取模运算
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说明： 1. 同余式： 正整数 a，b 对 p 取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p 或者 a ≡ b (mod p)。 2. n % p 得到结果的正负由被除数 n 决定,与 p 无关。 例 如 ： 7%4 = 3 ， -7%4 = -3 ， 7%-4 = 3 ， -7%-4 = -3 。
{ temp = (temp * x) % p; } return temp; } 5.《孙子问题(中国剩余定理)》 在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是， “一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。” 这 个 问 题 称 为 “ 孙 子 问 题 ”. 关 于 孙 子 问 题 的 一 般 解 法 ， 国 际 上 称 为 “ 中 国 剩 余 定 理 ”. 我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593 年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法： 三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。 "正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减， 使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。 这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以 用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大， 就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
*/ unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p) { if (n == 0) { return 1; } unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2] if ((n & 1) != 0) //判断 n 的奇偶性
如果 N 是奇数，那么 X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]； 其中[N]是指小于或等于 N 的最大整数。 C++实现功能函数： /* 函数功能： 利用模运算规则，采用递归方式，计算 X^N(% P) 函数名：PowerMod 输入值：unsigned int x，底数 x unsigned int n，指数 n unsigned int p，模 p 返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果
根据剩余定理，我把此种解法推广到有 n(n 为自然数）个除数对应 n 个余数，求最小被 除数的情况。输入 n 个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。 C++实现功能函数：
/* 函数名：ResidueTheorem 函数功能： 运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定 n 个除数（除数不能互相整除）和对 应的余数，返回最小被除数 输入值：unsigned int devisor[]，存储了 n 个除数的数组 unsigned int remainder[]，存储了 n 个余数的数组 int length，数组的长度 返回值：unsigned int， 最小被除数 */ unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length) { unsigned int product = 1; //所有除数之乘积 for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积 { product *= devisor[i]; } //公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数 unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length); for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数 { commonMultiple[i] = product / devisor[i]; } unsigned int dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值 for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数 { unsigned int tempMul = commonMultiple[i]; //按照剩余理论计算合适的公倍数，使得 tempMul % devisor[i] == 1 while (tempMul % devisor[i] != 1) { tempMul += commonMultiple[i]; } dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数 }
密 码 问 题 ，无 不 充 斥 着 模 运 算 的 身 影 。虽 然 很 多 数 论 教 材 上 对 模 运 算 都 有 一 定 的 介 绍 ，
但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。 Mod 2，值为1
例 如 11
上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：
Turbo Pascal 对 mod 的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div 含义为整除）
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n 的最大因子 for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++) { if (n % i == 0) //n 能被 i 整除，则说明 n 非素数 { return false; } } return true; } 3. 最大公约数 求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定 理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明： a 可以表示成 a = kb + r，则 r = a mod b 假设 d 是 a,b 的一个公约数，则有 d|a, d|b，而 r = a - kb，因此 d|r 因此 d 是(b,a mod b)的公约数 假设 d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是 a = kb +r 因此 d 也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 C++实现功能函数： /* 函数功能： 利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数 函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数 a unsigned int b，自然数 b 返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { if (b == 0)
数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。
C++实现功能函数：
/* 函数名：IsPrime
函数功能：判别自然数 n 是否为素数。 输入值：int n，自然数 n 返回值：bool，若自然数 n 是素数，返回 true，否则返回 false */
bool IsPrime(unsigned int n) {
二 基本应用：
(a * c) ≡ (b
1.判别奇偶数 奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数 n 对2取模，如果余 数为0，则表示 n 为偶数，否则 n 为奇数。 C++实现功能函数：
/* 函数名：IsEven 函数功能：判别整数 n 的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数 输入值：int n，整数 n 返回值：bool，若整数 n 是偶数，返回 true，否则返回 false
取模运算
取模运算即模运算
模 运 算 即 求 余 运 算 。“模 ” 是 “Mod”的 音 译 ，模 运 算 多 应 用
于程序编写中。 Mod 的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，
ห้องสมุดไป่ตู้
从 奇 偶 数 的 判 别 到 素 数 的 判 别 ，从 模 幂 运 算 到 最 大 公 约 数 的 求 法 ，从 孙 子 问 题 到 凯 撒
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） ab % p = ((a % p)b) % p （4） 结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5） ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6） 交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7） (a * b) % p = (b * a) % p （8） 分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9） 重要定理：
