山东省济南市历城第二中学2021年2月假期校内检测高三数学试题答案

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2021年山东省济南市高考数学二模试卷

2021年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x ≥2}，B ={x|log 2(x −1)<1}，则(∁U A)∩B =( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (1,2)D. (1,3)2. 已知(2−i)⋅z =i ，i 为虚数单位，则|z|=( )A. √55B. 1C. 2D. √53. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的一个( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)，若P(X ≤0)=0.2，则P(X <2)=( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.85. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P(1,12)的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB的方程为( )A. 3x −2y −2=0B. 3x +2y −4=0C. 3x +4y −5=0D. 3x −4y −1=06. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点M(√3,−1)和点N(0,1).若点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. −6 C. 2 D. 67. 已知函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，若f(a)=f(b)，则a +b 的最小值是( )A. 2√eB. eC. 1+eD. 2e8. “曼哈顿距离”是由赫尔曼⋅闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)的曼哈顿距离为：L PQ =|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.若点P(1,2)，点Q 为圆C ：x 2+y 2=4上一动点，则L PQ 的最大值为( )A. 1+√2B. 1+2√2C. 3+√2D. 3+2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a >b >0，c ∈R ，下列不等式恒成立的有( )A. (13)a <(13)b B. ac 2>bc 2C. log 21a >log 21bD. (a+b 2)2<a 2+b 2210. 函数f(x)=2cos(2x −π6)+1(x ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若f(x 1)=f(x 2)=3，则x 1−x 2=kπ(k ∈Z)B. 函数f(x)在[−π6,π3]上为增函数 C. 函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称D. 函数f(x)的图象可以由g(x)=2sin(2x −π3)+1(x ∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(1−x)=−f(1+x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2+x −2，则下列说法正确的是( )A. f(x)是以4为周期的周期函数B. f(2018)+f(2021)=−2C. 函数y =log 2(x +1)的图象与函数f(x)的图象有且仅有3个交点D. 当x ∈[3,4]时，f(x)=x 2−9x +1812. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AB =AA 1=12AD =1，∠BAD =60°，点P 是半圆弧A 1D 1⏜上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC ⏜上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( )A. 四面体PBCQ 的体积是定值B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)C. 若C 1Q 与平面ABCD 所成的角为θ，则tanθ>12D. 若三棱锥P −BCQ 的外接球表面积为S ，则S ∈[4π,13π)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −2x )n 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x 3项的系数是______． 14. 已知tan(π4−α)=12，则cos2α=______． 15. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N.若以MN 为直径的圆经过点F 2且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为______．16. 设函数f(x)=e x −cosx −2a ，g(x)=x ，若存在x 1，x 2∈[0,π]使得f(x 1)=g(x 2)成立，则x 2−x 1的最小值为1时，实数a =______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ；②2asinC =ctanA ；③2cos 2B+C 2=cos2A +1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =√2，___． (1)求A 的值；(2)若sinB =√2sinC ，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1，3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(−1)n log 2a 2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛相互独立． (1)求甲获胜的概率；(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X 局比赛，求随机变量X 的分布列及数学期望．20.如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB=120°，AB=AC=4，AF=√6．(1)证明：平面ADF⊥平面BCF；(2)求二面角F−AD−E的余弦值．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两．点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为12(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2+x，g(x)=(1−a)xlnx−e x−1，a>0．(1)当a=e时，判断函数f(x)在定义域内的单调性；2(2)若f(x)≥g(x)+x恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为B ={x|log 2(x −1)<1}={x|1<x <3}，又集合A ={x|x ≥2}，全集U =R ，所以(∁U A ={x|x <2}, 所以(∁U A)∩B =(1,2)．故选：C ．先利用对数不等式求出集合B ，然后由补集的定义和交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，涉及了对数不等式的解法，补集的定义以及交集定义的理解和应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知可得： z =i2−i =i(2+i)(2−i)(2+i)=−1+2i 5，所以|z|=√(−15)2+(25)2=√55，故选：A ．由已知求出z ，进而可以求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行，如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的必要不充分条件．故选：B ．直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行，如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件”可得结论．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X≤0)=0.2，∴P(0≤X≤1)=0.5−0.2=0.3，∴P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.3．所以P(X<2)=0.5+0.3=0.8．故选：D．先求出P(0≤X≤1)，再计算P(1≤X≤2)，然后求解P(X<2)．本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，∴3(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,1)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴3(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−32，∴直线AB的方程为y−12=−32(x−1)，即3x+2y−4=0．由于P在椭圆内，故成立．故选：B．利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，如图点M(√3,−1)和点N(0,1)那么ON =1，MO =2，余弦定理可得∠MON =120°，点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，那么∠MOP =∠NOP =60°，可得P 的坐标为(2√3,2)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2)⋅(−√3,2)=−6+4=−2；故选：A ．根据点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，点M(√3,−1)和点N(0,1)所成夹角∠MON =120°，然后求出P 的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了向量的坐标运算和余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，设b >1≥a >0，由f(a)=f(b)可得−1+2lnb =1−2lna ，即lna +lnb =1，即ab =e ， ∴a +b =a +ea ≥2√a ⋅ea =2√e ，当且仅当a =√e 时，等号成立，但0<a ≤1时，即y =a +ea 在(0,1]上单调递减，故y =a +ea 在(0,1]上的最小值为：1+e1=1+e ，故选：C ．根据函数的性质可得ab =e ，再根据基本不等式以及函数的单调性，再代值计算即可本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．8.【答案】D【解析】解：由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)，则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|，当cosθ≥12时，即当θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)时， L PQ =2cosθ−1+2−2sinθ=1+2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)，∴θ+π4∈[π4,7π12]∪[23π12,94π)，则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cosθ<12时，即当θ∈(π3,5π3)时，L PQ =1−2cosθ+2−2sinθ=3−2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈(π3,5π3)∴θ+π4∈(7π12,23π12)，则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2．综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2．故选：D ．由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)，则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|，然后对θ分段去绝对值，再由三角函数求最值．本题考查点与圆的位置关系，考查新定义下的两点间的距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A ：由于a >b >0，函数y =(13)x 为减函数，故(13)a <(13)b ；故A 正确；对于B ：当c =0时，ac 2=bc 2；故B 错误；对于C ：当a >b >0时，1b >1a >0，由于y =log 2x 在(0,+∞)单调递增，所以log 21b >log 21a ，故C 错误；对于D ：根据不等式的性质，(a+b 2)2<a 2+b 22恒成立，故D 正确；故选：AD ．直接利用指数函数和对数函数的单调性的应用和基本不等式的应用确定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的单调性，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于函数f(x)=2cos(2x−π6)+1(x∈R)，若f(x1)=f(x2)=3，则x1−x2=kT=kπ(k∈Z)，故A正确；在[−π6,π3]上，2x+π6∈[−π6,5π6]，函数f(x)没有单调性，故B错误；令x=π3，求得f(x)=1，可得函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称；把g(x)=2sin(2x−π3)+1(x∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到y=2sin(2x+π6−π3)+1=2sin(2x−π6)+1(x∈R)的图象，故D错误，故选：AC．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)满足f(1−x)=−f(1+x)，即f(−x)=−f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则f(2+x)=−f(x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2018)=f(2)=−f(0)=−(−2)=2，f(2021)=f(1)=0，则f(2018)+f(2021)=2，B错误；对于C，根据题意，作出函数y=log2(x+1)的图象与函数f(x)的图象，结合图象可得两个函数有3个交点，C正确；对于D，当x∈[3,4]时，则4−x∈[0,1]，则f(4−x)=(4−x)2+(4−x)−2=x2−9x+18，又由f(x)为周期为4的周期函数且f(x)是偶函数，则f(x)=f(x−4)=f(4−x)=x2−9x+18，D正确；根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的判断，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对A ：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 到面ABCD 的距离为1，则V P−BCQ =13d ×12BC ×ℎ=13ℎ，由于h 不为定值，故V P−BCQ 不为定值，故A 错误；对B ：在Rt △A 1PD 1中，cos∠D 1A 1P =A 1PA 1D 1，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠D 1A 1P =4cos²∠D 1A 1P ，因为∠D 1A 1P ∈(0,π2)，所以cos∠D 1A 1P ∈(0,1)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)，故B 正确；对C ：由于CC 1⊥面ABCD ，所以C 1Q 与面ABCD 所成的角为∠C 1QC ，所以tanθ=C 1C CQ=1CQ ，因为CQ ∈(0,2)，所以tanθ>12，故C 正确；对D ：以D 为坐标原点，DB 、DC 、DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，则B(√3,0，0)，C(0,1，0)，A 1(√3,−1,1)，D 1(0,0，1)，线段BC 的中点M(√32,12,0)，线段A 1D 1的中点N(√32,−12,1)，设球心O(√32,12,t)，点P(x,y ，1)，则(x −√32)²+(y +12)²=1，由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得(x −√32)²+(y +12)²+(1−t)²=1+t²，整理可得2t =(x −√32)²+(y −12)²=1−(y +12)²+(y −12)²=1−2y ，则t =12−y ，因为−1<y ≤12，则t =12−y ∈[0,32)，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+t 2∈[1,√132)，所以S =4π|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²∈[4π,13π)，故D 正确；利用椎体的体积公式可判断A；利用空间向量数量积的定义可判断B；利用线面角的定义可判断C；利用建系的方法计算出三棱锥P−BCQ的外接球半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D．