易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)

参赛论文易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题摘要饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。

理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。

在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。

对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。

如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。

本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。

再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础，建立模型<三>:Min S=[2H R ⨯⨯π+2R ⨯π+32r ⨯π+22)3.0()(h h r R +⨯+⨯π]b ⨯S.t. V=H R ⨯⨯2π+)(3133r R -⨯⨯πR=r+0.3h设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉：Min )(23220212002122R R r R R r R H R SV ---⨯⨯++⨯+⨯⨯=ππππb ⨯ S.t V=H R ⨯⨯2π+])()[(3320322020R R h R R h R --+-⨯-⨯⨯ππ得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ）最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。

一、问题的提出：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、模型的基本假设1、材料厚度远远小于罐的半径;2、除易拉罐的上底盖外，罐通体的厚度相同;3、硬度体现在同样材料的厚度上;4、易拉罐的材料为同样的铝材料;5、易拉罐的上端卷口材料的影响很小,可不计;6 、易拉罐底端的曲面简化成为一个平面 ;7、易拉罐拉环不加考虑。

三、符号说明h: 易拉罐的圆台高度(cm)r: 易拉罐的上顶盖半径(cm)cm）V : 易拉罐的内部体积（3b : 材料的厚度(cm)SV: 所用易拉罐材料的体积（3cm）a : 上顶盖的厚度因子cm）CV: 罐侧面所用材料的体积为（3(r)R: 圆柱体半径R: 上部所接球冠半径H: 下部圆柱高四、模型的建立与求解对问题一易拉罐所需数据的测量及结果：355毫升可口可乐易拉罐测量数据单位:毫米圆台上表面直径(D1) 胖体圆柱直径(D2)胖体部分的高度(h2)圆台高度(h1)总的高度(h1+h2)侧面厚度(m1)上顶盖厚度(m2)卷口高度(h3)下底盖厚度(m3)1 60.02 66.00 102.02 19.96 122.02 0.100 0.294 0.025 0.2812 60.04 65.98 101.96 20.00 122.04 0.103 0.295 0.026 0.2833 60.02 66.04 102.00 20.02 121.98 0.101 0.295 0.026 0.2824 60.00 66.98 102.02 20.00 122.00 0.098 0.296 0.024 0.2825 59.98 66.00 102.00 19.98 122.98 0.099 0.294 0.027 0.2806 59.96 65.96 102.98 20.04 122.00 0.100 0.296 0.026 0.2837 59.88 66.02 102.04 19.98 121.96 0.099 0.294 0.028 0.283 平均值59.98 66.00 102.00 20.00 122.00 0.100 0.295 0.026 0.282从上述测量数据中，胖体圆柱直径：胖体部分高度=D2:h2 0.647和黄金分割点比值0.618 虽然很接近。

对问题二的模型建立与求解：分析： 设易拉罐的高为h ，底面半径为r 。

要求饮料罐内体积V 一定的前提下，根据制造过程中消耗材料的多少来判别优劣，即最优易拉罐应该具有的最小表面S ，从而求出能使易拉罐制作所用的材料最省的上顶盖的直径和从上底盖到底部的高之比。

F= { AbsoluteThickness [1], Line [{{-3.1, 0}, {3.1,0},{3.1,12.4},{-3.1,0},{-3,0.1},{3,0.1},{3,12.1},{-3,12.1},{-3,0.1}}]}mygrapg = Show[Graphic[F],AxesLabel->{x, y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange-> {0, 12.5}]模型<一>由圆柱的体积公式： V=V （r,h ）=h r 2⨯⨯π，得 2rVh ⨯=π 又易拉罐的表面积： h r r r S S ⨯⨯+⨯==ππ22)(2……(1) 将h=V/pir 2代入（1）式得rvr r S 22)(2+⨯=π……(2) 对S(r)求一阶导数得出它的极值点:dr dS=0242=⨯-⨯rv h πππ 得出 31]2[πvr =h=2r V π =32)2(vvππ⨯ =322324vv ⨯⨯ππ =r v2283=π也就是说，设计成等边圆柱时，表面积最小.但是在实际中,用手摸一上顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉),所以以上的模型,理论上是可以的,但在实际中却存在误差.假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作b,硬度体现在同样材料的厚度上,并设上顶盖的厚度为ab, a 这时必须考虑所用材料的体积SV.对此，我们建立以下模型模型<二>设饮料罐的半径为 r, 罐的高为 h . 罐内体积为 V . b 为除顶盖外的材料的厚度.所用材料的体积 为SV, b 和 V 是固定参数,a 是待定参数. 罐侧面所用材料的体积为：CV(r,h)=])1([])([22b a h r b r ⨯++⨯⨯-+⨯ππ=322)1()1(22b a b h b a r b h r ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ππππ 饮料罐顶盖所用材料的体积为 2r b a ⨯⨯⨯π 饮料罐底部所用材料的体积为 2r b ⨯⨯π 所以, SV 和 V 分别为,),(h r SV =2),(r b a h r CV ⨯⨯⨯+π=3)1(2b a b h r ⨯++⨯⨯⨯ππ+222)1()1(2r b a b a r b h ⨯⨯⨯++⨯+⨯⨯+⨯⨯πππh r h r V ⨯⨯=2),(π因为 b<<r, 所以带2b ,3b 的项可以忽略因此 2)1(2),(r b a b h r h r SV ⨯⨯⨯++⨯⨯⨯≈ππ设 v h r h r f -⨯⨯=2),(π于是我们可以建立以下的数学模型：Min S(r,h)S.t.0),(=h r fr >0，h >0其中 ),(h r S 是目标函数,0),(=h r f 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和a 使得 r, h 和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 采用化简消元法对上述模型的求解:从 0),(2=-⨯⨯=v h r h r f π 解出 2rvh ⨯=π, 代入 S , 则使原问题化为求 b 、 h ， 使 S 最小, 也即求 r ，使：])1(2[))(,(2a rvb r h r S ++⨯=π最小.令其导数为零,求临界点:得dr dS=0]8)1[(22=-⨯⨯+⨯rv r a b π 解得临界点为 3)1(π⨯+=a vr因此 23))1(2(va vh ππ⨯+== 2))1(()1(3π⨯+⨯+a va=(1+a)⨯r=2)1(ba ⨯+ 由模型<一>可得:2=rh, 即 1+a=4 a=3即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍.为验证这个 r 确实使 S 达到极小。

计算 S 的二阶导数2dr dS =4b 0]2)1(2[3〉++⨯⨯rva π 因为r>0 ,所以这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临界点只有一个, 因此也是全局极小.对题目中问题二进行求解:饮料罐的体积：2r h V ⨯⨯=π作饮料罐用材的总面积： S(r,h)=3b h r b r b r ⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯πππ222=(4b h r r ⨯⨯⨯+⨯)22ππ对S(r)求一阶导数，得dr dS=20]4[=⨯-⨯⨯⨯rv r b ππ 得到： r=34π⨯vh=ππv v ⨯23)4(=434πv⨯ 即： h=4r 而 v=355代入数据可得： h=418.1214.343553=⨯⨯r=05.34=h直径：高度=2r:h=0.5这个比值和问题一的解答中计算出的实际直径和高度的比值差距较大，可行性误差较大。