最新高三数学期末考试试题及参考答案
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．257．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题8．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．3510．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D ．511．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>12．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省湛江市部分学校2023-2024学年高三上学期1月期末联考试题 数学含解析
高三数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号.座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （）A.(2,3)B.(,3)-∞ C.(,2)-∞ D.(4,)+∞2.若复数2i1iz =+，则z z -=（）A.2 B.2i - C.2- D.2i3.已知向量(3,5)a = ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b，则m =（）A.8B.8-C.213-D.87-4.已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（）A.b c a>> B.b a c >> C.c b a >> D.c a b>>5.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（）A.4B.8C.6D.106.已知函数()cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（）A.向左平移8π个单位长度 B.向左平移34π个单位长度C.向右平移34π个单位长度D.向右平移38π个单位长度7.已知ABC △是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为3π，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（）A.52πB.523π C.2083π D.1033π8.在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（）A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.(0,1] D.(,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B.早睡群体的睡眠指数的众数为85C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小10.下列结论正确的是（）A.若0a b <<，则22a ab b >>B.若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2C.若2a b +=，则22a b +的最大值为2D.若(0,2)x ∈，则1122x x+≥-11.已知点(0,5)A ，(5,0)B -，动点P 在圆22:(3)(4)8C x y ++-=上，则（）A..直线AB 截圆C B.PAB △的面积的最大值为15C.满足到直线AB 的P 点位置共有3个D.PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）A.(1)(3)2f f += B.(2023)(2025)(2024)f f f +=C.(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数21()2e 2xf x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则a =_________.14.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值.19.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD .（1）证明：PC PD =.（2）若24AD AB ==，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程，（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22.（12分）已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞.（1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.高三数学参考答案1.C 因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x =< .2.D因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=.3.B 因为//a b，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.4.A 因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)c =∈，所以b c a >>.5.B 因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2p OF =，所以624p p +=，8p =.6.D()cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23()sin 22cos 12244g x x x x x ππ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得到()g x 的图象.7.C 在三棱锥C ABD -中，底面ABD 是以AB 为斜边的直角三角形.设底面ABD 外接圆的圆心为O '，则其半径4r =，设三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，半径为R ，因为二面角A BD C --为3π，所以点C到底面的距离为C 在底面的射影为AD 的中点E，所以O E '=.设球心O 到底面ABD 的距离为d ，则222r d R +=，且222)O E d R '+=，解得2523R =，所以220843S R ππ==.8.A 因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-，所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-，所以3142531123111n n n a a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤.9.BD 因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确.10.AD因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >，因为2()0ab b b a b -=->，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确；因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误；因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确.11.BCD 对于A ，因为(0,5)A ，(5,0)B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB=C的半径r =AB 截圆C所得的弦长为2=，A 错误.对于B，易知||AB =PAB △的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P 到直线AB 的距离的最大值为+=，所以PAB △的面积的最大值为12⨯15⨯=，B 正确.对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P 到直线AB的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB的P 点位置有2个.当点P 在直线AB 下方时，点P 到直线AB 的距离的范围是(0,r，即，此时满足到直线AB的距离为的P 点位置只有1个.故满足到直线AB 的距的P 点位置共有3个，C 正确.对于D ，由题意知2()()()PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅.又因为(0,5)A ，(5,0)B -，(3,4)C -，所以(3,1)CA = ，(2,4)CB =-- ，故3(2)1(4)10CA CB ⋅=⨯-+⨯-=-，(1,3)CA CB +=- .设点()00,D x y 满足CA CB CD += ，则()003,4CD x y =+- ，故031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1x y =-⎧⎨=⎩即(2,1)D -，||CD = 2()PA PB PC PC CA CB CA CB⋅=+⋅++⋅8||||cos ,102,24,PC CD PC CD PC CD PC CD =+⋅⋅〈〉-=-+〈〉=-+〈〉.又因为,[PC CD 〈〉∈-，所以2,[22PC CD -+〈〉∈---+，即PA PB ⋅ 的取值范围为22⎡---+⎣，D 正确.12.ACD因为(2)()(2026)f x f x f ++=，所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=，两式相减得(4)()f x f x +=，所以()f x 的周期为4.因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=，即()(2)2f x f x -++=，所以(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==，所以(4)0f =，即(0)0f =.因为()(2)2f x f x -++=，所以(0)(2)2f f +=，所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=，所以(3)(1)2f f +=，故A 正确.因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以C 正确.因为20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，所以D 正确.13.2-()2e x f x x a '=--，由(0)20f a '=--=，得2a =-.14.60由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C 10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种.15.连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE .因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为BOE ∠（或其补角）.令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =，cos 10BOE ∠=，由余弦定理得222210OE OB BE OE OB +-=⋅，解得x =，所以1CC =.16.12由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=，所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12=.17.解：（1）因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =，当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为27log 3n n n b a ==-，所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ .18.解：（1）因为(248)0.1P M <=，所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.（2）因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=.依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=，因为()320D X >，所以2000K >，又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19.解：（1）因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos sin 22A A =，所以tan A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）解法1：因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S +=△△△，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因为3BAC π∠=，6DAB DAC π∠=∠=，AD =，所以333444AB AC AB AC +=⋅，所以AB AC AB AC +=⋅，即c b cb +=.因为22222cos()33a b c bc b c bc π=+-=+-，a =所以2()3()180b c b c +-+-=，所以6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.解法2：由点D 分别向AB ，AC 作垂足E ，F ，因为AD 为角平分线，所以322AD DE DF ===，所以32sin BD B =，32sin CD C=，又因为BD CD BC +==，所以332sin 2sin B C+=①由正弦定理得sin sin sin b c aB C A===所以126sin B b =，126sin C c=，代入①式得1b cbc +=，即b c bc +=.如下同解法1参考答案解答过程.20.（1）证明：取CD 的中点F ，连接,,EF PF OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD .又EF ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD .因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，所以平面//OEF 平面PAD .因为平面ABCD 平面OEF OF =，平面ABCD 平面PAD AD =，所以//OF AD .因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥.由PO ⊥平面ABCD ，可得PO CD ⊥.又PO OF O = ，所以CD ⊥平面POF ，从而PF CD ⊥.因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =.（2）解：因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒，又OC OD ⊥，2AB CD ==，112OF CD ==，OC ==，所以PO ==.作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以,,OG OF OP的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0)D -，(1,3,0)B -，(1,1,0)C，P ，(0,4,0)BC =，(1,1,PC = ，(2,0,0)DC =.设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令11z =，得m = .设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得n = .所以1cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17.21.（1）解：设右焦点为(,0)F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为426c e a ==，所以a =，c =.故C 的方程为2216x y -=.（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时||2PQ =，122OPQ S =⨯⨯=△当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且66k ≠±.联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=.由()()2222144416660m k k m ∆=+-+=，得2261k m =+.联立方程组,6,6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得x =.不妨设l 与66y x =，66y x =-的交点分别为P ，Q，则P x =同理可得Q x =，所以2|||16P Q m PQ x k =-=-.因为坐标原点O 到l的距离d =，所以2216||216OPQ S PQ d k =⋅=-△.因为2261k m =+，所以OPQ S =△故OPQ △.22.解：（1）21ln ()a x f x x --'=，当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减.当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a -⎡⎣上单调递增，()1e ,a x -∈+∞，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a -+∞上单调递减.（2）由（1）知，令0a =，得ln ()x f x x =在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<.因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+，即()121212ln ln ln ,x x x x x x -=+，因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x x x x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x x x x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因为11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<，所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+.经检验，当21x =，13x =时，不符合题意，当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15x =时，因为5315352⨯<，所以ln3ln5ln 235+<，当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<，所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<.。