本题考查了命题真假判断，涉及空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】84【解析】解：∵2n=128，∴n=7，∴(x−2x )7的展开式中的通项T r+1=C7r⋅(−2x)r⋅x7−r=(−2)r⋅C7r⋅x7−2r，令7−2r=3，得r=2，∴(x−2x)7的展开式中x3项的系数为：4C72=84，故答案为：84．利用二项式系数的性质可求得n=7，再利用(x−2x)7的展开式中的通项公式可求得答案．本题考查二项式定理及其通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】45【解析】解：因为tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=12，则tanα=13，cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=45．故答案为：45．由已知结合两角差的正切公式可求tanα，然后结合同角基本关系即可求解．本题主要考查了两角差的正切公式及同角基本关系，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，所以∠F1NF2=45°如图所示；设|NF2|=t，则|MF2|=t，由双曲线的定义可得：|MF1|=t−2a，|NF1|=t+2a所以|MN|=|NF1|−|MF1|=4a=√2t，解得t=2√2a，所以|NF1|=t+2a=(2√2+2)a，在△F1NF2，由余弦定理可得：|F2F2|2=|NF1|2+|NF2|2−2|NF1||NF2|cos45°，即4c2=(2√2+2)2a2+ 8a2−8(1+√2)a2，可得e2=3，所以离心率为√3；故答案为：√3．由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，设一个焦半径，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．16.【答案】−12【解析】解：令F(x)=f(x)−g(x)=e x−cosx−x−2a，由f(x1)=g(x2)得x2=e x1−cosx1−2a，则x2−x1=e x1−cosx1−x1−2a，则x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，F′(x)=e x+sinx−1≥0恒成立，x∈[0,π]，∴F(x)在[0,π]上单调递增，∴F(x)min=F(0)=−2a=(x2−x1)min=1，∴a=−1，2故答案为：−1．2令F(x)=f(x)−g(x)，x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，得到关于a的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)若选①：∵(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，∴由正弦定理得(b−c)2=a2−bc，整理得b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，且0<A<π，∴A=π3；若选②：∵2asinC=ctanA，∴根据正弦定理得2sinAsinC=sinC⋅sinAcosA，且sinA>0，sinC>0，∴cosA=12，且0<A<π，∴A=π3；若选③：∵2cos2B+C2=cos2A+1，∴cos(B+C)+1=2cos2A−1+1，∴2cos2A+cosA−1=0，解得cosA=12或cosA=−1，且0<A<π，∴A=π3；(2)∵sinB=√2sinC，∴由正弦定理得b=√2c，且b=√2，∴c=1，∴S△ABC=12bcsinA=12×√2×1×√32=√64．【解析】(1)若选择条件①：根据正弦定理可得出b2+c2−a2=bc，然后根据余弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件②：根据正弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件③：根据二倍角的余弦公式即可得出2cos2A+cosA−1=0，然后可求出cosA=12，进而解出A=π3；(2)根据正弦定理可得出b=√2c，从而求出c=1，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．本题考查了正余弦定理，二倍角的余弦公式，弦化切公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4=16，设数列的公比为q，则2a1q2=2a1⋅3a1q，由于a 1≠0，故2q 2−3q −2=0，解得q =2或−12．由于数列为正项数列，所以q =2．则a n =2n ．(2)由(1)知：a 2n+1=22n+1，所以b n =(−1)n log 2a 2n+1=(−1)n ⋅(2n +1)，当n 为偶数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n2=n ，当n 为奇数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n−12−(2n +1)=−n −2．故T n ={n (n 为偶数)−n −2(n 为奇数)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式； (2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为P 1=(23)3=827，比赛四局且甲获胜的概率为P 2=C 32(23)2×(1−23)×23=827，比赛五局且甲获胜的概率为P 3=C 42(23)2×(1−23)2×23=1681，所以甲获胜的概率为P =P 1+P 2+P 3=827+827+1681=6481； (2)随机变量X 的取值为3，4，5，则P(X =3)=(23)3+(13)3=13，P(X =4)=C 32(23)2×13×23+C 32(13)2×23×13=827+227=1027，P(X =5)=C 42(23)2×(13)2×23+C 42×(13)2×(23)2×13=827，所以随机变量X 的分布列为：X 3 4 5 P131027827则随机变量X 的数学期望为E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727．【解析】(1)甲获胜分为三种情况：比赛三局且甲获胜，比赛四局且甲获胜，比赛五局且甲获胜，分别求解概率，然后由分类计数原理求解即可．(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∵ABEF 是矩形，∴FA ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF =AB ， AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC ，∵BC ⊥AF ，AD ⊂平面ADF ，AF ∩AD =A ，∴BC ⊥平面ADF ，又BC ⊂平面BCF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ． (2)由(1)知AF ⊥平面ABC ，∴以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，F(0,0，√6)，B(0,4，0)，C(2√3,−2,0)，E(0,4，√6)， ∴D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√6)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)，由(1)知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)是平面ADF 的一个法向量，设平面ADE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +√6x =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,2√2)， ∴cos <n ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√32√3⋅4√3=√33， ∵二面角F −AD −E 是平面角是锐角， ∴二面角F −AD −E 的余弦值为√33．【解析】(1)推导出AD ⊥BC ，FA ⊥AB ，从而AF ⊥平面ABC ，进而AF ⊥BC ，BC ⊥平面ADF ，由此能证明平面ADF ⊥平面BCF ．(2)由AF ⊥平面ABC ，以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AD −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)因为x 2=2py(p >0)可化为y =x 22p ，所以y′=xp ，因为当A 点的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p =12，所以p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0，设直线l 1的方程为y =kx +2，由{y =kx +2x 2=4y ，联立消去y 并整理可得x 2−4kx −8=0，所以△=(−4k)2+32=16k 2=32>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4，因为M 为AB 的中点，所以M(2k,2k 2+2)，因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N(−2k ,2k 2+2)，所以直线MN 的方程为y −(2k 2+2)=2k 2+2−(2k 2+2)2k+2k⋅(x −2k)=(k −1k)⋅(x −2k)，整理可得y =(k −1k )x +4，所以直线MN 恒过定点(0,4)，所以△OMN 的面积S =12×4×|2k −(−2k )|=4|k +1k |≥8，当且仅当k =1k ，即k =±1时，△OMN 面积取得最小值为8．【解析】(1)将抛物线方程化为y =x22p ，求导得y′=x p ，由导数的几何意义可得1p =12，解得p ，进而可得抛物线C 的标准方程．(2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 1的方程为y =kx +2，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得y 1+y 2，由中点坐标公式可得M(2k,2k 2+2)，N(−2k ,2k 2+2)，写出直线MN 的方程，得y =(k −1k )x +4，即可得出直线MN 恒过定点(0,4)，再计算△OMN 的面积S =4|k +1k|，由基本不等式，即可得出答案．本题考查直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =e 2时，f(x)=xlnx −e2x 2+x ，所以f′(x)=lnx −ex +2，令p(x)=lnx −ex +2，则p′(x)=1x −e =1−ex x，若p′(x)>0，则0<x <1e ，若p′(x)<0，则x >1e ，所以p(x)在(0,1e )上为增函数，在(1e ,+∞)上为减函数，则p(x)≤p(1e )=0，即f′(x)≤0，仅在x =1e 时，f′(x)=0，所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减．(2)因为f(x)=xlnx −ax 2+x ，g(x)=(1−a)xlnx −e x−1，a >0，若f(x)≥g(x)+x 恒成立，即对任意x >0，e x−1−ax(x −lnx)≥0恒成立，即对任意的x >0，e x−1x−a(x −lnx)≥0恒成立，即e x−lnx−1≥a(x −lnx)，令t =t(x)=x −lnx ，则t(x)′=1−1x =x−1x，所以当x ∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x ∈(1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，所以t =t(x)≥t(1)=1，若e x−lnx−1≥a(x −lnx)对任意x >0恒成立，则a ≤e x−lnx−1x−lnx =e t−1t恒成立，设g(t)=e t−1t，t ≥1，则g′(t)=e t−1(t−1)t 2≥0，所以当t ∈[1,+∞)时，g(t)单调递增，所以g(t)≥g(1)=1，所以a≤1，所以若f(x)≥g(x)+x恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)对f(x)求导，利用导数即可判断函数的单调性；(2)不等式恒成立转化为e x−lnx−1≥a(x−lnx)，令t=x−lnx，利用导数可求得t≥1，则不等式进一步转化为a≤e t−1t 恒成立，令g(t)=e t−1t，利用导数求出g(t)的最小值，从而可求得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

山东省济南市2021届新高考数学二模试卷含解析

山东省济南市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B 【解析】【分析】先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()xf x y e =的导数为()()xf x f x y e'='-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对应的x 的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.2．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.3．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 5．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+，则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（）A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]【答案】C 【解析】【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+，可得22222222222()c a b c a b a b c a b+-++-=+，通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+，整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-，又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)2c a b >+，即3a b c +≤，又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7．已知集合{lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k=0时，解2839ω≤≤，当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 10．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题11．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届山东省济南市历城二中高三下学期2月校内检测数学试卷及答案

