人教版二项式定理——典型例题解析
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∴bn=1+C ( )2+C ( )4+ …
∴bn为奇数.
答案：A
分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.
解法二：n∈N*，取n=1时，( +1)1=( +1)，有b1=1为奇数.
取n=2时，( +1)2=2 +5，有b2=5为奇数.
答案：A
【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( )
应 用 篇
【例8】若n∈N*，( +1)n= an+bn(an、bn∈Z)，则bn的值( )
A.一定是奇数B.一定是偶数
C.与bn的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性
分析一：形如二项式定理可以展开后考查.
解法一：由( +1)n= an+bn，知 an+bn=(1+ )n
=C +C +C ( )2+C ( )3+ … +C ( )n.
=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.
说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b中的符号“－”忽略.
【例3】在(x－ )10的展开式中，x6的系数是.
解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C .
解法二：(x－ )10的展开式的通项是Tr+1=C x10－r(－ )r.
令10－r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C x6(－ )4=9C x6.
人教版二项式定理
概 念 篇
【例1】展开(2x－ )5.
分析一：直接用二项式定理展开式.
解法一：(2x－ )5=C (2x)5+C (2x)4(－ )+C (2x)3(－ )2+C (2x)2(－ )3+
C (2x)(－ )4+C (－ )5
=32x5－120x2+ － + － .
分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
A.11B.33C.55D.66
分析：(x+y+z)10看作二项式 展开.
解：我们把x+y+z看成(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+y+z)10=
= (x+y)10－kzk.
设第r+1项系数最大，则有
∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.
∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.
说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.
【例7】 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.
解：T6=C (2x)5，T7=C (2x)6，依题意有C 25=C 26，解得n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C (2x)4=1120x4.
解：设第r+1项为常数项，则
Tr+1=C (x2)10－r( )r=C x ( )r(r=0，1，…，10)，令20－ r=0，得r=8.
∴T9=C ( )8= .
∴第9项为常数项，其值为 .
说明：二项式的展wk.baidu.com式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.
(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x)7括号的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可. = ＞1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.
说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.
【例6】 (1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；
(2)求(1－2x)7展开式中系数最大项.
分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.
解：(1)设第r+1项系数最大，则有
即
化简得 又∵0≤r≤7，∴r=5.
∴系数最大项为T6=C 25x5=672x5.
(2)展开式的第4项的系数为C 37(－ )3=－77760.
(3)展开式的第4项为－77760( )7 ，即－77760 .
说明：注意把(3 － )10写成［3 +(－ )］10，从而凑成二项式定理的形式.
【例5】求二项式(x2+ )10的展开式中的常数项.
分析：展开式中第r+1项为C (x2)10－r( )r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x≠0.
【例4】已知二项式(3 － )10，
(1)求其展开式第四项的二项式系数；
(2)求其展开式第四项的系数；
(3)求其第四项.
分析：直接用二项式定理展开式.
解：(3 － )10的展开式的通项是Tr+1=C (3 )10－r(－ )r(r=0，1，…，10).
(1)展开式的第4项的二项式系数为C =120.
说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.
【例2】求二项式(a－2b)4的展开式.a
分析：直接利用二项式定理展开.
解：根据二项式定理得(a－2b)4=C a4+C a3(－2b)+C a2(－2b)2+C a(－2b)3+C (－2b)4
∴x6的系数为9C .
上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？
问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C .
说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
解法二：(2x－ )5=
= ［C (4x3)5+C (4x3)4(－3)+C (4x3)3(－3)2+C (4x3)2(－3)3+C (4x3)(－3)4+
C (－3)5］
= (1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)
=32x5－120x2+ － + － .
∴bn为奇数.
答案：A
分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.
解法二：n∈N*，取n=1时，( +1)1=( +1)，有b1=1为奇数.
取n=2时，( +1)2=2 +5，有b2=5为奇数.
答案：A
【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( )
应 用 篇
【例8】若n∈N*，( +1)n= an+bn(an、bn∈Z)，则bn的值( )
A.一定是奇数B.一定是偶数
C.与bn的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性
分析一：形如二项式定理可以展开后考查.
解法一：由( +1)n= an+bn，知 an+bn=(1+ )n
=C +C +C ( )2+C ( )3+ … +C ( )n.
=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.
说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b中的符号“－”忽略.
【例3】在(x－ )10的展开式中，x6的系数是.
解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C .
解法二：(x－ )10的展开式的通项是Tr+1=C x10－r(－ )r.
令10－r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C x6(－ )4=9C x6.
人教版二项式定理
概 念 篇
【例1】展开(2x－ )5.
分析一：直接用二项式定理展开式.
解法一：(2x－ )5=C (2x)5+C (2x)4(－ )+C (2x)3(－ )2+C (2x)2(－ )3+
C (2x)(－ )4+C (－ )5
=32x5－120x2+ － + － .
分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
A.11B.33C.55D.66
分析：(x+y+z)10看作二项式 展开.
解：我们把x+y+z看成(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+y+z)10=
= (x+y)10－kzk.
设第r+1项系数最大，则有
∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.
∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.
说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.
【例7】 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.
解：T6=C (2x)5，T7=C (2x)6，依题意有C 25=C 26，解得n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C (2x)4=1120x4.
解：设第r+1项为常数项，则
Tr+1=C (x2)10－r( )r=C x ( )r(r=0，1，…，10)，令20－ r=0，得r=8.
∴T9=C ( )8= .
∴第9项为常数项，其值为 .
说明：二项式的展wk.baidu.com式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.
(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x)7括号的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可. = ＞1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.
说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.
【例6】 (1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；
(2)求(1－2x)7展开式中系数最大项.
分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.
解：(1)设第r+1项系数最大，则有
即
化简得 又∵0≤r≤7，∴r=5.
∴系数最大项为T6=C 25x5=672x5.
(2)展开式的第4项的系数为C 37(－ )3=－77760.
(3)展开式的第4项为－77760( )7 ，即－77760 .
说明：注意把(3 － )10写成［3 +(－ )］10，从而凑成二项式定理的形式.
【例5】求二项式(x2+ )10的展开式中的常数项.
分析：展开式中第r+1项为C (x2)10－r( )r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x≠0.
【例4】已知二项式(3 － )10，
(1)求其展开式第四项的二项式系数；
(2)求其展开式第四项的系数；
(3)求其第四项.
分析：直接用二项式定理展开式.
解：(3 － )10的展开式的通项是Tr+1=C (3 )10－r(－ )r(r=0，1，…，10).
(1)展开式的第4项的二项式系数为C =120.
说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.
【例2】求二项式(a－2b)4的展开式.a
分析：直接利用二项式定理展开.
解：根据二项式定理得(a－2b)4=C a4+C a3(－2b)+C a2(－2b)2+C a(－2b)3+C (－2b)4
∴x6的系数为9C .
上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？
问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C .
说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
解法二：(2x－ )5=
= ［C (4x3)5+C (4x3)4(－3)+C (4x3)3(－3)2+C (4x3)2(－3)3+C (4x3)(－3)4+
C (－3)5］
= (1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)
=32x5－120x2+ － + － .