01x <≤，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由11x ≥，则110x -≥，即10xx -≥，即()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得得01x <≤，则01x ≤≤不能推出11x ≥，11x≥能推出01x ≤≤，则“01x ≤≤”是“11x≥”的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】5y x =是增函数，4y x a =+也是增函数，所以()f x 是R 上的增函数.因为()f x 在()1,1-内有零点，所以()()11401140f a f a ⎧-=--+<⎪⎨=++>⎪⎩，解得55a -<<.故选：A6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.3【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,A B x x ，根据三角形相似即可求出AB BC.【详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，由57,2FA FB ==，根据抛物线定义可得517,12A B x x +=+=，故36,2A B x x ==，，过A ，B 分别作y 轴的垂线，过B 作x 轴的垂线，垂足为E ，明显ABE BCM ，所以362332A BB CAB x x BCx x --===-.故选：D7.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+的最大值是7，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据两角差的余弦以及辅助角公式对()()2cos cos f x x x ϕ=-+化简，表示出最大值，进而得到答案.【详解】因为()()2cos cos 2sin sin cos 2sin sin 2cos 1cos f x x x x x xϕϕϕϕ=++=++()22(2sin )(2cos 1)sin x ϕϕα=+++，其中s t 2co 12i an s n ϕαϕ+=，22(2sin )(2cos 1)7ϕϕ++=，所以1cos 2ϕ=，对于A 选项，当π6ϕ=，πcos co 3s 62ϕ==，故A 错误；对于B 选项，当π3ϕ=，πcos co 1s 32ϕ==，故B 正确；对于C 选项，当2π3ϕ=，2πcos cos213ϕ==-，故C 错误；对于D 选项，当5π6ϕ=，5πcos cos 236ϕ==-，故D 错误，故选：B.8.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且4MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.112【答案】C 【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππ,1r r ==，所以22113R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=，所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可，而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离d 最大，即max12d OM ==，所以min 144r =='.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-【答案】BCD 【解析】【分析】举特列可判断A ；由等比数列的性质可判断B ；由31nn S =-，得1131n n S --=-，两式相减可得123n n a -=⨯可判断C ；由等比中项的性质可判断D.【详解】当0n a =时，满足2537a a a =，但{}n a 不是等比数列，则A 错误由等比数列的性质可知2537a a a =，则B 正确.由31nn S =-，得1131n n S --=-，则()11232n n n n a S S n --=-=⨯≥，当n 1=时，112a S ==，则123n n a -=⨯，从而可知{}n a 是等比数列，则C 正确.由3nn S a =+，得1233,9,27a a S a S a =+=+=+.由等比数列的性质可知2213a a a =，22113326,3,18a S S a a a S S =-==+=-=，即()26183a =+，解得1a =-，再代入结合C 选项可知此时{}n a 为等比数列，则D 正确.故选：BCD.10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是3【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心、半径，判断A 项；整理直线方程，解102310x x y -=⎧⎨-+=⎩，即可得出定点坐标；直线l 恒过圆上点()1,1，即可判断C ；设()1,1A ，当AC l ⊥时，距离最大，根据点到直线的距离，求出，即可判断D.【详解】对于A 项，将圆22:244C x y x y +-+=化为标准方程可得，()()22129x y -++=，所以圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径为3.故A 项错误；对于B 项，直线():2310l m x y m +--+=可化为()()12310m x x y -+-+=，由102310x x y -=⎧⎨-+=⎩可得，11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,1，故B 项正确；对于C 项，因为点()1,1在圆C 上，直线l 过定点()1,1，所以，直线l 与圆C 一定有公共点.故C 项正确；对于D 项，设()1,1A ，当AC l ⊥时，点C 到直线l 的距离最大，所以，圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是3=，故D 项正确.故选：BCD.11.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.6【答案】BCD 【解析】【分析】设出切点，利用导数几何意义得出01a x =，由切点既在直线上又在曲线上得出012ln b x +=+，由此将a b +转化为函数0()g x 求值域可得.【详解】设切点为()00,2ln x x +，因为1(2ln )x x'+=，所以01a x =.又因为切点()00,2ln x x +在直线y ax b =+上，所以002ln 1x ax b b +=+=+，解得01ln b x =+，所以000)11l ,(0n a x x b x +=+>+，令()11ln g x x x =++，则()22111x g x x x x-=-+='，令()0g x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()12g x g ==，又当,()→+∞→+∞x g x .故a b +的取值范围为[)2,+∞.故选：BCD.12.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A.