2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案
( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程； （2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（ ） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（ ）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（ ）
2
浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第一学期调研考试高三数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}11M x x =-≤，{}2N x x =>，则M N ⋃=（）A.{}2x x > B.{}0x x ≤ C.∅D.{}0x x ≥【答案】D 【解析】【分析】解集合M 中的不等式，得到集合M ，再由并集的定义求M N ⋃.【详解】不等式11x -≤，即111x -≤-≤，解得02x ≤≤，则{}02M x x =≤≤，又{}2N x x =>，则{}0M N x x ⋃=≥.故选：D 2.2i1i=+（）A.1i -B.1i+ C.1i-- D.1i-+【答案】B 【解析】【分析】借助复数运算法则计算即可得.【详解】()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 2-+===+++-.故选：B.3.已知3log 0.3a =，0.33b =，30.3c =，则（）A.a b c << B.a c b <<C.c a b << D.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】借助函数的单调性及中间量分析即可得.【详解】33log 0.3log 10a =<=，故a<0，0.30331b =>=，故1b >，3000.30.31c <=<=，故01c <<，故a c b <<.故选：B.4.若()()526012612x x a a x a x a x +-=++++ ，则135a a a ++=（）A.1-B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法令1x =、=1x -计算即可得.【详解】令1x =，则()()501261121a a a a +-=++++ ，即01262a a a a ++++= ，令=1x -，则()()501261121a a a a -+=-+-+ ，即01260a a a a -+-+=L ，故()()01260126202a a a a a a a a ++++--+-+=-= ，即()13522a a a ++=，故1351a a a ++=.故选：C.5.某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布()272,8N ，则80分以上的人数大约是（）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈A.3173 B.6346C.6827D.13654【答案】A 【解析】【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得.【详解】由题意可得80μσ=+，又()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，故()()1802P X P X μσμσ--≤≤+>=，则80分以上的人数大约是()10.682720000802000031732P X -⨯>≈⨯=人.故选：A .6.在ABC 中，“0cos cos sin sin A B A B <<”是“ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据已知，结合三角函数的符号，余弦的两角和公式即可求出.【详解】因为0cos cos A B <，()()0,π,0,πA B ∈∈，所以,A B 均为锐角，又cos cos sin sin A B A B <，则()cos cos sin sin cos cos 0cos 0A B A B A B C C -=+=-<⇒>，且()0,πC ∈，则C 为锐角，故ABC 为锐角三角形，充分性成立；若ABC 为锐角三角形，则πππ0,,0,,0,222A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()cos 0,cos 0,cos cos sin sin cos cos 0A B C A B A B A B >>=-+=->，故0cos cos sin sin A B A B <<，必要性成立；综上，0cos cos sin sin A B A B <<是“ABC 为锐角三角形”的充要条件.故选：C7.若()tan 23tan ααβ=-，则()tan αβ+的最大值为（）A.B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由角度关系得到()2αβααβ+=--，再用两角差的正切公式展开，设()tan t αβ-=，结合基本不等式求出最值，注意取等号的条件.【详解】因为()2αβααβ+=--，所以()()()()()()2tan 2tan 2tan tan tan 21tan 2tan 13tan ααβαβαβααβααβαβ---+=--==⎡⎤⎣⎦+-+-，设()tan t αβ-=，则()()222tan 22113tan 1333t t t t αβαβ-==≤=+-++，当且仅当1330tt t t ⎧=⎪⇒=⎨⎪>⎩时，等号成立.故选：D8.已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，若()1011101110131013sin 1sin 21a a a a +=⎧⎨+-=⎩，则（）A.20232023S =，1d <B.20232023S =，1d >C .20232023S =-，1d ≤ D.20232023S =-，1d ≥【答案】A 【解析】【分析】构造函数()sin f x x x =+，借助导数与奇偶性的定义可得函数()f x 在定义域内单调递增且为奇函数，又由()10131013sin 21a a +-=可得()101310132sin 2121a a -+-=-=-，从而得到1011101320a a +-=，再借助10111011sin 1a a +=，从而得到101101a <<，即可得解.【详解】令()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x ='+≥，故()f x 在定义域内单调递增，又()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，由()10131013sin 21a a +-=，可得()101310132sin 2121a a -+-=-=-，故有()10111f a =，()101321f a -=-，又()f x 在定义域内单调递增且为奇函数，故有1011101320a a +-=，即101110132a a +=，即10121a =，故2023100220232023S a ==，又()()()101100sin 00111sin1f f a f =+=<=<=+，即101101a <<，故10121011101111d a a a =-=-<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数()sin f x x x =+，由函数的单调性与奇偶性结合所给数列的性质得到1011101320a a +-=以及101101a <<，从而得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设平面向量()(),22a t t t =-∈R，()2,4b =- ，（）A.若a b ⊥ ，则45t =B.若1t =，则()2a b a ⊥-C.R t ∀∈，a ≥D.t ∃∈R ，使ab【答案】ABC 【解析】【分析】利用向量垂直，平行的充分必要条件得到ABD ，利用向量的模长和二次函数得到C 即可.【详解】A ：当a b ⊥ 时，()4242205a b t t t ⋅=--=⇒= ，故A 正确；B ：若1t =，()(),221,0a t t =-= ，()20,4b a -=-，所以()20a b a ⋅-= ，所以()2a b a ⊥- ，故B正确；C ：a ===≥ C 正确；D ：若a b，则()4222040t t ---=⇒-=，等式不成立，故D 错误.故选：ABC10.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象经过点()0,1与π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.2π3f ⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的最大值 B.10π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C.7π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】AC 【解析】【分析】由题意可计算出π6ϕ=及()13,12k k k ω=-+∈≥Z ，逐项计算即可得.【详解】由函数()f x 的图象经过点()0,1，故有2sin 1=ϕ，即()π2π6k k ϕ=+∈Z ，或()5π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=，由函数()f x 的图象经过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，故()πππ36k k ω+=∈Z ，又0ω>，故()13,12k k k ω=-+∈≥Z ，对A ：2π2π1πππ2sin 32sin 2π2sin 2332622f k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-++=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，(),1k k ∈≥Z ，故A 正确；对B ：10π10π1π3π3π2sin 32sin 10π2sin 2332622f k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，(),1k k ∈≥Z ，故B 错误；对C ：()()7π7π1π2sin 32sin π7π0,13326f k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-++=-+=∈≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Z ，故C 正确；对D ：当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()πππ,,16122k x k k ωϕ⎛⎫+∈+∈≥ ⎪⎝⎭Z ，故D 错误.故选：AC.11.已知函数()()exg x f =，()()e f xh x =．（）A.若()0f x =，则()()0g x h x ==B.若()f x x =，则()()g x h x =C.对于()()g x h x =，若()f x x α=，则1α=D.对于()()g x h x =，若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则e a =【答案】CD 【解析】【分析】对A 、B ，结合题意计算出()g x 、()h x 即可得；对C 、D ：结合题意计算出()g x 、()h x 后，借助()()g x h x =及对数运算法则变形后，得到()1ln ln x αα-=恒成立及111ln ln ln ln x a a ⎛⎫⎛⎫-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，解出对应的α及a 的值即可得.【详解】对A ：若()0f x =，则()()e 0xg x f ==，()()01e ef xh x ===，故A 错误；对B ：若()f x x =，则()()eee xxx g x f ===，()()e e x f x h x ==，()()g x h x ≠，故B 错误；对C ：若()f x x α=，则()()()e e e x x xg x f αα===，()()ee f x x h x α==，又()()g x h x =，故e e x x αα=，故x x αα=，即ln ln ln x x αα+=，即()1ln ln x αα-=恒成立，故1α=，故C 正确；对D ：若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则()()eloge e log xx aa x x g f ===，()()log ee af x x h x ==，又()()g xh x =，故log e log e a x a x =恒成立，即()ln 11log ln ln ln ln e 1log ln ee e a xxx a aaa x x a x⎛⎫==== ⎪⎭=⎝，故=11ln ln ln ln ln x x a a ⎛⎫+⋅⎪⎝⎭，即111ln ln ln ln x a a ⎛⎫⎛⎫-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，故11ln a =，即e a =，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点睛：本题C 、D 选项关键在于灵活运用对数的运算法则从而变形，得到()1ln ln x αα-=恒成立及111ln ln ln ln x a a ⎛⎫⎛⎫-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，以解出对应的α及a 的值.12.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在C 上（A 在第一象限），点Q 在l 上，0FQ FA ⋅=，()0QB BF λλ=> ，（）A.若2λ=，则23BF =B.若π3AQF ∠=，则2AF =C.则AFB △的面积最小值为14D.则AQB 的面积大于3-【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，设点B 在准线l 上的投影为D ，准线l 与x 轴交于点E ，由相似比可得解；对B ，易证AQF AQM ≅V V ，可得AMF 为等边三角形，得解；对C ，分点B 在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出,AF BF ，表示出ABF S △利用三角函数求出最小值，对D ，分点B 在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出,QB BF 可证QB BF ≥，AQB AFB S S ≥V V 得解.【详解】对于A ，如图1，设点B 在准线l 上的投影为D ，准线l 与x 轴交于点E ，又2QB BF =，BD BF =，则213QB BD BF QFEF===，所以23BF =，故A 正确；对于B ，设点A 在准线l 上的投影为点M ，易证AQF AQM ≅V V ，又π3AQF ∠=，π6FAQ MAQ ∴∠=∠=，即π3MAF ∠=，又AM AF =，则AMF 为等边三角形，所以π3MFE ∠=，且1EF =，2MF AF ∴==，故B 正确；对于C ，分两种情况：当点,A B 都在第一象限，如图1所示，设AFx α∠=，π0,2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，由焦半径公式可得11cos AF α=-，11π1sin 1cos 2BF αα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()()121cos 1sin ABF S αα∴=-+ ，令()()()1sin 1cos 1sin cos sin cos fααααααα=+-=+--，设(]πsin cos 1,14t ααα⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，且21sin 2t α=-，()22111411212ABF S t t t ∴==≥⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，当且仅当π2α=时取得最小值.