快速幂算法求a的n次方
基础算法—快速幂详解
基础算法—快速幂详解幂运算是⾮常常见的⼀种运算，求取,最容易想到的⽅法便是通过循环逐个累乘，其复杂度为，这在很多时候是不够快的，所以我们需要⼀种算法来优化幂运算的过程。
⼀、快速幂——反复平⽅法该怎样去加速幂运算的过程呢？既然我们觉得将幂运算分为n 步进⾏太慢，那我们就要想办法减少步骤，把其中的某⼀部分合成⼀步来进⾏。
⽐如，如果能被2整除，那我们可以先计算⼀半，得到的值，再把这个值平⽅得出结果。
这样做虽然有优化，但优化的程度很⼩，仍是线性的复杂度。
再⽐如，如果我们能找到，那我们就能把原来的运算优化成，只需要次运算就可以完成，效率⼤⼤提升。
可惜的是，这种条件显然太苛刻了，适⽤范围很⼩。
不过这给了我们⼀种思路，虽然我们很难找到，但我们能够找到。
这样，我们可以通过递推，在很短的时间内求出各个项的值。
我们都学习过进制与进制的转换，知道⼀个进制数的值可以表⽰为各个数位的值与权值之积的总和。
⽐如，2进制数，它的值可以表⽰为10进制的，即。
这完美地符合了上⾯的要求。
可以通过2进制来把转化成的序列之和，⽽2进制中第位（从右边开始计数，值为或是）则标记了对应的是否存在于序列之中。
譬如，为⼆进制的，他可以表⽰为，其中由于第⼆位为，项被舍去。
如此⼀来，我们只需要计算的值（这个序列中的项不⼀定都存在，由的⼆进制决定）并把它们乘起来即可完成整个幂运算。
借助位运算的操作，可以很⽅便地实现这⼀算法，其复杂度为。
typedef long long ll;ll mod;ll qpow(ll a, ll n)//计算a^n % mod{ll re = 1;while (n){if (n & 1)//判断n 的最后⼀位是否为1re = (re * a) % mod;n >>= 1;//舍去n 的最后⼀位a = (a * a) % mod;//将a 平⽅}return re % mod;}取模运算⼀般情况下是需要的，当然也可以省去。
幂运算常用的8个公式
幂运算常用的8个公式幂运算是数学中非常常用的一种运算方式，它是指一个数（底数）乘以自身多次（指数）的乘法运算。
在数学中，有许多常用的公式和规则可以帮助我们简化幂运算的计算过程。
在本文中，我将介绍8个常用的幂运算公式，并为您提供详细的解释和推导。
1.幂的乘法：(a^m)(a^n)=a^(m+n)这个公式表明，当底数相同时，两个幂相乘等于将它们的指数相加。
这可以通过考虑如何扩展乘法来理解。
假设我们有a^m*a^n*a^p，这等同于a^(m+n+p)。
2.幂的除法：(a^m)/(a^n)=a^(m-n)当底数相同时，将两个幂相除等于将它们的指数相减。
这可以通过考虑如何扩展除法来理解。
假设我们有(a^m*a^n)/(a^n)，这等同于a^m。
3.幂的指数乘法：(a^m)^n=a^(m*n)这个公式表明，当对一个幂求幂时，可以将指数进行相乘。
例如，(3^2)^3=3^(2*3)=3^6=729、这个公式可以通过将(a^m)^n展开为a^m*a^m*...*a^m(一共有n个a^m)来理解。
4.同底数幂的乘法：(a^m)*(b^m)=(a*b)^m当两个幂具有相同的底数时，我们可以通过将底数相乘并将指数保持不变来计算它们的乘积。
例如，(2^3)*(3^3)=(2*3)^3=6^3=2165.同底数幂的除法：(a^m)/(b^m)=(a/b)^m当两个幂具有相同的底数时，我们可以通过将底数相除并将指数保持不变来计算它们的商。
例如，(5^4)/(2^4)=(5/2)^4=2.5^4=39.066.幂的倒数：(a^m)^(-1)=a^(-m)这个公式表明当对一个幂求倒数时，可以将指数取相反数。
例如，(2^3)^(-1)=2^(-3)=1/8=0.1257.幂的零次方：a^0=1任何数的零次幂都等于1，这是一个基本的数学规则。
例如，2^0=1，3^0=1，x^0=18.幂的负指数：a^(-n)=1/(a^n)当指数为负数时，我们可以将其对应的幂转化为倒数。
幂运算常用的8个公式幂数口诀
幂运算常用的8个公式幂数口诀幂运算常用的8个公式是：1、同底数幂相乘；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、同底数幂相除；5、a^（m+n）＝a^m·a^n；6、a^mn=（a^m）·n；7、a^m·b^m=（ab）＾m；8、a^（m-n）＝a^m÷a^n（a≠0）。
幂运算常用的8个公式幂运算常用的8个公式是：1、同底数幂相乘：a^m·a^n=a^（m+n）。
2、幂的乘方：（a^m）n=a^mn。
3、积的乘方：（ab）＾m=a^m·b^m。
4、同底数幂相除：a^m÷a^n=a^（m-n）（a≠0）。
5、a^（m+n）＝a^m·a^n。
6、a^mn=（a^m）·n。
7、a^m·b^m=（ab）＾m。
8、a^（m-n）＝a^m÷a^n（a≠0）。
幂数口诀指数加减底不变，同底数幂相乘除。
指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
非零数的零次幂，常值为1不糊涂。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
