山东省济南市历城第二中学2021年2月假期校内检测高三数学试题答案

所以△ABG 与 △AOH 的面积之积为定值，该定值为 1 ． 2
22．解：（1）函数 f ( x) 的定义域为 (0, +) ， f ( x) = a +1+ a ln x − a +1 ．
x
设
g
(x)
=
a
+1+
a
ln
x
−
a
+1 x
，则
g(
x)
=
a x
+
a +1 x2
=
ax
+a x2
+1
．
当 a 0 时， g( x) 0 ，则 g ( x) 在 (0, +) 上为增函数，且 g (1) = 0 ，
综上．所求实数
a
的取值范围是
−,
−
1 2
．
（说明：若学生由题易知 f (1) = 0 ，根据 f (1) 0 转化求解，这不是充要条件．没有运用数学语言和数学符号
进行代数推理，可扣 2 的分 3
5
K2
=
(a
n (ad − bc)2 +b)(c + d )(a + c)(b
+
d
)
=
40(1515 − 55)2
20 20 20 20
= 10.000
6.635 ．
因为根据临界值表可知，所以有 99％的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”．
（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中 2 2 列联表，
3
3
2
23 3 2 3
若选择条件②，由已知，得 3 sin B + 1 cos B = cos B + 1 ，
2
2
2
即
3 2
sin
B
−
1 2
cos
B
=
1 2
，所以
sin
B
−
π 6
=
1 2
．由 0
B
π
，得
B
=
π 3
，
由余弦定理，得 a2 + c2 − b2 = ac ．由 sin A = 2sin C 及正弦定理，得 a = 2c ，
+
2) ( kx2
+
2)
=
k 2 x1x2
+
2k
( x1
+
x2
)
+
4
=
4 − 2k 2 1+ 2k 2
，
直线 AD 的方程为 y = y1 +1 x −1，令 y = 0 ，解得 x = x1 ，
x1
1+ y1
3
则
H
1
x1 + y1
,0
，同理可得 G
x2 1+ y2
,0
，
所以 S△ABG S△AOH
则
m m
AB BE
= =
0 0
，即
2a −a
= +
0 3 2
b
+
3 2
c
=
0
，取
b
=
1，则
m
=
(
0,1,
−1)
．
PC m
设直线 PC 与平面 ABEF 所成的角为 ，则 sin = cos PC, m =
=
6
= 3 11 ，
PC m 22 2 11
故直线 PC 与平面 ABEF 所成角的正弦值为 3 11 ． 11
将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 ，所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，
3
3
3
所以 S = 1 ac sin B = 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
2
23 3 2 3
若选择条件③，由正弦定理，得 sin C cos A + sin A cosC = 2sin B cos B ，
6−3
=
C63
3 4
3
1 4
3
，
P2
=
C63
1 4
3
1 −
1 4
6−3
=
C63
1 4
3
3 4
3
，所以
P1
=
P2
．
20．（1）证明：因为 AB//CD ， AB 平面 ABEF ， CD 平面 ABEF ，
所以 CD// 平面 ABEF ．又 CD 平面 PCD ，平面 ABEF 平面 PCD = EF ，
当 n 2 时， a1 + 2a2 + 3a3 + + (n −1) an−1 = (n − 2) 2n + 2 ，
1
两式相减，得 nan = (n −1) 2n+1 − (n − 2) 2n ，即 an = 2n ．
当 n = 1时， a1 = 2 ，也满足上式，所以数列an 的通项公式 an = 2n ．
1
N
，所以
bn+k
不是数列
bn
中的项，
所以当 n 4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上， b2 ， b3 和 b3 ， b4 适合条件．
19．解：（1）填写 2 2 列联表如下：
中国人
外国人
总计
邮箱名称里有数字
15
5
20
邮箱名称里无数字
5
15
20
总计
20
20
40
（2）
将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 ，所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，
3
3
3
所以 S = 1 ac sin B = 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
2
23 3 2 3
18．解：（1）由题意，得 a1 + 2a2 + 3a3 + + nan = (n −1) 2n+1 + 2 ，
②当
−
a
+1 a
=
1，即
a
=
−
1 2
时，
g(
x)
=
−
x −1 2x2
，
当 0 x 1时， g( x) 0 ；当 x 1时， g( x) 0 ，
所以 g ( x) 在 (0,1) 上为增丽数，在 (1, +) 上为减函数，
所以 f ( x) = g ( x) g (1) = 0 ，从而 f ( x) 在(0, +) 上为减函数，此时 f ( x) 无极大值．
所以 CD//EF ．又 EF CD = AB ，所以四边形 ABEF 为梯形．
2
因为 AB ⊥ AD ，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD = AD ， AB 平面 ABCD ． 所以 AB ⊥ 平面 PAD ，又 AF 平面 PAD ，所以 AB ⊥ AF ，所以四边形 ABEF 为直角梯形．
（2） bn
= logan
2=
1 log2 an
=
1 log2 2n
=
1 n
， b1
= 1， b2
=
1 ，显然不适合， 2
b2
=
1 2
， b3
=
1 3
适合，即 b2
=
1 2
， b3
=
1 3
， b6
=
1 6
构成公差为 −
1 6
的等差数列；
b3
=
1 3
， b4
=
1 4
适合，即 b3
=
1 3
， b4
=
1 4
（2）解：法一 在 直 角 三 角 形 PAD 中 ， PD = 3 2 ， AF = 3 2 ， 则 2
PD = 2AF ， 所以 F 为 PD 的中点，又 CD//EF ，所以 E 为 PC 的中点．因为 PA ⊥ AD ， 又由（1）知， AB ⊥ 平面 PAD ，所以 AB ， AD ， AP 两两垂直． 以 A 为原点，分别以 AB ， AD ， AP 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 A − xyz ，则 A(0, 0, 0) ， B (2, 0, 0) ， C (2,3, 0) ， P (0, 0,3) ，