当点B 在第四象限时，如图2所示，设AFO β∠=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11cos AF β=+，11sin BF β=+，所以()()121cos 1sin ABF S ββ=++ ，同理令(πsin cos 4t βββ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin 2t β=+，()()()221cos 1sin 13t ββ∴++=+≤+，所以134ABF S ≥=-V ，当且仅当π4β=时取得最小值，综上，AFB △面积的最小值为3-，故C 错误；对于D ，当点,A B 都在第一象限，如图1所示，1sin QF α=，11sin BF α=+，则()1sin 1sin QB αα=+，所以11sin QB BF α=≥，即QB BF ≥，14AQB AFB S S ∴≥≥V V ，当点B 在第四象限时，如图2所示，同理可得11sin QB BFβ=>，即QB BF >，3AQB AFB S S ∴>≥-V V ，综上，AQB 的面积大于3-，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C,D 选项，关键是利用抛物线焦半径公式求出,AF BF ，从而易求出三角形面积.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x=±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±14.已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为______．【答案】π3##1π3【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，所以侧面积221112ππ122233S lr r α===⨯⨯=.故答案为：π3.15.某地区上年度电价为0.8元()/kW h ⋅，年用电量为 kW h a ⋅，本年度计划将电价下降到)0.55~0.75kW h ⋅元之间，而用户期望电价为)0.4kW h ⋅元．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为μ）．该地区的电力成本价为)0.3kW h ⋅元．已知0.2a μ=，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为______)kW h ⋅元．【答案】0.6##35【解析】【分析】设出电价定为x 元()/kW h ⋅，由题意可得不等式()()0.20.80.3 1.20.30.4a a a x x ⎛⎫-⨯≤+- ⎪-⎝⎭，解出后结合[]0.55,0.75x ∈即可得.【详解】设电价定为x 元()/kW h ⋅，[]0.55,0.75x ∈，则由题意可得()()0.20.80.3 1.20.30.4a a a x x ⎛⎫-⨯≤+- ⎪-⎝⎭，整理可得()()0.50.60x x --≥，又[]0.55,0.75x ∈，故0.6x ≥，即[]0.6,0.75x ∈，故最低的电价可定为()0.6kW h ⋅元.故答案为：0.6.16.直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，E ，F 分别是棱1AA ，1BB 上一点，且11AE B F ==，若三棱锥E ABC -的外接球与三棱锥111F A B C -的外接球外切，则1AA 的长为______．【答案】4【解析】【分析】作出图形后结合题意可得三棱锥E ABC -的外接球与三棱锥111F A B C -的外接球球心所处位置及半径的值，结合球外切的性质计算即可得1AA 的长.【详解】如图所示，取BC 、11B C 中点D 、1D ，连接1DD ，由题意可得1DD ⊥平面ABC 且1DD ⊥平面111A B C ，12AD BC ===11B D ==在线段1DD 上取111111222DO D O AE B F ====，由90BAC ∠=︒，故11190B A C ∠=︒，故点D 、1D 分别是ABC 与111A B C △外接圆圆心，又111111222DO D O AE B F ====，⊥AE 平面ABC 、1B F ⊥平面111A B C ，故点O 到三棱锥E ABC -四个顶点距离相等，点1O 到三棱锥111F A B C -四个顶点距离相等，即点O 、1O 分别为三棱锥E ABC -的外接球与三棱锥111F A B C -的外接球球心，则三棱锥E ABC -的外接球半径为32r ===，三棱锥111F A B C -的外接球半径为132r ===，由三棱锥E ABC -的外接球与三棱锥111F A B C -的外接球外切，故1113342222AA =+++=.故答案为：4.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出对应图形后结合题意找到球心及半径，结合球外切的性质从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.浙江省普通高中学业水平考试分,,,,A B C D E 五个等级，剔除E 等级，,,,A B C D 等级的比例分别是5%,15%,40%,40%，现从当年全省数学学考,,,A B C D 四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（1）分别求样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数；（2）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件M 为抽取的4份试卷中没有D 等级的试卷，事件N 为抽取的4份试卷中有B 等级的试卷，求()P N M ．【答案】（1）1，3，8，8（2）()4155P N M =【解析】【分析】（1）根据题意结合分层抽样的性质分析求解；（2）根据条件概率结合组合数分析求解.【小问1详解】由题意可得：205%1⨯=，2015%3⨯=，2040%8⨯=，2040%8⨯=，所以样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．【小问2详解】因为()412420C C P M =，()44129420C C C P MN -=，所以()()()44129412C C 41C 55P MN P N M P M -===.18.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1sin 2cos 231sin 2cos 2A AA A+-=++，3b c =．（1）求角A ；（2）求sin :sin :sin A B C ．【答案】（1）60A =︒（2）sin :sin :sin 3:1A B C =．【解析】【分析】（1）由二倍角公式、商数关系可得tan A =，由此即可得解.（2）由余弦定理得边的比例，结合正弦定理即可得解.【小问1详解】221sin 2cos 22sin cos 2sin tan 1sin 2cos 22sin cos 2cos A A A A AA A A A A A+-+==+++，∴tan A =60A =︒．【小问2详解】由余弦定理可得22222cos 7a b c bc A c =+-⋅=，∴::3:1a b c =，则sin :sin :sin 3:1A B C =．19.如图在等腰梯形ABCD '中，//AB CD '，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，E ，F ，G 分别为DC ，AE ，BC 的中点，现将DAE 绕AE 翻折至DAE 的位置，H 为CD 的中点．（1）求证：//DF 平面EGH ；（2）当平面DAE 垂直于平面ABC 时，求平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）通过构造中位线得到线线平行，再结合线面平行判定定理即可证明；（2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】∵在等腰梯形ABCD '中，120ABC ∠=︒，∴120BAD ∠='︒，60ADE BCD ∠'=∠=︒，又E 为D C '的中点，∴AED '△，BEC 及AEB △均为正三角形，而2AB BC ==，∴4CD '=，∵F 为AE 的中点，∴B ，F ，D ¢三点共线，BD AE '⊥，又G 为BC 的中点，∴//BF EG ，连接CF 交EG 于M ，连HM ，易得M 为CF 的中点，∴HM 为CDF 的中位线，∴DF HM //．又∵HM ⊂平面EGH ，DF ⊄平面EGH ，故//DF 平面EGH；【小问2详解】∵平面DAE ⊥平面ABC ，AE 为交线，DF AE ⊥，又DF ⊂平面DAE ∴DF ⊥平面ABC ．以FB ，FA ，FD 所在射线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()B，()C -，(D ，()1,0,0E -，所以330,22EH ⎛= ⎝⎭，()EG = ，设平面HGE 的法向量为(),,m x y z =，则有0220x z +=⎪=，令1x =，所以()1,0,1m =- ，易知平面DAE 的法向量为()0,1,0n =，设平面DAE 与平面HGE 的夹角为θ，则有cos 0m nm nθ⋅== ．平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值为0.20.已知数列{}n a 是等差数列，13a =，0d ≠，且1a ，7a ，25a 构成等比数列，（1）求n a ；（2）设()n f n a =，若存在数列{}n b 满足11b =，27b =，325b =，且数列(){}n f b 为等比数列，求{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =+（2）()()12233954n n n S nn++⨯-=-+【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项列方程解出公差，再由基本量法写出等差数列的通项公式.（2）由已知和等比数列的性质求出32nn b =-，再由错位相减法和等差数列的前n 和公式共同求出结果.【小问1详解】∵{}n a 是等差数列，13a =，0d ≠，∴716a a d =+，25124a a d =+．∵1a ，7a ，25a 构成等比数列，∴()()2111624a d a a d +=+，化简可得133a d ==，∴1d =，所以2n a n =+．【小问2详解】∵()()1113f b f a ===，()()2779f b f a ===，()()3252527f b f a ===，又数列(){}n f b 为等比数列，∴()3nn f b =，而()2n n b n f b a b ==+，∴32n n b =+，∴32nn b =-，所以()()2322nn n a b n n =+-+，设数列(){}23nn +的前n 项和为nT ，则()()()1212322323nn T n =+⨯++⨯+++⨯ ①，()()()231312322323n n T n +=+⨯++⨯+++⨯ ②，①②相减得()()12121233323nn n T n +-=+⨯+++-+⨯ ，化简可得()()()111224913193239133n n n n n T n -++⎡⎤-⎢⎥=-+-+⨯=-⎢⎥⎣⎦+⨯-又因为等差数列(){}22n +的前n 项和为()2232452n n n n ⨯++=+，综上可得()()12233954n nn S nn ++⨯-=-+．21.已知函数()()22ln 0f x x ax x a =+->在定义域上不是．．单调函数．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上的极大值为M ，极小值为N ，求M N +的取值范围．【答案】（1）10,16a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）(),8ln 26M N +∈-∞-．【解析】【分析】（1）先求得()f x '，然后根据二次函数在区间()0,∞+上有正有负列不等式，由此求得a 的取值范围.（2）根据（1）将M N +表示为仅含a 的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得M N +的取值范围．【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()222221ax x f x ax x x-+=+='-，由()0f x '=得：2220ax x -+=，设()()2220u x ax x a =-+>．∵函数()f x 不是单调函数，∴()0u x =在()0,∞+有正实根，又0a >，设()0u x =的两根为1x ，2x ，则由1212102101160x x a x x a a ⎧+=>⎪⎪⎪=>⎨⎪=->⎪⎪⎩可得：()0u x =有两个不相等的正实根，且10,16a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）可知：()()()()()212121212122ln 2M N f x f x x x a x x ax x x x +=+=++--+，112ln 24a a=--．令()116t t a =>，所以()12ln 24M N g t t t +==--，因为()211048g t t =-<-<'，所以()()168ln 26g t g <=-，故(),8ln 26M N ∞+∈--．【点睛】方法点睛：利用导数研究含参数的函数在区间上的单调性，首先要注意先求得函数的定义域，求导后，根据参数的位置以及题目所给函数单调性相关的条件，可以直接利用二次函数的性质来列不等式来求解，也可以考虑分离常数法来进行求解.22.已知点P 是圆22:1S x y +=的动点，过P 作PH y ⊥轴，H 为垂足，且HQ tHP = ，()11HR HP t t=>，记动点Q ，R 的轨迹分别为1S ，2S ．（1）证明：1S ，2S 有相同的离心率；（2）若直线2:2l y kx =-与曲线1S 交于A ，B ，与曲线2S 交于C ，D ，与圆S 交于M ，N，当k >时，试比较22AB CD +与22MN 的大小．【答案】（1）证明见解析（2）2222AB CD MN +<．【解析】【分析】（1）借助向量共线定理即可得轨迹方程，即可得离心率；（2）联立直线与曲线1S ，借助弦长公式可得2AB 、2CD 、2MN ，即可得22AB CD +，令2k a =，2t x =，通过构造函数()()()222221ax xx af x ax x a ++=+++，结合导数研究函数的单调性，从而研究22AB CD +与22MN 的大小关系.【小问1详解】设(),P a b ，(),Q x y ，由HQ tHP = 得xa tb y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴221x y t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1S 的轨迹方程为2221x y t +=，同理可得2S 的轨迹方程为2221t x y +=，所以1S ，2S的离心率均为e =，【小问2详解】设A ，B 分别为()11,x y ，()22,x y ，联立22221y kx x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()222221102t k x x t +-=，则2221Δ402t t k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，21221x x t k =++，21222112t x k x t -=+，则()()()()222222212122221412141t k k t AB k x x x x k t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎡⎤=++-=⎣⎦+，同理可得()()22222221412k k t CD k t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+，()()2222214121k k MN k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+，∴()()()()222222222222222114141221t k k t k k t AB CD k t k t⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++()()()()222222222222212211t k t k t k k t k t ⎛⎫++ ⎪=++ ⎪++⎝⎭，令2k a =，2t x =，()()()222221ax xx af x ax x a ++=+++，1x ≥，当1x =时，21t =，AB CD MN ==，则2222AB CD MN +=，则()()()()()()()()()333333313131311ax x a x a ax ax x af x ax x a ax x a ++-++++=-=++⋅+'+()()()()()()32242333163111a a x a a xx ax x a-++-+=-⋅+⋅+，因为1x ≥且k >243a k =>，330a a -<，246310a a -+<，所以()0f x '<，所以()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以当1x >时，()()1f x f <，所以2222AB CD MN +<．.【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键在于，借助弦长公式表示出2AB 、2CD 、2MN ，从而利用导数即可得解.。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中期末数学试题及答案