看到分数指数幂，想到底数必非负。
乘方指数是分子，根指数要当分母。
幂运算是什么意思1、幂运算是一种关于幂的数学运算。
掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
2、思考对于数学的学习是最核心的，对做题更是如此。
数学是考你对知识点的运用，能够理解这些知识点，然后解题，通过解题巩固所学知识。
一开始不会解题，要忍住不去翻看答案，自己先思考。
3、在学习法则的过程中，不是简单地套用公式，而是除了理解法则的形成过程外，还需要知道每一个法则的具体适用情况，并会变式和引申。
在运用幂的运算法则进行计算时，一定要审清题，特别注意系数、符号和指数，其次要正确运用公式，看清底数和指数的变化，学会用转化的方法和整体的思想去解决问题。
快速求幂与快速幂余算法（Java）
快速求幂与快速幂余算法（Java） 通常提到快速幂指的是快速幂余算法，快速幂余在数论密码⽅⾯⾮常常⽤，例如Miller-Rabbin素性检验，⽤于检验⼀个数是否是素数具有较⾼的效率，⽽其中⽤到快速幂余是不可或缺的。
那就把快速求幂和快速幂余都来⼀遍吧，先上代码，推导⾃⾏百度（值得研究），很多博客都写得很清楚（事实上⼀搜就搜到了，所以我就不赘述了）快速求幂：⼀定需要注意的是，不要把 if((b & 1) == 1)写成了if(b & 1 == 1)，优先级会改变了我们的本意public long fastPower(long a, long b) {long ans = 1;while (b != 0) {if((b & 1) == 1)ans = ( ans * a );b >>= 1;a = ( a * a );}return ans;}快速幂余：public long fastPowerMod(long a, long b, long c) {long ans = 1;a %= c;while (b != 0) {if((b & 1) == 1)ans = ( ans * a ) % c;b >>= 1;a = ( a * a ) % c;}return ans;}来个实例试⼀下效果：public static void main(String[] args) {PrimeUtil pu = new PrimeUtil();System.out.println(pu.fastPower(2, 10));System.out.println(pu.fastPowerMod(2, 10, 10));}结果：10244说明有效 快速幂是⼀个值得研究的算法，⽆论是思想（尤其是幂余）还是处理技巧（位运算）都带来了不少的性能，通过同余的性质防⽌数值溢出更是值得思考的思想。
快速幂算法——精选推荐
快速幂算法快速幂算法1. 问题 -- 求2100的后三位数思路1 : 直接for循环求解 求出2的100次⽅再%1000即为后三位数 时间复杂度O(n)// base 底数 index 指数long long Pow(long long base, long long index) {int res = 1;for (int i = 0; i < index; i++) {res = res * base;}return res;}int main(){cout << Pow(2, 100) % 1000;return 0;}结果为0原因: 由于指数爆炸2的100次⽅会是⼀个⾮常⼤的数 我们所学的编程语⾔中没有数据类型能承受如此之⼤的数 所以产⽣了溢出解决办法 利⽤模运算法则2. “取模”运算的运算法则(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3)(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）我们只需要关注第3条法则 (a * b) % p = (a % p * b % p) % p推导过程：根据上⾯的推导过程 可以推导出(a * b * c) % p = (a % p * b % p * c % p) % p所以 (a * b * c * d * ......) = (a % p * b % p * c % p * d % p * ......) % p所以，借助这个法则，只需要在循环乘积的每⼀步都提前进⾏“取模”运算// base 底数 index 指数int Pow(int base, int index) {int res = 1;for (int i = 0; i < index; i++) {// 1 * 2 % 1000 * 2 % 1000 * ......res = res * base;res = res % 1000;}return res % 1000;}int main(){cout << Pow(2, 100);return 0;}结果 : 376 时间复杂度依旧为O(n) 所以当指数很⼤时运算需要很长时间 所以需要⽤到快速幂3.