高等数学第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程
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1 ( x 4 2 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 )
所求 :1(x 方 4 2 ) 9 (程 y 1 ) (z 为 4 ) 0 . 按 .此平面 n (1的 ,9 4 , 1 ).法向 5 量
例 3 求 M 0 ( a , 0 , 过 0 ) M 1 ( , 0 , b , 0 ) 点 M 2 , ( 0 , 0 , c ) 的平面的 . (方 ab程 c0)
x2x0 y2y0z2z0
由此 ,可将三点式方程 点改 法写 式成 方 : 程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
4
其中 Ay1y0 z1z0 , y2y0 z2z0
B x 1 x 0z 1 z 0, C x 1 x 0y 1 y 0.
第五节 平面及其方程 P325
一、平面的点法式方程
如果一非零向 一量 平,这 垂 面向 直量 于就叫做
的法向量 .
法向量的:特 垂征 直于平面内的量任 . 一向 n
且 设 n 法 过 (A 平 ,B M ,向 0 C ( x ). 0 点 , 在面 y 0 ,量 z 内0 ) 任 ,取
一 M ( x , y , z ) , 则 点 M 0 M n , 得 :M 0 M
M0
M
平 面 x上 2x0的 M y2( x,y点 y 0,zz)2都 z0 满(足 3), M方 1 程 M 2
不在平面 内的点不满(足 3). 方程
所,以 (3)式就是 的 平三 面点. 式方程
平 的 面 n 法 M 0 M 1 M 0 M 向 2 量
i
j
k
x1x0 y1y0 z1z0A iB jC k
7
例 4 . 求 x 轴 过 (4 ,和 3 , 1 ) 的 点 的 平 .方 面
解. 设平面 的方程为
A B x C y D z 0 由 ,点 ( 已 0 ,0 ,0 ) ,( 1 ,知 0 ,0 ) ,( 4 , 3 , 1 ) 都 平面 内, 所以,
A0B0C0D0 A1B0C0D0 A4B(3)C(1)D0 D0, A0, 3BC0,
平面的n 法 a 1向 ,b 1,1 c量 .
6
三、平面的一般方程
推知由 平面的一般点 方程为A (x 法 x 0 )n B 式 ( (y A ,B y 0 ,) C 方 ) C (z z 0 ) 程 0
A B C x D y 0 z ( 5 )
(D A 0 x B 0 C y0 )z
取 B 1 ,则 C 3 .
平面的方程:为0 x 1 y ( 3 ) z 0 0 ,
即 y 3 z 0 .
8
个人观点供参考,欢迎讨论!
平 面 称为 (1)方 的程 图 . 形 (1)式是平 的 面点法式 , 方M程 0 M
方程中 A,的 B,C是 系 的 数法向 , 量坐 x 0 ,y 0 ,z0是 平 内 M 面 0 点 的.坐标
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 ( 1 )
(5)式也很容易 方 化 ,程 设 成 M 0(点 x0,y法 0,z0)式 是平面 ,即 内 M 0坐 一标 点满 (5)足 : 方程
A 0 B x 0 C y 0 D z 0
与(5)式相减即:得
Hale Waihona Puke A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
此即点法式方程 .
2
例 1过 (2 , 点 3 ,0 ),以 n (1 , 2 ,3 )为法 的平面的方程是
( x 2 ) 2 ( y 3 ) 3 z 0
M0
M
二、平面的三点式方程
M1
M2
平 过 面 M 0 已 ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) 知 ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 点 1 ) ,
n M 0 M 0
M 0 M ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 ( 1 ) 1
平 面 上的 M (x,点 y,z)都满(1 足 ), 方程
不在平面 上的点都不满 (1)足 , 方程
n
方(1 程 )称为 的 平方 面 , 程
xa y0z0 xa y z
c
解0a b000 a b0
0a 00c0 a 0c
b(x c a ) a caybz
b
所求方程为:
a
bc a xc ayb bzca
或 ax by
z c
1
( 4 )
( 4) 式为平面的截距式方程,
n { b,a c,a c}b
a, b, c为平面在坐标轴上的 距截 .
x 2 x 0z 2 z 0
x 2 x 0y 2 y 0
例 2 求 M 0 ( 2 , 1 , 4 ) , M 过 1 ( 1 , 3 , 2 ) , M 2 ( 0 , 2 , 3 ) 的平面的方程 .
x2 y1 z4 x2y1z4 解 . 123124 3 4 6
02 21 34 2 3 1
M 2(x 2,y2,z2),在平 内 面 任 M (取 x,y,z)点 ,
则 M 0 向 M 1 ,M 0 M 量 2 ,M 0 M 共 ,得 面
( M 0 M 1 M 0 M 2 ) M 0 M 0 ( 2 )
3
( M 0 M 1 M 0 M 2 ) M 0 M 0 ( 2 )
xx0 yy0 zz0 即 x1x0 y1y0 z1z00 (3)