《机械振动》张义民—第3章第8节ppt

定义
(t a) 0 （t a)
(t a)dt 1
(3.8-2)
图 3.8-1
注意，(t-a)是一个沿着时间轴的正向移动了a时
间的单位脉冲。
数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单 位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在 现实应用中实现。
在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时 间同系统的固有周期(T=1/f )相比时非常的短，则 激励就可以考虑为一个脉冲。
单自由度阻尼系统对脉冲力 F (t) 的Fˆ响(t应) ，
系统振动微分方程为
mx cx kx Fˆ (t)
(3.8-4)
假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即
x(0 ) x(0 ) 0
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(3.8-5)
由于F(t)作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲
力的作用，但其影响依然存在。
把求解单自由度阻尼系统对脉冲力F(t)的响应
表示为
F t
图 3.8-2
因为在t=处对脉冲响应为h(t-)，所以此脉冲的响
应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即
F ht
通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的
总和为
x(t) F( )h(t )
(3.8-14)
令0，并取极限，上式表示为积分形式
t
x(t) 0 F( )h(t )d
sin dt
0
(t 0) (t 0)
(3.8-13)
2．卷积积分
利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数F(t)
的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用
脉冲序列近似地代替激励F(t )。
如图3.8-2所示，在任意时
刻t=处，相应的时间增量为
， 由 一 个 大 小 为 F() 的
脉冲，相应的力可以用数学
问题变换为系统对于零初始条件的响应问题，将
变成t=0+处的初始条件引起的自由振动。
为了找出t=0+的初始条件，对方程(3.8-4)在区
间0-t 0+上积分两次，有
m[x(0 ) x(0 )]
0
cxdt
0 0
kxdtdt
0
0 0
因为
0 0Fˆ (t)dtdt 0 0
(3.8-6)
0Fˆ (t)dt Fˆ (t)dt Fˆ (t)dt Fˆ 常量
系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作 用停止后的自由振动，称为任意激励的响应。
简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任 意激励的一种特例。
求解系统任意激励响应的方法：
◆傅里叶积分法
该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅 里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过 程来得到的。实质上激励不再是周期性的。
◆卷积积分法
该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的 叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次 项的微分方程，都可以用统一的数学形式把解表 示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还 包括伴随发生的自由振动。
1．脉冲响应 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响
应，称为系统的脉冲响应。 宽度T0，高度1/T0的矩形脉冲，如图3.8-1(a)所
t 0, x0 x0, x0 x0
则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的 叠加，即
x(t)
ent
x0
c osd t
x0
n x0 d
sin dt
1
md
t 0
F
(
)en
(t
)
sin
d
(t
)d
(3.8-17)
它表示单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初 始条件和任意激励的响应。
令t-=u，则-d=du，此外考虑(3.8-15)中的积
3.8 系统对任意激励的响应 ·卷积积 在许多实际问题中，分激励并非是周期性函数，
而是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内 的冲击作用。
●列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力； ●火炮在发射时作用于支承结构的反座力； ●地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用； ●精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。
(3.8-15)
上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积
分，它将响应表示成脉冲响应的叠加。
代入h(t-)的表达式(3.8-13)，得到
x(t) 1
md
t 0
F
(
)en
(t
)
sin
d
t
d
(3.8-16)
它表示单自由度阻尼系统对任意激励F(t)的响应。
若在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的 初始位移和初始速度为
分限界，当=0时，u=t，当=t时,u=0，将其代入
示。这个矩形脉冲的面积为1。
图 3.8-1
为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零， 而保持面积为1。
在极限情况下，单位脉冲的数学定义为
(t) 0 （t 0)
(t)dt 1
(3.8-1)
这 个 脉 冲 发 生 在 t=0 处 ， 如 图
3.8-1(b)所示。如果单位脉冲
发 生 在 t=a 处 ， 则 它 可 由 下 式
即
mx cx kx 0
x(0)
0,
x(0)
Fˆ m
(3.8-11)
其解为
x(t)
Fˆ
md
e nt
sin dt
, d
0
1 2n
(t 0) (t 0)
(3.8-12)
令 Fˆ ，1 则系统受单位脉冲力 F(t)=(t) 的作用，
其响应称为脉冲响应。
脉冲响应为
h(t)
1
md
e nt
具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉
冲)，都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。
函数的单位为s-1，在其它方面的情况，函
数将有不同的量纲。
如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量 ，Fˆ 则
对应的脉冲力可方便地写成
F
(t)
Fˆ Fˆ
t t
a
(t 0) (t a)
(3.8-3)
式中 Fˆ的单位为N·s。
m[x(0 ) x(0 )] c[x(0 ) x(0 )]
0
kxdt
0Fˆ (t)dt
0_
0
(3.8-9)
同理，得
x(0 ) Fˆ m
(3.8-10)
若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产
生瞬时变化，可以认为在 t=0 时作用的脉冲力等 效于初始速度 v0 Fˆ。m
方程(3.8-4)等价于初始速度引起的自由振动，
0
(3.8-7)
则方程(3.8-6)中的左端第二项、第三项、右端项
的积分值均为无限小量，可以略去不计。
根据式(3.6-6),考虑到x(0-)=0，则有
x(0+)= 0
(3.8-8)
也就是说，在脉冲力 Fˆ (t作) 用的极短时间内，质
量m还来不及发生位移。
对方程(3.8-4)在区间0-t 0+上积分一次，有