快速幂快速幂算法的核⼼思想是⼆分法: 每次都将指数/2 底数求平⽅平⽅310 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 需要10次运算将其对半分解310 = 3^10=(3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3) = (32)5 = 95此时需要 5次运算但此时指数为奇数⽆法整除2 所以将其分解为95 = 94 * 91对94继续进⾏分解95 = (9 * 9) * (9 * 9) * 9 = (92)2 * 9 = (81)2 * 9对812进⾏分解95 = (81 * 81)1 * 9 = 65611 * 9此时指数⼜为奇数但⽆法对指数进⾏压缩操作将上述流程转化为代码:long long Pow(long long base, long long index) {long long res = 1;while (index) {if (index % 2 != 0) { // 指数为奇数// 拆成A^1 和 A^(n - 1)res *= base;// 指数减⼀由于编程语⾔中默认向下取整所以index--可以不写//index--;}// 到这说明指数为偶数底数平⽅base *= base;// 指数减半index /= 2;}return res;}转化为上题代码long long Pow(long long base, long long index) {long long res = 1;while (index) {if (index % 2 != 0) {res = res * base % 1000;}base = (base * base) % 1000;index /= 2;}return res % 1000;}4.位运算优化判断⼀个数是奇数还是偶数可⽤位运算 如果⼀个数 a&1 == 0 则这个数为偶数 == 1 为奇数⼀个整数右移⼀位等于该数除以2a>>1 == a / 2long long Pow(long long base, long long index) {long long res = 1;while (index) {if (index&1) {res = res * base % 1000;index--;}base = (base * base) % 1000;index >>= 1;}return res % 1000;}。
c++ 矩阵快速幂 斐波那契数列
C++ 中的矩阵快速幂算法在解决斐波那契数列问题上有着重要的应用。
矩阵快速幂算法是一种高效的算法，可以在较短的时间内计算出斐波那契数列的第 n 个数。
本文将从原理、实现和应用三个方面介绍矩阵快速幂算法在 C++ 中解决斐波那契数列问题的具体方法。
【一、矩阵快速幂原理】1、斐波那契数列定义斐波那契数列是一个经典的数列问题，其定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n > 12、矩阵快速幂算法矩阵快速幂算法是利用矩阵相乘的快速计算方法，来加速斐波那契数列的计算过程。
其原理如下：设矩阵 A = {{1, 1}, {1, 0}}，则有：A^n = {{F(n+1), F(n)}, {F(n), F(n-1)}}其中 A^n 表示矩阵 A 的 n 次方。
【二、矩阵快速幂实现】1、矩阵乘法在 C++ 中，可以通过重载运算符实现矩阵的相乘操作。
代码如下：```cpp// 重载矩阵乘法Matrix operator*(const Matrix a, const Matrix b) {Matrix c;for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = 0; j < 2; j++) {c.m[i][j] = 0;for (int k = 0; k < 2; k++) {c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];}}}return c;}```2、矩阵快速幂算法利用矩阵乘法和快速幂算法，可以很容易地实现矩阵快速幂算法。
具体代码如下：```cpp// 矩阵快速幂算法Matrix matrixPow(Matrix a, int n) {Matrix res;res.init(); // 初始化单位矩阵while (n) {if (n 1) res = res * a;a = a * a;n >>= 1;}return res;}```【三、矩阵快速幂应用】1、斐波那契数列求解利用矩阵快速幂算法，可以在 O(logn) 的时间复杂度内求解斐波那契数列的第 n 个数。
a的n次方b的n次方c的n次方 文法
a的n次方b的n次方c的n次方文法在数学中，指数是一个非常重要的概念。
当我们谈论一个数的几次方时，就是在讨论这个数与自身相乘几次的问题。
而在数学表达中，要表示一个数的n次方，通常使用字母a的小上标n来表示，即a的n 次方。
在这篇文章中，我将探讨a的n次方b的n次方c的n次方的数学概念以及在实际应用中的一些重要性。
首先，我们需要明确什么是a的n次方b的n次方c的n次方。
这个数学表达方式表示我们先计算a的n次方，然后再将这个结果与b 的n次方相乘，最后再将得到的结果与c的n次方相乘。