平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为43π9【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，利用面面垂直的判定即可证明，对B 利用等体积法即可求出距离，对C 建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法即可求出其范围，对D ，作出交线，将立体平面化求解即可.【详解】对于A ，取1AB 的中点G ，连接FG ，DE ，易知G 也是DE 的中点，在1AB F △中，因为1FA FB =，G 为1AB 的中点，所以1FG AB ⊥，在DEF 中，因为FD FE =，G 为DE 的中点，所以FG DE ⊥，又因为1AB ，DE ⊂平面11ABB A ，1AB DE G = ，所以FG ⊥平面11ABB A ．又因为FG ⊂平面1AB F ，所以平面1AB F ⊥平面11ABB A ，A 正确．对于B ，设点1B 到平面BCD 的距离为h ，易知1222BCD S =⨯= ，112222BB D S =⨯⨯=△，取AB 中点为M ，连接CM ，因为CA CB =，则CM AB ⊥，因为1BB ⊥底面ABC ，且CM ⊂面ABC ，则1BB CM ⊥，又因为1,AB BB ⊂平面1ABB ，且1AB BB B Ç=，所以CM ⊥平面1ABB，且CM =，因为11B BCD C BB D V V --=，所以112233h ⨯=⨯，解得h =，B 错误．对于C ，取BC 的中点Q ，连接AQ ，易知AQ BC ⊥．以A 为坐标原点，向量CB ，AQ ，1AA的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D.()1B，设()P t -，02t ≤≤，()1DB =，()1DP t =--，设1DB 与DP 所成的角为θ，则cos θ==．令1u t =-（11u -≤≤），则cos θ=，当0u =即1t =时，5cos 5θ=；当01u <≤，即12t <≤时，cos θ=，根据对勾函数1y u u =+在(]0,1上单调递减可知53cos 55θ<≤；当10u -≤<，即01t ≤<时，同理根据对勾函数1y u u=+在[)1,0-上单调递减可知15cos 55θ≤<．综上，1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C正确．对于D ，由A 选项中的结论知FG ⊥平面11ABB A，FG =又因为球面的半径为393，所以以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线（圆3=．如图，3GM =，1GE =，所以cos 2MGE ∠=，解得π6MGE ∠=，由圆与正方形的对称性知π6MGN ∠=，所以球面与侧面11ABB A的交线长为π4369⨯⨯=，D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题B 选项关键是利用等体积法求出点到平面距离，C 选项关键是建立空间直角坐标系，设()3,P t -，得到线线角表达式，再结合对勾函数单调性即可得到其范围.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足23a b += ，则a b -= __________.3【解析】【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得12a b ⋅=- ，再由运算律求a b - 即可.【详解】因为23a b += 22443a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅=- ，则222()23a b a a b b -=-⋅+= ，故3a b -=r r .314.函数()(()23log 9R f x x x a a =++-∈是奇函数，则()4f a =__________.【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解a ，再代入函数解析式求值.【详解】因为()(23log 9f x x x a =+-，所以()(23log 9f x x x a -=-+-，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即((2233log 9log 90x x a x x a +-+-+-=，所以32log 92a ==，解得1a =，则()(34log 411f a =+-=.故答案为：115.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.【答案】2235【解析】【分析】利用组合应用问题，结合排除法求出试验及所求概率的事件的基本事件数，再利用古典概率公式计算即得.【详解】从这7项项目中随机抽取3项的情况有37C 35=种，抽取的3项属同一类的情况有33C 1=种，抽取的3项包含三类的情况有111322C C C 12=种，则符合条件的情况有3511222--=种，所以所求概率为2235.故答案为：223516.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.【答案】109【解析】【分析】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，则有212y y =-，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到228110c a =，从而得到离心率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，所以1212y AF y BF==，所以212y y =-.联立222230,1,x y c x y ab -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22224960a b y b cy b +--=，则21212269b c y y y a b +=-=+，412229b y y a b =-+，从而22422226299b c b a b a b ⎛⎫-⋅-=- ⎪++⎝⎭，整理得228110c a =，故9c e a ==，故答案为：9.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC =的面积为，求ABC 的周长.【答案】（1）π3B =（2）10【解析】【分析】（1）根据已知条件利用二倍角余弦公式化简求得cos B ，求得结果；（2）由三角形面积公式求得ac ，再利用余弦定理可求得a c +，从而得三角形周长．【小问1详解】因为cos213cos B B =-，所以22cos 113cos B B -=-，所以22cos 3cos 20B B +-=，所以()()2cos 1cos 20B B -+=，则1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）.因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 24ac B ac ==24ac =.由余弦定理可得22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，则22()324a c =+-⨯，即2()100a c +=，解得10a c +=.