2021届山东省济南市历城二中高三下学期2月校内检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合{}21A x x =≤，{}20B x x =-<<，则A B ⋃=（）． A ．[)1,0-B ．(]2,1-C ．(]1,0-D ．[]2,1-2．已知i 是虚数单位，则2ii-=（）． A ．12i +B ．12i -C ．12i --D ．12i -+3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为50％，甲不输的概率为90％，则乙不输的概率为（）． A ．60％B ．50％C ．40％D ．30％4．92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）．A ．84-B ．672-C ．84D ．6725．国防部新闻发言人在9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”．如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760hk p e -=（e 是自然对数的底数，k 是常数）．根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（）．（结果保留整数）A ．645mmHgB ．646mmHgC ．647mmHgD ．648mmHg6．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知5AE =，2AF =，则AC BD ⋅=（）．A ．6-B ．4-C ．10D ．7-7．在公差为1的等差数列{}n a 中，已知1a t =，1nn n a b a =+，若对任意的正整数n ，9n b b ≤恒成立，则实数t 的取值范围是（）．A ．19,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()9,8--C ．1910,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()10,9--8．已知()f x x x =，对任意的x ∈R ，()()2430f ax f x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是（）． A ．12B ．13C ．16D ．18二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（）．A．若a b>，则122a b->B．若0ab>>，则lg1lgab>C．若0a>，0b>，则2ababa b≥+D．若a b>，则22ac bc>10．将函数()f x的图象向左平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的32倍，得到函数()()()sin0,0,πg x A x Aωϕωϕ=+>><的图象．已知函数()g x的部分图象如图所示，则下列关于函数()f x的说法正确的是（）．A．()f x的最小正周期为π3B．()f x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．()f x的图象关于直线π9x=对称D．()f x的图象关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．已知双曲线()222:10xC y aa-=>，若圆()2221x y-+=与双曲线C的渐近线相切，则（）．A．双曲线C的实轴长为6B．双曲线C的离心率233e=C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为1d，2d，则2134d d=D．直线1y k x m=+与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为2k，则1213k k=12．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵111ABC A B C-中，AB AC⊥，12C C BC==，则下列说法正确的是（）．A．四棱锥11B A ACC-为阳马B．三棱锥1C ABC-为鳖臑C．当三棱锥1C ABC-的体积最大时，2AC=D．记四棱锥11B A ACC-的体积为1V，三棱锥1C ABC-的体积为2V，则123V V=三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市历城第二中学2021-2022届高三上学期高考模拟数学试题及参考答案

山东省济南市历城第二中学2021-2022届高三上学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{}lg 1,2A x x B x x =<=<，则A B =（） A ．(,2)-∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(1,10)2．已知复数z 满足()1i i 3z +⋅+=．则z =（）A ．1B ．2CD 3．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为A ．2πBC ．23π D 4．函数()sin()f x A x B ωϕ=++（0>ω，π||2ϕ<）的图象如图所示，则()y f x =的解析式为（）A ．sin 22y x =-B ．2cos31y x =-C ．πsin 215y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．π1sin 25y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，椭圆C M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P 、Q 两点，则MPQ 面积的最大值为（）A ．23bB ．22bC 2D ．26b6．已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且27cos sin 210αα+=，则2cos 1sin 2αα=+（）A ．1126B ．4936 C ．14D ．1367．若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =D ．()17|11P B A =9．d 为点(1,0)P 到直线210x y -+=的距离，则d =．A B C D 二、多选题10．有一组样本数据12,,n x x x ⋅⋅⋅，另一组样本数据12,,n y y y ⋅⋅⋅，其中2(1,2,)i i y x c i n =-=⋅⋅⋅，c 为非零常数，则（）A ．两组样本数据平均数相同B ．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等C ．两组样本数据方差相同D ．两组样本数据极差相同11．若α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=0，则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2π D ．32π 12．已知椭圆22142x y +=的左､右焦点为12,,F F 点P 在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于12PF F △的说法正确的有（） A．12PF F △的周长为4+B ．当1290PF F ︒∠=时，12PF F △的边12PF =C ．当1260F PF ︒∠=时，12PF F △D ．椭圆上有且仅有6个点P ，使得12PF F △为直角三角形三、双空题13．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm . 四、填空题 14．函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.15．已知抛物线E ：24y x = 的焦点为F ，准线为l ，l 交x 轴于点T ，A 为E 上一点，1AA 垂直于l ，垂足为1A ，1A F 交y 轴于点S ，若ST AF ，则AF = __________．16．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________. 五、解答题17．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥. （∈）求数列{}n a 的通项公式；（∈）若数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.18．某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A 类问题：方案二：第一次A 类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A 类问题，回答错误则下一次选B 类问题.A 类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为13，能正确回答B 类问题的概率为23，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率：（2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由.19．已知函数()12sin cos sin 333x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，(1)求函数()f C 的最大值，并求出此时C 的值；(2)若8f C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2b ac =，求cos B 的值．20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21．已知抛物线()2:20C y px p =>过点(1M -，，直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于A B ，两点.（1）若直线l 的方程为2y x =-，求ABO 的面积；（2）若直线OAOB ，的斜率为12k k ，，且122k k +=，求直线l 的方程. 22．已知函数21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-．(1)求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； (2)当0a =时，求()f x 的单调区间；(3)当0a >时，()f x 在区间[,]2ππ有一个零点，求a 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】【分析】求出集合A ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}{}lg 1010A x x x x =<=<<，所以A B =(0,2). 故选：C. 2．D 【解析】【分析】利用复数运算法则得到12z i =-，进而求出复数z 的模长. 【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，所以z = 故选：D 3．D 【解析】【详解】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高h =则圆锥的体积为：()211133V Sh π==⨯⨯ 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】【分析】根据图象求得A ，B ，ω，ϕ，从而确定函数解析式，再通过诱导公式使解析式满足π||2ϕ<．【详解】不妨先设0A >，由图象，得： 2012A -==，2012B +==，7ππ=420041T π=-，所以2ππT ω==，解得2ω=，则()sin(2)1f x x ϕ=++，代入7π(,0)20，得7π7π()sin(10)1020f ϕ=++=，即107πsin()1ϕ+=-，所以7π3π2π210k ϕ+=+，Z k ∈ 即4π2π5k ϕ=+，Z k ∈，所以4π()sin(22π)15f x x k =+++，Z k ∈，因为4π4π()sin(22π)1=sin(2)155f x x k x =+++++ ππsin(2π)1sin(2)155x x =-++=--+，上式中π5ϕ=-满足π||2ϕ<，所以 π()sin(2)15f x x =--+．故选：D. 5．A 【解析】【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出22212MP MQ b +=，再利用基本不等式可得出MPQ 面积的最大值. 【详解】因为c e a ==a =，所以，蒙日圆的方程为2223x y b +=，由已知条件可得MP MQ ⊥，则PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，则222212MP MQ PQ b +==，所以，2221324MPQ MP MQ S MP MQ b +=⋅≤=△，当且仅当MP MQ ==时，等号成立. 故选：A. 6．B 【解析】【分析】由条件可得212tan 71tan 10αα+=+，结合条件求出1tan 7α=-，将所求化为2222cos 1cos sin 2sin cos 1tan 2tan ααααααα=++++，从而可得答案. 【详解】由27cos sin 210αα+=，即222cos 2sin cos 7cos sin 10ααααα+=+即212tan 71tan 10αα+=+，所以27tan 20tan 30αα--=，即()()7tan 1tan 30αα+-= 所以1tan 7α=-或tan 3α=，由,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1tan 7α=-22222cos cos 1149121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 361497ααααααααα====++++++-故选：B 7．D 【解析】【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数（构造新函数）图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得．【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，01ln ab x x +=+，设()ln af x x x=+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点， 221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时．()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，由题意知1ln 1b a +>+，即ln b a >．故选：D ． 8．C 【解析】【分析】依次判断每个选项得到答案. 【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确故答案选C 【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 9．B 【解析】【详解】d ==选B10．BCD 【解析】【分析】根据题意，结合平均数、方差、极差、“平均距离”的计算公式，一一判断即可. 【详解】对于选项A ，1nii xx n==∑ ，112n ni ii i y xy cnn====-∑∑，故A 错；对于选项B ，11ni i x xd n=-=∑ ，112nniii i y y x x d nn==--==∑∑，故B 正确；对于选项C ，()2211ni i x x S n=-=∑，()()222112nni i i i y y x x S nn==--==∑∑，故C 正确；对于选项D ，()()max min max min max min 22y y x c x c x x -=---=-，故D 正确. 故选：BCD. 11．CD 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．【详解】解：因为α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=cos α＝0，则α12π=或32πα=，故选：CD ． 12．AD 【解析】利用椭圆的定义结合焦距即可判断选项A ；利用1290PF F ︒∠=时，1PF x ⊥轴，点P 横坐标为P 纵坐标，即可判断选项B ；利用焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可判断选项C ；分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断选项D. 