从而
E
1,
3 2
,
3 2
，所以
BE
=
−1,
3 2
,
3 2
，
AB
=
(
2,
0,
0)
，
PC
=
(
2,
3,
−3)
．
设平面 ABEF 的法向量为 m = (a,b, c) ，
， b6
=
1 6
构成公差为
−1 12
的等差数列；
( ) 当 n 4 时，假设 bn ， bn+1， bn+k k 2 成等差数列，则 2bn+1 = bn + bn+k ，
即 bn+k
=
2bn+1
− bn
=
2− n +1
1 n
=
n −1 n2 + n
=
1 n+2+
2
，
n −1
而当
n
4
时，
n
2 −
③当 − a +1 1-，即 0 a − 1 时，
a
2
取
x
1,
−
a
+ a
1
，得
g
(
x
)
0
，则
g
(
x
)
在
1,
−
a
+1 a
上为增函数，
当1 x − a +1 时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ，
a
这与“ f ( x) 在 x = 1处有极大值”矛盾， 此时不满足题意．
21．解：（1）过 F1 (−1, 0) 且斜率为
2 的直线方程为 y = 4
2 ( x +1) ，令 x = 1，则 y =
4
2， 2
a2
由题意可得
1
a2
− b2 =1
+
1 2b2
，解得 a2 =1
=
2 ，b2
= 1，所以椭圆
E
的方程为
x2 2
+
y2
= 1．
（2）由题意知，直线 BC 的斜率存在，设直线 BC 的方程为 y = kx + 2 ，设 D ( x1, y1 ) ， C ( x2, y2 ) ，
=
1 1 2
x1 1+ y1
1 3 x2 2 1+ y2
=3
x1x2
=3
x1x2
4 (1+ y1 )(1+ y2 ) 4 1+ y1 + y2 + y1y2
6
=
3 4
1+ 2k 2
1
+
1
+
4 2k
2
+
4 − 2k 2 1+ 2k2
=
3 4
1+
2k 2
+
6 4+
4
−
2k
2
= 36 = 1 ． 49 2
（2）当
a
0
时，由（1）知
g(
x)
=
ax
+a x2
+1
=
a
x
+
a
+ a
1
x2
．
（ⅰ）当 a +1 0 ，即 a −1时， g( x) 0 ，
a
则 g ( x) 在 (0, +) 上为减函数，又 g (1) = 0 ．
当 0 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ；
当 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ，
( ) 将 y = kx + 2 代入 x2 + y2 = 1，得 1+ 2k 2 2
x2
+ 8kx + 6
=
0 ，所以
x1
+
x2
= −8k 1+ 2k 2
，
x1x2
=
6 1+ 2k 2
，
由
= 16k 2
−
24
0，k2
3 2
，所以
y1
+
y2
=
k
( x1
+
x2
)+
4
=
4 1+ 2k 2
，
y1 y2
=
( kx1
当 0 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ；
当 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ，
所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, +) 上单调递增，
所以 x = 1是 f ( x) 的极小值点，且 f ( x) 的极小值为 f (1) = 0 ．
所以 sin ( A + C ) = 2sin B cos B ．由 A + C = π − B ，得 sin B = 2sin B cos B ，
由 sin B 0 ，解得 cos B = 1 ．由 0 B π ，得 B = π ，由余弦定理，得 a2 + c2 − b2 = ac ．
2
3
由 sin A = 2sin C 及正弦定理，得 a = 2c ，
所以 f ( x) 在 (0,1) 上为增函数，在 (1, +) 上为减函数，
所以 x = 1是 f ( x) 的极大值点，满足题意．
（ⅱ）当 a +1 0 时，令 g( x) = 0 得 x = − a +1 ，
a
a
4
①当
0
−
a
+ a
1
1
，即
−1
a
−
1 2
时，取
x
−
a
+1 a
,
+
，
得
g
(
x)
2ac
2ac 2
3
由 sin A = 2sin C 及正弦定理，得 a = 2c ，将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 c， 3
所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，所以 S + 1 ac sin B = 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
0
，则
g
(
x
)
在
−
a
+ a
1
,
+
上为减函数，
当 − a +1 x 1时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ；
a
当 x 1时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ，
所以
f
(
x)
在
−
a
+ a
1
,1
上为增函数，在 (1,
+)
上为减函数，
所以 x = 1是 f ( x) 的极大值点，满足题意．
高三数学假期检测题（一）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BCABABDC
7 14． − 1 15． πR 16． −2 − 1
9
3
6
e
1137． ．解：若选择条件①，由正弦定理，得 a2 + c2 − b2 = ac ．
AC BC BCD ABC
由余弦定理知 cos B = a2 + c2 − b2 = ac = 1 ．由 0 B π ，得 B = π ，
中国人邮箱名称里含数字的概率为 15 = 3 ，外国人邮箱名称里含数字的概率为 5 = 1 ．
20 4
20 4
设“6 个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量 ，“6 个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量 ，
根
据题Βιβλιοθήκη Baidu
意，
得
B
6,
3 4
，
B
6,
1 4
，
则
P1
=
C63
3 4
3
1 −
3 4