*/
bool IsEven(int n)
{
return (n % 2 == 0);
} 2.判别素数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5， 7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。 判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--> <!--[endif]--> 基本性质： （1）若 p|(a-b)，则 a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味 a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于 b≡a (% p) （4）传递性：若 a≡b (% p)且 b≡c (% p) ，则 a≡c (% p) 运算规则： 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
运算及其应用
本文以 c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实 际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。
一 基本理论： 基本概念： 给定一个正整数 p，任意一个整数 n，一定存在等式 n = kp + r ； 其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，称呼 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。 对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算： 取模运算：a % p（或 a mod p），表示 a 除以 p 的余数。 模 p 加法：(a + b) % p ，其结果是 a+b 算术和除以 p 的余数，也就是说，(a+b) = kp +r， 则(a + b) % p = r。 模 p 减法：(a-b) % p ，其结果是 a-b 算术差除以 p 的余数。 模 p 乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b 算术乘法除以 p 的余数。
若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10） 若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11） 若 a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12） 若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有 ac≡ bc (%p)； （13）
return a; return Gcd(b, a % b); } /* 函数功能： 利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数 函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数 a unsigned int b，自然数 b 返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { unsigned int temp; while (b != 0) { temp = a % b; a = b; b = temp; } return a; } 4．模幂运算 利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555 的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要 确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。 根据运算规则（4）ab % p = ((a % p)b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。 由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。 根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们 得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10） =（1 * 7）（%10）= 7。 计算完毕。 利用这些规则我们可以有效地计算 X^N(% P)。简单的算法是将 result 初始化为1，然后 重复将 result 乘以 X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得 result 的值变小，以免溢出）， 执行 N 次相乘后，result 就是我们要找的答案。 这样对于较小的 N 值来说，实现是合理的，但是当 N 的值很大时，需要计算很长时间， 是不切实际的。 下面的结论可以得到一种更好的算法。 如果 N 是偶数，那么 X^N =（X*X）^[N/2]；
{ temp = (temp * x) % p; } return temp; } 5.《孙子问题(中国剩余定理)》 在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是， “一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。” 这 个 问 题 称 为 “ 孙 子 问 题 ”. 关 于 孙 子 问 题 的 一 般 解 法 ， 国 际 上 称 为 “ 中 国 剩 余 定 理 ”. 我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593 年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法： 三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。 "正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减， 使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。 这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以 用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大， 就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
*/ unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p) { if (n == 0) { return 1; } unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2] if ((n & 1) != 0) //判断 n 的奇偶性
如果 N 是奇数，那么 X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]； 其中[N]是指小于或等于 N 的最大整数。 C++实现功能函数： /* 函数功能： 利用模运算规则，采用递归方式，计算 X^N(% P) 函数名：PowerMod 输入值：unsigned int x，底数 x unsigned int n，指数 n unsigned int p，模 p 返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果
根据剩余定理，我把此种解法推广到有 n(n 为自然数）个除数对应 n 个余数，求最小被 除数的情况。输入 n 个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。 C++实现功能函数：
/* 函数名：ResidueTheorem 函数功能： 运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定 n 个除数（除数不能互相整除）和对 应的余数，返回最小被除数 输入值：unsigned int devisor[]，存储了 n 个除数的数组 unsigned int remainder[]，存储了 n 个余数的数组 int length，数组的长度 返回值：unsigned int， 最小被除数 */ unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length) { unsigned int product = 1; //所有除数之乘积 for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积 { product *= devisor[i]; } //公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数 unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length); for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数 { commonMultiple[i] = product / devisor[i]; } unsigned int dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值 for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数 { unsigned int tempMul = commonMultiple[i]; //按照剩余理论计算合适的公倍数，使得 tempMul % devisor[i] == 1 while (tempMul % devisor[i] != 1) { tempMul += commonMultiple[i]; } dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数 }