【详解】由椭圆的方程可得：2a =，b =c =对于选项A: 12PF F △的周长为1212224PF PF F F a c ++=+=+ A 正确；对于选项B ：当1290PF F ︒∠=时，1PF x ⊥轴，令x =1y =±，所以11PF =，故选项B 不正确；当1260F PF ︒∠=时，12PF F △的面积为2tan 302b ⨯=C 不正确；当点P 位于椭圆的上下顶点时，122PF PF a ===，而122F F c ==1290F PF ︒∠=，有2个直角三角形，当112PF F F ⊥时，1290PF F ︒∠=，此时点P 位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得212PF F F ⊥时，2190PF F ︒∠=，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D 正确，故选：AD 【点睛】结论点睛：以焦点三角形的有关结论（1）焦点三角形的周长为定值22a c +；（2）设焦点三角形中12F PF θ∠=，则焦点三角形面积为2tan2b θ⋅，（3）当点P 为短轴端点时，θ最大. 13． 5 ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++，两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.14．(2,4]- 【解析】【分析】转化原函数为2()13a f x x a +=+-+，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解【详解】函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤ 15．4 【解析】【详解】设()11A x y ，，()111A y ，-，()10F ， 112A F y K =-， 1A F l ：()112y y x =-- 故102y S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11121ST AF y y K K x ===-13x ∴=，则114AF x =+=故答案为：4点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，设出各点坐标，按照题意表示出直线斜率，从而解出A 点坐标，继而算出答案，本题的线段关系较多，不过计算较为简单，属于中档题 16．20 【解析】【分析】利用导函数求函数的最值即得.【详解】 ∈f ′(x )＝3x 2－3，∈当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∈f (x )在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． ∈f (x )min ＝f （1）＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∈f (0)＝－a ，f （3）＝18－a ， ∈f (0)＜f （3）．∈f (x )max ＝f （3）＝18－a ＝m ， ∈m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 故答案为：20.17．（∈）2n a n =；（∈）221n n b =- 【解析】（∈）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出.（∈）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由（∈）即可求解. 【详解】（∈）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=，所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（∈）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n n b n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式，故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18．（1）727；（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析. 【解析】【分析】（1）由题知得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，进而根据二项分布的概率公式求解即可；（2）分别求解两种方案得分的概率分布列，求得分的期望，期望高的更合理. 【详解】解：（1）小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，所以其概率为2323121733327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下：若采用方案一，则其得分X 的可能为取值为0,50,100,150，()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213211245033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()223126210033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()311150327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的概率分布列为所以X 的数学期望为()42120020050501001505099279E X ++=⨯+⨯+⨯==；若采用方案二，则其得分Y 的可能为取值为0,30,50,80,100,150，所以()2112033327P Y ==⨯⨯=，()22221212430333333279P Y ==⨯⨯+⨯⨯==，()12125033327P Y ==⨯⨯=，()12222188033333327P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()112210033327P Y ==⨯⨯=， ()111115033327P Y ==⨯⨯=. 所以Y 的概率分布列为所以Y 的数学期望为()122821145030508010015053.7272727272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，因为()()E Y E X >，所以小明选择方案二参加比赛更加合理. 19．(1)()f C 38C π=；(2)cos B =. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()234x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围以及正弦函数的有界性可求得()f C 的最大值及其对应的C 的值；（2）由已知条件结合角C 的取值范围可求得2C π=，利用正弦定理可得出关于cos B 的等式，结合角B 为锐角可求得cos B 的值. (1)解：()22212sin cos sin 2sin cos 12sin sin cos 33333333x x x x x x x x f x ⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 234x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0C π<<，则211+44312C πππ<<，当2+432C ππ=时，即当38C π=时，()f C 取得最大值(2)解：22838436C f C C ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 136C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则256366C πππ<+<，则2362C ππ+=，可得2C π=，因为2b ac =，则2sin sin sin cos 2B A B B π⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，即21cos cos B B -=，所以，2cos cos 10B B +-=，因为B 为锐角，则0cos 1B <<，解得cos B =20．(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥. （2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=，设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =．又点C 到平面ABD112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=，所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG 为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCDBOCV SO SOA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．∈使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα．∈ 将∈∈两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD -【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.21．（1）2）240x y +-= 【解析】【分析】（1）将点代入求出p 的值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角形的面积，（2）设直线l 方程为(2)y k x =-，根据韦达定理和斜率公式，即可求出．【详解】解：（1）将点(1,M -代入抛物线方程，可得4p =，则抛物线方程为28y x =.设()()1122,,A B x y x y ，，联立282y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得21240x x -+=.∈1212x x +=，则12416AB x x =++=. 又点O 到直线AB.∈1162OABS== （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()2y k x =-. ()()1122,,A B x y x y ，，联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，可得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，从而212122484k x x x x k ++==，.∈()()()12121212121212122222222k x k x k x x y y k k k k k k x x x x x x x x --+⎛⎫+=+=+=-+=- ⎪⋅⎝⎭，224842224k k k k k +=-=-=，∈2k =-.∈直线l 的方程为240x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，属于中档题． 22．(1)1y =(2)单调递增区间为(,)2ππ--，(0,)2π，单调递减区间为(2π-，0)，(2π，)π．(3)(0,22]π【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数值，即切线斜率，求出(0)1f =，即可求出切线方程；（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为22sin 2cos x x xa x +=-，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.(1)()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+，所以()00k f ='=切，又(0)1f =，所以()f x 在(0，(0))f 处的切线方程：10y -=，即1y =． (2)当0a =时，()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，所以在(,)2ππ--，(0,)2π上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(2π-，0)，(2π，)π上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 单调递增区间为(,)2ππ--，(0,)2π，单调递减区间为(2π-，0)，(2π，)π．(3)当0a >时，令()0f x =，得21sin cos 02x x x ax ++=，所以22sin 2cos x x xa x +=-，令22sin 2cos ()x x xg x x +=-，[2x π∈，]π，222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当[2x π∈，]π时，cos 0x <，220x -+<，即()0g x '>，所以()g x 在[2π，]π上单调递增，又24()24g ππππ==--，2222()g πππ-==-，若()f x 在区间[,]2ππ有一个零点，则242a ππ-，故a 的取值范围(0，22]π．。

山东省2021年高三数学高考二模试题卷4份汇集附答案解析

山东省2021年高三数学高考二模试题卷一第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数的实部与虚部的和为7，则的值为（）A ．B ．C ．D ．3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（） A ．4小时B ．7小时C ．6小时D ．14小时4．是成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数，且，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6．已知数列中，，，若，则（）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．若均为单位向量，且，，则的最大值为（）AB ．1CD ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是（）{}220Bx x x =∈--≤Z {}0,1A B =BA ={}1,1-{}1,2{}1,1,2-{}1,2-(3i)(32i)()z a a =-+∈R a 1022-33x y >⎧⎨>⎩69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩()2234x f x x x -=+-()()2log 3f a f >a ()(),28,-∞+∞()0,2()()0,28,+∞()8,+∞{}n a 11a =()111n n n n a a a n a ++*-=⋅∈N 110m a =m =()()π8sin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π()f x ,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,π8π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,a b c 0⋅=a b ()()0-⋅-≤a c b c +-a b c11111ABC A B C D -M 1DD NABCDA ．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆B ．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C ．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线D ．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线10．将男、女共位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（） A ．位女同学分到同一组的概率为B ．男生甲和女生乙分到甲组的概率为C ．有且只有位女同学分到同一组的概率为D ．位男同学不同时分到甲组的概率为 11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（）A ．B ．是偶函数C ．D ．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数 12．关于函数，下列判断正确的是（） A ．是的极大值点B ．