故ABC的周长为10a b c ++=+.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】（1）21n a n =-（2）284n n +【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得11281821124a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程即可求出1a 1,d 2==，再由等差数列的通项公式求出{}n a ；（2）由（1）可得()2(1)41nn b n=--，再由分组求和法和等差数列的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，则371581281821124a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1a 1,d 2==，.故()1121n a a n d n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得()()()2(1)2121(1)41nn n b n n n =--+=--，则222124(21)14(2)1164n n b b n n n -⎡⎤⎡⎤+=---+-=-⎣⎦⎣⎦，故()()()()212342*********n n n S b b b b b b n -=++++++=+++-()212164842n n n n +-==+.19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.【答案】（1）49；（2）分布列见解析，24.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合条件概率公式求解即得.（2）利用（1）的信息，结合二项分布求出分布列的期望.【小问1详解】记事件A 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件B 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则()()()0.30.30.60.30.150.40.54P A =+⨯++⨯=，()0.30.60.150.40.24P AB =⨯+⨯=，所以所求的概率()()()0.244|0.549P AB P B A P A ===.【小问2详解】由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率0.24p =，因此()100,0.24X B ~，所以X 的分布列为()()100100C 0.240.760,1,2,3,,100kkkP X k k -==⨯⨯= ，期望为()1000.2424E X =⨯=.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD ，由题意可证得DE //CF ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面SAC 与平面SBD 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD .因为,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，所以CD //1,2AB CD AB =.因为,E F 分别为,SB SA 的中点，所以EF //1,2AB EF AB =，则CD //,EF EF CD =，从而四边形CDEF 为平行四边形，故DE //CF .因为DE ⊄平面,SAC CF ⊂平面SAC ，所以DE //平面SAC .【小问2详解】解：以O 为坐标原点，,OB OS 的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为4AB SA ==，所以()())0,2,0,0,2,0,1,0A B C--，)(,0,0,DS ，则)(),,1,0,AC AS BD BS ===-=(0,2,-.设平面SAC 的法向量为()111,,m x y z =，则11110,20,m AC y m AS y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11x =，得()1,m = .设平面SBD 的法向量为()222,,n x y z = ，则22220,20,n BD y n BS y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，得()n = .设平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角为θ，则||1cos |cos ,|||||5m n m n m n θ⋅=〈〉== .故平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为15.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率是3，点(P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2218x y -=（2）是，7-【解析】【分析】（1）将点P 代入方程，结合离心率计算即可得；（2）设出切线方程，联立曲线可得切线中参数的关系，联立切线与渐近线，可得两交点坐标，即可得OA OB ⋅ ，结合所得切线中参数的关系即可得该定值.【小问1详解】由题可得2222231613a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故C 的标准方程为2218x y -=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2228116880k x kmx m -++-=，则()()222Δ(16)481880km k m =---=，即2281k m +=.由（1）可知C 的渐近线方程为24y x =和24y x =-，不妨设直线l 与直线24y x =的交点为A ，与直线24y x =-的交点为B ，联立24y x y kx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ⎛⎫，联立24y x y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B ⎛⎫ ⎝，则OA ⎛⎫=，OB ⎛⎫= ⎝ ，得22781m OA OB k ⎛⋅=+= -⎝ ，因为2281k m +=，所以2218m k =-，所以227781m k =--，即7OA OB ⋅=- ，故OA OB ⋅ 是定值，且该定值为7-.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线与双曲线相切得到2281k m +=，再求出,A B 的坐标，最后计算OA OB ⋅即可.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.【答案】（1239-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极值；（2）先利用题给条件构造出m n +的不等式，再利用（1）的结论即可证得32m n +>.【小问1详解】()3f x x x =-，()213f x x '=-，令()0f x '=，可得33x =±.