也就是说(a^n)^(b^n)^(c^n)要计算这个数学表达式，我们可以按照从右到左的顺序计算。
首先计算c的n次方，然后计算b的n次方，最后计算a的n次方。
最终得到的结果就是a的n次方b的n次方c的n次方。
现在让我们来讨论一些具体的例子，以便更好地理解这个概念。
假设我们要计算2的2次方3的2次方4的2次方。
根据前面的表达式，我们首先要计算2的2次方，即2的平方。
这个结果是4。
然后我们计算3的2次方，即3的平方。
这个结果是9。
最后，我们计算4的2次方，即4的平方。
这个结果是16。
最后，我们将这三个结果依次相乘，4乘以9再乘以16，得到576。
因此，2的2次方3的2次方4的2次方等于576。
这看起来可能有些复杂，但实际上很多数学问题都可以归结为指数运算。
指数运算不仅仅在数学中有重要的应用，还在其他领域中起着关键的作用。
首先，指数运算在科学领域中广泛应用。
在物理学中，指数运算用来描述各种物理量的增长或衰减规律。
例如，核衰变的速率可以用指数函数来表示。
指数运算还在统计学中有广泛的应用，用来描述概率分布函数。
在经济学中，指数运算用来计算复利和指数增长率等。
在生物学中，指数运算用来描述生物种群的增长规律。
其次，在计算机科学中，指数运算也是非常重要的。
在计算机算法中，指数运算是一种高效的计算方法。
例如，快速幂算法就是利用指数运算的性质来提高计算效率的算法。
很详细的快速幂算法
快速幂取模算法在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C 语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C 的人较多~ 所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。
在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]我们先从简单的例子入手：求c a b mod = 几。
算法1.首先直接地来设计这个算法：int ans = 1;for (int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;这个算法的时间复杂度体现在for 循环中，为O （b ）.这个算法存在着明显的问题，如果a 和b 过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式： c c a c a b b m od )m od (m od =.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：引理1：cc b c a c de cde c dk te tkc ce kc d tc c ab ekc b e c b dtc a d c a cc b c a c ab mod )]mod ()mod [(mod mod ))((mod ))((mod mod mod mod )]mod ()mod [(mod )(:2⨯==+++=++=+=⇒=+=⇒=⨯=证明：公式上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。
ca c c a c c c a cc a cc a c a b b b b b b mod mod ])mod [()(mod ])mod )mod [((mod ])mod [(mod )mod (mod ===由上面公式的迭代证明：公式：证明了以上的公式以后，我们可以先让a 关于c 取余，这样可以大大减少a 的大小， 于是不用思考的进行了改进：算法2：int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for (int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans 也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
a的n次方的快速算法
a的n次方的快速算法en二进制幂对于a的n次幂求解这个问题，不少人看到后都觉得没有什么内容吧！我第一次想到这个问题也觉得没有什么内容，但是后来仔细想想，里面还真是有学问哦！想想看如果我们求 a8 ,有以下两种方法1． a8 = a * a * a * a * a * a * a * a 需要计算 7次乘法2．a 8 = (a * a) * A * A (其中A = a * a) 需要计算3次乘法对于这么简单的一个算法计算步骤差别的差别是很大的，那么对于一个通常的n怎么表示普遍的求解方法呢？经过多天的思考，始终没有结果，今天突然在一本书上看到有关这个求解的算法，心中大喜。
把解决办法稍微整理一下，然后给出具体代码。