高中期末数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于？A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B3. 若a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是？A. a + b > 0B. ab > 0C. a - b > 0D. ab < 0答案：D4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为？A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)答案：A5. 函数y = 2^x的反函数是？A. y = log2(x)B. y = 2^(-x)C. y = log(x/2)D. y = 2^x答案：A6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5等于？A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A7. 已知向量a=(1, 2)，b=(-2, 4)，则向量a与向量b的点积为？A. -2B. 0C. 2D. 4答案：B8. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则该双曲线的渐近线方程为？A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±x/√2D. y = ±√2x答案：A9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(0)的值？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A10. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，该三角形为？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求该函数的顶点坐标为______。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市涪陵高级中学2024届高三年级下学期期末考试数学试题
重庆市涪陵高级中学2024届高三年级下学期期末考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．1202．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．(0,62⎤-⎦C ．2,312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．(0,31⎤-⎦3．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－14．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过137．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17318．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164819．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．812．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学试题含答案
2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|22xB x =>，则A B = （）A.[0,)+∞ B.[0,1)C.(1,2]D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.(1,1)B.(1,1)-C.(1,1)-D.(1,1)--3.圆22420x y x y +-+=的圆心坐标为（）A.(2,1)- B.(2,1)- C.(4,2)- D.(4,2)-4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（）A.18B.24C.32D.365.已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 3α=，tan 2β=，则αβ+=（）A.512π B.23π C.34π D.56π6.如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式为（）A.sin 6()22x x x f x -=-B.cos 6()22x x x f x -=-C.sin 6()22xxxf x -=- D.cos 6()22xxxf x -=-7.已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，12F MF ∠的角平分线交线段12F F 于点N ，则11MF NF =（）B.2C.5D.28.若实数a ，b ，c 满足3log a π=，ln b π=，2c =，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.b a c << D.b c a<<二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列{}n a 中，11a =，()*121n n a a n +=+∈N，数列{}na 的前n 项和为nS ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 是等比数列B.415a =C.101000a < D.2n n S a n=-10.已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.32f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.将()f x 的图象先向左平移3π个单位长度，再向下平移32个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数22|ln |,0e()44,ee e x xf x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.01a <<B.122x x +∈C.123414e 2,5e e x x x x ⎛⎫+++∈++⎪⎝⎭D.()2212343e ,4ex x x x ∈12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，点P 和Q 分别满足111D P D C λ=，11D Q D B μ=，其中λ，[0,1]μ∈，则下列结论正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥Q PDE -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥Q ABCD -的外接球的表面积是94πC.当1λ=时，不存在μ使得11PQ B D ⊥D.PQ EQ +的最小值为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线2214y x -=的渐近线方程为______.14.4211(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.15.已知非零向量a ，b 夹角为23π，则|2|||a b b +的最小值为______.16.已知实数λ，k 分别满足2e e λλ=，3(ln 1)k k e -=，其中e 是自然对数的底数，则k λ=______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知在等差数列{}n a 中，23a =，833a a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且满足()*231n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()*N n n n c a b n =∈，求数列{}nc 的前n 项和nT .18.（本小题12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，点D 在线段BC 上，BD DC λ=，2AD =，ABC△的面积为（1）当2λ=，且60ADB ∠=︒时，求B ；（2）当1λ=，且2228b c +=时，求ABC △的周长.19.（本小题12分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，SA AB ⊥，SC BC ⊥，SA SC ==.（1）证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ= ，若二面角A SE D --的余弦值为3015-，求直线SE 与底面ABCD 所成角的正切值.20.（本小题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为13；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为23.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第()*n n ∈N 天选择米饭套餐的概率为nP ，（i ）证明：12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（ii ）证明：当2n ≥时，59n P <.21.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴相交于点D ，过抛物线C 焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两点，DAB △面积的最小值为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(5,2)E 的动直线l 交C 于M ，N 两点，试问抛物线C 上是否存在定点P ，使得对任意的直线l ，都有PM PN ⊥.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，则说明理由.22.（本小题12分）已知函数()ln (1)f x x x k x k =--+，1k ≥.（1）当1k =时，求()f x 的最小值；（2）当(1,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数k 取得的最大整数值.2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评分标准一.单项选择题：C BABCCAA二.多项选择题：9.BD 10.AC11.ACD12.ABD三.填空题：13.2y x =±14.2516.3e四.解答题：17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得()1113,732,a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩()1*1,21N 2,n a a n n d =⎧∴∴=-∈⎨=⎩；当1n =时，则1112231S b b ==-，11b ∴=，当2n ≥时，则11231n n S b --=-，112233n n n n S S b b --∴-=-，13n n b b -∴=，∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()1*3N n n b n -=∈；（2）由（1）得()1*(21)3N n n n n c a b n n -==-⋅∈，2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---∴=+++++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，②①－②得()2312123333(21)3n nn T n --=+⨯++++--⨯ ，∴()*(1)31N n n T n n =-⨯+∈.18.解：（1）由题意得13sin 22ABC S a AD ADB ∆=⋅∠==6a ∴= 2BD DC =，4BD ∴=，2CD =，∴2222cos 12AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=，AB ∴=，∴2223cos 22AB BD AD B AB BD +-==⋅，0180B ︒<<︒ ，30B ∴=︒；（2）由题意得BD CD =，1()2AD AB AC ∴=+，∴()()222222111()22cos 4444AD AB AC AB AC AB AC c b bc BAC =+=++⋅=++∠= ，2228b c +=，cos 6bc BAC ∴∠=-，∴2222cos 40a b c bc BAC =+-∠=，a ∴=，1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠=，sin bc BAC ∴∠=，12bc ∴=，∴222()252b c b c bc +=++=，b c ∴+=，∴a b c ++=，ABC ∴△的周长为.19.（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，SA AB ⊥，SA AD A = ，AB ∴⊥平面SAD ，SD AB ∴⊥，同理可证SD BC ⊥，AB BC B = ，SD ∴⊥平面ABCD ，∴四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）由（1）得SD ⊥平面ABCD ，SD AD ∴⊥，SA =，3AB =，3SD ∴=，以点D 为原点，DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)S ，AE EC λ=，33,,011E λλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，设()111,,m x y z = 是平面SAE 的一个法向量，则,,m AC m SA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴1111330,330,x y x z -+=⎧⎨-=⎩令11z =，则111,1,x y =⎧⎨=⎩，(1,1,1)m ∴=，设()222,,n x y z = 是平面SDE 的一个法向量，则,,n SD n DE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴22230,330,11z x y λλλ=⎧⎪⎨+=⎪++⎩令21y =-，则22,0,x z λ=⎧⎨=⎩，(,1,0)n λ∴=- ，∴30cos ,||||15m n m n m n ⋅〈〉==-，13λ∴=，∴93,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4DE ∴==，SD ⊥平面ABCD ，∴直线SE 与底面ABCD所成角的正切值为5SD DE =.20.解：（1）设i A =“第i 天选择米饭套餐”(1,2)i =，则i A =“第i 天选择面食套餐”，根据题意()123P A =，()113P A =，号()211|3P A A =，()212|3P A A =，由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+2112433339=⨯+⨯=；（2）（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”(1,2,)n = ，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，()11|3n n P A A +=，()12|3n n P A A +=，由全概率公式，得()()()()()11112||33n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A +++=+=-+，即11233n n P P +=-+，1111232n n P P +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭， 11126P -=，12n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13-为公比的等比数列；（ii ）由（i ）可得()1*111N 263n n P n -⎛⎫=+⨯-∈ ⎪⎝⎭，当n 为大于1的奇数时，12111111145263263279n n P -⎛⎫⎛⎫=+⨯-≤+⨯=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当n 为正偶数时，11111526329n n P -⎛⎫=-⨯<< ⎪⎝⎭.21.解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为(R)2px ty t =+∈，()11,A x y ，()22,B x y ，由2,22p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y tpy p --=，∴122y y tp +=，212y y p =-，∴()()()2222121212441y y y y y y p t -=+-=+，∴DAB △面积2121||2DAB S DF y y p p ∆=⋅-=，当0t =时，DAB S ∆取最小值2p ，2p ∴=，∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由（1）得抛物线2:4C y x =，假设存在定点()00,P x y ，设直线l 的方程为5(2)()x m y m R -=-∈，()33,M x y ，()44,N x y ，则30y y ≠，40y y ≠，由25(2),4x m y y x-=-⎧⎨=⎩得244(25)0y my m -+-=，344y y m ∴+=，344(25)y y m =-，PM PN ⊥ ，0PM PN ∴⋅=，()()()()()()()()22223040304030403040116PM PN x x x x y y y y y y y y y y y y ⋅=--+--=--+-- ，()2034034160y y y y y y ∴++++=，()()2004240y m y ∴++-=，当020y +=时，即002,1y x =-⎧⎨=⎩时，PM PN ⊥恒成立，∴存在定点(1,2)P -.22.解：（1）当1k =时，()ln 1f x x x =+，(0,)x ∈+∞，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '<，则10x e <<；令()0f x '>，则1x e>，∴()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 在1x e=处取得最小值111f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）①当1k =时，则()ln 110f x x x =+>>，显然成立；②当1k >时，原不等式等价于ln 1x x xk x +<-，令ln ()1x x x g x x +=-，1x >，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--，1x >，则1()0x h x x-'=>，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增， (3)1ln 30h =-<，(4)2(1ln 2)0h =->，∴0(3,4)x ∃∈，()00h x =，即00ln 20x x --=，002ln x x ∴-=，当()01,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在()01,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x ∴在()0,x +∞上单调递增，∴()g x 在0x x =处取得最小值为()000000ln 1x x x g x x x +==-，∴()00k g x x <=，且0(3,4)x ∈，综上，实数k 的最大整数值为3.注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