令()0f x ¢>，可得33x -<<，令()0f x '<，可得3x >，或3x <-所以()f x 在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+上单调递减.所以()f x 的极大值为()323,39f f x ⎛= ⎝⎭的极小值为32339f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()()πsin cos tan 6mf nf αα+=，可得223cos sin sin cos 3m n αααα+=，所以3cos sin 3sin cos m n αααα+=.由对称性，不妨设π0,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos sin cos 3sin cos m n m n ααααα+=≤+，当且仅当2sin cos 2αα==时，等号成立，所以()23333sin cos 3sin sin m n αααα+≥=-.由（1）可知()f x 在20,2⎛ ⎝⎦上的最大值为=⎝⎭f ，所以()3330sin sin ,923sin sin αααα<-≤≥-，当且仅当3sin 3α=时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以32m n +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(B)期末答案
228BC m −， .........6分22AC ， .........7分 ， 0，上的两个三等分点，， ...........3分⊥，PB PA)0,3，解:（1）因为()35P A B =，()23P B A =， 所以对杭州亚运会项目了解的女生为350305×=，...........1分了解亚运会项目的学生为304523=，...........2分结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：了解 不了解 合计 男生 15 35 50 女生 30 20 50 合计4555100...........4分零假设H 0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据()220.001100152030351009.09110.8285050455511x χ××−×==≈<=×××， 依据α＝0.001的独立性检验，可以推断H 0成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关............6分 （2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为15931530×=+（人）；...........7分女生人数为30961530×=+（人），...........8分由题意可得，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3..........9分()043649C C 50C 42P X ===，()133649C C 10121C P X ===， ()223649C C 5214C P X ===，()313649C C 1321C P X ===.随机变量X 的分布列如下：则()5105140123422114213E X =×+×+×+×=............12分 ，0∆>， 211143x x −+， 221y x =+， )())()2121123423x x x x −+++。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ={x|3x−1≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，1）2．已知复数z 满足z =−z i （i 为虚数单位），且|z |=√2，则z 2＝（ ） A ．2iB ．﹣2iC ．√2+√2iD ．√2−√2i3．已知随机变量X 1，X 2分别满足二项分布X 1～B （n 1，13），X 2～B （n 2，13），则“n 1＞n 2”是“D （X 1）＞D （X 2）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0＜x ＜12，则不等式1x +11−2x的最小值是（ ）A ．3+2√2B ．6C ．4√2D ．95．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 2≈0.3）（ ） A ．3小时B ．4小时C ．5小时D ．6小时6．已知定义在R 上的函数f （x ）满足sin xf （x ）+cos xf ′（x ）＞0，则（ ） A ．f(π3)＜√3f(π6)B ．f(π6)＜√3f(π3)C ．f(π3)＞√3f(π6)D ．f(π6)＞√3f(π3)7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1＝a n +b n ，b n +1＝a n ﹣b n ，则a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n−12C ．2n+12D ．22n−1+(−1)n48．已知四面体ABCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，DA ＝DB ＝2√3，二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．52πC ．72πD ．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。
最新高三数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题：(每小题5分，共60分) 1.已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：131>-x，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件2.下列函数图象,经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是( )A.xy 2= B.x y 5.0log = C.24xy =D.11log 2+=xy3.若把函数)(x f 的图像按)2,3(--=π平移后得到x y cos =的图像，则)(x f 解析式为( )A.2)3cos(--=πx y B.2)3cos(+-=πx yC.2)3cos(-+=πx y D.2)3cos(++=πx y4.已知{n a }是等差数列,115a =,555S =,则过点2(3,)p a ,4(4,)Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．14 C ．－4D ．－145.若2,2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．[2，6]C ．[3，6]D ．[3，5]6.已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量与的夹角为（ ）A ．θπ-23B ．θπ+2C ．2πθ- D ．θ7.在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边。