算法的思想一般的对于 a (2x + b) = a2x * a b所以就有(b = 0时 ) : a 2x + b = (ax)2 ;(b = 1时): a 2x + b = (a x)2 * a ;对于 an ，先把 n的二进制表示写出，那么有an = a (n1 n2 n3 n4 ..)(2) = …那么我们从左到右就可以如下表（n = 13的时候 1101）n的二进制位111累乘aa2 * a = a3(a3)2 = a6(a6)2 * a = a13第一种代码：（用java实现，用了函数调用，效果比较失败）package alg;public class AN {public static final int EXIT = 3;int a; // 底数int bin; // 指数public Stack s ;public AN(int a, int bin) {this.a = a;this.bin = bin;s = new Stack();s.push(EXIT);// 作为最后一个的标志toBin(bin);}public void renew( int a,int bin){ this.a = a ;this.bin = bin ;s.push(EXIT);// 作为最后一个的标志toBin(bin);}// 从左往右算public int leftT oRight() {int i;int result = 1;while (true) {i = s.pop();switch (i) {case 0:result *= result;break;case 1:result = result * result * a; break;case EXIT:return result;}}}public int rightToLeft(int a) { return 0;}/*** 把十进制转成二进制压入栈中** @param ten*/public Stack toBin(int ten) {int temp = ten;int rest;do {rest = temp % 2;temp = (temp - rest) / 2;s.push(rest);} while (temp != 0);return s ;}public static void main(String[] args) {AN a = new AN(3, 15);Stack s = new Stack();long start = System.currentTimeMillis();for (int i = 0; i < 100000 ; i++) {a.leftToRight();a.renew(3,15);}System.out.println("use cq's method use time:" + (System.currentTimeMillis() - start));int test = 1 ;start = System.currentTimeMillis();for(int i = 0 ; i < 100000 ; i++){test = 1 ;for(int j = 0 ; j < 15 ; j++){test *= 3;}}System.out.println("use nomarl method use time:"+ (System.currentTimeMillis() - start));}}运行结果：use cq's method use time:62use nomarl method use time:16我的运算居然比基本的要慢！郁闷中！我决定改一下方法了！尽量减少函数调用！改后的代码是public class AN{public static void main(String[]args){double a = 2.123 ;int bin = 31 ;long start = System.currentTimeMillis();for (int i = 0; i < 1000000 ; i++) {Stack s = new Stack();s.push(3);int temp = bin ;int rest;do {rest = temp % 2;temp = (temp - rest) / 2;s.push(rest);} while (temp != 1);s.pust(temp);long high = 0;double result = 1;while (high != 3) {high = s.pop();switch ((int)high) {case 0:result *= result;break;case 1:result = result * result * a;break;}}}System.out.println("use cq's method use time:"+ (System.currentTimeMillis() - start));long test = 1 ;start = System.currentTimeMillis();for(long i = 0 ; i < 1000000 ; i++){for(long j = 0 ; j < 31 ; j++){test *= 2.123;}}System.out.println("use nomarl method use time:"+ (System.currentTimeMillis() - start));}}运算结果：use cq's method use time:453use nomarl method use time:17265对两种结果的分析：Java的方法调用虽然相对其他语言来讲是做了优化的，但是仍然有一定开销，在做大量计算的时候仍然不能忽视。