函数有且只有1个零点MN ABCD π4N 4MN=MN P 2πN 1BB DC N 1D N AB π3N44841353143323543435()coshxf x a a=cosh 2x xe x e -+=sinh 2x xe x e --=cosh cosh cosh sinh s )inh (x y x y x y --=sinh cosh y x x =()cosh sinh x x '=PAB △A 0m =()2ln f x x x =+2x =()f x yf xxC ．存在正实数，使得恒成立D ．对任意两个正实数，，且，若，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．的展开式中的系数是________．14．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为_______．15．已知函数，则关于的方程的实根的个数是_______．16．已知圆，，动圆与圆、都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为_____________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为、、，则的最大值为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知为等差数列的前项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（12分）在①；②；③的面积．这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且______，______，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）已知四棱锥中，四边形ABCD 为等腰梯形，，，，△ADE 为等边k ()f x kx >1x 2x 21x x >()()12f x f x =124x x +>()6x y z +-23xyzABCD 1AD=BD =AB AC⊥AC =CD 2πcos ,11()21,||1x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩x 2()3()20f x f x -+=()221:31C x y ++=()222:381C x y -+=C 1C 2C C E l E P Q R PRn S {}n a n 63219S S =1121a ={}n a 11n n n b aa +=⋅{}nb n n T π2A C =+5415cos c a A -=ABC △3S =ABC △A B C a b c 3b =c E ABCD -AB DC∥2AD DC ==4AB =三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足 ()，且使平面ADF 与平面BCE．若存在，求出的值，否则请说明理由．20．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①记E ()为随机变量的数学期望．若，运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域；②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值．参考数据：，，．21．（12分）已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P ．若，且点Q满足，求面积的最小值．EFEB λ=01λ<≤λ*()n n ∈N n (k k*∈N 2k ≥k k k k k 1k +()01p p <<(k k*∈N 2k ≥1ξ2ξξξ12()()E E ξξ=p k ()p f k =141p e-=-k ln 20.6931≈ln3 1.0986≈ln5 1.6094≈2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F 1F 12,l l 1l 2,,A B l 1x =11AF F B λ=QAQB λ=1PQF △22．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．数学答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】由不等式，解得，所以，又由且，所以，即，由补集的概念及运算，可得，故选D ．2．【答案】C 【解析】，所以复数的实部与虚部分别为，，于是，解得，故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案：方案一：甲､乙两泵同时开放→甲泵开放方案二：甲､乙两泵同时开放→乙泵开放如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为x 个小时，由题意得方程，解得(小时)；如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为y 个小时，2()x f x e ax x =--1a=()y f x =(1,(1))f ()()F x f x x =+1x 2x 212(ln(2))x x a <22(2)(1)0xx x x --=-+≤12x -≤≤{}1,0,1,2B =-{}0,1A B ={}0,A a =1a ={}0,1A ={}1,2B A =-2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i za a a a a =-+=+--=++-z 36a +29a -36297a a ++-=2a =111(10)1181515x x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭6x =则，解得(小时)，所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选C ． 4．【答案】A【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立，故选A ． 5．【答案】C 【解析】∵，∴的图象关于直线对称， ∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数．又，∴，即或，解得或，故选C ．6．【答案】C【解析】，所以为以为首项，公差的等差数列，所以，所以，由，所以，故选C ．7．【答案】B【解析】由题意可得，求得，令，求得，111(10)1181518y y ⎛⎫++-=⎪⎝⎭602693y ==10x =52y =()()()()22224344434xx f x x x x x f x ---=+---=+-=()f x 2x =23x y -=24y x x =-(),2-∞()2,+∞()f x (),2-∞()2,+∞()()2log 3f a f >2log 2321a ->-=2log 1a <2log 3a >02a <<8a >111111n n n n n na a a a a a +++-=-=⋅1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11d =11(1)1n n n a =+-⨯=1n a n=1110ma m ==10m =2ππω=2ω=πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z π5πππ,1212k x k k -≤≤+∈Z由，求得，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是，故选B ． 8．【答案】B 【解析】由题意知，，又， ∵，∴，∴，∴，即的最大值为1，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 【解析】如图：对于A ，根据正方体的性质可知，平面，所以为与平面所成的角，所以，所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故A 正确；对于B ，在直角三角形中，，取的中点，ππ3π2π22π,232k x k k +≤-≤+∈Z 5π11πππ,1212k x k k +≤≤+∈Z ()f x ,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π5π5π3125π64212m m m ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎪⎩m 55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦2221===a b c 0⋅=a b ()()20-⋅-=⋅-⋅-⋅+≤a c b c a b a cc b c 21⋅+⋅≥⋅+=a c b ca cb ()2222221110211+-=+++⋅-⋅+⋅≤+++-⨯=a b c a b c a b a c b c 1+-≤a b c +-a bcMD ⊥ABCD MND ∠MN ABCD π4MND∠=1114222DN DM DD ===⨯=N D 2MDN DN===MD E因为为的中点，所以，且，因为，所以，即点在过点且与垂直的平面内，又，所以点为半径的圆，其面积为，故B 不正确；对于C ，连接，因为平面，所以，所以点到直线的距离为，所以点到点的距离等于点到定直线的距离，又不在直线上，所以点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，故C 正确；对于D ，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，因为与所成的角为，所以，所以，整理得，所以点的轨迹为双曲线，故D 正确，故选ACD ． 10．【答案】AB【解析】位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为，A 选项，位女同学分到同一组的不同分法只有种，其概率为，对； B 选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为，其概率为，对； C 选项，有且只有位女同学分到同一组种，则有且只有位女同学分到同一组的概率为，错； D 选项，位男同学同时分到甲组只有种，其概率为，则位男同学不同时分到甲组的概率为，错， P MN PE DN∥12PEDN ==DN ED ⊥PE ED ⊥P E 1DD PE=P 2π3π⋅=NB 1BB ⊥ABCD 1BB NB ⊥N1BB NB N B N CD B CD N B CD D 1,,DA DC DD ,,x y z (4,0,0)A (4,4,0)B 1(0,0,4)D (,,0)N x y (0,4,0)AB 1(,,4)D N x y =-1D N AB π31π|cos,|cos3AB D N <>=1|2=22311616y x -=N 84484C C 70⋅=42217035=2464C C 15⋅=1537014=33144C 32C 2⋅⋅=332167035=41170416917070-=故选AB ． 11．【答案】ACD【解析】，A 正确；，记，则，为奇函数，即是奇函数，B 错误；，即，C 正确；对于D ，因为轴，因此若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则，由，解得，D 正确，故选ACD ． 12．【答案】BD【解析】A ：函数的定义域为，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A 错误；B ：，，所以函数在上单调递减，又，，所以函数有且只有1个零点，故B 正确；C ：若，即，则．令，则． cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅()2cosh x y x yx y e e --++==-22sinh c 4osh x xy x x e e --==22()4x xe e h x --=22()()4x xe e h x h x ---==-()h x sinh cosh y x x =()22x x x x e e e e --+-'=()cosh sinh x x '=AB x ⊥0PAk =02m Am P e k e --==0m =()f x 0,()22212x f x x x x-'=-+=()0,2x ∈0fx()f x ()2,x ∈+∞0fx()f x 2x=()f x ()2ln y f x x x x x =-=+-22221210x x y x x x-+'=-+-=-<0,()112ln1110f -=+-=>()221ln 22ln 210f -=+-=-<yf xx ()f x kx >2ln x kx x +>22ln xk x x<+()22ln x gx x x=+()34ln x x xg x x-+-'=令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C 错；D ：因为在上单调递减，在上单调递增，∴是的极小值点．∵对任意两个正实数，，且，若，则．令，则，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要证，需证，需证，需证．∵，则，∴证．令，，，所以在上是增函数．因为时，，则，所以在上是增函数．()4ln hx x x x =-+-()ln h x x '=-()0,1∈x ()0h x '>()h x ()1,∈+∞x ()0h x '<()h x ()()130hx h ≤=-<0g x()22ln x g x x x=+0,k ()f x kx >()f x ()0,22,2x=()f x 1x 2x 21x x >()()12f x f x =1202x x <<<()211x t t x =>21x tx =()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+211222ln ln x x x x -=-()2121212ln x x xx x x -=()11121ln t x t x tx -=⋅()121ln t x t t -=()2121ln t t x tx t t-==21222ln t x x t t-+=124x x +>1240x x +->22240ln t t t -->2224ln 0ln t t t t t-->211x tx =>ln 0t t >2224ln 0t t t -->()()2224ln 1Ht t t t t =-->()()44ln 41H t t t t '=-->()()()414401t H t t tt-''=-=>>()H t '1,1t→()0H t '→()0H t '>()H t 1,因为时，，则，所以，∴，故D 正确，故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】，所以，的展开通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项可以为，其中且、，令，解得，因此，的展开式中的系数是，故答案为．14．【答案】【解析】设，在中，由正弦定理得，即，整理得．由余弦定理得，因为，所以．在中，1t →()0H t →()0H t >2224ln 0ln t t tt t-->124x x +>60-()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦()6x y z +-()616C rrr r A x y z -+=⋅⋅-()ry z -()()1C C 1kkk r k k r k k k r r B y z y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅()6x y z +-()61,16C C 1kr kr r k k r k r T x y z --++=⋅⋅⋅-06k r ≤≤≤k r ∈N 6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩53r k =⎧⎨=⎩()6x y z +-23xyz()35365C C 160⋅-=-60-3ADB θ∠=ABD △sin sin AB BD BADθ=∠3sin sin AB BAD θ=∠sin 3AB BAD θ⋅∠=222112cos cos 33AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-AB AC ⊥π2BAD DAC ∠=+∠ACD △由余弦定理得（其中），所以当时，，故答案为．15．【答案】5 【解析】由，知或，∴由函数解析式，知：当时，有，解得，满足；当时，若且，有；若，解得，满足，∴综上知：方程一共有5个根，故答案为5．16．【答案】或，【解析】已知圆，，则圆内含于圆，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为．