2023-2024学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ={x|3x−1≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，1）2．已知复数z 满足z =−z i （i 为虚数单位），且|z |=√2，则z 2＝（ ） A ．2iB ．﹣2iC ．√2+√2iD ．√2−√2i3．已知随机变量X 1，X 2分别满足二项分布X 1～B （n 1，13），X 2～B （n 2，13），则“n 1＞n 2”是“D （X 1）＞D （X 2）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0＜x ＜12，则不等式1x +11−2x的最小值是（ ）A ．3+2√2B ．6C ．4√2D ．95．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 2≈0.3）（ ） A ．3小时B ．4小时C ．5小时D ．6小时6．已知定义在R 上的函数f （x ）满足sin xf （x ）+cos xf ′（x ）＞0，则（ ） A ．f(π3)＜√3f(π6)B ．f(π6)＜√3f(π3)C ．f(π3)＞√3f(π6)D ．f(π6)＞√3f(π3)7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1＝a n +b n ，b n +1＝a n ﹣b n ，则a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n−12C ．2n+12D ．22n−1+(−1)n48．已知四面体ABCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，DA ＝DB ＝2√3，二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．52πC ．72πD ．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试题答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）D （3）C （4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12）y = （13）π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11AC 中点G ，连接,FG AG .在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B AC ，的中点，所以1111,AEB GFA AB ,111=2A GF B ,1112A A EB =.所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形， 所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC . 而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥， 所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F （1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = . 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =− 设AP 与平面BEF所成的角为θ， 则1sin cos ,5AP AP AP n n nθ⋅=〈〉===⋅．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分 （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 12==.又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... ...........................5分（II ）选择条件①：π4ADB ∠=.在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD ABB ADB=∠，得=， 所以AD =所以sin sin()BAD B ADB ∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯=. ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BDBD BD +=+−，解得 2BD =，所以11sin 1222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯=. ........................ ...............13分(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率 12377()151025P A A =−⨯=（），所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分（III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B . 设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=. 因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭.所以直线():24nAE y x m =++. 设()11,D x y ,由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=.所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+，所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32ny n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线． .................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+，所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+，11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分 (21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，187．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．11．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学：江苏省2023-2024学年高三上学期期末数学迎考卷(含参考答案)
江苏省2023-2024学年高三上学期期末迎考卷数 学注意事项:1. 本试卷共150分,考试用时120分钟.2. 答题前,考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={20,24},B ={20,23},则A ∪B 中合数的个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z =cos 2π3-√32i(i 为虚数单位),则复数z 3= ( ) A. 1B. -1C. iD. -i3. 已知函数f (x )=cos(x +φ)(-π2≤φ≤π2),则“y =f (x )为奇函数”是“φ=π2”的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件4. 平面上的三个力F 1,F 2,F 3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F 1=(1,0),|F 2|=2,<F 1,F 2>=120°,则|F 3|=( ) A. 12B. 1C. √3D. 25. 已知(x 3+a x )6(a >0)的展开式中仅有第5项的系数最大,则实数a 的取值范围是( ) A. (43,52)B. (43,53)C. [43,53]D. (23,53)6. 如图,函数f (x )=2tan (ωx +π4)(ω>0)的部分图象与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,且△ABC 的面积为π2,则ω的值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4（第6题）7.设数列{a n}满足2a n=a n+1+a n-1(n≥2且n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,且5S7-7S5=35,a1=1,则数列{n(n+1)4S n S n+1}的前2 024项和为( )A. 20242025B. 20252026C. 5061013D. 202340508.已知函数f(x)={2x+3,x≤0,(x-2)2,x>0,则函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的所有零点之和为()A. 2B. 3C. 0D. 1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知某地区秋季的昼夜温差X~N(μ,σ2),且P(X>9)=12,该地区某班级秋季每天感冒的人数y关于昼夜温差x(单位:℃)的经验回归方程为y=b x+1,秋季某天该班级感冒的学生有9人,其中有4位男生,5位女生,则下列结论正确的是(参考数据:y=19,x=μ)( )A. 若P(X>11)=25,则P(7<X<9)=110B. 从这9人中随机抽取2人,其中至少有一位女生的概率为56C. 从这9人中随机抽取2人,其中男生人数ξ的期望为49D. 昼夜温差每提高1 ℃,该班级感冒的学生大约增加2人10.已知函数f(x)=(x2+ax+b)e x,则下列结论正确的是( )A. 若函数f(x)无极值点,则f(x)没有零点B. 若函数f(x)无零点,则f(x)没有极值点C. 若函数f(x)恰有一个零点,则f(x)可能恰有一个极值点D. 若函数f(x)有两个零点,则f(x)一定有两个极值点11.已知点A,B均在拋物线C:y2=x上,点P(0,3),则()A. 直线PA的斜率可能为110B. 线段PA长度的最小值为√5C. 若P,A,B三点共线,则存在唯一的点B,使得点A为线段PB的中点D. 若P,A,B三点共线,则存在两个不同的点B,使得点A为线段PB的中点12. 如图,四棱锥P -ABCD 的底面是梯形,BC ∥AD ,AB =BC =CD =1,AD =2,PA =PD =√2,平面PAD ⊥平面ABCD ,O ,E 分别为线段AD ,PA 的中点,点Q 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点,则下列结论正确的是( )(第12题)A. AC ⊥BPB. 三棱锥B -AOE 外接球的体积为√3π4C. 异面直线PC 与OE 所成角的余弦值为34D. 若直线PQ 与平面ABCD 所成的角为60°,则点Q 的轨迹长度为√3π 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若圆C 与直线3x -4y -12=0相切,且与圆x 2-2x +y 2=0相切于点A (2,0),写出一个符合要求的圆C 的标准方程: . 14. 计算:4sin 40°-tan 40°= .15. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为r 1, r 2,且2r 1+r 2=2√2,则它的内切球的体积的最大值为 . 16. 反比例函数y =1x 的图象是双曲线(其渐近线分别为x 轴和y 轴),同样的,“对勾函数”y =mx +nx (m >0,n >0)的图象也是双曲线.设m =√33,n =√34,则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c =2,2a =bc cos C +c. (1) 求角B 的大小;(2) 若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∠CAD =π6,求△ABC 的面积. 18. (本小题满分12分)抽屉里装有5双型号相同的手套,其中2双是非一次性手套,3双是一次性手套,每次使用手套时,从抽屉中随机取出1双(2只都为一次性手套或都为非一次性手套),若取出的是一次性手套,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性手套,则使用后经过清洗再次放入抽屉中.(1) 求在第2次取出的是非一次性手套的条件下,第1次取出的是一次性手套的概率;(2) 记取了3次后,取出的一次性手套的双数为X ,求X 的分布列及数学期望.19. (本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,M ,N 分别为棱AA 1,BB 1的中点,AC ⊥AB ,AB =4,AC =3,AA 1=6.(第19题)(1) 求证:CM ⊥平面C 1MN ; (2) 求二面角C -C 1N -M 的正弦值.20. (本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -lnxa .(1) 当a =1时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程; (2) 若0<a <1,求证:f (x )≥2+lnaa.21. (本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1=1,且对任意正整数m ,n 都有a m +n =a n +a m +2mn.(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 求数列{(-1)n a n }的前n 项和S n ,若存在正整数k ,使得2S k +S k +1=0,求k 的值; (3) 设b n =12ln (1+1a n+1an+1),T n 是数列{b n }的前n 项和,求证:T n <nn+1.22. (本小题满分12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点C (0,-1)和点D (-85,-35)均在椭圆E 上.(1) 求椭圆E 的方程;(2) 设P 是椭圆上一点(异于C ,D ),直线PC ,PD 与x 轴分别交于M ,N 两点.证明:在x 轴上存在两点A ,B ,使得MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值,并求此定值.附：参考答案一、单选题 1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. C 8. D二、多选题9. ABD 10. AD 11. BD 12. AC三、填空题13. (x +1)2+y 2=9 或 (x -114)2+y 2=916. 14. √3 15. 4π3 16. 2√2四、解答题17. (1) π3(2) 2√3 18. (1) 15/23 (2) 1.60619.(1) 证明：因为AC ⊥AB ,且平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ,所以AB ⊥平面ACC 1A 1.又CM ⊂平面ACC 1A 1,所以AB ⊥CM.因为M ,N 分别为AA 1,BB 1的中点,所以MN ∥AB ,所以MN ⊥CM.因为AM =A 1M =3,AC =A 1C 1=3,所以CM =C 1M =√9+9=3√2,所以CM 2+C 1M 2=18+18=36=C C 12,所以CM ⊥C 1M.又因为MN ,C 1M ⊂平面C 1MN ,MN ∩C 1M =M ,所以CM ⊥平面C 1MN 。
通州区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试卷及答案