C语言程序设计100例之（41）：快速幂运算
C语⾔程序设计100例之（41）：快速幂运算例41 快速幂运算题⽬描述输⼊三个整数 b,p,k（0≤b,p,k<231），求 b^p mod k输⼊格式⼀⾏三个整数 b,p,k输出格式输出 b^p mod k=s （s 为运算结果）输⼊样例2 10 9输出样例2^10 mod 9=7（1）编程思路。
在实际应⽤中，我们经常会⽤到幂运算，例如，a n为a的n次幂。
求a的n次⽅通常采⽤快速幂运算。
下⾯我们来探讨快速幂运算的思路。
由于乘法具有结合律，因此 a4 = a*a * a *a = (a*a) * (a*a) = a2 * a2。
由此可以得到这样的结论：当n为偶数时，a n = a n/2 * a n/2；当n为奇数时，a n = a n/2 * a n/2 * a （其中n/2取整）。
这样，我们可以采⽤⼀种类似于⼆分的思想快速求得a的n次幂。
例如，a9 =a*a*a*a*a*a*a*a*a （⼀个⼀个乘，要乘9次）=a*(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)=a*(a2)4= a*((a2)2)2（A平⽅后，再平⽅，再平⽅，再乘上剩下的⼀个a，只乘4次）（2）源程序。
#include <stdio.h>typedef long long LL;LL quickPower(LL a, LL b,LL k){LL p = 1;while (b){if (b&1) p = (p*a)% k;b >>= 1;a = (a%k*a%k)%k;}return p%k;}int main(){LL a,b,k;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k);printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",a,b,k,quickPower(a,b,k));return 0;}习题4141-1 组合数题⽬描述⼩明刚学了组合数。
很详细的快速幂算法
快速幂取模算法在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C 语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C 的人较多~ 所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。
在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]我们先从简单的例子入手：求c a b mod = 几。
算法1.首先直接地来设计这个算法：int ans = 1;for (int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;这个算法的时间复杂度体现在for 循环中，为O （b ）.这个算法存在着明显的问题，如果a 和b 过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式： c c a c a b b m od )m od (m od =.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：引理1：cc b c a c de cde c dk te tkc ce kc d tc c ab ekc b e c b dtc a d c a cc b c a c ab mod )]mod ()mod [(mod mod ))((mod ))((mod mod mod mod )]mod ()mod [(mod )(:2⨯==+++=++=+=⇒=+=⇒=⨯=证明：公式上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。
ca c c a c c c a cc a cc a c a b b b b b b mod mod ])mod [()(mod ])mod )mod [((mod ])mod [(mod )mod (mod ===由上面公式的迭代证明：公式：证明了以上的公式以后，我们可以先让a 关于c 取余，这样可以大大减少a 的大小， 于是不用思考的进行了改进：算法2：int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for (int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans 也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
关于幂的运算公式
关于幂的运算公式好的，以下是为您生成的关于“关于幂的运算公式”的文章：咱们在数学的世界里遨游，幂的运算公式那可是相当重要的家伙！就好像是打开数学宝藏的一把把神奇钥匙。