如果,,a b c 成等差数列30,B ∠=且△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+8.51cos sin ,0=+<<ααπα，则ααtan 1tan 1+-的值为（ ）A.71B.7C.71- D.－79.已知等比数列}{n a 中，12=a ，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A.]1,(--∞B.)0,(-∞∪),1(∞+C.),3[∞+D.]1,(--∞∪),3[∞+ 10.双曲线9322=-x y 的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±3xB ．y ＝±31x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x11.已知互不相等的正数a 、b 、c 满足222a c bc +=，则下列不等式中可能．．成立的是（ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．b>c>aD ．c>a>b12.已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足f (a ) f (b )f (c)<0, 若实数d 是方程f (x )=0的一个解，那么下列四个判断：① d<a ；②d>b ； ③d<c ； ④d>c 中有可能．．．成立的为( ) A ．①③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③二、填空题：(每小题5分，共20分) 13.奇函数)(x f 的反函数是)(1x f-，若aa f -=)(，则)()(1a fa f -+-=___________.14.已知⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10 ,101 ,1)(x x x x x f ，则使1)()(->--x f x f 成立的x 的取值范围是.15.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为____________.16.已知ABC ∆的顶点B )0,3(-、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为三、解答题：（共70分）17.（本小题满分10分）求函数)62sin(sin 22π++=x x y 的最小正周期和最小值，并求出该函数在],0[π上的单调递减区间。
2023-2024学年上海市宝山区上海交大附中高三上学期期末考试数学试卷含详解
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.7.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C四点共面，则1017m n +=__________.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210n n n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn i i f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx=+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.11.函数()e xf x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.二､选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件14.如图，三棱柱111 ABC A B C -中，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（）A.直线1CC 与直线1B E 是异面直线B.直线1CC 与直线AE 是共面直线C.直线AE 与直线11B C 是异面直线D.直线AE 与直线1BB 是共面直线15.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A 、2A 、3A 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A.()25P B =B.()1511P B A =C.事件B 与事件1A 不相互独立D.1A 、2A 、3A 两两互斥16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（）A.命题①正确；命题②错误.B.命题①错误；命题②正确.C.命题①，②均正确.D.命题①，②均错误.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2a 是15,a a 的等比中项，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b -.18.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），其中OEMF 是以O 为圆心，120EOF ∠= 的扇形，且弧 EF GH，分别与边BC AD ，相切于点M N ，.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？19.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，右焦点为F ，动直线l 与圆222:O x y b +=相切于点Q ，与椭圆交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，其中点Q 在y 轴右侧.（1）若直线:20l x y --=过点F ，求椭圆方程；（2）求证：AF AQ +为定值.20.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，点M 是棱1CC 上一个动点（点M 与C ，1C 均不重合）.（1）当点M 是棱1CC 的中点时，求证：直线AM ⊥平面11B MD ；（2）当11D M AB ⊥时，求点1D 到平面1AMB 的距离；（3）当平面1AB M 将正四棱柱1111ABCD A B C D -分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC 的长度.21.已知数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==.（1）若π()sin()2f x x A x =+，求最小正数A 的值，使数列{}n a 为等差数列；（2）若()ln 2f x x x =++，求证：21nn a ≤-；（3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：22223444[1][1][1]e (1)(1)(1)n a a a +⋅+⋅⋅+<+++上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.【答案】()1,0【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因为抛物线标准方程为24y x =，所以焦点坐标为()1,0，故答案为：()1,0.