通州区2023—2024学年高三年级摸底考试数学试卷 2024年1月一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0,1,2,3,{12}A B x x ==∈-<Z∣…，则A B ⋃= A.{}0,1 B.{}1,2,3 C.{}0,1,2,3 D.{}1,0,1,2,3- 2.已知复数z 满足()1i 13i z -=-，则复数z =A. C. 3.已知双曲线的左､右焦点分别为()()123,0,3,0,F F P -为双曲线上一点,且212PF PF -=,则双曲线的标准方程为A.2218y x -= B.22110y x -= C.2218y x -= D.22110y x -=4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递减的是A.()1f x x =B.()2log f x x =-C.()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos f x x = 5.如图，已知某圆锥形容器的轴截面PAB 为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的12，则圆柱的体积为A.π3 B.π3D. 6.已知函数()()22f x x x c c =-+∈R ，则“(),0x f x ∃∈<R ”是“3c <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图,在平面直角坐标系xOy 中，角α和β的顶点都与原点重合,始边都与x 轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于,A B 两点.若()43π,,1,0,553A C BOC ⎛⎫-∠=⎪⎝⎭，则()cos βα-=8.现有12个圆,圆心在同一条直线上,从第2个圆开始,每个圆都与前一个圆外切,从左到右它们的半径的长依次构成首项为16,公比为12的等比数列,前3个圆如图所示.若点,P Q 分别为第3个圆和第10个圆上任意一点,则PQ 的最大值为A.25532B.25516C.1278D.25589.在菱形ABCD 中,2,60,AB BAD E ∠==是BC 的中点,F 是CD 上一点（不与C ,D 重合）,DE 与AF 交于G ，则AG DG ⋅的取值范围是A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2D.()0,3 10.已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩…，实数,,a b m 满足a m b 剟.若对任意的m ，总有不等式()3f m m +…成立， 则b a -的最大值为 A.83 B.103C.4D.6 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()22log 3xf x x =+，则()2f -=__________.12.在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为__________.13.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且cos sin 3a b C c B =+，则B =__________；若ABC 的面积5ABCSa c =+=，则b =__________.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),P m n 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FP 为半径的圆交C 的准线于,A B 两点.若4n =，则圆F 的方程为__________；若PA AB ⊥，则m =__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()232n n S a =-，数列{}n b 是公差不为0的等差数列，且满足1141,2b a b =是1b 和12b 的等比中项.给出下列四个结论：①数列{}n a 的通项公式为23nn a =⨯；114③数列{}n b 中各项先后顺序不变，在m b 与()*1m b m N +∈之间插入2m个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236；④设数列{}n c 的通项公式1,2,2kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩，则数列{}1n c -的前100项和为2178. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22cos sin cos f x x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）若()01f x =，且0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求0x 的值.17.（本小题13分）如图,ABCDE 中,ABC 为等边三角形,AD ∥,,2CE AC CE AC CE AD ⊥==2=. 点F 为BC 的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：AF⊥平面BCE ；（2）设点G 为BE 上一点，且23BG BE =，求直线AC 与平面AFG 所成角的正弦值. 条件①：平面ACED ⊥平面ABC ；条件②：BE =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题14分）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生,报名的学生参加预选初检申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为312,,,1433.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. （1）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；（2）求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；（3）根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为233,,355，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.19.（本小题15分）已知函数()()2xf x x e =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）设函数()()224(0)g x f x ax ax a =-+>.①若()g x 在1x =处取得极大值，求()g x 的单调区间； ②若()g x 恰有三个零点，求a 的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的短轴长为2（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的上､下顶点分别为点,A B ，过点()0,2M 的直线l 与椭圆E 交于不同两点()()1122,,,P x y Q x y ， 且12y y >，直线AP 与直线BQ 交于点N ，求证：点N 在一条定直线上.21.（本小题15分） 已知数列12:,,,n A a a a 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++=；②对于1i j n <剟，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.（1）写出所有4的1减数列；（2）若存在m 的6减数列，证明：6m >； （3）若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习参考答案高三数学2024. 01第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ABDBBCCABC第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．已知集合M ＝{x |1≤x ＜5}，N ＝{x |x 2﹣x ＜2}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣1＜x ＜5}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |1≤x ＜5}2．若z =1+i2+i，则其共轭复数z =（ ） A ．13+13iB ．13−13iC ．35+15iD ．35−15i3．已知曲线y ＝lnx 与曲线y =a(x −1x)在交点（1，0）处有相同的切线，则a ＝（ ）A ．1B ．12C ．−12D ．﹣14．已知直线l 经过点（2，4），则“直线l 的斜率为﹣1”是“直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠BAD =π3，若BE →=EC →，CF →=2FD →，则AE →⋅AF →=（ ）A ．4B ．6C ．18D ．226．已知sin(x +π4)=45，则sin2x 的值为（ ）A ．1825B ．725C ．−725D ．−16257．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且点O 到直线AB 的距离为√2，则△OAB 的面积为（ ） A ．4√2B ．8√2C ．16√2D ．32√28．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，且a n +2＝（2+|cos nπ2|）a n ﹣|sin nπ2|，则S 2024＝（ ）A ．32024﹣1011B ．32024+1011C ．31012﹣1011D ．31012+1011二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----， 所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-， 则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值． 【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-， 则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ， 故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（ ） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（ ） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >， 即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->， 从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足． 故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（ ） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-， 因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==， 所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，， 所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-， 我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点， 令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点； 当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -， 所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-， 故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______． 【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-． 因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=． 故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+， 故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数， 取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========， 故前8项和为：1491625364964204+++++++=， 故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解； （2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=， 则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明， （2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =， 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ， 则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--， 整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符； 当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1． 故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围． 【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意． 综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=． 由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ， 故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=， 设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-， 从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩， 解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
2023届辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．若集合{}22log 2,01x A x x B xx -⎧⎫=<=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．[1,4)- B ．(1,2]- C ．(0,2] D ．(1,4)-【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合{}{}{}22log 204,0121x A x x x x B xx x x -⎧⎫=<=<<=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 则A B ⋃=(1,4)-， 故选：D2．设复数ππcos isin 33z =+，则在复平面内1z z +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】注意到12z =，计算得1z z +代数形式，可得答案.【详解】12z =+，11131112z z z +=+===⎝⎭⎝⎭，则其在复平面对应的点为3,2⎛ ⎝⎭，即在第四象限. 故选：D3．已知R m ∈，命题p ：方程22123x y m m+=--表示椭圆，命题q ：2560m m -+<，则命题p 是命题q成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据椭圆方程满足的条件可得命题p 满足522m <<或532m <<，由一元二次不等式可得q 满足23m <<，进而可求解.【详解】命题p ：“方程22123x ym m +=--表示椭圆”，则203023m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得522m <<或532m <<，命题q ：2560m m -+<，即()()320m m --<，解得：23m <<， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A4．已知函数()318sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()1nx -展开式中4x 的系数为（ ） A ．70 B ．－70 C ．56 D ．－56【答案】A【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n 的值.然后根据二项式定理展开式解题. 【详解】()218cos 2f x x x '=+，由已知可得，()0f n '=，即()08f n '==，所以8n =.设()81x -展开式中的第k +1项含有4x ，()()()8188C 1C 1k k kk k k k T x x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则可知，4k =，所以二项式()1nx -展开式中4x 的系数为488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯.