第8章__回归正交试验设计

回归平方和 ：
SSR SS一次项 SS交互项
残差平方和 ：SSe SST SSR
②自由度
dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
dfR df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT dfR
③均方
6 -1 1 -1 -1 1 -0.532 0.283024 -0.532 0.532 -0.532 -
0.532
0.532
7 -1 -1 1 1 -1 -0.448 0.200704 -0.448 0.448 +0.448 0.448 -0.448
8 -1 -1 1 -1 1 -0.484 0.234256 -0.484 -0.484 -0.484 0.484 0.484
1 n
a n i1 yi y
n
z ji yi
bj

i1
mc
, j 1, 2,3,L , m(8 12)
n
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
, j k, k 1, 2,3L , m 1(8 13)
说明：
➢ 求得的回归系数直接反映了该因素 作用的大小
➢ 回归系数的符号反映了因素对试验 指标影响的正负
8.1.3. 回归方程及偏回归系数的方差分析
（1）无零水平试验时
①平方和：

总平方和： SST

Lyy

n
( yi
i 1

y)2

n i 1
yi2
1n (
n i1
yi )2
一次项偏回归平方和 ：SS j mcb2j
交互项偏回归平方和： SSkj mcbk2j
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
z12 0.000181 1 0.000181 2.92
Z13 0.000421 1 0.000421 6.79 回归 0.010741 5 0.002148 34.65
残差 0.000123 2 0.000062
总和 0.010864 7
显著性
** *
新的方差分析表
F0.05(1,6)=5.99 F0.01(1,6)=13.74
(4)方差分析
SST

n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2

2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
SS3 mcb32 8 0.005752 0.000265
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：
设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距 Δj：
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变
换：
zj

xj xj0 j
➢ zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 ➢ xj：自然变量 ➢ 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 ➢ 下水平xj1的编码：zj1＝-1 ➢ 零水平xj0的编码：zj0＝0
编码目的：
使每因素的每水平在编码空间是“平等”的， 规范变量zj的取值范围都是[1，-1]内变化，不 会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…， m）各水平之间的回归问题，转换成试验结果 y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了 回归计算量。
试
z1 z2 z1z2 z3 z1
y
验
z3
号
y2
z1y z2y z3y (z1z2 (z1z2)y
)y
1
1 1 1 1 1 0.552 0.304704 0.552 0.552 0.552 0.552 0.552
2
1 1 1 -1 -1 0.554 0.306919 0.554 0.554 -0.554
-
-0.554
0.554
3
1 -1 -1 1 1 0.480 0.230400 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480
4
1 -1 -1 -1 -1 0.472 0.222784 0.472 -0.472 -0.472
-
-0.472
0.472
5 -1 1 -1 1 -1 -0.516 0.266256 -0.516 -0.516 0.516 0.516 -0.516
差异源 SS 回归(z2) 0.009113 残差e 0.001751 总和 0.010864
df MS 1 0.009113 6 0.000292 7
F 31.21
显著性 **
(5)最终的回归方程
y=0.50475+0.03375z2 z2=(x2-2100)/300 y=0.50475+0.03375 ×(x2-2100)/300 整理后得:
(3)回归方程的建立
➢ 写出y与规范变量zj的回归方程
y=0.50475+0.00975z1+0.0337520.00575z3+0.00475z1z2+0.00725z1z3
➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作 用的主次顺序 x2＞x1＞x1x3＞x3＞x1x2
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向

z2i yi
i 1
mc
n
0.270 0.03375
8
b3
n
z3i yi
i 1
mc
0.046 0.00575 8
b12

(z1z2 )i yi
i 1
mc

0.038
0.00475
8
b13

n
(z1z2 )i yi
i1
mc

0.058 0.00725 8
方差分析表
F0.01(1,2)=98.49 F0.05(1,2)=18.51
F0.01(5,2)=99.30 F0.05(5,2)=19.30
差异 SS
df MS
F
源
z1
0.000761 1 0.000761 12.27
z2
0.009113 1 0.009113 146.98
z3
0.000265 1 0.000265 4.27
（3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点：
➢任一列编码的和为0 ➢任两列编码的乘积之和等于0
说明经转换后的正交表同样具有正交 性。
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
➢ 可参考正交设计的表 头设计方法
➢ 交互作用列的编码等 于表中对应两因素列 编码的乘积
零水平试验（中心 试验 ）目的是为了 进行更精确的统计 分析，得到精度较 高的回归方程。
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc:二水平试验次数 ➢ m0:零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
回归正交设计（Orthogonal regression design）
回归正交设计处理的对象： 可以在因素的试验范围内选择适当的 试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合有非数量性因素的问题
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm 之间的一次回归方程：
SS12 mcb122 8 0.004752 0.000181
SS13 mcb123 8 0.007ห้องสมุดไป่ตู้52 0.000421
SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13
0.000761 0.009113 0.000265 0.000181 0.000421
总
4.038 2.049044 0.078 0.270 -0.046 0.038 0.058
(3)回归方程的建立
➢ 计算各回归系数:p127~128
1 n
4.038
n
a n i1 yi
n
8

0.50475
b1

z1i yi
i 1
mc

0.078 8
0.00975
b2
例8-1：p.126~129 (1)因素水平编码
编码
上水平(1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化间距Δj
因素xj
x1(灰化温度 x2(原子化温 x3 (灯电流
/℃)
度/℃)
/mA)
700
2400
10
300
1800
8
500
2100
9
200
300
1
(2)正交表的选择和试验方案的确定
(3)回归方程的建立 依题意 m0=0,n=mc=8
第8章 回归正交 试验设计
本章问题的提出
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不 是一定试验范围内的最优方案
回归分析可通过所确立的回归方程 ，对试验结果 进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行 被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。
回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立 一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试 验优化问题。
④F检验： 回归方程显著性检验
偏回归系数显著性检验 ：
➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入
残差，重新检验
➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交 互项
例8-1：p.126~129
例8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计测定食 品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y) 大。为提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素 对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝300~700℃， x2＝ 1800~2400℃，x3＝8~10mA。试通过回归正 交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系 式。
y=0.2685+0.0001125x2
（2）有零水平试验时
目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit） 检验 （要求m0≥2 ）
前面所提的对回归方程进行的显著性检验， 只能说明相对残差平方和而言，各因素对 试验结果的影响是否显著。即使所建立的 回归方程是显著的， 也只反映了回归方程 在试验点与试验结果拟合得较好，不能说 明在整个研究范围内回归方程都与实测值 有好的拟合。
失拟性检验：为了检验一次回归方程在整 个研究范围内的拟合情况
失拟性检验步骤：
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0
①重复试验误差：

平方和：SSe1
m0
( y0i
i1
y0)2

m0 i1
y0i2

1 m0
(
m0 i1
y0i )2
重复试验误差的自由度：dfe1 m0 1
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交 互作用
➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法