设动圆的半径为，分以下两种情况讨论： ①圆与圆外切，与圆内切，由题意可得，，此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，，，则，此时，轨迹的方程为； ②圆与圆、都内切，且，22222cos 12sin CD AD AC AD AC DAC AB BAD =+-⋅⋅∠=+-⋅∠25258sin()33θθθϕ=-=-+tan ϕ=sin()1θϕ+=min CD=32()3()20f x f x -+=()2f x =()1f x =()f x ()2f x =212x -=x =||1x >()1f x =πcos12x=11x -≤≤0x =211x -=x =||1x >2212516x y +=221167x y +=152()221:31C x y ++=()222:381C x y -+=1C 2C 1C ()13,0C -11r =2C ()23,0C 29r =C r C 1C 2C 1219CC r CC r⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121106CC CC CC ∴+=>=C E 1C 2C 1210a =15a ∴=13c=14b ==E 2212516x y +=C 1C 2C 12r r r <<由题意可得，，此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，，，，此时，轨迹的方程为，综上所述，轨迹的方程为或．由于直线与曲线仅有三个公共点，则直线与椭圆相切．①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，可设直线的方程为，联立，解得，此时； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并整理得，，可得，设点、，联立，消去并整理得，()()()()22222222250425162516160025161440010Δk m m k k m k =-⨯-+=+-=+>，由韦达定理得，，1219CC r CC r ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩12186CC CC CC ∴+=>=C E 1C 2C 228a =24a ∴=23c=2b ==E 221167x y +=E 2212516x y +=221167x y +=l E l 221167x y +=l l 4x=±l 4x =22412516x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩4125x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩245PQ =l l y kx m =+221167y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()222167321670kx kmx m +++-=()()()222222221324167167781670Δk m m k k m =-⨯-⨯+=⨯+-=22167m k =+()11,P x y ()22,R x y 2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()22225165025160k x kmx m +++-=122502516kmx x k +=-+()212225162516m x x k -=+12PR x ∴=-=()2222212011201209251625162511kkkkk+====++-++，，当且仅当时，取得最大值．故答案为或，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）等差数列的前项和，得，因为，所以，等差数列的公差，所以，．（2）由（1）可知，．18．【答案】答案见解析．【解析】解：方案一：选条件①②．因为，，所以，由正弦定理得．因为，所以．120152592PR∴≤=-k=PR1522212516x y+=221167x y+=15221na n=-21nnTn=+{}na n()12nnn a aS+=()()1636332121211163329212a aS aa aS a+===+1121a=3263a={}na321163212321121a ad--===-()()11112121121na a n d n n=+-=+-=-()()1111212122121nbn n n n⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121 nnTn n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5415cosc a A-=3b=545cosc a b A-=5sin4sin5sin cosC A B A-=()sin sin sin cos cos sinC A B A B A B=+=+5cos sin4sinB A A=因为，所以，．因为，，所以，所以，所以．因为，所以，在中，由正弦定理得．方案二：选条件①③．因为，，所以．因为，，所以．在中，由正弦定理得，所以，即．因为，所以，，所以，所以．又，所以，所以，所以．sin 0A >cos 45B=3sin 5B ==π2AC =+πA B C ++=π22B C =-π3cos 2cos sin 25CB B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭21cos 21sin 25C C -==()0,πC∈sin C =ABC△3sin 53sin 5b Cc B===1sin 32Sab C ==3b =sin 2a C =π2A C =+πA B C ++=π22B C =-ABC △π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin cos 2cos 2C CC=3sin 24cos2C C =π0π20πA C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩π02C <<02πC <<sin 20C >cos20C >22sin 2cos 21C C +=3cos 25C =21cos 21sin25C C -==sin 5C =在中，由正弦定理得方案三：选条件②③．因为，，所以，由正弦定理得，因为，所以．因为，所以，．因为，所以．（ⅰ）在中，由余弦定理得，所以．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得或．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．【解析】（1）取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，为等边三角形，，是直角三角形，，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，．（2）F 为EB 中点即可满足条件．取的中点，连接，则，取的中点，连接，平面平面，平面，所以平面，，，如图建立空间直角坐标系，ABC △3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b CcBCC =====⎛⎫- ⎪⎝⎭5415cos c aA -=3b=545cos c a b A -=5sin 4sin 5sin cos C A B A -=()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+5cos sin 4sin B A A =sin0A >cos 45B =3sin 5B ==1sin 32Sac B ==10ac =ABC △2222cos b a c ac B =+-2225a c +=c =c =12λ=ADF BCE 13AB G DG 12BG AB CD ==BG CD ∥∴BCDG 2DG BC AG AD ====ADG ∴△12DG AB =ABD ∴△AD BD ∴⊥ADE ⊥ABCD BD ⊂ABCD AD =ADE ABCD BD ∴⊥ADE AE ⊂ADE AE BD ∴⊥AD H EH EH AD ⊥AD H EH ADE ⊥ABCD EH ⊂EAD EH⊥ABCD EH =BD =D xyz -则，，，，，则，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为．由，得，取；由，得，取，于是，，解得或（舍去），所以存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）①（且）；②8．【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，则．（2）①根据题意，可知，的可能值为1，，则，，()0,0,0D()2,0,0A ()0,B ()C-(E ()2,0,0DA=()1,CB=(EB =-(),EF EB λλ==-()1DF λ=-ADF 111(,,)x y z =m BCE 222(,,)x y z =n0DF DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩()0,12λλ=-，m 00CB EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 2222200x x ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩()=n |cos ,|⋅〈〉===⋅m n m n m n1=2λ13λ=-12λ=ADFBCE 13310111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭*k ∈N 2k≥A ()3121322335A A C C 31A 0P A +==()1E k ξ=2ξ1k +()()211kPp ξ==-()()2111kPk p ξ=+=--所以，由，得，所以（且）．②由于，则，所以，即，设，，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，，，所以的最大值为8．21．【答案】（1）；（2）6．【解析】（1）由题意，得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）可得，若直线的斜率为0，则的方程为与直线无交点，不满足条件；设直线，若，则则不满足，所以，设，，，()()()()()()2111111kkkE p k p k k p ξ=-++--=+--()()12EE ξξ=()11k k k k p =+--111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭*k ∈N 2k≥141p e-=-()421k Ek keξ-=+-41k kkek -+-<ln 04kk->()ln 4x f x x =-()11444x f x x x-'=-=0x >()0,4x ∈()0f x '>()f x ()0,4()4,x ∈+∞()0f x '<()f x ()4,+∞()ln823n 2208l f =-=->()99ln 92ln 30494f =-=-<k 22143x y +=222221149141b e a a b⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩24a =23b =22143x y +=()11,0F -1l 2l 1x =-1x =1:1l x my =-0m =1λ=QA QB λ=0m ≠()11,A x y ()22,B x y ()00,Q x y由，得，，，因为，即，则，，所以，解得，于是，直线的方程为，联立，解得，所以．所以，当且仅当时，．22．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，则，所以，又，所以切线方程为，即．（2）由题意得，则．因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，．令，则．①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当时，，故函数在上单调递减；当时，，故函数在上单调递增，2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩()2234690m y my +--=122634m y y m +=+122934y y m =-+11AF F B QA QBλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩12y y λ-=()1020y y y y λ-=-101220y y y y y y λ-=-=-1201223y y y y y m==-+1F Q =2l 11xy m=--111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩(1,2)P m-1PF =()12113111362PQFm S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭△1m =±()1min6PQF S =△(3)1y e x =-+1a=2()x f x e x x=--()21x f x e x '=--(1)3k f e ='=-(1)2f e =-(3)(1)2y e x e =--+-(3)1y e x =-+2()x F x e ax =-()2x F x e ax '=-()F x 1x 2x ()0F x '=1x 2x ()2x h x e ax =-()2x h x e a '=-0a ≤()0h x '>()h x R ()h x R 0a>()0h x '=ln(2)x a =(,ln(2))∈-∞x a ()0h x '<()h x (,ln(2))a -∞(ln(2),)x a ∈+∞()0h x '>()h x (ln(2),)a +∞因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以．令，则，所以函数在上单调递增．由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以．因为，所以，又，函数在上单调递减，所以，即．又，所以，因此．2021年山东省高三数学高考二模试题卷二第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，均为的子集，且，则（）A ．B ．C ．D ．2．若复数满足，则（）A ．B ．C ．D ．3．中，A ，B ，C 是的内角，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．实数x 、y 满足，则的最大值为（）A ．B ．4C ．D ．5()0h x =1x 2x min()(ln(2))22ln(2)0h x h a a a a ==-<2e a >12x x <1ln(2)x a <2ln(2)1x a >>(0)10h =>1(0,ln(2))x a ∈24()()(2ln(2))44ln(2)xxa G x h x h a x e ax a a e =--=--+24()440xx a G x e a a e '=+-≥=()G x R 2ln(2)x a >()2(ln(2))0G x G a >=()()222ln(2)h x h a x >-1x 2x ()h x 12h x h x ()()122ln(2)hx h a x >-2ln(2)x a >22ln(2)ln(2)a x a -<1ln(2)x a <()h x (,ln(2))a -∞122ln(2)x a x <-122ln(2)x x a +<12x x +>2ln(2)a <212(ln(2))x x a <N R MN⊆RMN =R ∅M N Rz 12i 2z⋅=z=1212-1i 2-1i 2ABC △ABC △π3A =1cos 2A =22326x y x +=22x y +72925．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6．在中，，，点满足，，则的长为（）A ．B ．C ．D ．67．设等差数列的前n 项和为，且，()()320152015120191a a -+-1=-，则下列结论正确的是（）A ．，B ．，C ．，D ．，8．在探索系数，，，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（）A ．种B ．种C ．种D ．种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（）A ．B ．正四棱锥的外接球半径为C ．正四棱锥的内切球半径为D ．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱10．