故选：A.5．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知060S =，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln6 1.79=，ln7 1.95=，ln12 2.48=，ln19 2.94=）（ ） A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：60e 70K =，60e 95Kt ≥，70ln ln 7ln 660K ==-，95ln ln19ln1260Kt ≥=-， 则ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==--，则给氧时间至少还需要1.875小时.故选：D6．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）A ．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B ．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C ．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D ．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种． 【答案】C【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.【详解】对于A ：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有37C 2170⨯⨯=种，故A 正确；对于B ：先排女生，将4名女生全排列，有44A 种方法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有53A 种方法，故共有4543A A 1440⋅=种方法，故B 正确．对于C ：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有44A 种情况， 再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有44A 种情况，故共有4444A A 576⋅=种方法，故C 错误．对于D ：若甲站在排尾则有66A 种排法，若甲不站在排尾则有115555A A A 种排法，故有61156555A +A A A 3720=种排法，故D 正确；故选：C.7．已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x y n-=有公共的焦点()13,0F -，()23,0F ，点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）①椭圆的短轴长为②双曲线的虚轴长为③双曲线2C 的离心率恰好为椭圆1C 离心率的两倍； ④12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】由焦点求得参数，即可根据定义判断①②③，联立椭圆、双曲线求得P 点，即可求得12PF F △各边长进行判断.【详解】因为椭圆1C 和双曲线2C 有公共的焦点()13,0F -，()23,0F ，所以2216949m n ⎧-=⎨+=⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对①②，椭圆的短轴长为①②正确； 对③，双曲线2C 的离心率232e =，椭圆1C 离心率的134e =，212e e =，③正确；对④，由22221167145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得83P ⎛ ⎝⎭，则16PF ==， 2122PF a PF =-=，126F F =，所以12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，④正确．故选：A8．已知函数2()cos 1,R =+-∈f x x ax a ，若对于任意的实数x 恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)4-+∞D ．1(,)4+∞【答案】A【分析】由已知可将题目转化为2cos 10+-≥x ax ，即21cos 0≥-≥ax x ，显然0a ≥，运用参数分离和二倍角公式可得2sin 222⎛⎫ ⎪≥⎪ ⎪⎝⎭x a x ，求出右边函数的范围，即可得解. 【详解】对于任意的实数x 恒有()0f x ≥，即2cos 10+-≥x ax ， 即21cos 0≥-≥ax x ，显然0a ≥，当0x =时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑0x >的情况即可， 当0x >时，2222sin 1cos 2-≥=x x a x x，即2sin 222⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭x a x 由0x >，则02=>x t ，则题目转化为2sin 2⎛⎫≥ ⎪⎝⎭t a t ， 令()sin ,0=->g t t t t ，求导()cos 10'=-≤g t t ，故函数()g t 在()0,∞+上单调递减，()(0)0g t g ∴<=，即sin t t <，sin 1∴<t t ，即2sin 212⎛⎫ ⎪<⎪ ⎪⎝⎭x x ，所以21a ≥，解得12a ≥ 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞故选：A二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B ．若随机变量()23,N ξσ~，且()60.84P ξ<=，则()360.34P ξ<<=．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件{A =第一次抽到的是白球}，事件{B =第二次抽到的是白球}，则()13P B A =D ．已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是ˆˆ0.4y x a =+，且由样本数据算得4x =，3.7y =，则ˆ 2.1a =【答案】BD【分析】根据第p 百分位数的计算公式可判断A 项；根据正态分布的对称性可求解，判断B 项；根据条件概率的公式()(|)()P AB P B A P A =求解相应概率，可判断C 项；将(),x y 代入回归方程，即可判断D 项.【详解】对于A ，共有10个数，1080%8⨯=，所以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故A 错误；对于B ，因为随机变量()2~3,N ξσ，且(6)0.84<=P ξ，所以(0)(6)0.16P P ξξ≤=≥=， 所以(06)10.160.160.68P ξ<<=--=， 所以11(36)(06)0.680.3422P P ξξ<<=<<=⨯=，故B 正确； 对于C ，由题意可知1216C 1()C 3P A ==，1115C 11()3C 15P AB =⨯=， 所以(|)()1()5P AB P P A B A ==，故C 错误； 对于D ，因为线性回归方程是ˆˆ0.4y x a =+经过样本点的中心(),x y ，所以有ˆ3.70.44a =⨯+，解得ˆ 2.1a=，故D 正确. 故选：BD.10．已知圆22:(2)4C x y ++=，直线:210()l mx x y m m R ++-+=∈．则下列结论正确的是（ ） A ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1 B ．对于任意实数m ，直线l 恒过定点（-1，1）C ．若圆C 与圆22280x y x y a +-++=恰有三条公切线，则8a =D ．若动点D 在圆C 上，点(2,4)E ，则线段DE 中点M 的轨迹方程为22(2)1x y +-= 【答案】BCD【分析】对于A ，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B ，对直线方程变形求解即可，对于C ，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出a 的值，对于D ，设DE 的中点为(,)x y ，则可得动点D 的坐标为(22,24)x y --代入圆C 方程中化简可得答案【详解】对于A ，圆22:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径2r =，当0m =时，直线:210l x y +-=，则圆心C 到直线l 的距离为d =21<，所以圆C 上只有两个点到直线l 的距离等于1，所以A 错误，对于B ，由210()mx x y m m R ++-+=∈，得(1)(21)0m x x y +++-=，由于m R ∈，所以10210x x y +=⎧⎨+-=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒点(1,1)-，所以B 正确， 对于C ，因为圆C 与圆22280x y x y a +-++=恰有三条公切线，所以两圆相外切，由22280x y x y a +-++=，得22(1)(4)17x y a -++=-，52，解得8a =，所以C 正确，对于D ，设DE 的中点为(,)x y ，则可得动点D 的坐标为(22,24)x y --，因为动点D 在圆C 上，所以22(222)(24)4x y -++-=，化简得22(2)1x y +-=，所以线段DE 中点M 的轨迹方程为22(2)1x y +-=，所以D 正确，故选：BCD11．正三棱台111ABC A B C 中，O ，1O 分别是ABC 和111A B C △的中心，且111223AA A B BC ===，则（ ）A ．直线AC 与1OB 所成的角为90︒B ．平面111A BC 与平面11AA B B 所成的角为90︒C ．正三棱台111ABC A B C 的体积为191112D ．四棱锥11O AA B B -与111O AA B B -的体积之比为2:3 【答案】ACD【分析】将正三棱台111ABC A B C 补形为棱锥，在直角三角形中计算三棱台的高，即可判断C ；以1OO 为z 轴，平行于AB 为y 轴，垂直于yOz 平面为x 轴建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角、面面角、点到平面距离的向量求法判断ABD 即可.【详解】由题意根据O ，1O 分别是下底面与上底面的中心以及下底面边长和上底面边长分别为2和3可得11332AO AO ==， 假设正三棱台111ABC A B C 是由正棱锥D ABC -截取正棱锥111D A B C -得到的，则由已知可得DO 是棱锥D ABC -的高，1DO 是棱锥111D A B C -的高，1OO 为所求棱台的高， 因此DOA △是一个直角三角形，如图（1）所示，因为11DO A DOA ，11332AO AO ==12AA =， 所以1111123DA A O DA AA AO ==+，解得14DA =， 所以由勾股定理得2233DO DA AO -=11333OO DO ==，即正三棱台111ABC A B C 的33又因为19333sin 602ABCS=⨯⨯⨯︒=，111122sin 6032A B C S =⨯⨯⨯︒= 所以()111111111119113ABC A B C ABCA B C ABC A B C OO V S SSS-=++=C 正确；因为1OO 垂直于上下底面，所以以1OO 为z 轴，平行于AB 为y 轴，垂直于yOz 平面为x 轴建立如图（2）所示空间直角坐标系，所以33,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，()3,0,0C ，1333B ⎝⎭，333,02AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13333OB ⎛= ⎝⎭， 所以10AC OB ⋅=，直线1AC OB ⊥，选项A 正确；又1333A -⎝⎭，33,02B ⎫=⎪⎪⎝⎭， 所以131332AA ⎛=- ⎝⎭，()0,3,0AB =，设平面11AA B B 的法向量(),,n x y z =，则1313306230n AA y z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得(211,0,1)n =，设平面111A B C 的法向量()0,0,1m =，则10n m ⋅=≠，故B 错误；又133O ⎛ ⎝⎭，所以33,022OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13333,22O A ⎛=- ⎝⎭， 所以点O 到平面11AA B B 的距离13316545OA n d n⋅=== 点1O 到平面11AA B B 的距离1223321653345O A n d n⋅===所以1223d d =，由棱锥的体积公式可得四棱锥11O AA B B -与111O AA B B -的体积之比为2:3，D 正确； 综上ACD 正确， 故选：ACD12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n n a n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（ ） A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n =-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n -⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数 则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错 故选：AC三、填空题13．已知a ，b 是单位向量，2c a b =+.若a c ⊥，则c =___________.【分析】先通过(2)0c a a b a ⋅=+⋅=得到a b ⋅，再通过2||(2)c a b =+计算可得答案. 【详解】2c a b =+且a c ⊥ 2(2)20c a a b a a a b ∴⋅=+⋅=+⋅=即120a b +⋅= 12a b ∴⋅=-222||(2)4414(c a b a a b b ∴=+=+⋅+=+⨯-14．已知直线():1l y k x =-与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若3AF BF =，则实数k 的值为______.【分析】联立直线l 与抛物线C 可得2222(24)0k x k x k -++=，利用韦达定理可得到1212242,1x x x x k +=+=，利用抛物线的定义和3AF BF =可求出13x =，213x =，即可求解 【详解】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由于直线():1l y k x =-过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ， 所以将()1y k x =-代入24y x =并整理可得2222(24)0k x k x k -++=， 则2242(24)411606k k k =+-=+>∆，1212242,1x x x x k +=+=， 又由抛物线的定义可得12||1,||1AF x BF x =+=+，由3AF BF =可得1232x x =+代入121=x x 可得2223210x x +-=，解之得213x =或21x =-（舍去），故213x =时，13x =，代入12241023x k x ==++可得23k k =⇒=15．二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．【答案】1823【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C 276=，求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有24C 6=，第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：1166C C 36=，所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：636216⨯=， 所以，2161827623P ==． 方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C 276=，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：264C 60=，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：27660216-=， 所以，2161827623P ==． 故答案为：1823. 16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________． 【答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()()4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f = ，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈， 由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈ ， 则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩, 只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故答案为：()6,10四、解答题17．在等差数列{}n a 中，162712,16a a a a +=+=． (1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}2n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)2221n n --.