高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理
首先我们来看看几大定理：
1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A
及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).
Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值
m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）
Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或
者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区
间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.
Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.
3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：
（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).
那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;
4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;
那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).
5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足
（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,
那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
)
`()
`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--
Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
Ps ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。

但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
证明：设⎰
=
x
a
dx x f x F )()(，],[b a x ∈
因为)(x f 在闭区间上连续，则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(x f ）。

则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：
),(b a ∈∃ξ使得a
b dx x f a
b a F b F F b
a
-=--=
⎰
)()
()()`(ξ
而)()`(ξξf F = 所以),(b a ∈∃ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ。

在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。

千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。

定理运用：
1、设)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且⎰
+==2
)3()2()()0(2f f dx x f f .
证明：(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η
(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf
证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。

有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。

具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。

（1）、令
]2,0[),()(0
∈=⎰
x x F dt t f x
则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导.
则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：
2
)
0()2()`()2,0(F F F -=
∈∃ηη使
)2,0(),0(2
)()(2
∈==
∴⎰ηηf dt t f f
(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。

第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，
)3()2()0(2f f f +=，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
]3,0[)(在x f 上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为M,m;
则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而，M f f m ≤+≤
2
)
3()2(，那么由介值定理就有：
)0(2
)
3()2()(],3,2[f f f c f c =+=∈∃使
]3,2[),2,0(),()()0(∈∈==∴c c f f f ηη
则有罗尔定理可知：
0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ，0)`(),,(22=∈∃ξηξf c 0)``(),3,0(),(21=⊆∈∃ξξξξf
Ps ：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。

2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、
1)`()`(),1,0()2(=⋅∈∃ηξξηf f 使得、两个不同点、 本题第一问较简单，用零点定理证明即可。

（1）、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F
1
)1()1(11)0()0(==-=-=f F f F
01)1()0(<-=⋅F F
由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得
(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。

在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没
想法，便无从下手。

另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。

本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个ξ，如果我们在0与ξ，ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。

写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可。

)
1,(,11)
()1()`()
,0(,1)
0()()`(ξζξ
ξ
ξξζξηξ
ξ
ξ
ξη∈-=--=
∈-=
-=f f f f f f
)1,0()1,(),1,0(),0(,1)`()`(⊆∈⊆∈=⋅∴ξζξηηξf f
Ps ：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。

做任何题，最重要的不是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下手。

对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把ηξ、放在两个范围内，不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、，这个分界点1/2 的作用是干吗的。

很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是我们的一个想法。

那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，2
2
)`()`(ηξηξ+=+f f
我们把等式变一下：0)`()`(2
2
=-+-ηηξξf f ，2
)`(ξξ-f 这个不就是33
1)(ξξ-f 关
于ξ的导数（而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些 想法我们就要开始往下走了： 先来构造一个函数：
)21(22
11)
21
()1()`()
21(221)
0()21
()`(,0)1(,0)0(,31)()(3F F F F F F F F F F x x f x F -=--=
=-===-=ηξ
0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来。

Ps ：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出发，如何构造出函数是关键。

做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只给
)1,0(∈ξη、，那就更难了 得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分开
在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。

说明真题出的还是很有技巧的。

一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。

4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 (2)、证明在[-a,a]上至少存在一点η使得⎰
-=a
a
dx x f f a )(3)``(3
η
第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础 （1）、2
2!
2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++
= (2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来
⎰
⎰
--⋅=a
a
a
a
dx x f dx x f 2
2
)``()(ξ，)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x 无关的数。

做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。

题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。

所以有：
因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m 则对于区间[-a,a]，
222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ
322
2332)``(32Ma dx x M dx x f dx x m ma a a a a a a =≤⋅≤=⎰⎰⎰---ξ
M dx x f a m a
a
≤≤∴⎰-)(33
所以由介值定理有结论成立。

Ps ：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。

题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。

5、设f(x)在],0[π上连续，且
0cos )(,0)(0
=⋅=⎰⎰
π
π
xdx x f dx x f .
证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、
本题看似很简洁，但做起来去不容易。

结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。

令：],0[,)()(0
π∈=
⎰
x dt t f x F x
，0)()0(==πF F
似乎只需在找出一点F(c)=0即可。

，如果一切如我们所想，证明也就完成了。

0)(sin )(cos )(cos cos )(0
00
=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰π
ππ
π
dx x F x x F x x xdF xdx x f
0)(sin 0
=⋅∴⎰π
dx x F x
似乎已经找到这个点了。