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.【答案】{}01x x ≤≤【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{24303B x x x x x =-+≥=≥或}1x ≤，所以{}01A B x x ⋂=≤≤.故答案为：{}01x x ≤≤.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由()()233log 45log 1x x x --=+得：2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩，即()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩，解得：6x =.故答案为：6.4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．【答案】2【分析】根据复数的乘法运算即可得复数z ，即可得z 的虚部.【详解】解：复数()22i 1i 2i 2i 22i z =-=-=+，所以复数z 的虚部为2.故答案为：2.5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．【答案】4π±【分析】直接根据三角函数周期公式计算得到答案.【详解】tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω，故4T πω==，故4πω=±.故答案为：4π±.【点睛】本题考查了正切函数周期，属于简单题.6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.【答案】7.64【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解.【详解】由题意可得()20.160.4430.4 1.32E X =-⨯++⨯=,所以()()25257.64E X E X +=+=,故答案为：7.647.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C 四点共面，则1017m n +=__________.【答案】11-【分析】根基空间向量共面定理结合空间向量坐标表示的线性运算即可得解.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，所以,,PA PB PC共面，所以存在唯一实数对(),x y ，使得PC xPA yPB =+，即52143m x yn x y x y=+⎧⎪=-⎨⎪-=+⎩，所以1251417n y m y +=-⎧⎨+=⎩，所以()()17125140n m +++=，所以101711m n +=-.故答案为：11-.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF ≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.【答案】8【分析】设(),1P x x -，根据d PF ≥，求出x 的范围，再根据两点间的距离公式即可得解.【详解】因为直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，所以()1,0F 由题意，设(),1P x x -，由d PF ≥，得1x +≥，即2610x x -+≤，解得33x -≤≤+，所以动点P 所对应轨迹为1,3y x x ⎡=-∈-+⎣，8=.故答案为：8.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.【答案】①②③【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于①，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以①正确；对于②，不妨假设12345x x x x x <<<<，当()24312x x x +=时，若随机删去的成绩是3x ，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以②正确；对于③，若x y =，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以③正确；对于④，若x y =，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，因为540%2⨯=，此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数；删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得440% 1.6⨯=，此时新数据的40%分位数为第二个数，显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以④错误.故答案为：①②③.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210nn n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn ii f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx =+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.【答案】20242024,,20252025⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用1n n n a S S -=-求出数列的通项公式111n a n n =-+，由裂项相消求和法计算可得2024120242025i i a ==∑.设函数()()202420241()i i g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，将函数()g x 写出分段函数，根据函数的值域为R 和极限的思想可得当0k >时202410i i k a =±>∑、当0k<时202410i i k a =±<∑，解不等式即可求解.【详解】因为()210n n n S S n ++-=，所以()()1+10n n n S n S ⎡⎤+-=⎣⎦，又因为{}n a 是正项数列，所以()10n n S n +-=，即1n nS n =+，当1n =得1111112a S ==+=，当2n ≥得1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，经检验1n =符合上式，所以111(1)1n a n n n n ==-++.所以202411111120241223202420252025i i a ==-+-++-=∑ .