先来说说同底数幂相乘吧，公式是：a^m × a^n = a^(m + n)。
这就好比你有一堆苹果，每堆的数量不一样，但都是同样大小的苹果。
比如说，有一堆是 5 个一堆的（a^5），还有一堆是 3 个一堆的（a^3），把它们放一起，那就是 8 个一堆（a^8）啦。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看呀，假如咱们要计算边长为 2 的正方形面积，那就是 2 的 2 次幂，也就是 4 对吧。
那如果要算一个正方体的体积呢，边长还是 2 ，这时候就是 2 的 3 次幂，等于 8 啦。
这不就用上了嘛！”这小家伙听了，眼睛一下子亮了起来。
再说说同底数幂相除，公式是：a^m ÷ a^n = a^(m - n) 。
这个就像是把同样大小的苹果堆，从多的里面拿掉少的那部分。
比如说有 8 个一堆的（a^8），拿走3 个一堆的（a^3），那就剩下5 个一堆的（a^5）。
幂的乘方也很有趣，(a^m)^n = a^(mn) 。
这就好像给一堆苹果穿上了好几层“衣服”，每穿一层，数量就跟着变。
比如原本是 2 个一堆的（a^2），给它穿上 3 层“衣服”，那就变成 8 个一堆的（a^8）啦。
积的乘方呢，(ab)^n = a^n × b^n 。
这个就像是不同种类的水果分别打包，然后计算总数。
比如说有一堆苹果（a），每堆 3 个，还有一堆香蕉（b），每堆 4 个，把它们一起打包成 n 份，那苹果就有 3×n 个，香蕉就有 4×n 个。
还记得有一次，学校组织数学竞赛，有一道题就是关于幂的运算的。
题目是这样的：已知 2^m = 3，2^n = 5，求 2^(m + n) 的值。
快速幂算法
快速幂算法
快速幂算法——简单、高效
随着社会经济文明水平的提升，大数据技术越来越广泛地应用于日常工作和学
习生活中，计算机科学和技术也得到了极大的发展。
快速幂就是其中的一种有效算法，得到广泛的应用和关注。
快速幂算法是一种简单而高效的数学计算方法，它能够节省计算时间，提高计
算效率，具有巨大的实际应用价值。
它的基本思想是将一个整数b的幂指数由n展开成2的次幂，进而用更少的数学运算便可完成指数的计算，而不是使用一般次幂算法会做2n次乘法运算。
快速幂算法还具备多变灵活的特性，可应用于各种数学计算和软件开发中，例
如图像处理中的阈值操作、加解密中的指数运算等。
快速幂算法也由于它的大跨度，非常适合并行计算的环境，如GPU的并行计算系统中，可显著提高计算效率。
从以上可见，快速幂算法拥有极大的实用价值，包括解决复杂的数学计算也有
显著的收获，无论是今天，还是将来，都将会受到越来越多的关注。
今天，让我们一起欣赏这颗闪耀的算法宝石，感受它带来的精彩计算之旅！。
数学(快速幂)
数学——Shine_Sky -13,快速幂先有一个问题给出n , k 求n k,如果k 很小我们完全可以用一个for 循环得出答案，但是往往OI 中要求幂的题出题人都不会良心，所以我们得学习快速幂。
虽然C++中的cmath 库中有个pow 函数可以快速求出n k但是其缺陷是不能及时取mo 所以而且又返回double 所以难以储存为我们想要的，所以我们不提起它现在相求1001000mod1000007 如果我们用for 循环那么时间复杂度是O(k) =O(1000)的虽然这不大，但是接下来看快速幂就知道这是有多慢了我们将k 转换为二进制就是1111101000 即1000 = 23 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29;由于同底数幂的运算我们可以把1001000转换为10023 × 10025 × 10026 × 10027 × 10028 × 10029这样我们可以发现我们只要运算log2k次也就是说6 次，怎么实现得到每一个小数的值呢，for 循环肯定不能考虑我们看到二进制就可以想到位运算，我们用k&1 判断k 的二进制最后一位是不是1，是则ans *= x 如果不是就不作为然后再将 x *= x 并k 右移一位伪代码如下：Int ans = 0;while(k 非 0){If(k 最后一位是1) ans *= x;X *= x; k 右移一位}-14，矩阵乘法数学上的东西（这几章都关于数学，这是个废话），是用来计算两个数矩形的积的其中公式为我们现在有两个矩阵A , B 如果要求他们的积，则必须满足A 的第一行与B 的第一列相同则有积C 各个位置值为;例子：无-13 + 14 矩阵快速幂将上述两个结合起来，我们只要把快速幂的乘法更换一下改为一个函数，这个函数是用来求矩阵乘法的，这都不是很困难，但是我们要返回一个 2 维数组，我们用一的方法很难做到，所以要用不一般的，我们定义一个结构体 JX 储存一个矩阵，再将快速幂和矩阵乘法的返回值改为 JX 就好了，下见 Code(为了容易截图，压了行)。
快速幂算法原理
快速幂算法原理快速幂算法是一种用于快速求解指数幂的算法。
在计算 $a^n$ 的时候，最简单的方法是对 $a$ 乘以自己 $n$ 次，但当 $n$ 很大时，该方法的效率将变得非常低下。