【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列{}2n n a b +的通项公式为n c ，由等比数列公式求出n c 可得n b ， 再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题知16271216a a a a +=⎧⎨+=⎩，则1125122716a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ ()12121n a n n ∴=+-=-．（2）设数列{}2n n a b +的通项公式为n c ，则122n n n n c a b -=+=，()122221n n n n b c a n -∴=-=--，则()()11242213521n n S n -=++++-++++-()2121122221122nn n n n +--=-⋅=---． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD CD ⊥．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 21【分析】（1）取CD 的中点E ，连接BE ，证明出PA AB ⊥，PA AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：由于//AB CD ，90BAD ∠=，所以CD AD ⊥，由于PD CD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，由PA ⊂平面PAD ，得AB PA ⊥.取CD 的中点E ，连接BE ，因为底面ABCD 是直角梯形，//DE AB 且222DC DE AB ===，90BAD ∠=，故四边形ABED 为矩形，且AD BE =且BE CD ⊥，223AD BE BC CE ∴==-=， 所以在PAD 中，1PA =，2PD =，222AD PA PD +=，即PA AD ⊥， 由于AD AB A ⋂=，AB 、AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()1,0,0B 、()3,0C 、()3,0D 、()0,0,1P ，()3,0BD =-，()1,0,1PB =-，()1,3,0BC =，设平面BPC 的法向量为(),,n x y z =，则030n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =(3,3n =-，所以，2321cos ,27BD n BD n BD n⋅<>==-=⨯⋅所以，直线BD 与平面BPC 21. 19．已知在△ABC 3（A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值． 【答案】（1）3π；（2）3 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】（1）3（A +B ）＝1+2sin22C，且A +B +C ＝π， 3C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C 3C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB∠＝sin 3ABπ＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AIθ＝sin AB AIB ∠23sin3π4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3（3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3故△ABI 的周长的最大值为3【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键. 20．近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定： ①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分． 请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求： ①1{}n n P P +-的通项公式； ②{}n P 的通项公式． 【答案】(1)5.7； (2)①11910n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可； （2）求得11,,n n n P P P +-的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得1n n P P +-；再结合累加法，以及等比数列前n 项和公式，即可求得n P .【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为X ，由题可知，()~3,0.9X B ，故()30.9 2.7E X =⨯=，设某班同学3次专注度监测的总得分为Y ，根据题意()233Y X X X =+-=+，故()()3 5.7E Y E X =+=.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是5.7. （2）①由题可知，120.1,0.90.10.10.91P P ==+⨯= 根据题意，*1119,2,N 1010n n n P P P n n +-=+≥∈，故可得()11910n n n n P P P P +--=-- 故数列{}1n n P P +-为首项21810.81100P P -==，公比为910-的等比数列， 则11181991001010n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.②根据上式可得()()()112211n n n n n P P P P P P P P ---=-+-++-+，则1299110109999109911910101010191910110nn n nnP-⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-++-+-+=+=+⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，故{}n P的通项公式1099191910n nP⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭.21．已知双曲线222:1xC ya-=的右焦点为F，点,M N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于,P Q两点，设直线,MP NP的斜率分别为12,k k，且1213k k=.(1)求双曲线C的方程；(2)当点P在第一象限，且tan1tan2MPNMQN∠=∠时，求直线l的方程.【答案】(1)22 1.3xy-=y--=.【分析】（1）设点11(,)P x y，根据1213k k=，结合点P是双曲线上的点，化简求得23a=，即得答案. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y，利用两角和的正切公式化简tan1tan2MPNMQN∠=∠可得122y y=-，设直线:2(0)l x my m=+>，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.【详解】（1）由题意得(0),(0)M a N a-，，，设点11(,)P x y.则211111121222111111,,3y y y y yk k k kx a x a x a x a x a==⋅=⋅==+-+--.因为点P是双曲线上的点，则221121xya-=，∴.2122211yx a a=-，∴23a=，则双曲线C的方程为22 1.3xy-=（2）设1122(,),(,)P x y Q x y，点P在第一象限，则()11tan tan 0,0,tan tan 1tan tan PMN PNMx y MPN PMN PNM PMN PNM∠+∠>>∠=-∠+∠=--∠⋅∠，又1111tan tan 33PM PN PMN k PNM k x x ∠==∠=-=+-， 故111111111111113323233tan 133x x y y MPN y y x x -+-∠====+-， 同理可得2213tan 1tan tan 2y MPN MQN MQN y ∠∠===-∠，即122y y =-， 则直线l 的斜率大于0，由（1）可知2,0)F ( ，设直线:2(0)l x my m =+>，联立22213x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ， 化简得()223410m y my -++= ，则222230,164(3)12120m m m m -≠∆=--=+>， 故12122241,033m y y y y m m -+==<--, 2123,20,m y y ∴<=->，代入韦达定理得12222122243123m y y y m y y y m -⎧+==-⎪⎪-⎨⎪==-⎪-⎩，所以22241233m m m -⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ ，解得11m =11m =（舍去）， 所以直线l 112110x y -- .【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠进行化简得到122y y =-，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.22．已知函数()e xf x ax a =--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥. (2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且 22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+， 求12x x +的取值范围. 【答案】(1)见解析； (2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e xax a =+，22e x ax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e 1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t xx =-∈，得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1t tt g t +=-的值域，则得到12x x +的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-. 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增, 则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e xax a =+，22e x ax a =+，从而21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x xa x x -=-， 故()()()()12212121212112e e 1e 2e e e 1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x-⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈， 设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e 1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立, 所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e 1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t xx =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1t t t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.。
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最新2019高三数学期末考试试题及参考答案距离期末考试还有不到一周的时间了，在这段时间内突击做一些试题是非常用帮助的，整理了最新2019高三数学期末考试试题及参考答案，希望对大家有所帮助!查字典数学网预祝大家取得好成绩!
最新2019高三数学期末考试试题及参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1、已知全集，集合( )
A. B. C. D.
2、若为等差数列，是其前项和，且，则的值为( )A. B. C. D.
3、设是虚数单位，若复数是实数，则的值为( )A. B. C. D.
4、已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是
边长为的正三角形，则其全面积是( )
A.8
B.12
C.4(1+ )
D.4
5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象( )
A.向右平移
B.向左平移
C.向右平移
D.向左平移
6、下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的
是( )
A. B. C. D.
7、已知满足，为导函数，且导函数
的图象如右图所示.则的解集是( )
A. B. C.(0，4) D.
8、在△ABC中，BC=1，B= ,△ABC的面积S=，则sinC=( )A. B. C. D.
9、已知函数y=f(x)为偶函数，满足条件f(x+1)=f(x-1)，且当x[-1,0]时，
f(x)=3x+49，则的值等于( )
A.-1
B.
C.
D.1
10、等差数列前项和, ,则使的最小的为( )
A.10
B. 11
C. 12
D. 13
11、椭圆的离心率大于的充分必要条件是( )
A. B. C. D.或
12、已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13、若圆与双曲线
的渐近线相切，则双曲线的离心率是.
14、向量,满足| |=2 , | |=3，|2 + |=，则,
的夹角为________
15、已知实数x,y满足若取得最大值
时的最优解(x,y)有无数个，则的值为________
16、若直线与函数的图象相切于点，
则切点的坐标为________
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17、(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的单调减区间;
(2)若求函数的值域。
18、(本小题满分12分)
已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为;数列等比数列，其中
(1)求的通项公式;
(2)令求的前20项和
19.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，∥
底面，是的中点.
(1)求证：∥平面;
(2)求证：平面.
20、(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=2，PDA=，点E、F分别为棱AB、PD的中点.是(1)求证：AF∥平面PCE;
(2)求证：平面PCE平面PCD;
(3)求三棱锥C-BEP的体积.
21、(本小题满分12分)
已知定点G(-3，0),S是圆C：上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E,设点E的轨迹为M.
(1)求M的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线,使得与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
22、(本小题满分14分)
已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若对任意及时，恒有1成立，求实数的取值范围最新2019高三数学期末考试试题参考答案
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112
答案DBDBCBBDDBDD
二.填空题(本大题每小题4分，共16分)
13、. 14、15、1 16、
二.解答题
是单调递增的等差数列，.则, ,
(2)。
19.解：(1)取中点，xx，
∵是的中位线，所以平行且等于1分
又∵平行且等于，平行且等于2分
四边形是平形四边形3分
∥ 4分
又∵平面，平面，∥平面6分
(2)取中点，则四边形为正方形
7分
中，8分
∵，10分
∵平面，平面，11分
又∵，平面12分
20、解
(1)取PC的中点G，连结FG、EG
FG为△CDP的中位线FG CD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
AB CD FG AE
四边形AEGF是平行四边形
AF∥EG
又EG平面PCE，AF平面PCE AF∥平面PCE (4分)(2)∵ PA底面ABCD PAAD，PACD，又ADCD，PA AD=A
CD平面ADP又AF平面ADP
CDAF
xxPADxx，PDA=45
△PAD为等腰xxPA=AD=2
∵F是PD的中点
AFPD，又CD PD=DAF平面PCD
∵AF∥EG EG平面PCD
又EG平面PCE
平面PCE平面PCD (8分)
(3)三棱锥C-BEP即为三棱锥P-BCE
PA是三棱锥P-BCE的高，
Rt△BCExx，BE=1，BC=2，
三棱锥C-BEP的体积
VC-BEP=VP-BCE= (12分)
21、解
(1)由题知,所以
又因为,所以点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.故动点的轨迹方程为. 做好高三数学期末考试试题可以辅助你在考试中取的高分，
预祝您在每次考试中都能取得好成绩!。