但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。

构造函数],0[,)(sin )(0
π∈⋅=
⎰
x dt t F t x G x
具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。

证完后就得到
0)(,0)(sin ,0)`(),,0(==⋅=∈∃c F c F c c G c 所以即使得π
所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，思路。

Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运用不熟练，还是不好弄出来。

本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到积分中值定理，以及罗尔定理。

但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计一半的分都没了。

本题关键的就是寻找这个点C ，找出来了其他的都不是问题，既然是关键点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类讨论了），硬是说C 点就成立，那估计一半的分都没了。

对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。

下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，或是求微分方程，解出来也可。

本人自己总结了一些东西，与大家交流下： 首先我们来看看一些构造函数基本方法：
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：
一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n
x
x
,)(-⋅= 1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有x
x
e
e -或者
)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(
0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()( λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()(
)()(x f dt t f x
a
=⎰
这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数⎰⋅=-x
a
x dt t f e x g )()(
1))(()`(=--x x f x f λ
先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x
e
x f λ-⋅)(
右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x
e x x
f x
g λ--=))(()(
2、如果还涉及到变量X ，想想构造n x
0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(
x
x f x f )(2)(-
=可构造2
)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(
3、另外还可以解微分方程来构造函数： 如0)`()(=+x f x xf
2
2
2
)()()()(ln 21
)(ln ,)
()
`(2
222x x x e
x f x g C
e x
f c e x f c
x x f x x f x f ⋅==⋅=⋅+-=-=所以构造函数
二、二阶导数与原函数之间关系 构造带有x
x
e
e -或者
)()``(x f x f =
如何构造如下：
)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子，
你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是
)`(x f ）之间关系，从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造
出来函数为：x
e x
f x f x
g ⋅-=))()`(()( 另：如果这样变形：
0))()`(())`()``((=-+-x f x f x f x f
构造函数如下：x
e
x f x f x g -⋅+=))()`(()(，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。

从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。

如果题目给了
)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了)()`(x f x f +，则可以考
虑第二种构造方法。

0)(2)`(3)``(=+-ηηηf f f
先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系
x
x x e x f x f x G e x f e x f f f f f 222))()`(()()()`()(2)`()`(2)``(---⋅-=⋅=⋅-=-所以构造的函数为：ηηηη
0)()``(=+x f x f
这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。

))
()``(()`(2)`())`(()()(2
2x f x f x f x G x f x f x G +⋅=+=
实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件，如果在某个开区间内不为0，而构造出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。

具体来看看题目：
1、 设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1证明：
（2）、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得
（1）、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了。

（2）、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造：
1)()`(+-=ηηηf f 先变形
x
x
x e x x f x G e x e x f f f ---⋅-=∴⋅=⋅-=-))(()()(1)()`(构造函数为ηηη
另：用微分方程求解法来求出要构造的函数
C
e x x
f C e e x x f c x x x f x x f x x f f f x x c x =⋅-⋅==-+=--=--=--+))(()())(ln()()`)(()(1)`(ηηη
把常数退换掉之后就是要构造的函数
x e x x f x G -⋅-=))(()(
函数构造出来了，具体步骤自己去做。

2、设)`(x f 在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,
0)(=⎰
b
a
dx x f
证明：（1）存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得 （2）存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得 （1）、第一问中的函数构造：
x e x f x F -⋅=)()(
（2）、第二问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了 我们在这用第一种
x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(
原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造。

具体详细步骤自己去写写。

3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数，且f(1)=1,证明：
(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得
(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得
第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点 本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数 （1）、x x f x F -=)()(，题目中提到奇函数，f(0)=0
有F(0)=F(1)=0从而用罗尔定理就出来了。

（2）、第二问中的结论出发来构造函数，从上面讲的方法来看，直接就可以写出要构造的函数
先变形下：x
x
x e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1
)`()``(ηη
函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只需要在（-1,0）之间在找一个点也满足1的结论即可。

也即1)`(),0,1(=-∈ζζf
从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可。

Ps ：本题为13年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为奇函数，在0点处函数值为0. 第二问关键是构造函数，函数构造出来了就一步步往下做，缺什么条件就去找什么条件或者证明出来，13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法，考场上都很快就搞出来了。

以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解，由于科研实践很忙，这些都是今天抽出时间写出来的，Word 上写，真心费时间，如果大家还有什么问题，可以来讨论下。