快速幂算法的优点在于它可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内求解指数幂，使得计算变得更加快速。
下面将介绍快速幂算法的实现原理和计算过程。
假设要计算 $a^n$，其中 $n$ 为正整数。
如果 $n$ 是偶数，那么 $a^n = a^{n/2} \cdot a^{n/2}$；如果 $n$ 是奇数，那么 $a^n = a \cdot a^{(n-1)/2} \cdota^{(n-1)/2}$。
可以看出，将 $n$ 分解成若干个二的幂次表示之后，就可以将计算$a^n$ 的问题转化为计算 $a^{2^k}$ 的问题。
这样就可以大大降低计算次数的复杂度。
具体来说，可以使用递归算法实现快速幂计算，或者使用循环算法实现。
以下是递归算法的实现步骤：1. 如果指数 $n=0$，则返回结果 $1$。
2. 对于 $n$ 为偶数的情况，计算 $a^{n/2}$ 的值，然后将其平方得到结果。
3. 对于 $n$ 为奇数的情况，计算 $a^{(n-1)/2}$ 的值，然后将其平方得到中间结果 $b$，最后返回 $a \cdot b$。
使用递归算法时，可以很方便地使用分治思想实现快速幂计算。
每次将指数 $n$ 分解为两个次幂，最终将指数降至 $0$，结束计算。
以下是具体的代码实现：```pythondef pow(x, n):if n == 0:return 1elif n % 2 == 0:temp = pow(x, n/2)return temp * tempelse:temp = pow(x, (n-1)/2)return x * temp * temp```使用循环算法时，可以将指数 $n$ 表示为二进制形式，每一位对应着一次幂。
例如，当 $n=13$ 时，其二进制表示为 $1101$。
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快速幂算法求a的n次方
1. 引言
快速幂算法（Fast Power Algorithm）是一种用于求解幂运算的高效算法。
在计算机科学和数学领域中，幂运算是一种常见的运算，例如计算一个数的n次方。
传统的幂运算算法时间复杂度较高，而快速幂算法通过巧妙地利用数学性质，能够大大提高计算效率。
本文将介绍快速幂算法的原理及实现方法，并给出相应的代码示例。
同时，还将讨论该算法的时间复杂度和应用场景，以便读者更好地理解和应用快速幂算法。
2. 快速幂算法原理
快速幂算法的核心思想是利用指数的二进制表示来加速幂运算。
对于一个数a的n 次方，可以将n表示为二进制形式，例如n=101101，那么a的n次方可以表示为a(20) * a(22) * a(23) * a(25)。
观察上述表达式，可以发现，a的n次方可以通过连续平方和累乘的方式得到。
具体步骤如下：
1.将指数n转化为二进制形式，并倒序排列；
2.从低位到高位遍历二进制数，如果当前位为1，则将a进行平方，并与结果
累乘；
3.每次遍历完当前位，将底数a进行平方，用于下一位的计算。
通过以上步骤，就可以得到a的n次方的结果。
3. 快速幂算法实现
下面给出使用Python语言实现快速幂算法的代码示例：
def fast_power(a, n):
result = 1
while n > 0:
if n % 2 == 1:
result *= a
a *= a
n //= 2
return result
在上述代码中，a表示底数，n表示指数。
首先，初始化结果为1。
然后，通过循
环遍历指数的二进制形式，如果当前位为1，则将底数平方并与结果累乘，每次遍
历完当前位，将底数平方用于下一位的计算。
最后，返回结果。
4. 时间复杂度分析
快速幂算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为指数的大小。
这是因为在每一次
循环中，指数n都会减少一半，直到减少为0。
相比之下，传统的幂运算算法的时间复杂度为O(n)，即需要执行n次乘法操作。
因此，快速幂算法能够极大地提高计算效率，尤其在指数较大时表现更加明显。
5. 快速幂算法应用场景
快速幂算法在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
•求解大整数的幂运算：在密码学领域中，经常需要对大整数进行幂运算，例如RSA算法。
传统的幂运算算法在处理大整数时效率较低，而快速幂算法可
以显著提高计算速度。
•矩阵的快速幂运算：在图论和动态规划等领域，经常需要对矩阵进行幂运算。
快速幂算法可以用于高效地计算矩阵的幂，节省计算时间。
•模幂运算：在密码学和离散数学中，经常需要对数进行模幂运算。
快速幂算法可以用于高效地计算模幂，提高计算效率。
6. 总结
快速幂算法是一种用于求解幂运算的高效算法，通过利用指数的二进制表示来加速计算过程。
它的核心思想是将指数转化为二进制形式，并利用连续平方和累乘的方式计算幂值。
快速幂算法的时间复杂度为O(log n)，比传统的幂运算算法效率更高。
该算法在大整数幂运算、矩阵幂运算和模幂运算等领域有广泛的应用。
希望本文能够帮助读者理解和应用快速幂算法，提高计算效率。
如果读者有任何问题或建议，欢迎留言讨论。