一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，(即，，三点分别在三角形三边或顶点上)，则两三角形面积比的值可能为（）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（）()4,3A l 22231x y l ⎡⎣(33⎡-⎢⎣⎦33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ABC △9AC =60A ∠=︒D 2CD DB =AD =BC {}n a n S ()()3661201911a a -+-=20202020S =20156a a <20202020S =20156a a >20202020S =-20156a a ≤20202020S =-20156a a ≥A ωϕb ()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>A ωϕb ()sin f x x =()π2sin 213g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π36121624SBCDE -A SBE -AS CD ⊥S BCDE -2a S BCDE -12a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭S BCDE -A SBE -ABC PQR P Q R ABC PRQABCS S △△14151617()2222:10,0x y C a b a b-=>>A B 1F 2F 122F F c =a b c P C B PA PB 1k 2kA ．当轴时，B ．双曲线的离心率C ．为定值D ．若为的内心，满足，则12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ≥kx b +和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（）A ．在内单调递增B ．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C ．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D ．和之间存在唯一的“隔离直线”第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式的常数项是________．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是______． 15．已知三棱锥，，，，则以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：的内角的对边分别为，若，______，求和．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件．．（1）求当时，销售量；当时，销售量；（2）试写出当广告费为千元时，销售量；2PF x ⊥1230PF F ∠=︒152e +=12k k 152+I 12PF F △()1212IPF IPF IF F S S xS x =+∈R △△△51x -=k b ()F x ()G x ()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x ()()2f x x x =∈R ()()10g x x x=<()2ln h x e x =e ()()()m x f x g x =-3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x ()g x b 4-()f x ()g x k []4,1-()f x ()h x 2y ex e =-()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A BCD -5AB AD BC CD ====8BD =3AC =C 22ABD 5m =22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-sinsin 2B C b a B +=sin cos(π)6a Bb A =-ABC △,,A B C ,,a bc 22a b c +=A C a b n ()1n -2nb ()*n ∈N 1n =1a 2n=2a n n a（3）当，时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M ，N 分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份123456不“礼让行人”驾驶员人数120 105 100 85 90 80（1）请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起天内需完成罚款缴纳，记录月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为，若服从正态分布，求该月没能在天内缴纳人数．参考公式：，．，，．21．（12分）已知函数，．（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围；（2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10a =4000b =ABCDEF ABCD 22AB CD ==60ABC∠=︒ACFE 2FB=EF AB MN ∥FCB AF FCB MAB MAC 476x y 5yˆˆˆybx a =+56155XX()~8,9X N 14()()()112211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx=-()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=()330.9974P Z μσμσ-<<+=()32231f x ax ax =-+()()3042a g x x a =-+<051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦151,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()10f x g x =a 051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1,2)i x i =()()()120f x f x g x ==a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>A B D (1,0)F C P Q P x PQ x ⊥//OP AD O C AP BQ M BP AQ N MFN ∠数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】用图示法表示题意，如下图，故，故选C ．2．【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C ． 3．【答案】C 【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件；若，因为，所以，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充分必要条件，故选C ．4．【答案】B 【解析】由题意得，，因此，令，的对称轴为，开口向下，则在区间单调递增，所以当时，取得最大值4，故的最大值为，故选B ．5．【答案】C 【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径，，即，解得，故选C ． 6．【答案】A 【解析】因为，所以，设，则，得，即，因为，故解得，即，所以，故选A ． 7．【答案】A 【解析】令，知在定义域内为递增函数，∴由题意知，即，又，知，关于原点对称，∴，而，故选A ．8．【答案】B 【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD 【解析】如图所示：A 选项：取中点连接，正三棱锥中，，，又，所以平面，则，又，所以，故A 正确； B 选项：设底面中心为，球心为半径为，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在上，所以，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，所以， M N N=R 112=2i1z ⋅=11i 2i 2z ==-π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =223302y x x =-≥02x ∴≤≤()222211933222x y x x x +=-=--+()()219322x fx --+=()f x 3x=()f x []0,22x =22x y +22x y +4l l ()34y k x -=-340kx y k -+-=22231x y ()2,3()2,3340kx y k -+-=11≤2k -≤k ≤≤2CD DB =1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+AB x =222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441379cos609999x x =+⨯⨯︒+⨯2291260x x +-=0x >6x =6AB =BC===3()2019f x x x =+()f x 6201511a a ->-20156a a <()()0f x f x 61a -20151a -620152a a +=20201202012020620151010()1010()2020S a a a a a a =++=+=+=π34422A 12A =BE H ,AH SHA SBE -AH BE ⊥SH BE ⊥AHSH H =BE ⊥SAH BE AS ⊥//BE CD AS CD ⊥1O O R 1O S OS OB R ==112OB O S ==由，得，解得，故B 正确； C 选项：设内切球半径为，易求得侧面面积为，由等体积法得，解得，故C 错；D 选项：取中点，连接，，，则和分别是和的二面角的平面角，由，，故与互补，所以共面，又因为，则为平行四边形，故，故正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确，故选ABD ． 10．【答案】AB 【解析】如图，有两种方式：（1）左图中为中点，设的直角边长，为的直角边长为，，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以．（2）右图中，在中，由正弦定理得，所以，()22211OB O B O S OS =+-2222222R a a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2R a =r 221π3sin 234Sa a =⋅=2221211343233a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅()624a r -=SE F AF DF BF BFD ∠BFA ∠D SE B --A SE B --()22222223321cos 2332a a aBF DF BD BFD BF DF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭2222222331cos 2332a a a AF BF BA AFD AF BF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭BFD ∠BFA ∠ASDE AS AE ED SD ===ASDE ////AS ED BC S BCDE -A SBE-R AB ABC △a PQR △x PQC α∠=QBR △πsin sin 4QR QB α=sin πsin4x QB α=()sin 2cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα=+=+=+()1π2cos sin 2sin 4x a ααα==⎛⎫++ ⎪⎝⎭214PRQ ABCS x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△QBR △ππsin sin 44QR QBα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 4πsin 4x QB α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，所以，所以，综上：最小值为，最大值显然为1，故选AB ．11．【答案】BCD 【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴，如图，对于A ，当轴时，点P 为，，显然，即选项A 错误；对于B ，，， ∴，解得（负值舍去），即选项B 正确；对于C ，设，则，，所以，由点在双曲线上可得，代入，故C 正确；对于D ，设圆I 的半径为r ，，，即，由双曲线的定义知，，即，故选项D 正确，故选BCD ． 12．【答案】ABD 【解析】对于A ，，，，当时，，单调递增，，在内单调递增，A 正确；对于B 、C ，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即()πsin 4cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=+=+()1tan 22cos sin x a ϕαα===+215PRQ ABC S x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△152b ac =2PF x ⊥2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭221212||1tan ||222b PF ac a PF F F F c ac ∠====1230PF F ∠≠︒222ac a b c ==-∴1ce a=>210e e --=e =(,)P x y 1y k x a =+2y k x a =-21222+y y y k k x a x a x a =⋅=--(,)P x y 22222x a y a b-=22222212222222111212y b y b c k k x a a y a a ⎛====-=-= -⎝⎭1212IPF IPF IF F S xS S =+△△△212111||||||222r PF r PF x r F F ∴⋅=⋅+⋅⋅⋅1212||||||PF PF x F F =+12||||2PF PF a -=22a x c ∴=⋅1a x c e ===()()()21m x f x g x x x=-=-()212m x x x '∴=+()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x ''>()m x '∴()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝()m x∴x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x y kx b =+21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩(),0x ∈-∞22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩。

山东省济南市历城第二中学2021届高考数学下学期模拟考试试题(五)

山东省济南市历城第二中学2021届高考数学下学期模拟考试试题（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}{}31,1M x x N x x =-<<=≤，则阴影部分表示的集合是 A ．[]1,1-B ．(]3,1-C ．()(),31,-∞-⋃-+∞D ．()3,1--2．已知复数21aibi i-=-，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a bi += A ．12i -+B ．1C ．5D ．53．已知()3121mx x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为8，则实数m=A ．2B ．2-C ．3-D ．34．已知函数()()()log 21a f x x a a a =-->0≠，且，则“()()3f x +∞在，”上是单调函数”是“01a <<”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[)2,2x ∈-时，()143xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=A ．32B ．33log 22- C ．12- D ．32log 23+ 6．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若,AB mAM AC nAN ==，则m n += A ．1B ．32C ．2D ．37．现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A ．1B ．2C ．3D ．228．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是 A ．3B ．32C ．33D ．34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

济南市历城区历城第二中学202届高三数学上学期0月月考试题含解析

四、解答题（共70分）
17。在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
（1)求角B.
