考研高数笔记

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文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

第一章 函

数、极限、连续 第1节

函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。

b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。

c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。

d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。

e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。

f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。

g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。

第2节 极限

a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。

b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中

0=(x)ɑlim 0x x →。（等价无穷小）

c) 极限存在⇔极限唯一。（极限唯一性）

d) A x =→)(f lim 0

x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)

有界。（有界性）

f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B

lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B

lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0

lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n

lim(f(x)^g(x))=A b

（极限的四则运算）

g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷

小和有界量乘积仍然是无穷小。

h) )

()(lim x g x f =l

i. l=0，f(x)=o(g(x)).

ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.

iii. 0

iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)~g(x). 特别的，如果k

x g x f )]([)(lim =l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换：

x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x)

1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2

αx 2

x 1+-1~2

1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3

13x x-sinx ~6

13x 特殊的，x →0时a x -1~xlna

j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0

时，f(x)→

0，那么将原式中x 换成f(x)也成立。

l) 求极限的方法：

i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性

质。

ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1. 抓小头公式。（x →0）

2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最

高次项的系数比】）

iii. 两个准则：

1. 夹逼准则

2. 单调有界必有极限

iv. 两个重要极限：

1. x sinx lim 0x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）

2. e x x

=+∞→)11(lim x e =+→x 1

0x )x 1(lim （利用单调有界准则进行证明）

口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）

v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换

1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷

小与有界量乘积为无穷小。

2. 12种等价无穷小的代换。

vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。

vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增

量比”的形式，则极限就是导数。

viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）

ix. 泰勒公式

1. 泰勒公式中系数表达式：f (f )(f 0)f !(f −f 0)f

2. 当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的麦克劳林公式：

e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m

x.洛必达法则

使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。

第一层次

0 0∞∞

第二层次

0*∞：转换成0

0或∞

∞

∞-∞：通分化为0

（常用换元的方法求解）

第三层次

1∞∞000

使用f ff进行转化。

第3节连续与间断

a)连续

某点：极限值=函数值 函数在该点连续

开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。

闭区间：开区间连续切在端点连续

b)间断

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。

振荡间断点：因振荡而不存在。