设函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，当(,1]x ∈-∞时，1232024()1232024g x a x a x a x a x kx=-+-+-++-+ 20242024123202412202411(232024)()()()ii i ia a a a a a a k x k a x ia ===++++-+++-=-+∑∑ ；同理可得，当(1,2]x ∈时，1()1g x k x =+，当(2,3]x ∈时，2()2g x k x =+，当(2023,2024]x ∈时，2023()2023g x k x =+，当(2024,)x ∈+∞时，2024202411()()()i i i i g x k a x ia ===+-∑∑，即20242024111220232024202411()(),(,1]1,(1,2]2,(2,3]()2023,(2023,2024]()(),(2024,)i i i i i i i i k a x ia x k x x k x x g x k x x k a x ia x ∞∞====⎧-+∈-⎪⎪⎪+∈⎪+∈⎪=⎨⎪⎪+∈⎪⎪+-∈+⎪⎩∑∑∑∑ ，其中()1,2,,2023j k j ∈=R ，由函数()g x 的值域为R 知，当0k >时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=-∞=+∞，所以202410i i k a =±>∑，即020242025k ±>，解得20242025k >；当0k <时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=+∞=-∞，所以202410i i k a =±<∑，即020242025k ±<，解得20242025k <-，综上，实数k 的取值范围为20242024(,)(,)20252025-∞-+∞ .故答案为：20242024(,)()20252025-∞-+∞ 【点睛】关键点睛：本题的难点是将函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k 的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.11.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.【答案】2e 2##21e2【分析】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，转化为点(),a b 在直线()1e 0tt x y -++=上，根据22a b +的几何意义，可得()2222e 11ta b t +≥-+有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．【详解】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，所以e 0t ta b ++=，即点(),a b 在直线e 0t tx y ++=，又22a b +表示点(),a b 到原点距离的平方，≥2222e1ta bt+≥+有解，令()22e1tg tt=+，可得()()()()()2222222222e12e2e111t t tt t t tg tt t+-=-+'==++，因为2e0t>，210t t-+>，所以()0g t'>恒成立，可得()g t在[]1,3上为单调递增函数，所以当1t=时，()()2mine12g t g==，所以222e2a b+≥，即22a b+的最小值为2e2．故答案为：2e2.12.若对于任意自然数n，函数πcos3y xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n-+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.【答案】5π6【分析】根据整体法可得零点满足()16π,Z6kx kω+=∈，即可利用0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，求解符合条件的,ω结合周期性验证所求,ω满足其他区间即可.【详解】令πππ,Z32x k kω+=+∈,则ππ,Z6x k kω=+∈，函数的零点()16π,Z6kx kω+=∈ω>，当0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，此时符合条件的两个零点为故5ππ,66x xωω=-=，故5π16ω-≥-，解得5π6ω≤，当5π6ω=时，5ππcos63y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的零点为()16,Z5kx k+=∈，因此零点为11171319,,1,,,,,5,55555--，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间[][][]1,1,1,3,3,5,- 上恰好有两个零点。
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1．已知集合{}1|>=x x A ，{}20|<<=x x B ，则=A C B R （ ） A ．()2,1 B ．[)+∞,1 C ．(]1,0D ．()2,∞- 2．设i 为虚数单位，已知复数iiz -=1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（文）已知函数()x f 是奇函数，当0>x 时，()23xx f =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 2f 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．0D ．2（理）二项式522⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x ax 的展开式的常数项为160，则a 的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知向量a ，b 不共线，若b a AB+=1λ，b a AC 2λ+=，则“A ，B ，C 三点共线”是“121=λλ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为（ ）A ．6B ．7C ．30D ．126．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14232975=++a a a ，则=13S （ ）A ．26B ．28C ．52D ．137．已知点1F ，2F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且122PF PF =，若21F PF ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．2 C ．2 D ．238．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值为（ ）A ．5 B ．6- C ．10 D ．10-9．已知0>ω，函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos πωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,21C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,43 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,23 10．