（2）若，求的最大值。
则2086年出生的孩子属相为马。
故选:B
【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理,还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.
二、多项选择题（每小题5分,共20分）
9。下列命题正确的是（）
A。若角（），则
B. 任意的向量 ,若，则
C。已知数列的前项和 ( 为常数）,则为等差数列的充要条件是
10。 (多选题）函数 ( ，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A。
B。若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
C。若把的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
D. ，若恒成立,则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数图像可得，进而求出，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A；利用图像的平移伸缩变换可判断B；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式,根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C；不等式化为 ,利用三角函数的性质求出即可判断D。
【详解】如图所示： ,所以，
，
， ,即，
（ ), （），
，，，故A正确;
把的图像向左平移个单位，
则所得函数，是奇函数，故B正确；
把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变,
得到的函数 , ，，
在上不单调递增，故C错误；
由可得 , 恒成立,
令 , ,则 ,
, ，
, ，
的最小值为，故D正确.
【详解】由恰有个零点，即方程恰有个实数根。

山东省济南市历城区第二中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省济南市历城区第二中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则有（）A．-3∈A B．A∩B=(-1,0) C．A∪B=R D．参考答案：C简化集合，由数轴法，易知选 C【命题意图】此题考查了集合描述法的理解，整合了函数定义域，分式不等式解法（转化为一元二次不等式）.选项具有开放性，在鉴别选项时，须知:元素与集合的关系，交集，子集，并集的含义.在解一元二次不等式时，若不理解教材上数形结合解一元二次不等式，此题明显有陷阱.2. 函数的部分图象大致为( )A．B．C. D．参考答案：A设，由得，则函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．3. 已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.参考答案：C4. 在中，，M为AC中点，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2参考答案：A5. “”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z，则“φ=”是“函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．6. 设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D 上的点，则r的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C7. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.8. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元参考答案：B本题考查了回归方程的特点以及利用回归方程进行预测的方法，难度中等。

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③当 − a +1 1-，即 0 a − 1 时，
a
2
取
x
1,
−
a
+ a
1
，得
g
(
x
)
0
，则
g
(
x
)
在
1,
−
a
+1 a
上为增函数，
当1 x − a +1 时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ，
a
这与“ f ( x) 在 x = 1处有极大值”矛盾，此时不满足题意．
综上．所求实数
a
的取值范围是
−,
−
1 2
．
（说明：若学生由题易知 f (1) = 0 ，根据 f (1) 0 转化求解，这不是充要条件．没有运用数学语言和数学符号
进行代数推理，可扣 2 的分 3
5
当 0 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ；
当 x 1时， g ( x) 0 ，即 f ( x) 0 ，
所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, +) 上单调递增，
所以 x = 1是 f ( x) 的极小值点，且 f ( x) 的极小值为 f (1) = 0 ．
所以△ABG 与 △AOH 的面积之积为定值，该定值为 1 ． 2
22．解：（1）函数 f ( x) 的定义域为 (0, +) ， f ( x) = a +1+ a ln x − a +1 ．
x
设
g
(x)
=
a
+1+
a
ln
x
−
a
+1 x
，则
g(
x)
=
a x
+
a +1 x2
=
ax
+a x2
+1
．
当 a 0 时， g( x) 0 ，则 g ( x) 在 (0, +) 上为增函数，且 g (1) = 0 ，
将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 ，所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，
3
3
3
所以 S = 1 ac sin B = 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
2
23 3 2 3
若选择条件③，由正弦定理，得 sin C cos A + sin A cosC = 2sin B cos B ，
0
，则
g
(
x
)
在
−
a
+ a
1
,
+
上为减函数，
当 − a +1 x 1时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ；
a
当 x 1时， g ( x) g (1) = 0 ，即 f ( x) 0 ，
所以
f
(
x)
在
−
a
+ a
1
,1
上为增函数，在 (1,
+)
上为减函数，
所以 x = 1是 f ( x) 的极大值点，满足题意．
21．解：（1）过 F1 (−1, 0) 且斜率为
2 的直线方程为 y = 4
2 ( x +1) ，令 x = 1，则 y =
4
2， 2
a2
由题意可得
1
a2
− b2 =1
+
1 2b2
，解得 a2 =1
=
2 ，b2
= 1，所以椭圆
E
的方程为
x2 2
+
y2
= 1．
（2）由题意知，直线 BC 的斜率存在，设直线 BC 的方程为 y = kx + 2 ，设 D ( x1, y1 ) ， C ( x2, y2 ) ，
=
1 1 2
x1 1+ y1
1 3 x2 2 1+ y2
=3
x1x2
=3
x1x2
4 (1+ y1 )(1+ y2 ) 4 1+ y1 + y2 + y1y2
6
=
3 4
1+ 2k 2
1
+
1
+
4 2k
2
+
4 − 2k 2 1+ 2k2
=
3 4
1+
2k 2
+
6 4+
4
−
2k
2
= 36 = 1 ． 49 2
（2） bn
= logan
2=
1 log2 an
=
1 log2 2n
=
1 n
， b1
= 1， b2
=
1 ，显然不适合， 2
b2
=
1 2
， b3
=
1 3
适合，即 b2
=
1 2
， b3
=
1 3
， b6
=
1 6
构成公差为 −
1 6
的等差数列；
b3
=
1 3
， b4
=
1 4
适合，即 b3
=
1 3
， b4
=
1 4
高三数学假期检测题（一）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BCABABDC
7 14． − 1 15． πR 16． −2 − 1
9
3
6
e
1137．．解：若选择条件①，由正弦定理，得 a2 + c2 − b2 = ac ．
AC BC BCD ABC
由余弦定理知 cos B = a2 + c2 − b2 = ac = 1 ．由 0 B π ，得 B = π ，
2ac
2ac 2
3
由 sin A = 2sin C 及正弦定理，得 a = 2c ，将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 c， 3
所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，所以 S + 1 ac sin B = 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
1
N
，所以
bn+k
不是数列
bn
中的项，
所以当 n 4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上， b2 ， b3 和 b3 ， b4 适合条件．
19．解：（1）填写 2 2 列联表如下：
中国人
外国人
总计
邮箱名称里有数字
15
5
20
邮箱名称里无数字
5
15
20
总计
20
20
40
（2）
则
m m
AB BE
= =
0 0
，即
2a −a
= +
0 3 2
b
+
3 2
c
=
0
，取
b
=
1，则
m
=
(
0,1,
−1)
．
PC m
设直线 PC 与平面 ABEF 所成的角为，则 sin = cos PC, m =
=
6
= 3 11 ，
PC m 22 2 11
故直线 PC 与平面 ABEF 所成角的正弦值为 3 11 ． 11
将 a = 2c 和 b = 2 代入 a2 + c2 − b2 = ac ，解得 c2 = 4 ，所以 c = 2 3 ， a = 2c = 4 3 ，
3
3
3
所以 S = 1 ac sin BБайду номын сангаас= 1 4 3 2 3 3 = 2 3 ．
2
23 3 2 3
18．解：（1）由题意，得 a1 + 2a2 + 3a3 + + nan = (n −1) 2n+1 + 2 ，
所以 f ( x) 在 (0,1) 上为增函数，在 (1, +) 上为减函数，
所以 x = 1是 f ( x) 的极大值点，满足题意．
（ⅱ）当 a +1 0 时，令 g( x) = 0 得 x = − a +1 ，
a
a
4
①当
0
−
a
+ a
1
1
，即
−1
a
−
1 2
时，取
x
−
a
+1 a
,
+
，
得
g
(
x)
所以 sin ( A + C ) = 2sin B cos B ．由 A + C = π − B ，得 sin B = 2sin B cos B ，
由 sin B 0 ，解得 cos B = 1 ．由 0 B π ，得 B = π ，由余弦定理，得 a2 + c2 − b2 = ac ．
2
3
由 sin A = 2sin C 及正弦定理，得 a = 2c ，
建立空间直角坐标系 A − xyz ，则 A(0, 0, 0) ， B (2, 0, 0) ， C (2,3, 0) ， P (0, 0,3) ，
从而
E
1,
3 2
,
3 2
，所以
BE
=
−1,
3 2
,
3 2
，