密 码 问 题 ，无 不 充 斥 着 模 运 算 的 身 影 。虽 然 很 多 数 论 教 材 上 对 模 运 算 都 有 一 定 的 介 绍 ，
但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。 Mod 2，值为1
例 如 11
上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：
Turbo Pascal 对 mod 的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div 含义为整除）
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n 的最大因子 for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++) { if (n % i == 0) //n 能被 i 整除，则说明 n 非素数 { return false; } } return true; } 3. 最大公约数 求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定 理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明： a 可以表示成 a = kb + r，则 r = a mod b 假设 d 是 a,b 的一个公约数，则有 d|a, d|b，而 r = a - kb，因此 d|r 因此 d 是(b,a mod b)的公约数 假设 d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是 a = kb +r 因此 d 也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 C++实现功能函数： /* 函数功能： 利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数 函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数 a unsigned int b，自然数 b 返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { if (b == 0)
数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。
C++实现功能函数：
/* 函数名：IsPrime
函数功能：判别自然数 n 是否为素数。 输入值：int n，自然数 n 返回值：bool，若自然数 n 是素数，返回 true，否则返回 false */
bool IsPrime(unsigned int n) {
二 基本应用：
(a * c) ≡ (b
1.判别奇偶数 奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数 n 对2取模，如果余 数为0，则表示 n 为偶数，否则 n 为奇数。 C++实现功能函数：
/* 函数名：IsEven 函数功能：判别整数 n 的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数 输入值：int n，整数 n 返回值：bool，若整数 n 是偶数，返回 true，否则返回 false
取模运算
取模运算即模运算
模 运 算 即 求 余 运 算 。“模 ” 是 “Mod”的 音 译 ，模 运 算 多 应 用
于程序编写中。 Mod 的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，
ห้องสมุดไป่ตู้
从 奇 偶 数 的 判 别 到 素 数 的 判 别 ，从 模 幂 运 算 到 最 大 公 约 数 的 求 法 ，从 孙 子 问 题 到 凯 撒
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） ab % p = ((a % p)b) % p （4） 结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5） ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6） 交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7） (a * b) % p = (b * a) % p （8） 分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9） 重要定理：
*/
bool IsEven(int n)
{
return (n % 2 == 0);
} 2.判别素数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5， 7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。 判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--> <!--[endif]--> 基本性质： （1）若 p|(a-b)，则 a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味 a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于 b≡a (% p) （4）传递性：若 a≡b (% p)且 b≡c (% p) ，则 a≡c (% p) 运算规则： 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
运算及其应用
本文以 c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实 际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。
一 基本理论： 基本概念： 给定一个正整数 p，任意一个整数 n，一定存在等式 n = kp + r ； 其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，称呼 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。 对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算： 取模运算：a % p（或 a mod p），表示 a 除以 p 的余数。 模 p 加法：(a + b) % p ，其结果是 a+b 算术和除以 p 的余数，也就是说，(a+b) = kp +r， 则(a + b) % p = r。 模 p 减法：(a-b) % p ，其结果是 a-b 算术差除以 p 的余数。 模 p 乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b 算术乘法除以 p 的余数。
若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10） 若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11） 若 a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12） 若 a≡b (% p)，则对于任意的 c，都有 ac≡ bc (%p)； （13）
return a; return Gcd(b, a % b); } /* 函数功能： 利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数 函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数 a unsigned int b，自然数 b 返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数 */ unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b) { unsigned int temp; while (b != 0) { temp = a % b; a = b; b = temp; } return a; } 4．模幂运算 利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555 的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要 确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。 根据运算规则（4）ab % p = ((a % p)b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。 由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。 根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们 得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10） =（1 * 7）（%10）= 7。 计算完毕。 利用这些规则我们可以有效地计算 X^N(% P)。简单的算法是将 result 初始化为1，然后 重复将 result 乘以 X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得 result 的值变小，以免溢出）， 执行 N 次相乘后，result 就是我们要找的答案。 这样对于较小的 N 值来说，实现是合理的，但是当 N 的值很大时，需要计算很长时间， 是不切实际的。 下面的结论可以得到一种更好的算法。 如果 N 是偶数，那么 X^N =（X*X）^[N/2]；