已知函数()⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2x ax x ax x x f ，若存在1x ，R x ∈2，且21x x ≠，使得()()21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2<a B ．4<a C ．42<≤a D ．2>a11．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面⊥PAD 底面ABCD ，PAD ∆是正三角形，42==AD AB ，则球O 的表面积为（ ）A ．332πB ．π32 C ．π64D ．364π12．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）A．x x y 5312513-=B ．x x y 5412523-=C ．x x y -=31253D ．x x y 5112533+-=二．填空题：每题5分，共20分13．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数是85，则该组数据的平均数为．14．一简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：cm ），该组合体的体积为．15．已知抛物线E ：()022>=p px y 经过圆F ：044222=-+-+y x y x 的圆心，则抛物线E 的准线与圆F 相交所得过且过弦长为．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 21=+，则使不等式12222125+⨯<+++n n a a a 成立的n 的最大值为．三．解答题：17~21每题12分，22题10分，共70分 17．在ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且()C B C A sin sin 412cos 2-=+．（1）求A ；（2）若3=a ，312sin =B ，求b ．18．（理）某市为了扶持所属企业发展，市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持．该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：评估得分[)60,50[)70,60[)80,70[)90,80评定类型不合格合格良好优秀贷款金额0 200 400 800 （万元）为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如图所示：（1）估计该系统所属企业评估得分的中位数；（2）该系统所属企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，且系统所属企业获得贷款的均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？（理科18题图）（文科18题图）（文）某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组()30,25，第2组[)35,30，第3组[)40,35，第4组[)45,40，第5组[)50,45，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a ，b 的值； 区 间 ()30,25[)35,30[)40,35[)45,40[)50,45人 数5050a150b（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．19．（理）如图（1），在矩形ABCD 中，3=AB ，3=AD ，E 为CD 边上的点，且DE EC 2=，AE 与BD 交于O ．现沿AE 将ADE ∆折起，连结DB 、DC 得到如图（2）所示的几何体． （1）求证：⊥AE 平面DOB ；（2）当平面⊥ADE 平面ABCE 时，求二面角B DE A --的余弦值．（理科19题图）（文科19题图）（文）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，BC AC ⊥，E 为11C B 边上的点，且113EC E B =，41===CC BC AC ．（1）求证：1AC BC ⊥；（2）试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面11ABB A ？若存在，请指出点F 的位置；若不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：12222=+by a x ()0>>b a 的离心率36=e ，且过点()1,3-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线l ：22-=x 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PN PM =，再过P 作直线MN l ⊥'，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标．21．设0>a ，函数()ax e x f x+=2．（1）若95=a ，求函数()x f 的单调区间；（2）当21=x 时，函数()x f 取得极值，证明：对于任意的1x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,212x ，()()e e x f x f 3321-≤-．四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22．选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且OB OA =，CB CA =，圆O交直线OB 于E 、D ．（1）证明：直线AB 是圆O 的切线；（2）若21tan =∠CED ，圆O 的半径为3，求OA 的长．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，直线l 过点()1,1P ，且倾斜角4πα=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求PB PA ⋅的值．24．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且1=++c b a ．证明： （1）9111≥++cba；（2）29111≥+++++c b c a b a ．参考答案13．85.3；14．44；15．52；16．4； 17．（1）3π；（2）968； 18．（理）（1）75.68；（2）10%；（文）（1）200=a ，50=b ；（2）1，1，4；（3）1514； 19．（理）（1）略；（2）3737；（文）（1）略；（2）CA CF 41=； 20．（1）141222=+y x （2）过⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,324； 21．（1）增区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,35，减区间：⎪⎭⎫⎝⎛35,31；（2）略； 22．（1）略；（2）5；23．（1）0422=-+y y x ；（2）2；24．（1）略；（2）()()()c a c b b a +++++=2；。